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【阶段梳理】方法精讲-数资
（笔记）
主讲教师：邓健
授课时间：2024.05.30
粉笔公考·官方微信【阶段梳理】方法精讲-数资（笔记）
【注意】先讲资料分析，再讲数量关系，目前，同学已经学完了各个模块的
方法精讲，但课程是交替进行的，有的同学一个月前学资料分析，两周之前学数
量关系，中间穿插着其他课程，导致对资料分析和数量关系这两门科目有些淡忘，
也有同学在之前的课程中只是跟着老师思路走，没有自己的整理归纳，对于一些
知识点有点是似而非，本课程针对这种情况而设置，本节课主要帮助同学们梳理
方法精讲中的知识点。
【注意】对于资料分析，主要按照模块以表格形式呈现，表格中的顺序和内
容对应方法精讲课中 1～4讲的顺序和知识点，首先是速算技巧：
1.截位直除：
（1）截谁：
①一步除法截分母。
②多步除法分子分母上下都截。
（2）选项差距：有的同学现在判断选项差距依旧有问题，因为仍在使用固
有思维进行判断，建议大家严格按照考场使用标准进行操作。
①差距大、截两位：首位均不同，属于差距大；首位相同时次位差大于首位，
如51和 57，首位相同，次位差 7-1=6＞5，差距大，截两位。
②差距小、截三位：首位相同，次位差小于等于首位。如51和 53，首位相
1同，次位差3-1=2＜5，差距小，截三位。
（3）特殊情况：99%题目直接截位即可，不需要考虑小数点和单位，因为除
法研究的是相对关系，如 50/2=25，50/20=2.5，50/200=0.25，不管是 25、2.5、
0.25，有效数字都是 25，题目都是选择题，只要选项中只有一个 25 就是正确答
案。
①选项数字不同时，截位不需要考虑量级（单位、小数点），看有效数字即
可。
②选项数字相同时，有十倍、百倍的关系，如 64、640，此时需要结合单位、
小数点，需要判断量级（结果是几位数）。如 9/14%，选项包括64、640，14%=0.14，
此时结果不清楚是 60 多还是 600 多，此时可以将 14%≈1/7，9/14%≈9*7=63，
选择64。
2.分数比较：
（1）分子大且分母小，分数大（钱多人少），如50/33和40/65，左边相等
于50亿，33个人分，右边相当于 40个亿，65个人分，左边公司给的钱多人少，
分的钱一定多，即分子大且分母小，分数值大。
（2）分子分母同大同小时：
①竖着直接除。
②横着看倍数，谁的倍数大就看谁——分子大的分数大、分母大的分数小。
③例.78/9 和 39/4 进行比较，左边分数的分子、分母都比右边的大，属于
同大同小的情况，此时可以竖着直接除，78/9=8.7+；39/4=9.x，39/4＞78/9 这
两个数字比较简洁，可以直接除，但很多时候在资料分析中，数据较长，直接除，
不好口算，此时可以横着看倍数，先各自看分子、分母的倍数，如 78/9 和39/4，
78 和 39 之间为 2 倍关系，9 和 4 为 2+倍关系，分母倍数大，看分母，分母大的
分数小，故78/9＜39/4，反之若分子倍数大，看分子，分子大的分数大。
3.如何直除和如何比较分数是资料分析中最基础的模块，有了基础之后，可
以运用到各种题型中。
2【注意】第一列是考点，括号内标明了考情，每一考点有三个部分（第一行），
缺一不可，题型特点、公式以及考点所蕴含的技巧，对于有些知识点的难点会进
行相关拓展。
1.基期量（必考）：
（1）识别：看时间，求过去的量。
（2）公式：
①基期量=现期量-增长量。
②基期量=现期量/（1+r），考频最高。
（3）技巧：
①加减法精确计算，可用尾数，如个位 9-个位4=个位5，结合选项，选择个
位5的选项即可。
②截位直除：对于基期量=现期量/（1+r）来说，某些情况下可以简化。若
|r|≤5%，求基期可化除为乘。
③基期差值：先算现期差（坑），再结合大小分析范围；无法分析先算一半，
再看选项。
2.现期量（考的较少）：
（1）识别：看时间，求未来的量。
（2）公式：
①现期量=基期量+增长量。
②现期量=基期量*（1+r）。
（3）技巧：注意问法：保持增量还是保持增速。
32020 年全年，汽车产销降幅收窄至2%以内。汽车产量为 2522.5 万辆，同比
下降2.0%……
【拓展】（2021 联考）2019年汽车产量约为：
A.2548 万辆 B.2354 万辆
C.2563 万辆 D.2574 万辆
【解析】拓展.题目是求2019年，材料是 2020年，求基期，已知 r=-2%，列
式：基期=2522/（1-2%），此时求基期，且|r|=2%≤5%，可化除为乘，除法变乘
法，减号变加号，故基期=2522/（1-2%）≈2522*（1+2%）=2522+2522*2%≈
2522+50=2572，对应 D项。【选D】
补充小技巧：基期差值
特征：去年 A 比B多多少
例：去年小帅收入比小美约高多少万？
A.15 万 B.40 万
C.53 万 D.63 万
4120/（1+10%）-80/（1-15%）
方法：
先分析：排除现期坑，结合的正负判断答案范围（近几年考的少）
再计算：算一半，结合选项定答案（常考）
【注意】补充小技巧：基期差值。
1.特征：去年 A比B多多少。
2.例：
去年小帅收入比小美约高多少万？
A.15 万 B.40 万
C.53 万 D.63 万
答：根据表格已知数据，列式 120/（1+10%）-80/（1-15%），本题数据比较
整，好计算，但需要计算两次除法，再做减法，性价比较低，对于比较复杂的计
算，往往体现思维的分析，从选项入手，对于难题，出题人会在选项暗藏玄机。
先排除现期坑，即 120 万-80 万=40 万，先排除 B 项，120/1+→结果比 120 小，
80/1-→结果比 80大，故所求 120--80+＜40，选择A项。
3.方法：
（1）先分析：资料分析中最常出现的是时间坑，题目求去年的差，很有可
能求成今年的差，故反过来，若求去年的差，先求今年的差，有两个作用：排除
现期坑，结合r的正负判断答案范围（近几年考的少）。
（2）再计算：算一半，结合选项定答案（常考）。
4.例.
去年小帅收入比小美约高多少万？
5A.15 万 B.40 万
C.53 万 D.63 万
答：列式：120/（1-10%）-80/（1+15%），现期坑仍然是 40，排除 B项，左
边120/1-=120+，80/1+=80-，120+-80-＞40，此时只能排除 A项，C、D项无法选择，
此时仍然可以先算左边，再结合选项看右边，120/（1-10%）=120/0.9≈133，133-
80=53，实际 133-80-＞53，选择D项。
5.如果最后还是排不出来，将右边算出即可，因为与原来直接算没有亏损。
【注意】不管是增长率还是增长量在资料分析中都是核心概念，所以都是必
考题型。
1.增长率（必考）：
（1）识别：
①计算：增长+%（率）。
②比较：增长+快/慢（形容词），快和慢是形容速度的，故为增长率的比较。
（2）公式：r=增长量/基期量（核心公式）=增长量/（现期-增量）=（现期
- 基期）/基期，分母都是基期量。
（3）技巧：
①百分点高减低加，如今年的增速是10%，比去年增加了5个百分点，去年
的增速=10%-5%=5%，若比去年减少了5个百分点，那么去年的增速=10%+5%=15%，
即高减低加。
②给了现期和基期，求 r，先现期- 基期，求出增量，再除以基期，根据选
6项差距，截位直除即可。
③多年份 r＞10%，此时不要一个一个计算，可以进行变形，如 r=（现期- 基
期）/基期＞10%，两种操作：
a.第一种：做减法，原式=现期- 基期＞基期*10%即可，一个数*10%，小数
点向左移动一位即可。
b.第二种：原式=现期＞基期+基期*10%，即现期＞1.1*基期，一个数*1.1，
错位相加，如150*1.1=150+150*10%=150+15=165。
③比较时：先看现期/基期的倍数，不行再看增量/基期（钱多人少）。
2.增长量（必考）：
（1）识别：
①计算：增长+单位（量），如增长了多少人、增长了多少元、增长了多少家
企业。
②比较：增长+多/少（形容词），多和少是形容具体量的，属于增长量的比
较。
（2）公式：
①增长量=现期- 基期，如老师今年身高 2.2米，去年身高2米，身高一年
之间长了0.2米；年均增长量=（现期- 基期）/N（年份差），如2011 年老师收
入是 100 万，2015 年收入是 500 万，一共增长了 500-100=400 万，那么每一年
平均增长量=400/4=100 万。
②百化分：先将 r转化为1/n，如果是求增长量，增长量=现期/（n+1）；增
长量＜0，求减少量，减少量=现期/（n-1）。常见的百化分的对应关系表，需要
自行背诵，为重点。
（3）技巧：
①计算掌握百化分（取中、倍数、抢救）。
②年均增长量基期的选取规则（方法精讲课第二讲）：常规给哪两年用哪两
年，如 2011 年和 2015 年，2011 年为基期，2015 年为现期；若是“十几五”期
间，如“十三五”期间对应 2016 年～2020 年，但算的是完整的五年的增长量，
故分母一定是5，基期往前推一年（五年规划）。
③比较时，大大则大；一大一小百化分（看倍数）。
7增长率的比较：
问：（2016—2018）哪一年的同比增长最快？
注：增长率与以前学的斜率没有半毛钱关系，请忘记斜率
【注意】增长率的比较：
1.例.
8问：（2016～2018）哪一年的同比增长最快？
答：增长+快/慢→增长率的比较问题，先看上面的柱形图，先看现期/基期，
倍数越大，r 越大，故 2016 年：400/130=3+；2017 年：1200/400=3；2018 年：
1500/1200=1+，2016 年的倍数最大，故r 最大；再看下面的柱形图，观察柱形
2016
图，发现每一年的倍数都是 1+，不好分析，回归原式，增量/基期，2016年增量
=160-130=30；2017 年增量=180-160=20；2018 年增量=210-180=30，此时
r =30/130；r =20/160，r =30/180，r 年分子30最大，分母 130最小，钱
2016 2017 2018 2016
多人少，故r 最大。
2016
2.注：有同学认为上图 2017 年增长最快，是错误的，因为受到了中学时代
斜率概念的影响，中学时期学函数图像，两点之间的连线，其夹角/倾斜角越大，
斜率越大，但增长率与以前学的斜率没有关系，因此做资料分析时，请忘记斜率，
不仅会影响解题，还有可能会导致判断失误。
取中法：如果遇到百分数左右难取舍，取中即可
练习：15.4%≈
倍数法：利用与背过的百分数的倍数关系，实现百化分
练习：1.25%=
抢救法：如果遇到百分数实在想不起来
那么请记住：n=100/百分号前的数字 （保留小数点后一位）
练习：37%≈
【注意】
1.取中法：如果遇到百分数左右难取舍，取中即可。如15.4%，16.6%≈1/6，
914.3%=1/7，15.4%在16.6%与14.3%中间，取中即可，15.4%≈1/6.5
2.倍数法：遇到的百分数特别大或特别小时，利用与背过的百分数的倍数关
系，实现百化分。如1.25%=12.5%/10≈（1/8）*（1/10）=1/80。
3.抢救法：如果遇到百分数实在想不起来，那么请记住：n=百分号前的数字
/100（保留小数点后一位）。如50%=1/2=50/100，最终的n都是百分号前面的数
字/100，25%=25/100=1/4，33%=33/100≈1/3。
例.37%≈
答：没有背过，100/37≈2.7，故37%≈1/2.7。
【例】（2021 黑龙江公检法）2021 年 1～7 月，住宅投资额较去年同时期增
长量最大的地区是：
A.东部地区 B.中部地区
C.西部地区 D.东北地区
【解析】拓展.增长量最大→增长量比较问题，大大则大，一大一小看倍数，
东部和中部地区无论r还是现期都大于西部地区和东北地区，大大则大，排除C、
D项。东部的现期量大，增长率小，属于一大一小，先看现期量之间的倍数，14330
和 33231 之间是 2+倍关系，23.7%和 13.3%之间是 1+倍，现期量倍数大，看现期
量，现期量大的分数值大，东部＞中部，选择 A项。【选A】
【注意】
1.增长率倍数更大的情况：将本题中的23.7%改为43.7%，此时43.7%和13.3%
之间是3+倍关系，增长率倍数更大，看增长率，增长率大的增量更大，中部＞东
10部。
2.注：一大一小时，r和现期量各自看倍数，谁的倍数大看谁。现期倍数大，
看现期，现期大的增量大；r倍数大，看r，r 大的增量也大，因为现期、增长率
和增量之间是正相关关系。
3.极端情况：将 23.7%改为33.%，此时现期量之间是 2+倍。r之间也是 2+倍，
都为2+倍，看不出来，若要硬看，有误差，此时可以使用百化分进行计算。但基
本上增长量比较的问题都可以看倍数。
【注意】资料分析最核心知识点，即比重、平均数、倍数、比例相关问题。
此处没有按照识别、公式、技巧列表，因为这三类共性较多。
1.先看第一列：蓝色字体是关键词→题型识别，比重问题一定有“占”字或
者比重，平均数出现“平均每”，倍数就是问“多少倍”，比重和平均数非常重要，
必考题型；倍数比较简单，常考题型。
2.现期考法（A/B）：A、B没有具体的指向性，但 A、B永远分别表示分子和
分母，大写字母对应量，小写字母对应 r。
（1）比重（占；必考）；
①部分/总体，利润率=利润/收入。数量关系中，利润率=利润/成本。
②饼状图，12 点原则，按照数据的先后关系，在饼状图中以 12 点钟为准，
依次按照顺时针排布。
（2）平均数（平均每；必考）：后/前，如单位面积产量，产量在后，面积
11在前，为产量/面积；多数相加求平均，削峰填谷，如183、187、179、176，先
假设4个数的平均数为 180，183多了个3，187多了个7，179少了个 1，176少
了个4，互相抵消，3+7-1-4=5，在180的基础上总体多了 5，故180+5/4=181.25。
（3）倍数（倍；常考）：
①是几倍：直接除。
②多（高）几倍（重点记忆）：倍数-1，超过即大于。
2.基期：A/B*[（1+b）/（1+a）]，基期比重、基期平均数、基期倍数都是一
样的。为一个公式。
（1）差距大，上下截两位约分。
（2）差距小，先计算左边A/B，再看（1+b）/（1+a）与1的大小关系，结
合选项分析答案。
（3）主要考基期比重：注意材料是否给出现期比重（考查新趋势）。
3.两期：
（1）比较：判断升降，a＞b，上升；a＜b，下降；a=b，不变。
（2）比重差：A/B*[（a-b）/（1+a）]。
①判升降。
②定大小。
③还不行就带公式快速估算。
（3）平均数的增长率：r=（a-b）/（1+a）。
……2018年进口针叶锯材 2488万立方米（B），金额49.91亿美元，分别下
降0.7%（b）和增长2.3%。其中来自俄罗斯针叶锯材1567.4万立方米，增长9.7%，
占进口针叶锯材63%，从加拿大进口417.4 万立方米（A），大幅下降18.2%（a），
占进口针叶锯材的 17%。
【拓展】（2021 新疆兵团）2017年从加拿大进口的针叶锯材占总进口的比重
约为：
A.62.70% B.40.25%
C.34.68% D.20.37%
【解析】拓展.问2017年，材料是2018 年，求去年，问比重，为基期比重。
12基期比重=A/B*[（1+b）/（1+a）]，加拿大进口的针叶锯材占总进口的，加拿大
对应分子（A、a），总进口对应分母（B、b），出题人给出现期比重，故所求=17%*[（1-
0.7%）/（1-18.2%）]，看选项，选项差距大。1-0.7%≈1，1-18.2%≈80+%，（1-
0.7%）/（1-18.2%）比 1 大一点点，故所求比 17%大一点点，对应 D 项。【选 D】
【注意】
1.Tips：现在出题人往往喜欢给出现期比重，注意利用材料已有数据。
2.有同学发现 C项：34.68%与17%约为 2倍关系，只需要看后面式子能否到
2 即可，（1-0.7%）/（1-18.2%）=99.3%/81.8%=1+，到不了 2，一定到不了 34%，
对应D项。
对比总结
【问法 1】（2021 江苏）2019年保费收入占江苏省总保费收入比重同比增加
的险种是：
“比重同比增加”：两期比重升降判断——找a b 比大小，a＞b（上升）；a
＜b（下降）
【问法 2】（2018 联考） 2017 年 5 月，股份制商业银行总资产占银行业金
融机构的比重与上年相比约：
A.增加了 2个百分点
“比重+增加+百分点”：两期比重差计算
两步走：①判升降②定大小（小于增速差）；若还不行，则代入公式计算
A/B*[（a-b）/（1+a）]。
【问法 3】（2022 江苏）2021年上半年，我国集成电路出口平均价格同比有
所提高
“平均价格，同比提高”：两期平均数升降判断——找a b比大小，a＞b（上
升）；a＜b（下降）
【问法 4】（2019 北京）2016年全社会餐饮业平均每个经营单位的从业人数
比上年约：
A.减少了 2% B.减少了15%
13C.增加了 2% D.增加了15%
“平均每+增加/减少+%”：平均数的增长率计算——直接代入公式 r=（a-b）
/（1+b）。
【注意】对比总结：
1.问法 1：（2021 江苏）2019年保费收入占江苏省总保费收入比重同比增加
的险种是：
答：“比重同比增加”，2019年与去年相比增加/下降→两期比重升降判断→
找a、b 比大小，a＞b（上升）；a＜b（下降）。
2.问法 2：（2018 联考）2017年5月，股份制商业银行总资产占银行业金融
机构的比重与上年相比约：
A.增加了 2个百分点
答：“比重+增加+百分点”→两期比重差计算→两步走：
（1）判升降：找a、b比大小。
（2）定大小（小于增速差），如11%和 12%，12%-11%=1%，选择＜1的数字即
可；若还不行，则代入公式计算 A/B*[（a-b）/（1+a）]，不需要害怕计算，因
为此时选项差距一般很大，代入估算即可。
3.比重类的题目题目一定有比重，不要与平均类题目弄混，做题一定不要从
方法入手，从题干、题型识别入手，比重问题有“比重”，平均数问题一定有“平
均”二字。
3.问法 3（2022 江苏）2021 年上半年，我国集成电路出口平均价格同比有
所提高。
答：“平均价格，同比提高”：两期平均数升降判断——找 a、b 比大小，后
/前，平均价格，价格在后，故平均价格=量（a）/价格（b），a＞b（上升）；a＜
b（下降）。
4.问法 4（2019 北京）2016 年全社会餐饮业平均每个经营单位的从业人数
比上年约：
A.减少了 2% B.减少了15%
C.增加了 2% D.增加了15%
答：“平均每+增加/减少+%”：平均数的增长率计算——直接代入公式 r=（a-
14b）/（1+b）。
【注意】特殊增长率：有三种：
1.间隔增长率（常考，简单套路）：套路体现在时间上，2018年比 2016年，
2017年比 2015年，时间上都隔了一年。
（1）识别：时间上隔一期，求增长率/倍数/基期。
（2）公式：r +r+r*r，和+积，r 和 r 分别对应去年和今年的增长率。
1 2 1 2 1 2
（3）技巧：
①计算很简单，核心为加法，r*r 一般比较小，结合选项能忽略就忽略，不
1 2
能忽略采用百化分，如 63%*14%，14%≈1/7,63*14%≈63%*（1/7）≈9%，结合选
项。
②间隔倍数=间隔 r+1，不是新公式，基本公式：倍数=r+1。
③间隔基期=现期/（1+间隔r），基本公式：基期=现期/（1+r）。
2.年均增长率（常考比较，计算非常少）：
（1）识别：年均+增长率。
（2）公式：（1+r）n=现期量/基期量。
（3）技巧：
①比较（常考）：看现期量/基期量，如小邓 2015 年身价100万，2024 年身
价 800 万；小马 2015 年身价 1000 亿，2024 年身价 3000 亿，小邓 100 万和 800
万之间是8倍关系，小马之间是 3倍关系，倍数越大，增长率越快，平均到每一
年增长也越快。
15②计算（考得非常少，上一次考查为 2019 年）：居中代入，如现期 1200，基
期 700，假设 n（年份差）=2，此时 A 项：27%；B 项：31%；C 项：44%；D 项：
50%，居中代入，挑一个中间好算的值，B 项非常接近 30%，先代入 30%，列式：
（1+30%）²，1200/700≈1.7，1.3²=1.69，答案比 30%大一点点，正好 31%之比
30%大一点，对应 B 项。
3.混合增长率（必考，重难点）：
（1）识别：有加和关系，求其中某个量的增长率。前提求增长率，没有数
据，如求进出口的增长率，没有进出口的现期和基期，找其他材料，进口和出口
有加和关系有加和的关系，或者求 1～5 月，给了 1～6 月和 6 月，此时 1～6 月
=6月+1～5月。
（2）技巧：
①混合总体居中：最小 r＜总体r＜最大 r。
②偏向量较大的：总体增速离基数大的更近，现期替代基期计算。
③线段法的拓展：距离与量成反比。
2019 年，A地区社会消费品零售总额为 6582亿元，同比增长6.7%…
2019 年 1～11 月， A 地区社会消费品零售总额为 5925 亿元，同比增长
6.3%…
【拓展】（2021 山东）2019 年 12 月，A 地区社会消费品零售总额同比增速
约为？
A.3% B.6%
C.10% D.15%
【解析】拓展.求2019年12月，求同比增速，材料中给了 2019 年、2019年
1～11月数据，1～12月=1～11月+12月，混合增长率问题。混合总体居中：1～
11月对应左边，为 6.3%，1～12月对应中间，为 6.7%，12月对应右边，设为 x%，
故 6.3%＜6.7%＜x%,排除 A、B 项，C、D 项距离都比左边远，都偏向左边，此时
使用线段法，增长率写线段上面，量写下面，1～11月量约为5900亿，12月=1～
12月-1～11月=6582-5925≈600+亿元，5900 亿与600+亿元之间约为 10-倍，即量
之比1～11月：12 月=10-：1，距离与量成反比，距离之比为 1～11月：12月=1：
1610-，6.7%-6.3=0.4%，1份对应0.4%，右边为10份，对应4%，故x%=6.7%+4%=10.7%，
对应C项。【选C】
【注意】线段法的运用口诀：
1.部分在两边，总体在中间。
2.距离和量成反比。
复习建议
1.课程至少再看一遍，重点看不懂的地方，查缺补漏，不留死角。
2.把每天上课的知识点、思维导图，手写整理成笔记。
要求：根据我给的模板内容调整成自己的内容
3.找数与速算的练习：微信小程序“粉笔快练”
4.基础扎实后，每天做 3～4篇资料分析。
注意：前期以正确率为主，准确率达到 80%左右后掐时间
5.请你坚持，资料分析一定会提高
【注意】复习建议：
1.一节课不可能将方法精讲的所有内容都讲解一遍，只是说了重点内容。课
程至少再看一遍，重点看不懂的地方，查缺补漏，不留死角，检验：能够将上课
的知识点和模版内容在不看资料的前提下，熟练默写出来说明已经不留死角，顺
利出师。
2.把每天上课的知识点、思维导图，手写整理成笔记。要求：根据我给的模
板内容调整成自己的内容。
3.找数与速算的练习：找数、速算慢都是缺少练习，可以通过微信小程序搜
索“粉笔快练”进行练习，练习百化分和首位计算对应资料分析十分有用，利用
碎片时间进行百化分和首位计算的练习。
4.基础扎实后，结合各省考情，每天做 3～4 篇资料分析。注意：前期以正
确率为主，准确率达到 80%左右后掐时间。
5.请你坚持，资料分析一定会提高。
17【注意】数量关系：可能大家不想听、不想学，老师此处的梳理、后边的复
习策略，是告诉大家要“抓大放小”。
年龄：涉及到年龄的问题
余数：出现“多”“剩”“余”“缺”等关键字
【例】一个数，除以 7余3，除以8余 2，除以9余1……
A.10 B.11
多位数：出现位数的变化
【例】一个三位数，十位和个位对调，比原来大 9……
A.121 B.123
不定方程：未知数比方程多 3x+4y=25
【注意】代入排除法：
1.什么时候用：
（1）做题很多情况都可以用到代入排除法，不会做、不会算、没思路的时
候都可以代入试一下。
（2）典型小题型：
①年龄：涉及到年龄的问题。如邓健老师今年刚满18岁，明年 19岁。
②余数：出现“多”“剩”“余”“缺”等关键字。
例：一个数，除以 7余3，除以8余2，除以9余1……
A.10 B.11
答：直接找数的话可能性有很多，但是有选项的时候可以直接代入。代入 A
项：10/7=1……3，10/8=1……2，10/9=1……1，满足题干所有条件，选择 A项。
此处也印证了选项只有两个，代入一个可以得到答案，A 项对选 A 项，A 项不对
选B项。
③多位数：出现位数的变化。
18例：一个三位数，十位和个位对调，比原来大 9……
A.121 B.123
答：涉及到几位数、位数的描述和变化，多位数问题，可以代入选项。代入
A项：121的十位和个位对调是112，发现差 9，直接选择A项就错了，做数学题
一定要细心，十位和个位对调，比原来大9”，A项错误，选择B项。
④不定方程（后边梳理方程法的时候会重点讲解）：未知数比方程多，如
3x+4y=25，两个未知数、一个方程，直接求解解不出来，求解需要用到技巧、结
合选项，此处不展开，后边重点讲解。
⑤通过看尾数、奇偶性、倍数关系先排除 2 个选项，只剩 2 个选项的时候，
代入一项可以得到答案。
（3）选项为一组数的时候也可以代入排除。正常的选项是像 A.10，B.11，
C.121，D.123 这样的一个数，而有的题目会问甲、乙分别是多少，A.55、60，
B.77、80，把两个数都给出，此时信息非常充分，毫不犹豫代入，不要辜负出题
人的好意。
2.代入没有任何要求的时候，怎么好算怎么来，随便挑一个数代入；有要求
的时候，一般是从最值的角度出发，问最多/最大的是谁的时候，从最大选项开
始代入；问最少/最小的是谁的时候，从最小选项开始代入；这样才能保证不遗
漏正确答案。
余数型（平均分组有余数）
若总数=ax±b，则总数∓b能被a整除（多退少补）（a、x均为整数）
【补例 1】一堆苹果分给一些人，平均每人分 10 个，还剩 3 个……，问这
堆苹果有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
【补例 2】一堆苹果分给一些人，平均每人分 10 个，还缺 3 个……，问这
堆苹果有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
19比例型
【补例】已知某班男女生人数比例为 3/5，问：
（1）男生人数是 3的倍数
（2）女生人数是 5的倍数
（3）全班人数是 8的倍数
（4）男女生人数差是 2的倍数
如果，A/B=m/n（m与n互质）那么，
A是 m的倍数
B是 n的倍数
A+B 是m+n的倍数
A-B 是m-n的倍数
简而言之：一个比例，四个倍数关系，求谁找谁
【注意】倍数：整个行测数量关系中最通用、最好用的技巧。有两种形式：
1.余数型（平均分组有余数）：若总数=ax±b（a、x 均为整数），则总数∓b
能被a整除，感觉很抽象，其实就是多退少补。
（1）补例1：一堆苹果分给一些人，平均每人分 10个，还剩3 个……，问
这堆苹果有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
答：平均分组有余数，剩 3个是多3个，则把多的 3个“干掉”，总数-3=10*
人数→10的倍数，即选项-3=10的倍数，结合选项，选择 C项。
（2）补例2：一堆苹果分给一些人，平均每人分 10个，还缺3 个……，问
这堆苹果有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
答：总数+3=10*人数→10的倍数，即选项+3=10 的倍数，结合选项，选择 A
项。
2.比例型：
（1）补例：已知某班男女生人数比例为 3/5（男/女=3/5，分子对分子、分
20母对分母），问：
①男生人数是 3的倍数。
②女生人数是 5的倍数。
③全班人数是 3+5=8的倍数，注意不是 3*5=15，男生是 3x、女生是 5x，加
起来是8x，总人数是 8的倍数。
④男女生人数差是 5-3=2的倍数。
（2）只要给出比例，都可以转化为 A/B=m/n的形式（m与n互质），互质即
需要约分为最简形式，如男生占全班总人数的比重是 32%，男生/总人数
=32/100=8/25，男生对应 8份→8的倍数、总人数对应25份→25的倍数。
（3）如果A/B=m/n（m与n互质），那么 A是m的倍数，B是n 的倍数，A+B
是m+n的倍数，A-B是m-n的倍数。简而言之：一个比例，四个倍数关系，求谁
找谁。如求A不能找 n的倍数，而应该找m 的倍数。例：某班男女生人数比例为
3/5，选项为A.33，B.55，C.88，求男生需要找分子（3）的倍数→选 A项，求女
生需要找分母（5）的倍数→选B项，求总人数对应和（3+5=8）的倍数→选 C项。
核心：出现比例（平均分组）考虑倍数关系，先排除再代入
【注意】倍数特性法：
1.基础知识：这一部分大家可能会纠结，这是从数学严谨的角度拓展补充的，
实际做题的时候不需要想这么多，只需要记住 3、9 看各位数字之和（各位数字
之和是3的倍数，这个数是 3的倍数；各位数字之和是 9的倍数，这个数是 9的
倍数），5 的话看尾数为 0 或 5，4 的倍数看末两位（如 624，600 一定是 4 的倍
21数，则只看末两位 24，24是4的倍数，则 624是4的倍数）。因数分解、拆分不
需要过分纠结，因为真实做题数量关系给的数字都非常小，一眼可以看出谁是谁
的倍数，看不出来的话现场花 3～5秒时间口算一下也很容易，不用很较真。
2.倍数特性核心：出现比例、平均分组，可以考虑倍数关系，先排除一部分
选项，可以排除完的话直接秒杀；排除不完的话，剩下的再代入。
核心：最普通常见的应用题，直接设未知数解方程，不会解就代入
不定方程：ax+by=M
方法：分析尾数、奇偶、倍数等数字特性，结合选项排除，无法排除就代入
当 a或b尾数是 0或5时，考虑尾数特性 10x+7y=62
当 ab恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性 4x+7y=25
当 a或b与M 有公因子时，考虑倍数特性 7x+9y=81
未知数 x，y均为正整数
【注意】方程法：
1.普通方程：核心是最普通常见的应用题，直接根据题干设未知数解方程，
不会解可以考虑代入选项。为了保证方程求解容易，设未知数有一定技巧：
（1）设小不设大（避免分数）。假设甲=3乙，应该设乙为x，则甲为 3x，叫
做设小不设大；如果设甲为 x，则乙为x/3，出现分数很麻烦。
（2）设中间量（方便列式）。如果甲=3乙、丙=乙+2，一定是从乙入手，因
为甲、丙都和乙有关系，叫做设中间量，列式更简洁。
（3）出现比例，设份数。如甲/乙=3/5，可以知道甲、乙分别是 3 的倍数、
5 的倍数，如果不求甲、乙，还是需要设未知数求解，此时不设 x、5x/3，而是
22直接设甲为3x、乙为 5x，此时都是整数，按照份数去设是最简单的。
（4）求谁设谁（避免陷阱）。有的时候算出未知数，没有注意到不是问题所
求的量，导致掉坑、选错，如果经常这样出错的话，问题求甲设甲、求乙设乙，
保证自己不出错是第一原则。
2.不定方程：ax+by=M，两个未知数、一个等式，先通过分析尾数、奇偶、
倍数等数字特性，结合选项排除，如果无法排除就考虑直接代入。
（1）当未知数的系数 a 或 b 出现尾数是 0 或 5 时，考虑尾数特性。例：
10x+7y=62，10x尾数一定是 0，和的尾数是 2，尾0+尾2=尾2，则7y尾数是2，
6*7=42，说明 y=6，10x=42=62→10x=20→x=2。
（2）当系数a、b恰好一奇一偶时，可以从已知推未知。例：4x+7y=25，系
数4、7一奇一偶，考虑奇偶特性，25是奇数，7y待定，但是4x一定是偶数（因
为1*4=4、2*4=8、3*4=12、4*4=16，在乘法中只要有一个数是偶数，结果一定是
偶数），可以反推出 7y是奇数，如果y是偶数，则 7y是偶数，故y一定是奇数，
如果有选项可以排除选项中的偶数，如果没有选项则可以代入求解。假设 y=1，
1*7=7，25-7=18，18 不能被4整除，排除；假设 y=3，3*7=21，25-21=4，则x=1，
此时可得到一组解（x=1、y=3）。奇偶特性可以缩小范围，快速确定答案。
（3）当a或b 与M有公因子（公因子即可以约分）时，考虑倍数特性。例：
7x+9y=81，7 和 81 无法约分（7*13=91），但是 9*9=81，9y 和 81 都有 9 因子，
即 9y 和 81 都是 9 的倍数，要想等式成立，则 7x 也需要是 9 的倍数，7 和 9 没
有关系，只能 x 包含 9 因子，x 是 9 的倍数，x 只能取 9，因为取更大的数字的
话乘积会超过81，故 x=9，7*9+9y=81→63+9y=81→9y=18→y=2。
（4）注意：未知数 x，y均为正整数。
23核心：工程问题难度一般较低，先赋值然后完成工程求解
给定时间型（多个完工时间）
【例】搬完一车砖，小帅需要 2小时，小美需要 3小时，现俩人合作，需要
多久？
①赋总量（完工时间的公倍数）
②算效率：效率=总量/时间
③求解：根据题意完成工程
给效率比例型
【例】搬砖，小帅和小美的效率比为 2：1，合作3小时完成。
若小帅先做 2 小时，然后再交给小美做，问小美需要做多少小时？
①赋效率（满足比例即可）
②算总量：效率*时间=总量
③求解：根据题意完成工程
【注意】工程问题：工程问题难度一般较低，一般先赋值然后完成工程求解。
赋值是因为主要考查给完工时间型、给效率比例型。
1.给定时间型（多个完成时间）：当题目给出多个主体完成这项工作所需要
的时间，叫做给完工时间型（或者给定时间型）。
（1）例：搬完一车砖，小帅需要 2 小时，小美需要 3 小时，现俩人合作，
需要多久？
答：“小帅需要 2 小时，小美需要 3 小时”→叫做多个完工时间。相当于总
量可以平均分成 2 个小时，也可以平均分成 3 个小时，把总量赋值为 2、3 的公
倍数6；算效率：P =6/2=3，P =6/3=2；问俩人合作需要多久，所求=6/（3+2）
小帅 小美
24=1.2h。
（2）方法：
①赋总量（完工时间的公倍数）。当题干给出甲、乙，A、B，小张、小王多
个主体完成一项工作的总时间的时候，可以直接赋值总量为完工时间的公倍数，
这样可以保证后边都是整除，比较好算；赋值总量为单位 1也可以，但是会出现
分数，不是很好算。
②算效率：效率=总量/时间。
③求解：根据题意完成工程。
2.给效率比例型：给出效率的比例关系。
（1）例：搬砖，小帅和小美的效率比为 2：1，合作3小时完成。若小帅先
做2小时，然后再交给小美做，问小美需要做多少小时？
答：已知“小帅和小美的效率比为 2：1”，直接按照比例关系赋值效率，赋
值P =2、P =1；有了效率之后，一定还会给一个时间，否则无法计算，本题
小帅 小美
给出“小帅和小美的效率比为 2：1”，则总量=（2+1）*3=9；根据题目列式求解：
小帅先做2小时，然后再交给小美做，2*2+1*t =9→4+1*t =9→t =5h。
小美 小美 小美
（2）方法：
①赋效率（满足比例即可）。
②算总量：效率*时间=总量。
③求解：根据题意完成工程。
3.给具体单位型：设未知数，找等量关系列方程。送分题，例：给出有 3000
米的路要修，他们加起来可以每天修 400 米，问大概需要几天：一共需要修
3000/400=7.5天，如果选项是 7天、8天，则 7天不够需要向上取整取 8天。这
是老师随口举的例子，真实出题比这个情况复杂，但是大差不差，就是这个意思。
25核心：经济问题一般难度较低，数据多就列表，缺数据就赋值
函数最值
判定题型：单价和销量此消彼长，问何时总收入/总利润最高？
【引例】单价为 3000元，可卖出16万件。若单价每提升 300元，销量会降
低1万件。请问当单价定为多少元时，销售总额最高？
总收入=价格*数量=（300+3x）*（16-x）
计算方法（两点式）：设提价次数为 x
①令总价/总利润为 0，解得x、x；
1 2
②当 x=（x+x ）/2时，取得最值。
1 2
【注意】经济利润问题：
1.大家可能会感觉公式有点多。
（1）利润=售价-进价。
（2）资料分析中，利润率=利润/收入；数量关系中，利润率=利润/成本（成
本也就是进价），要做好区分。
（3）折扣=折后价/折前价。
（4）总价=单价*数量。
26（5）例：假设老师去进货（鸭脖），厂家给的进货价是 20元/斤，摆摊售卖
的时候按照30元/斤销售，每斤可以赚30-20=10元（利润）。利润率=利润/进价
=10/20=50%。做生意卖不动的时候会降价促销，假设打八折，价格=30*0.8=24 元，
此处的 24 是折后的价格，30 是折前的价格，24/30=0.8（这个 0.8 就是折扣，
打八折）。假设老师一天可以卖 1万斤，则总收入=24*1万=24万，每斤的利润是
24-20=4 元，则一天的总利润=4*1万=4万。
（6）注意：经济问题一般难度较低，如果发现涉及到的公式、公式中的量
比较多、数据比较多，可以列表呈现，如果数据比较少，缺数据就赋值，一般赋
值进价/成本为100（比较好算），然后根据题目所求、基本公式列方程求解。
2.分段计费（太简单）：给出在第一段、第二段分别怎么收费，只需要分段
计算，汇总求和。
3.函数最值：看似很难，实际很套路、很简单。
（1）判定题型：在实际生活中，经常会有涨价、降价，与之相伴地就会有
一个销量的变化，涨价销量会下降、降价销量会上涨，价格和销量此消彼长，但
是不可能无限上涨、下降，一定要找一个临界点，看什么时候总收入/总利润最
高？
（2）引例：单价为 3000 元，可卖出 16 万件。若单价每提升 300 元，销量
会降低1万件。请问当单价定为多少元时，销售总额最高？
答：根据问题列式，销售总额（总收入）=实际售价*数量，实际售价需要考
虑涨价的情况，但是一定不要设涨了x元，因为此时还需要看是多少个 300，比
较麻烦，故这种题目一般是设涨价/降价次数为 x。列式（乘积的形式）：总收入
=（3000+300x）*（16-x），展开是一元二次函数，做题的时候用两点式做，找到
与x轴的两个交点，此时纵坐标y=0，即（3000+300x）*（16-x）=0，故令两个
括号分别为 0，3000+300x=0→x=-10，16-x=0→x=16，相加除以 2 得到对称轴
1 2
位置，即x=（-10+16）/2=6/2=3的时候函数取得最大值，即单价=3000+300*3=3900
元，销售总额最高。
27（3）计算方法（两点式）：设提价/降价次数为x。
①令总价/总利润为 0，解得x、x。
1 2
②当 x=（x+x ）/2时，取得最值。
1 2
核心：行程问题一般难度较高，公式较多，性价比低
【注意】行程问题：不展开一一讲解，因为行程问题不管怎么学习，对于大
家来说难度比较高，涉及的运动过程比较复杂，涉及的公式比较多，性价比较低。
对于数学不是很厉害的同学（如高考不是 120 分以上的同学）来说，不建议复习、
在考场上做行程问题，得不偿失。因为可能需要花 5～10分钟才可以做出来，不
如把这个时间多做几个其他的题目。
核心：几何问题近几年考查愈发频繁，初中基本知识点（结论）
回忆起来考场性价比高
【注意】几何问题：需要重点强调一下，但是基本的几何公式此处不再一一
28回顾。几何问题最核心的是和三角形、勾股定理相关。
1.常见的几组勾股数：（3、4、5），（6、8、10），（5、12、13），一定要熟记
于心，很多时候可以用勾股数直接把答案猜出来。
2.几何问题很多时候会配图，可以结合图形大致猜一下答案大概在哪个范围，
结合选项可以选出答案。
3.几何问题性价比比较高，几何一般是数学中的半壁江山，要么考代数、要
么考几何，行测也是一样的，近几年考查越发频繁，主要考的是初中的基本知识
点、常见的结论，此处不一一总结。如果初中知识底子比较扎实，或者可以回忆
起来的话，在考场属于性价比比较高的，可以做练习一下几何问题，不是靠看一
看、背一背就可以的，需要在题目中用一下，触类旁通一下。
核心：排列组合和概率重在考查思维，如果能理解其中逻辑性价比高，如果
实在不理解就不要强求
◆捆绑法
➢要求：必须相邻（在一起）
【示例】A、B、C、D、E，五个人站成一排照相，其中 A、B是一对情侣，要
求照相时必须相邻，一共有多少种排法？
◆插空法
➢要求：不能相邻（不在一起）
【示例】A、B、C、D、E、F、G七个人站成一排照相，其中 A、B、C吵架了，
29要求照相时都不能相邻，一共有多少种排法？
【注意】排列组合与概率问题：不管在哪里考试，数学要上难度一定会涉及
到排列组合与概率，不是难算、步骤复杂，排列组合与概率重在考查思维，如果
可以理解其中的逻辑，性价比很高，因为排列组合问题往往是 A（x，x）、C（x，
x），答案一步就出来了，会做一分钟就做出来了，不会做十分钟都想不明白，两
极分化，不要因为别人会做就自己也要会做，要根据实际情况，因时制宜、因地
制宜，如果实在觉得排列组合怎么都理解不了，就不要强求，不要硬掰，死磕浪
费时间。
1.捆绑法：
（1）要求：必须相邻（在一起）。
（2）示例：A、B、C、D、E，五个人站成一排照相，其中 A、B是一对情侣，
要求照相时必须相邻，一共有多少种排法？
答：五个人站队，原本应该是 5个人全排列→A（5，5），但是现在有特殊要
求，需要照顾一下，A、B要相邻，则把A、B捆绑起来放在一块，但是捆绑的时
候一般捆绑的都是人，人肯定是不同的，有顺序，A在左、A在右，是 2种情况，
为A（2，2）；捆绑完之后 AB（整体）、C、D、E四个主体进行排序，为 A（4，4）；
分步相乘，为A（2，2）*A（4，4）。
2.插空法：
（1）要求：不能相邻（不在一起）。
（2）示例：A、B、C、D、E、F、G七个人站成一排照相，其中 A、B、C吵架
了，要求照相时都不能相邻，一共有多少种排法？
答：要求比较复杂，正面思考不好处理，柿子挑软的捏，“要求 A、B、C 照
相时都不能相邻”，则把可以相邻（没有要求）的 D、E、F、G随便排，为 A（4，
4）；然后 D、E、F、G 左边、右边都可以随便站一个人（注意只能站一个，否则
空位中站 2 个人的话，A、B、C 会相邻），即在 5 个空位中放 3 个人，为 A（5，
3）。分步相乘，所求=A（4，4）*A（5，3）。
30核心：容斥问题一般难度不高，记住公式，题目复杂时就直接画图做
【注意】容斥原理问题：
1.公式（公式需要记住）：
（1）两集合：A+B-A∩B=总数-都不。
（2）三集合：区分的时候看条件，如果分别给出两两相交的，如既满足 A又
满足 B，既满足 A 又满足 C，既满足 B 又满足 C，三集合标准型；如果只有一句
话，只参加两个节目、只参加两场比赛、只看了两场电影，叫做只满足两项，用
非标准型。
①标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
②非标准型：A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不。
2.核心：容斥问题一般难度不高，记住上边三个公式，可以解决大部分问题；
如果题目很复杂，公式解决不了就直接画图做，两集合：两个圆、一个框；三集
合：三个圆、一个框；从最中间重复的部分开始标数据，保证不重复、不遗漏。
数量关系考场策略
短易熟代，跳着选做
基础弱的逢 3 做1或逢5做2，目标正确率 50～60%
基础好的逢 3 做1～2或逢5做3，目标正确率 70+%
各个击破：一段时间内只练一种题型，比如这周练工程，下周练经济。
建议题型：和差倍比问题、工程问题、经济利润问题、几何问题、容斥
【注意】
1.4 节课12小时的内容，不可能用 30～40分钟的知识点梳理帮助大家理清
楚、明白，需要通过梳理帮你回忆起来，结合自己的笔记、回放，更加巩固。
2.数量关系的复习策略：和资料分析不一样，资料分析是尽可能正确率高，
尽可能全对，老师讲解的非常详细，但是数量关系大家可能没时间做，或者实在
31太难，大家做不了很多，故数量关系考场策略：挑题干短、看起来简单的、自己
熟悉的、能代入的题目，跳着选做，不要对自己要求太高。数量关系 90%以上的
同学考场都不会全做，要么是没有时间，要么是随大流都放弃，但是考试上岸的
是极小的一部分人，不是说放弃数量就考不上，但是考试是一个非常残酷的事情，
盲目随大流、自欺欺人不合适，还是要逼一逼自己，但是不能逼得太过，把数量
全做了也做不到，一定要有的放矢。
3.数量关系考场的平均正确率是 30%左右，绝大多数人是蒙 B、C 项，平均
正确率25%，极少一部分人会做一下，正确率会高一些，混合之后平均正确率为
30%左右，因此我们只要达到 50%及以上，就会远超平均水平，这个模块不仅不是
弱项，还可能是强项。
（1）如果数学基础弱，逢 3 做 1 或逢 5 做 2，以 10 个题目为例，连续的 5
个题目一定有2个非常简单、非常基础的题目，不可能 5个题目全是难题，考试
大部分是简单题，所以挑出最简单的 2个做，做起来又轻松、正确率又高，剩下
3 个难题蒙一下，可能还可以蒙对 1～2 个，10 个题目中做对最简单的 4 个，剩
下6个蒙对 1～2个，此时可以对 5～6个题目，正确率50～60%。
（2）如果基础稍微好一点，5 个题目做出其中相对简单的 3 个，10 个题目
做出来6个，剩下 4个题目蒙对1～2个，综合下来，正确率70+%。
4.多练习就可以知道哪些题目简单、自己比较熟悉。资料分析练习几十题，
数量关系做 1 道题目就抓耳挠腮，量不上去是不可以的，但是不要全部都练习，
如老师在梳理的时候没有梳理行程问题，行程问题的性价比太低了，可能就考查
1道题目，还很难，考场也做不出来，浪费练习的时间没必要，一定要有的放矢，
各个击破，如这周练习工程、下一周练习经济，只要把工程问题练习 50～100题，
工程问题所有的变形题都掌握了，上考场之后 1～2分钟可以轻松拿下。
5.建议题型：工程问题、经济利润问题、几何问题、容斥问题、和差倍比问
题。为什么最后说和差倍比问题：因为大家会觉得好像没有学习这个题型，和差
倍比其实就是加减乘除，是最普通、最常规的应用题，即可以直接代入、找倍数
关系秒杀、设未知数列方程的题目，即在第一节课中讲解的三大方法能解决的最
多的题型，只是单独归类比较麻烦，故从方法的角度诠释。老师只列的 5种题型，
但基本占到了考试 70%左右的题目，因为和差倍比、几何这两个题型占据了考试
32的半壁江山，以 10 道题目为例，和差倍比会考 2～3 个，几何问题会考查 2～3
个，工程问题、经济利润问题至少各考 1个，容斥问题考频不是很高，但基本会
考查1个，故优先练习这几个考频高、难度低的，考场上优先挑这些题目快速拿
下得分，剩下的题目中感觉行程难、排列组合与概率难，可以先放一放、缓一缓。
6.老师道理说得再好听，知识点分析得再好，如果你不执行的话，也等于“白
瞎”，希望大家可以听进去，并且践行下去。希望这节梳理课对大家有所帮助，
也祝大家在复习过程中顺风顺水，即使不顺利也不要灰心、不要沮丧，学习有起
伏是很正常的事情，只要我们能越过风浪，最终可以达到成功的彼岸，最终收获
阳光，得到满意的结果。
33遇见不一样的自己
Be your better self
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