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2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小
中组B 卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）＝ ．
2．（10分）如图中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于 度．
3．（10分）商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡，共卖14.57元．若每张的售价相同，
且不超过买入价格的两倍，则商店赚了 角．
4．（10分）两个班植树，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植树115棵．两班人数之和最多
为 ．
5．（10分）某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价1元后多卖出100支，第三天每支笔
比前一天涨价3元后比前一天少卖出200支．如果这三天每天卖得的钱相同，那么第一天
每支笔售价是 元．
6．（10分）一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A，B同时出发，
划船相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16
小时后追上甲．已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行
驶 千米．
7．（10分）某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么
这个两位数是 ．
8．（10分）在三个给词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字代表1至
8之间的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果每个词语
的汉字所代表的数字之和都是19，且“尽”＞“山”＞“力”，则“水”最大等于
．
二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）
9．（15分）有一批作业，王老师原计划每小时批改6本，批改了2小时后，他决定每小时批改
第1页（共10页）8本，结果提前3小时批改完，那么这批作业有多少本？
10．（15分）用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共
有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同
的）
11．（15分）如图所示，有一个圆圈填了数字1．请在空白圆圈内填上2，3，4，5，6中的一个数
字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为2．问共有几种不同的填法？
12．（15分）边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接
DE交BG于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？
第2页（共10页）2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷（小中组 B 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）＝ 6 1 ．
【分析】根据除法的性质，原式＝3752÷2÷39+5030÷10÷39＝1876÷39+503÷39＝
（1876+503）÷39＝2379÷39＝61，据此解答即可．
【解答】解：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）
＝3752÷2÷39+5030÷10÷39
＝1876÷39+503÷39
＝（1876+503）÷39
＝2379÷39
＝61；
故答案为：61．
2．（10分）如图中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于 36 0 度．
【分析】
连接CD，有∠G+∠F＝∠EDC+∠ECD，这样就转化成四边形的内角和了，四边形的内角
和是360度．
【解答】解：连接CD，有∠G+∠F＝∠EDC+∠ECD，
第3页（共10页）所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠EDC+∠ECD＝四边形
ABCD的内角和，
180×（4﹣2）
＝180×2
＝360（度）
答：∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于 360度．
故答案为：360．
3．（10分）商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡，共卖14.57元．若每张的售价相同，
且不超过买入价格的两倍，则商店赚了 4 7 角．
【分析】将14.57元化为整数是1457分，售价应是不超过42的奇数，容易试出答案．
【解答】1457分解质因数是1457＝31×47，47超过了21的2倍，31符合条件，所以售价是
31分，进而数量是47张，47×（31﹣21）＝470分＝47角
故答案为：47．
4．（10分）两个班植树，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植树115棵．两班人数之和最多
为 3 7 ．
【分析】设一班a人，二班b人，则有3a+5b＝115，求两班人数最多，算式转化成：3（a+b）
+2b＝115，a+b最大，b尽可能的小，b＝2时，a+b＝37．
【解答】解：设一班a人，二班b人，则
3a+5b＝115，
3（a+b）+2b＝115，
a+b最大，
b尽可能的小，b＝1时，得出a不是整数，
b＝2时，
3（a+2）+2×2＝115
3a+6+4＝115
3a＝105
a＝35
a+b＝35+2＝37（人）
答：两班人数之和最多的是37人．
故答案为：37．
第4页（共10页）5．（10分）某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价1元后多卖出100支，第三天每支笔
比前一天涨价3元后比前一天少卖出200支．如果这三天每天卖得的钱相同，那么第一天
每支笔售价是 4 元．
【分析】设第一天每支笔售价x元，卖出y支，那么根据总价＝单价×数量可知：第一天卖出
的钱数就是xy元，第二天的单价就是x﹣1元，卖出的支数是y+100支，第二天卖出的总
价就是（x﹣1）（y+100）；同理得出第三天卖出的总价，再分别根据第一天卖出的钱数与第
二天和第三天卖出的钱数分别相等列出方程组，再化简求解．
【解答】解：设第一天的单价为x元，数量为y只，那么有：
化简得：
解得：
答：第一天每支笔售价是 4元．
故答案为：4．
6．（10分）一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A，B同时出发，
划船相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16
小时后追上甲．已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行
驶 1 0 千米．
【分析】在流水行船问题中，两船相遇的速度即两船的速度和，两船追及速度即两船的速
度差．
相向而行两船所行的路程是A、B两个码头之间的距离，同向而行两船的距离差也为A、B
两个码头之间的距离，因此根据路程相等，设乙船的速度是x千米/小时，列出方程（x+6）
×4＝（x﹣6）×16，解决问题．
【解答】解：设乙船的速度是每小时x千米，
（x+6）×4＝（x﹣6）×16
4x+24＝16x﹣96
12x＝120
第5页（共10页）x＝10
答：乙在静水中划船每小时行驶10千米．
故答案为：10．
7．（10分）某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么
这个两位数是 6 2 ．
【分析】根据2、3、5的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；各位上的数
字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；据此解答
即可．
【解答】解：2、3、4、5的最小公倍数是：2×3×2×5＝60，
已知这个两位数是偶数，在60～70之间5的倍数是65，又知这个两位数加上3是5的倍
数，所以这个两位数是65﹣3＝62，
答：这个两位数是62．
故答案为：62．
8．（10分）在三个给词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字代表1至
8之间的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果每个词语
的汉字所代表的数字之和都是19，且“尽”＞“山”＞“力”，则“水”最大等于 7
．
【分析】通过分析可知：
由“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”三个词语中每个词语的汉字所代表的数
字之和都是19，可得方程：
可得3尽+心+2力+可+拔+2山+穷+水＝19×3＝57
而1～8的和是36，则有2尽+1力+1山＝57﹣36＝21，与（1）比较得山﹣心＝2．
“尽”＞“山”＞“力”，“力”尽可能大，“尽”才最小，
假定“力”、“山”、“尽”是连续自然数，有2（力+2）+力+1+力＝21
“力”为4，此时山＝5，心＝3，尽＝6；
（1）式满足：6+3+6+4＝19；
（3）式：5+穷+水+6＝19穷水，水此时最大为7，穷为1，来推倒2式：
（2）式：4+可+拔+5＝19可拔，而现在只剩下2和8了，满足条件．此时水最大为7
第6页（共10页）若水最大取8时，有
但此时6（尽）、4（山）、5（力），不满足“尽”＞“山”＞“力”，所以不符合要求． 故水
最大为7．
据此解答即可．
【解答】解：由“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”三个词语中每个词语的汉字
所代表的数字之和都是19，
可得方程：
（1）+（2）+（3）可得：
3尽+心+2力+可+拔+2山+穷+水＝19×3＝57
而1～8的和是36，
则有2尽+1力+1山＝57﹣36＝21，与（1）比较得山﹣心＝2．
“尽”＞“山”＞“力”，“力”尽可能大，“尽”才最小，
假定“力”、“山”、“尽”是连续自然数，有2（力+2）+力+1+力＝21
“力”为4，此时山＝5，心＝3，尽＝6；
（1）式满足：6+3+6+4＝19；
（3）式：5+穷+水+6＝19穷水，水此时最大为7，穷为1，来推倒2式：
（2）式：4+可+拔+5＝19可拔，而现在只剩下2和8了，满足条件．此时水最大为7
若水最大取8时，有
但此时6（尽）、4（山）、5（力），不满足“尽”＞“山”＞“力”，所以不符合要求．
故水最大为7．
故答案为：7．
二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）
9．（15分）有一批作业，王老师原计划每小时批改6本，批改了2小时后，他决定每小时批改
8本，结果提前3小时批改完，那么这批作业有多少本？
第7页（共10页）【分析】根据题意知道，这批作业的总数本变，即工作总量一定，那么计划与实际的工作效
率与工作时间成反比例，据此设出原计划x小时批改完，列出方程先求出原计划用的小时
数，再根据工作效率×工作时间＝工作量进而得解．
【解答】解：设原计划x小时批改完，由题意得：
6×2+8（x﹣3﹣2）＝6x
12+8x﹣40＝6x
8x﹣6x＝28
2x＝28
x＝14．
6×14＝84（本）；
答：这批作业有84本．
10．（15分）用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共
有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同
的）
【分析】用五种不同的颜色涂正方体的六个面．先确定1种颜色染一组对面，剩下的4种颜
色（用a、b、c、d表示）有abcd、acdb、acbd，3种染色方法，有 •3＝15种；据此解答即可．
【解答】解：根据分析可得，
•3＝5×3＝15（种）；
答：共有15种不同的涂色方法．
11．（15分）如图所示，有一个圆圈填了数字1．请在空白圆圈内填上2，3，4，5，6中的一个数
字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为2．问共有几种不同的填法？
【分析】可以按照数字找位置来分析，数字2不能在1附近，数字3有不在2附近，可以根
据数字的位置枚举出来进行分析即可．
【解答】解：相邻两个圆圈内的数字的差至少为2，设如图所示字母为a，b，c，d，e
第8页（共10页）所以2只能填在d和e．
（1）d处填2，2的周围不能有3．所以3只能填在a处.3的周围不能填4，4只能填在c和
e．，5、6不能在一起，所以5填在b.6和4可以在c和e交换，此时2种填法； （见中图）
（2）e处填2，3填a或者b处．
3填a处，4、5、6必有两个相邻，没有满足条件的填法；
3填b处，4只能填入c处，5只能填入a处，6填入d处．
1种填法；（见右图）
故共2+1＝3种填法．
答：共有3种不同的方法．
12．（15分）边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接
DE交BG于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？
【分析】首先需要将阴影部分和已知的正方形的边长的关系找到，可根据△APG转换成同
底等高的△DPG，然后再根据等积变形的原理与边长为6的正方形联系起来即可解决．
【解答】解：依题意可知：
第9页（共10页）将△APG移到△DPG（如上面中图），连接DB，DB与GE平行．△DGE等于△BGE的面
积（如上面右图）．
S阴 ＝6×6÷2＝18cm2．
答：影部分APEG的面积是18cm2．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 11:00:15；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第10页（共10页）
