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2025-2026 学年八年级上册数学单元检测卷
第七章 证明·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分
【答案】D
【分析】本题考查了定义的理解.根据定义的属性进行判断即可．定义是指对某个词语、概念或事物的本质
特征进行准确、清晰的描述和解释，确保人们在交流或学术讨论中达成一致理解．掌握定义的属性是解题
的关键．
【详解】解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误；
B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误；
C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误；
D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确．
故选：D．
2．下列语句不是命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．连结 ，并延长至点
C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等
【答案】B
【分析】此题考查了命题，命题是能判断真假的陈述句．B选项是描述作图过程的语句，不是陈述句，因
此不是命题．
【详解】解：∵ 命题是能判断真假的陈述句；
A、C、D均为几何真命题，是陈述句；
B为作图指令，不是陈述句，无法判断真假；
∴ B不是命题．
故选：B
3．下列命题不是基本事实的是（ ）
A．两点之间线段最短
B．经过两点，有且只有一条直线C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】本题考查基本事实（公理）与定理的区分．基本事实是无需证明而被公认的命题，而定理需通过
推理证明．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，称为线段公理，属于基本事实，故不符合题意；
B、经过两点，有且只有一条直线，是直线公理，属于基本事实，故不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是平行线的性质，需通过平行公理（如同位角相等）
推导得出，属于定理，而非基本事实，故符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是垂直公理，属于基本事实，故不符合题
意；
故选：C．
4．命题“度数之和为 的两个角互为余角”的条件是（ ）
A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为 的两个角
【答案】D
【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由
已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么
的后面．
命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题
设．
【详解】解：命题“度数之和为 的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于 ，那么这
两个角互为余角，
∴命题“度数之和为 的两个角互为余角”的条件是度数之和为 的两个角．
故选：D．
5．对于命题“如果 ，那么 、 都大于 ”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据题意，举一个例子，满足一个大于 ，一个不大于 ，且两个角的和大于 即可．
本题考查了假命题的反例证明，熟练掌握方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意，符合题意的是 ， ，其余都不满足，故选：C．
6．如图，在 和 中， ，且 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．先结合等边对等角得 ，根据平行线的性质得 ，然后由等
边对等角得 ，即可作答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
7．如图，画直线 的操作过程，依据的数学基本事实，下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】A
【分析】此题考查了平行线的作法和判定．根据平行线作法判断平行线的判定方法即可．
【详解】解：画直线 的操作过程，依据的数学基本事实是同位角相等，两直线平行．故选：A．
8．下列命题： 的算术平方根是4． 有理数和数轴上的点一一对应； 两个无理数的和还是无理
① ② ③
数； 全等三角形的角平分线相等； 有两角和一边分别相等的两个三角形全等； 有两条边和第三条
边上④的高分别相等的两个三角形全等；⑤其中是真命题的有（ ） ⑥
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查的是命题的真假判断，算术平方根，全等三角形，实数，掌握相关知识点结合正确的命
题叫真命题，错误的命题叫做假命题进行判断是解题的关键．
根据相关知识点逐个判断命题真假，即可求解．
【详解】解：∵ ① ，4的算术平方根是 ，不是4，∴ 命题①为假；
∵ ② 数轴上的点与实数一一对应，除了有理数，还有无理数，∴命题 ②为假；
∵ ③ 反例： （有理数），∴ 命题③为假；
∵ ④ 全等三角形的对应角的平分线相等，原命题未指明“对应”，∴命题④为假
∵ ⑤ 两角和一边对应相等，符合 或 全等判定，∴ 命题⑤为真；
∵ ⑥ 反例：两条边和第三边高相等，如图，两个三角形 和 中， ,且第三
边上的高相等，但两个三角形不全等，∴ 命题⑥假；
综上所述，真命题有⑤，共1个．
故选：B．
9．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中 ，那么下列结论错误的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ， ，那么D．如果 ， ， ，那么
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答．
【详解】解：A、若 ，则 ，结论正确，本选项不符合题意；
B、若 ，则 ，结论正确，本选项不符合题意；
C、若 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，原结论错误，本选项符合题意；
D、若 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，结论正确，本选项不符合题意．
故选：C．
10．如图，点 在 的延长线上， 与 交于点 ，且 ， ， 是 的
余角的 倍，点 是线段 上的一动点，点 是线段 上一点且满足 ， 平分
．下列结论： ； ； 平分 ； ； ．
其中结论正确的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故 正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得 ，故 正确；根据两直线平行，
内错角相等，可得： ，又因为 ，等量代换可得： ，故
正确；根据两直线平行，内错角相等，可得： ，根据两直线平行，内错角相等，可得：
，又因为 是 的余角的 倍，可以求出 ，从而可得：
，故 正确；根据角平分线的定义可得： ，
，从而可得： ，故 错误．
【详解】解： 和 是 、 被直线 所截形成的内错角，且 ，
，
故 正确；
，
，
又 ，
，
，
故 正确；
，
，
，
，
平分 ，
故 正确；
，
，
，
，
设 ，
是 的余角的 倍，
，
解得： ，，
在 中， ，
，
，
故 正确；
平分 ，
，
由 可知 平分 ，
，
，
故 错误；
综上所述，结论正确的个数是 .
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．命题分为题设和结论两部分，把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为
．
【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是
条件的结论．
【详解】解：题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果...那么...”的形式是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
12．“一次函数 ，当 时，y随x的增大而增大”是一个 命题（填“真”或“假”）．【答案】真
【分析】本题考查了一次函数的性质，判断命题的真假，掌握知识点是解题的关键．
根据直线 中，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小，即可得出
结论．
【详解】解：根据一次函数的性质可得：一次函数 ，当 时，y随x的增大而增大是一个真命
题．
故答案为：真．
13．命题“如果 ，则 ， ”，很显然是假命题，请您举一个反例： ．
【答案】 ， （答案不唯一）
【分析】此题考查了举反例．找到符合命题题设，但不符合结论的例子即可．
【详解】解：如 ， ，满足 ，但 ， ．
故答案为： ， （答案不唯一）
14．如图是某移动硬臂助力机械手示意图，现立柱 基座 ，小臂 立柱 ，上臂 与立柱
构成的角 为 ，下臂 与上臂 构成的角 为 ，则小臂 与下臂 构成的角
的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过 作 ，可得 ，进而根据平行线的
性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过 作 ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．如图，在四边形纸片 中， ，将 分别对折，如果两条折痕恰好相交于
上一点E，点C，D都落在边 上的F处，若四边形 的面积是6， ，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识；由折叠可得 ，且 的面积为 ，
利用面积关系即可求得结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
由折叠知， ， ，
∴ ，
∴ ；
∵四边形 的面积是6，
∴
∴ ；
∵ ，
∴ ；
故答案为：4．16．如图所示，已知 ， 于点B， ，则下列结论一定正确的有 （填序
号）．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
【答案】①②③⑤
【分析】本题考查平行线的判定和性质.
根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；故①正确；
∴ ；故③正确；
∴ ；故②正确；
∴ ；故⑥错误；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；故⑤正确；
条件不足，无法得到 ；故④错误；
故答案为：①②③⑤．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例
(1)绝对值相等的两个数一定相等；
(2)末位数字为0的数必能被5整除；
(3)两个锐角之和为钝角．
【答案】(1)假命题，反例见解析；
(2)真命题．
(3)假命题，反例见解析．【分析】本题考查了绝对值的性质，被5整除的数的特征，钝角的定义，判断命题真假，以及写反例．
（1）根据绝对值的性质，即可解答；
（2）根据能被5整除的数的特征即可解答；
（3）根据钝角的定义，即可解答．
【详解】（1）解：该命题为假命题，
反例： ，但是 ．
（2）解：该命题为真命题；
（3）解：该命题为假命题，
反例： 为锐角．
18．如图 是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明．
已知：如图， ， ，
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的性质：
（1）由两直线平行，内错角相等，可得 ， ，等量代换可得 ；
（2）由邻补角的定义可得 ，再由平行线的性质即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
．19．如图，科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图①所示，
图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．
如图②，已知： ， 平分 ， 平分 ．试说明： ．阅读下
面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解： （已知），
______（ ）
平分 （已知），
______．（ ）
同理 ______．
（ ），
______（ ），
．
【答案】 ；两直线平行，内错角相等； ；角平分线的定义； ；等量代换； ；内错角相
等，两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线定义等知识，先由平行线性质得到 ，再
由角平分线定义得到 ，最后由平行线的判定与性质即可得到答案．熟记平行线的判定与性
质是解决问题的关键．
【详解】解： （已知），
（两直线平行，内错角相等）．
平分 （已知），
（角平分线的定义），
同理， ．
（等量代换），（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为： ；两直线平行，内错角相等； ； ；角平分线的定义；等量代换； ；内错角
相等，两直线平行．
20．如图，点 分别在 上， ，垂足为O．已知 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求点F到直线 的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、勾股定理，熟练掌握“同位角相等，两直线平行”和“两
直线平行，同位角相等”是解题的关键．
（1）根据平行线的判定得出 ，根据平行线的性质得出 ，根据余角的性质得出 ，
根据平行线的判定得出 ．
（2）设 边上的高为 ，根据勾股定理求出 ，根据三角形面积公式得
出 ，求出h的值即可．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
∴ ，
，
，
，
．
（2）解：设 边上的高为 ，，
，
，
，
，
点 到直线 的距离为 ．
21．动手操作可提升思维能力．如图，将含30°的直角三角板 和含45°的直角三角板 按不同的方
式摆放，可解决下列几何问题．
(1)如图1，将三角板直角顶点A与顶点E重合，若 ，求 的度数．
(2)如图2，含45°角的三角板 的顶点B放在三角板 的边 上，若 ，求证： 平分
．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等和两直线平行同旁内角互补，两种直角三角板的
特殊度数，角平分线定义；
（1）由 得出 ，再利用 ， ，即可得出
的度数；
（2）由 得 ，又因为 ，所以 ，再利用
得出 ，所以 平分 .
【详解】（1）解：∵ 是含有 的直角三角板， 是含有 的直角三角板，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
（2）证明：∵ 是含有 的直角三角板，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
22．观察下列关于自然数的等式：
① ；② ；③ ；…
根据上述规律解决下列问题：
(1)第4个等式： ________；
(2)写出第 个等式：________；
(3)写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并验证其正确性．
【答案】(1)
(2)
(3) ，验证见详解
【分析】本题考查了规律探究以及完全平方公式的应用．找到数字规律是解题的关键．
（1）按照前面等式的规律或直接计算即可；
（2）观察已知等式，找到等式的规律，然后写出第 个等式即可；
（3）观察已知等式，找到等式的规律，利用完全平方公式展开后即可验证．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ．
（2）解；观察已知等式：
① ，其中 ，结果 ；
② ，其中 ，结果 ；
③ ，其中 ，结果 ；由此可推出，第 个等式中，左边第一项为 ，第二项为 ，右边为 ，
当 时，第 个等式为 ，
即 ，
故答案为： ．
（3）解：猜想第 个等式为： ．
验证：利用完全平方公式展开 ，得到
所以 ，
猜想成立．
23．如图1，在平面直角坐标系中， ， ，且满足 ，过C作 轴于B．
(1) ， （直接写出答案）；
(2)点P在x轴上，若三角形 和三角形 的面积相等，求出P点的坐标；
(3)如图2，若过B作 交y轴于D，且 ， 分别平分 ， ，求 的度数．
【答案】(1) ，4
(2) 或
(3)
【分析】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的面积，平行线的性质，
角平分线的定义．解题的关键是掌握相关性质，利用数形结合的思想．
（1）根据非负数的性质得 ， ，解得 ， 即可；
（2）设P的坐标为 ，根据三角形的面积公式计算列式计算即可；（3）过点E作 ，根据角平分线的定义、平行线的性质证明结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
解得 ， ，
故答案为： ，4；
（2）解：设P的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴于B．
∴ ，
∴ ， ，
∴ 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴点P的坐标为 或 ；
（3）解：过点E作 ，
∵ 、 平分 、 ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
24．某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面
值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若
干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾
客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取 个整数，这a个整数之和共有多少
种不同的结果？
模型探究：
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
1，
所取的2个整数 1，2 2，3
3
2个整数之和 3 4 5
如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以
共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2，4 3，4
2个整数之和 3 4 5 6 7如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是
7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________
种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有
________种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有________种不
同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取 个整数，这a个整数之和共有
________种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共
有________种不同的优惠金额．
【答案】探究一：（3）7；（4） 探究二：（1）4；（2） 探究三： 归纳结论：
问题解决：
【分析】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题是关键．
探究一：（3）根据探究一的（1）和（2）可得结果；
（4）结合（3）即可得到结果；
探究二：（1）根据探究一的方法即可得结果；
（2）结合以上（1），总结规律，即可得结果；
探究三：根据探究一和探究二的方法即可得结果；
归纳结论：根据探究一和探究二的方法即可得结果；
问题解决：根据以上结论即可得到答案．
【详解】解：探究一：
（3）所取
的2
1，2 1，3 1，4 1，5 2，3 2，4 2，5 3，4 3，5 4，5
个整
数
2个
整数 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9
之和
根据表格可得 共有7种不同的结果，
故答案为：7；
（4）由以上知，取两个整数最小值为 ，最大值为 ，
在最小值和最大值之间的数值都有可能，所以为 ，
故答案为： ；
探究二：
（1）所出现情况的和的最小值为 ，最大值为 ，
则共可以出现情况为 （种），
故答案为： ；
（2）所出现情况的和的最小值为 ，最大值为 ，
则共可以出现情况为 种，
故答案为： ；
探究三：
所出现情况的和的最小值为 ，最大值为 ，
则共可以出现情况为 种，
故答案为： ；
归纳总结：
所出现情况的和的最小值为 ，最大值为
，则共可以出现情况为 种，
故答案为： ；
问题解决：
所出现情况的和的最小值为 ，最大值为 ，
则共可以出现情况为 （种），
故答案为： ．
25．已知：如图1直线 ， 被直线 所截，
(1)求证： ；
(2)如图2，点 在 ， 之间的直线 上， 、 分别在直线 ， 上，连接 、
① 度
②若 平分 ， 平分 ，猜想 与 之间的数量关系，并说明理由
(3)如图3，在（2）的条件下，过 点作 交 于点 ，连接 ，若 平分
，则 度
【答案】(1)见解析
(2)① ；② ，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．正确作出辅助线是解题的关键．
（1）首先证明 ，即可证得 ；
（2）①作 ，由平行线的性质得到 ， ，又 ，
结合图形即可求解；②作 ，由平行线的性质得到 ，得到 ，同理可证：
，然后结合角平分线的定义求解即可；
（3）如图3中，设 ， ， ，则 ，由平行线的性质得到
，然后推出 ，然后结合角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，
， ，
，
；
（2）解：①过点 作 ，如图
，
，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
，
．
故答案为： ．
②结论： ．
理由：过点 作 ，，
，
，
，
，
同理可证：
， ，
．
，
∴ ．
（3）解：如图3中，设 ， ， ，则 ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
