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方法精讲-数量 2
（笔记）
主讲教师：唐宋
授课时间：2024.06.20
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 2（笔记）
作业回顾：
1.代入排除法适用范围中的典型题型：________、________、________、
________。
2.当选项为________时，可优先考虑用代入排除法。
3.如果选项被排除之后只剩下____项时，代入____项即可得到答案。
4.使用代入排除法时，优先考虑排除，常见的排除方法：________、________、
________；
若需直接代入时，需注意问法：________
5.在判定整除时，3和9是看________________，4是看_________，5是看
________。
如果使用因数分解进行整除判定，分解后的数之间必须________。
进行整除判定时，还可以使用________法。
6.已知 a、x均为整数，若 y=ax+b，则________能被a整除；
若 y=ax–b，则________能被a整除。
7.比例型倍数特性的结论：
若 A/B=m/n，则 A是____的倍数，B是____的倍数，A±B是________的倍数。
该结论的使用前提：A、B均为整数，且 m/n是_______整数比。
8.在设方程的未知数时，一般设______不设______；若出现比例，可以设
_________；为了方便列式，也可以设
________；为了避免陷阱，可____________。
9.不定方程在求解时，先排除，再代入。排除时，如果系数一奇一偶，可用
________特性；如果系数与常数有
公因子，可用________特性；系数尾数为____或____时，可用________特性；
如果都没有，还可以_______。
【注意】
1.作业回顾：
（1）代入排除法适用范围中的典型题型：多位数、年龄、余数、不定方程
1（核心是代入）。
（2）当选项为一组数（如选项为两个或者三位数，信息给的更足）时，可
优先考虑用代入排除法。
（3）如果选项被排除之后只剩下两项时，代入一项即可得到答案，即剩二
代一。通过某种方法排除了两项，剩余两项代入一项就可以得答案。
（4）使用代入排除法时，优先考虑排除，常见的排除方法：奇偶（出现偶
数倍数+未知数=某个数，可以忽略偶数的倍数，剩下的数奇偶性相同）、倍数、
尾数（出现乘以 5 或者 10，尾数为 5 或者 0）；若需直接代入时，需注意问法：
最大（从数字最大的选项开始代入）、最小（从数字最小的选项开始代入）。
（5）在判定整除时：
①3 和 9 是看各位数字之和：如判断 123 能否被 3 整除，看 1+2+3 能否被 3
整除；判断 321能否被 9整除，看3+2+1能否被 9整除即可。
②4 是看末两位：如2024年是否是闰年，闰年年份能被 4整除，4的倍数不
需要看2000，末两位 24能被4整除，则2024 年是闰年。
③5 是看末一位。
④如果使用因数分解进行整除判定，分解后的数之间必须互质。昨天讲得比
较少，假设判定一个数能否被 63 整除，可以将 63 拆分为 7*9，既能被 7 整除，
又能被 9 整除，就能被 63 整除；36 分解方法很多，若将 36 分解为 3*12，既能
被 3 整除，又能被 12 整除，不一定能被 36 整除，分解后的两个数一定要互质，
即两个数之间没有约数，36只能分解为4*9，4和9之间没有约数，既是 4的倍
数，又是9的倍数，就是 36的倍数），两位数通常考虑因式分解。
⑤进行整除判定时，还可以使用拆分法。判断一个数是否是7的倍数，可以
拆分为7的倍数+零头，只需要看零头即可。
（6）已知 a、x 均为整数，若 y=ax+b，则 y-b 能被 a 整除（y-b=ax，a、x
均为整数，ax能被 a整除）；若y=ax-b，则 y+b能被a整除，即多退少补，多 b
就退b，少 b就补上 b。
（7）比例型倍数特性的结论：若 A/B=m/n，则 A 是 m 的倍数，B 是 n 倍数，
A±B是 m±n的倍数。该结论的使用前提：A、B均为整数，且m/n是最简整数比
（最简分数）。如甲/乙=4/7，甲是4的倍数，乙是 7的倍数，甲+乙是 4+7=11的
2倍数乙-甲是7-4=3 的倍数。
（8）在设方程的未知数时，一般设小不设大（设较大的，容易出现分数）；
若出现比例，可以设份数（如3：7，可以设为 3x、7x）；为了方便列式，也可以
设中间项（要尽量减少未知数的个数，如甲和乙有关系、乙和丙有关系，可以设
中间项乙）；为了避免陷阱，可问谁设谁。
（9）不定方程在求解时，先排除，再代入。排除时，如果系数一奇一偶，
可用奇偶特性（如 3x+4y，系数一奇一偶，若系数均为偶数，偶数的倍数可以忽
略，两个倍数都可以忽略；若系数均为奇数，没有偶数的依托点）；如果系数与
常数有公因子，可用倍数特性（如 3y 和 63 都是 3 的倍数，则剩余的 7x 一定是
3的倍数）；系数尾数为 0或5时，可用尾数特性（5或者0乘以任何数的尾数相
对固定）；如果都没有，还可以直接代入排除。
2.昨天的题型比较杂，属于和差倍比问题（与四则运算相关），本节课讲解
的工程问题和经济问题更加具体，读了题目就可以判断出题型。
第四节 工程问题
1.三量关系：总量=效率*时间。
2.考查题型：
（1）给具体单位型（送分）。
（2）给完工时间型（重点）。
（3）给效率比例型（重点）。
【注意】工程问题：
1.三量关系：总量=效率*时间。如搬 1000 块砖，每小时搬 200 块，需要 5
个小时，1000为总量，单位时间的工作量 200为效率，5小时为工作时间。
2.考查题型：牛吃草近5年没有考查，因此没有放在精讲课讲解，之后在强
化课或学霸课进行补充。给完工时间型和给效率比例型来回考，通常各考 1 道
题。
（1）给具体单位型（送分）：不需要假设任何东西，每个量都有具体单位。
（2）给完工时间型（重点）。
（3）给效率比例型（重点）。
3给具体单位型：条件给出具体效率、具体工程量。
1.设未知数。
2.根据工作过程找等量关系列方程。
【注意】给具体单位型：条件给出具体效率、具体工程量。
1.设未知数：若有时间和效率，可以设总量；若有时间和总量，可以设效率。
2.根据工作过程找等量关系列方程：看题目是否有描述加和、作差的等量关
系。
【例 1】（2024 事业单位）甲、乙施工队共同修一条全长 20千米的路，合作
施工25 天后乙队被调走，剩下部分甲队又用了 25天正好完成。已知乙队的效率
是甲队的2倍，问甲、乙两队合作每天可以修多少米路？
A.400 B.600
C.800 D.1200
【解析】1.每天修多少米为单位时间的工作量，属于效率。已知“乙队的效
率是甲队的 2 倍”，尽可能设一个未知数，设甲的效率为 x、乙的效率为 2x，求
的是3x，答案是3 的倍数，排除A、C项，剩余 B、D项，可以代入一项验证。列
式：25*3x+25*x=20000（20千米=20000米），100x=20000，解得x=200，3x=600，
对应B项。【选B】
【注意】代入也可以做，但是课上不可能都讲解代入法，代入法属于门槛方
法。
给完工时间型：
1.引例：小张搬砖需要 4天，小龙需要 6天，两人一起搬需要多少天？
2.方法：
（1）赋总量（一般赋完工时间的公倍数）。
（2）算效率：效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列式求解。
4【注意】给完工时间型：
1.引例：小张搬砖需要 4天，小龙需要 6天，两人一起搬需要多少天？
答：工程问题，问时间，时间=总量/效率。条件中没有给出总量和效率，只
给了两个时间，意味着可以假设总量（条件没有给出具体的工作量，但是需要用
到工作量计算，说明工作量是多少不影响答案）。小学会假设总量为 1，小张的效
率=1/4，小龙的效率=1/6，所求=1÷（1/4+1/6），涉及通分，若题目主体比较多，
每次通分的人不同，容易出错，因此不建议设总量为 1（该方法只适用于两个主
体的工程问题）。设总量为时间 4 和 6 的公倍数 12，小张的效率=12/4=3，小龙
的效率=12/6=2，所求=12/（3+2）=2.4天，若有该选项就选，若选项均为整数，
要选3天（不能四舍五入，2天没有完成，工程问题要么选一模一样的答案，要
么向上取整）。
2.方法：
（1）赋总量（一般赋完工时间的公倍数，通常用W表示）。
（2）算效率（通常用 P表示）：效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列式求解。
3.注意：引例假设总量为24也可以做对，24是12的2倍，2倍的量除以 2
倍的效率，2会被约掉，答案不变。
【例 2】（2023 北京）甲、乙两个工程队被安排实施某个工程。甲工程队先
施工，用了15天完成了一半，剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了 9天。
则乙工程队独立完成整个工程需要多少天？
A.10 B.15
C.16 D.20
【解析】2.剩余部分用时 15-9=6 天，问时间，需要找到工程总量，材料没
有给出总量，给的是时间，属于给完工时间型工程问题。假设一半的总量为 15
和 6 的公倍数 30（不要求是最小公倍数），甲的效率=30/15=2，甲的效率+乙的
效率=30/6=5，则乙的效率=5-2=3。注意问的是完成整个工程，所求=（2*30）/3=20，
对应D项。【选D】
5【注意】
1.30/3=10 容易错选 A项。
2.猜题：条件给的是一半的工程，问的是整个工程，两者之间存在 2倍关系，
观察选项，A项*2=D 项，猜选 D项。该猜题方法属于以坑治坑，冲刺课程会集中
讲解猜题方法。
3.整个工程，甲完成需要 2*15=30 天，甲乙合作完成需要 2*6=12 天。设整
个工程总量为 30 和 12 的公倍数 60（提取 6，剩 5、2，6*5*2=60），甲的效率
=60/30=2，甲的效率+乙的效率=60/12=5，乙的效率=5-2=3，与解析中的方法无
区别。
【例 3】（2024 联考）有一批零件，如果甲车间单独完成需要 50 小时，乙车
间单独完成需要 30 小时，在甲车间单独完成若干小时后，由于要承担其他紧急
任务，剩余的任务由乙车间继续完成，这样一共用了 42 小时。问乙车间完成的
零件量占这批零件总量的：
A.3/4 B.3/5
C.2/5 D.1/3
【解析】3.给出两个人的完工时间，设总量为 50和30的公倍数 150，甲的
效率=150/50=3，乙的效率=150/30=5。甲和乙不涉及合作，只要求出乙的工作量，
然后除以150即可。乙的效率已知，只要算出乙的时间即可。甲和乙的时间未知，
只知道总时间，设甲单独完成用时 x 小时、乙单独完成用时 42-x 小时，列式：
3x+5*（42-x）=150，2x=60，解得x=30，甲单独完成用时 30小时，所求=[5*（42-
30）]/150=2/5，对应 C项。【选C】
【拓展】（2021 广东）为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工
程人员出国参与一个高铁建设项目。如果由甲队单独施工，200天可完成该项目；
如果由乙队单独施工，则需要 300 天。甲、乙两队共同施工 60 天后，甲队被临
时调离，由乙队单独完成剩余任务，则完成该项目共需多少天？
6A.120 B.150
C.180 D.210
【解析】拓展.问共需多少天，60天以后再做 150天，共需60+150=210 天。
给出甲和乙单独施工的完工时间，赋值总量为完工时间 200和300的公倍数 600
（无论假设总量是多少，都不影响答案，假设的总量的倍数会和效率的倍数约掉），
甲的效率=600/200=3，乙的效率=600/300=2。假设甲被调离后，乙单独完成用时
n天，60*（3+2）+n*2=600，解得n=150，所求=60+150=210，对应D 项。【选D】
【注意】
1.工程问题分多步完工，问总时间，答案需要加上前面已经给的时间。
2.猜题：B、D 项差60，A、C项差60，A、B项大概率是错误选项。
【例 4】（2023 联考）轨道交通公司定期进行轨道检修工作，甲、乙两个工
程队合作进行需 4 小时完成，甲队单独完成比乙队单独完成快 15 小时，则甲队
单独完成需要的时间是：
A.5 小时 B.6 小时
C.7 小时 D.8 小时
【解析】4.“快 15 小时”说明用时短，甲比乙快 15 小时即甲比乙少用 15
小时。
方法一：中学思维，列方程求解。本题没有给出具体的工作时间，无法假设
总量为时间的公倍数。假设总量为单位 1，甲乙时间均未知，设甲用时 x 小时、
乙用时 x+15 小时，甲的效率=1/x，乙的效率=1/（x+15），甲乙合作效率=1/4，
列式：1/x+1/（x+15）=1/4，通分之后会出现 x²+15x，可能不会求解，可以直接
代入。代入A项：1/5+1/20=4/20+1/20=5/20=1/4，正确。
方法二：已知甲乙完工时间差（15小时），问甲的时间，代入甲的时间，然
后加 15 可以得到乙的时间。选项乙的时间分别为 20 小时、21 小时、22 小时、
23小时。代入A项：假设总量为1，甲的效率=1/5，乙的效率为1/20，1/5+1/20=1/4，
保留。若正确答案不是 A项，可以优先代入公倍数最好算的选项。甲的时间+15=
乙的时间，观察选项，5和20的公倍数比较好算，其余选项的公倍数比较复杂，
7优先代入公倍数最简单的 A项（该项最有可能是答案，出题人设置的答案往往不
会太难算）。【选A】
【注意】
1.总量可以假设为任何数，也可以假设为 W，最后会被约掉，不影响结果。
2.本题不能居中代入，代入 B项错误，无法很明显看出来偏大还是偏小。
给效率比例型：
1.补例：甲和乙的效率比为 2：3，甲、乙合作完成一项工程需要 10天，如
果甲先做5天后乙再加入，这项工程共需多少天？
A.8 B.10
C.13 D.14
2.方法：
（1）赋效率（满足比例即可）。
（2）算总量：总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列式求解。
【注意】给效率比例型：
1.补例：甲和乙的效率比为 2：3，甲、乙合作完成一项工程需要 10天，如
果甲先做5天后乙再加入，这项工程共需多少天？
A.8 B.10
C.13 D.14
答：赋值甲的效率为 2、乙的效率为 3，效率*时间=总量，总量=10*（2+3）
=50。甲先做 5 天乙再加入，“再加入”说明是合作完成。假设甲乙合作 n 天，
5*2+n*（2+3）=50，解得n=8，问的是共需多少天，所求=5+8=13，对应 C项。
2.方法：
（1）赋效率（满足比例即可）。
（2）算总量：总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列式求解。
8【例 5】（2020 联考）某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务，先期
投产了A和B两条生产线，A和B的工作效率之比为 2：3，计划8天可完成订单
生产任务，两天后公司又对这批订单投产了生产线 C，A 和 C 的工作效率之比为
2：1，问该批口罩订单任务将提前几天完成？
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】5.直接给出效率比例，设 A的效率为 2、B的效率为3、C的效率为
1。已知“计划8天可完成订单生产任务”，总量=8*（2+3）=40。“又投产了生产
线C”说明是A、B、C合作。假设A、B、C合作 n天，列式：2*（2+3）+n*（2+3+1）
=40，解得n=5，若选项有 5，注意不能错选。问的是提前几天完成，计划 8天完
成，实际2+5=7天完成，提前了 1天，对应 A项。【选A】
【注意】拓展方法（了解即可）：原计划是 8 天完成，实际过程中前 2 天按
原计划进行，剩余部分原计划是由 A、B 用时 8-2=6 天完成，A 的效率+B 的效率
=2+3=5。实际上又投入了 C，A的效率+B的效率+C的效率=2+3+1=6，实际需要 5
天（效率为 5：6 的关系，则时间为 6：5 的关系，总量不变，效率和时间成反
比），提前了6-5=1 天。
效率比例的多种给法：
1.直接给：甲：乙=3：4，甲的效率是乙的 3倍。
2.间接给：
（1）时间相同，效率与工作量成正比。同样的工作，当甲完成 30%时乙完成
20%。
（2）工作量相同，效率与时间成反比。甲 4 天的工作量等于乙 3 天的工作
9量。
3.给具体人数或机器数：50 个人去修路、30 台收割机收割麦子，赋值每人
/每台机器效率为1。
【注意】效率比例的多种给法：
1.直接给：甲：乙=3：4，甲的效率是乙的 3 倍，明确给出效率比例关系，
属于送分。
2.间接给：看到的条件无效率。
（1）时间相同，效率与工作量成正比。同样的工作，当甲完成 30%时乙完成
20%，甲的效率：乙的效率=3：2。如甲做了 30道题时乙做了20道题，甲和乙用
时相同，效率越高，工作量越高。
（2）工作量相同，效率与时间成反比（同样一张卷子，谁的效率越高，谁
用时越短）。甲4天的工作量等于乙 3天的工作量，甲乙效率之比为 3：4（数字
颠倒之后就不要再颠倒甲乙的名字）。
3.给具体人数或机器数（送分）：50个人去修路、30台收割机收割麦子，赋
值每人/每台机器效率为 1。50 人去修路，现实生活中每个人的效率不同，若按
照效率不同计算，会有 50 个未知数，不可能这样考查，默认每人效率相同，可
以假设为每人的效率为 1（假设其他数字也可以，假设最简单的数字比较方便）。
【例 6】（2024 联考）甲、乙两工厂共同完成某个生产订单需要 12天。现两
工厂共同生产8天后，再由乙单独生产7天，一共完成了订单总量的 90%。若整
个订单由乙单独生产，那么需要多少天完成？
A.20 B.23
C.26 D.30
【解析】6.本题可以直接赋值总量为某个值（总量可以由 12 天完成分析，
也可以由9/10分析），也可以根据效率比例的方法做题。总量=12*甲乙合作的效
率，总量*90%=8*甲乙合作的效率+7*乙的效率，最后会得到若干倍 P =若干倍的
甲
P 。
乙
方法一：合作 12 天可以完成，总量是 12 的倍数；完成订单的 90%=9/10，
总量是10的倍数，设总量为12和10的公倍数60。甲的效率+乙的效率=60/12=5，
108*5+7*乙的效率=60*90%，解得乙的效率=2。所求=60/2=30，对应D 项。
方法二（比方法一复杂）：题目没有给出效率比，先表示出总量。列式：12*
（甲的效率+乙的效率）*90%=8*（甲的效率+乙的效率）+7*乙的效率，2.8*（甲
的效率+乙的效率）=7*乙的效率，2.8*甲的效率=4.2*乙的效率，2*甲的效率=3*
乙的效率，甲的效率：乙的效率=3：2。该方法属于强行套用给效率比例型工程
问题的方法，但是该方法反而把题目变复杂了。总量=12*（2+3）=60，所求=60/2=30，
对应D项。【选D】
【注意】用百分比分析：甲乙 8 天完成总量的 8/12=2/3，甲乙 8 天完成的
工作量+乙7天完成的工作量=总量的90%，总量*（2/3）+7*乙的效率=总量*90%，
乙的效率=[总量*（90%-2/3）]÷7=[总量*（7*30）]÷7=总量*（1/30），乙用时
30天。该思路近几年只有本题可以用。
【例 7】（2021 广东）某茶园需要在一定时间内完成采摘。前 4 天安排了20
名采茶工，完成了五分之一的工作量。如果再用 10 天完成全部采摘，至少还需
要增加多少名采茶工？
A.12 B.11
C.10 D.9
【解析】7.有具体工作人数，设每名工人效率均为 1，20名工人效率为 20，
总量=（4*20）÷（1/5）=400。已知“再用 10天完成全部采摘”，说明剩余工作
量 10 天完成。完成剩余工作量的效率=[400*（1-1/5）]÷10=320/10=32，32-
20=12，还需要增加 12名采茶工，对应A项。【选A】
【拓展】（2022 联考）有 25 人铺设某足球场草坪，计划 20 天完成。动工 6
天后抽出5人负责围栏围网的施工，留下的人继续铺设草坪。如果每人的工作效
率不变，那么铺设完该足球场的草坪实际要用多少天？
A.23.5 B.24.5
C.25.5 D.26.5
【解析】拓展.设每人效率为 1，25人效率为 25，总量=25*20=500。假设抽
11出 5 人之后工作了 n 天，列式：6*25+n*20=500，解得 n=350/20=17.5，所求
=6+17.5=23.5，对应 A项。【选A】
第五节 经济利润问题
1.基础经济（重点）。
2.分段计费（送分）。
3.函数最值（送分）。
【注意】经济利润问题：
1.基础经济：重点，最重要，考查多样化，可以考查如何算账，也可以考查
打折。
2.分段计费（送分）。
3.函数最值（送分）：与初高中的函数最值无关，用的方法也与初高中的方
法不同。
一、基础经济
1.利润=售价-进价。
2.利润率=利润/进价。
3.售价=进价*（1+利润率）。
4.折扣=折后价/折前价。
5.总利润=单件利润*数量=总售价-总进价。
【注意】基础经济常用公式：假设某商品进价为100元，售价为 180元，利
润=180-100=80 元，利润率=80/100=80%（此处存在乘以 100%的运算，类似于比
重=部分量/总体量*100%，乘以100%不影响结果，因此通常省略）。
1.利润=售价-进价。
2.利润率=利润/进价（成本）。资料分析研究的是现实场景，企业成本很难
核算，运用营收利润率，利润率=利润/营收。
3.售价=进价*（1+利润率）。
推导：售价=进价+利润，利润=进价*利润率，售价=进价+进价*利润率=进价
*（1+利润率），比较像资料分析中的现期量和基期量，但是这样记忆会混淆，可
12以根据算式180=100*（1+80%）记忆。
4.折扣=折后价/折前价。打九折的意思为折后价格/折前价格=90%，八五（第
一个数代表十位，第二个数代表个位）折代表的是 85%。
（1）注意：打几折不影响成本，不能认为打六折一定亏本、打八折一定赚
钱，每个商品的利润不同，不能根据打几折判断有没有亏本，可能打两折也会赚
钱，如进价为 100 元的商品 1000 元售出，打两折也能赚 100 元，打折只和折前
价、折后价有关。
（2）折上折：在原来折扣的基础上再打折（出题表述很明显）。如原价100
元的商品先打九折然后再打八折，折后价=200*0.9*0.8=144。
5.总利润=单件利润*数量=总售价-总进价。
（1）若所有商品利润相同均为10元，售出 500个，总利润=10*500=500元。
（2）若 8 元买的鸡，9 元售出，鸡涨价之后，10 元买进，然后 11 元卖出，
总利润=总售价-总进价=（9+11）-（8+10）=20-18=2元。
【例 1】（2024 广东）某家政公司承诺以低于市场价 20%的价格为小区业主
提供服务。如果有业主向该公司支付了服务费 4000 元，则与市场价相比优惠了
多少元？
A.400 B.600
C.800 D.1000
【解析】1.低于市场价 20%即市场价的 80%（打八折）。原来的市场价
*80%=4000，原来的市场价=4000/80%=5000 元，优惠了5000-4000=1000 元，对应
D项。【选 D】
【例 2】（2024 事业单位）龙年到了，小王以每个 6 元的价格从批发市场购
进若干印章摆地摊，销售完 30 个之后，销售金额达到 300 元，余下每个降价 2
元，很快售罄，销售金额总计 380元。小王这次销售活动中获得的利润是：
A.152 元 B.140 元
C.130 元 D.125 元
【解析】2.单价=300/30=10，降价之后，售价为 10-2=8元，卖出 380-300=80
13元，卖了80/8=10个。总利润=总售价-总进价=380-6*（30+10）=140，对应 B项。
【选B】
【注意】总利润=30*（10-6）+10*（8-6）=140元，若涉及第三种或第四种
价格，用该方法比较麻烦。
【拓展】（2020 河北）某种蔬菜进价 5 元/斤，售价 10 元/斤，当天卖不完
的蔬菜不再出售。过去 7 天里，菜商每天购进该种蔬菜 100 斤，其中有 4 天卖
完，有2天各剩余 20斤，有1天剩余10斤，这 7天菜商共赚了多少元钱？
A.2950 B.3000
C.3250 D.3500
【解析】拓展.若用卖出的数量*（10-5），容易错选 C 项。卖不完的部分会
亏钱，亏了（20*2+10）*5=250 元，3250-250=3000，应该选 B 项。卖出 7*100-
2*20-1*10=650 斤，总售价-总进价=10*650-5*700=6500-3500=3000，对应B项。
【选B】
基础经济常用方法：
1.方程法：题干给出价格、数量等具体值，设未知数，套公式列方程求解。
2.赋值法：题干未给出价格、数量等具体值，往往赋进价（常赋 100），利用
公式直接求解。
3.补充：当条件多、关系太乱时，可列表格梳理。
【注意】基础经济常用方法：
1.方程法：题干给出价格、数量等具体值，设未知数，套公式列方程求解。
2.赋值法：题干未给出价格、数量等具体值，往往赋进价（常赋 100），利用
公式直接求解。条件没有给出某个量，且无法求出该量，说明该量不影响结果。
经济利润问题概念比较多，往往赋值进价，进价是所有量的基础，若不知道赋值
多少，可以赋100，比较好算，若赋值 30，30的18%不好算。
3.补充：当条件多、关系太乱时，可列表格梳理。
14【例 3】（2023 湖北选调）一家超市按 20%的利润率定价出售一批酸奶，还
剩下 10 箱时，因临近保质期按定价的五折卖出，最终实际获利只有预计获利的
88%。问这批酸奶共有多少箱？
A.200 B.240
C.250 D.270
【解析】3.已知“最终实际获利只有预计获利的 88%”，实际获利/总成本=88%，
即88%为利润率，该理解完全错误，改变了原来的分母，正确理解为实际获利/预
计获利=88%，是一个比重的概念。
方法一（比较慢，但比较清晰）：题目没有出现具体价格，考虑赋值。涉及
利润率，假设进价为 100，利润率20%，则单利为 20，售价=100+20=120，假设按
20%的利润率定价售出x箱，总利润=20x。后10箱：打五折卖出，售价=120*50%=60，
进价不变，仍为100，单利=60-100=-40，总利润=-400。实际获利=20x-400，预
计获利=（x+10）*20。按照“实际获利/预计获利=88%”列式比较麻烦（分子分
母都有未知数，不好计算），转化为实际获利=88%*预计获利，列式：20x-400=20*
（x+10）*88%，2.4x=576，解得x=240，所求=240+10=250，对应C 项。
方法二：大部分商品按照预计售出，只分析最后 10 箱的变化。利润之所以
会比预计少，是少在了后 10箱。实际利润比预计利润少了 100%-88%=12%，最后
10箱的降价导致实际利润比预计利润减少 12%。赋值过程与方法一相同，最后 10
箱降价，每箱利润减少了 20-（-40）=60，10 箱利润减少了 600，12%对应 600，
预计利润=600/12%=5000，1箱利润为20，箱数=5000/20=250，对应C 项。【选C】
【注意】猜题：问共有多少，结果要加 10，观察选项，B项+10=C 项，可以
猜选C项。
15【例 4】（2023 浙江）某商品上月售价为进价的 1.4 倍，销售 m 件。本月该
商品进价下降20%，售价不变，销售利润为上月的 1.8倍。那么本月的销量为多
少件？
A.1.3m B.1.25m
C.1.2m D.1.15m
【解析】4.经济利润问题没有给出价格，考虑赋值。有了进价，才会有售价、
利润，因此要赋值进价。涉及本月和上月，若赋值本月进价为 100，推上月需要
用除法，比较麻烦，因此赋值上月进价为 100（涉及两个时间，通常会赋值基期
进价）。上月：进价为 100，售价=100*1.4=140，销量为m，总利润=单件利润*销
量=（140-100）*m=40m。本月：进价=100*（1-20%）=80，售价仍然为 140，总利
润=40m*1.8=72m，销量=72m/（140-80）=72m/60=1.2m，对应C项。【选C】
【拓展】（2023 联考）某商品的利润率是 20%。如果进货价降低 20%，售价保
持不变，此时利润率是多少？
A.40% B.30%
C.60% D.50%
【解析】拓展.涉及降价前和降价后，若想不清楚可以列表。赋值降价前进
价为100，降价后进价为100*（1-20%）=80，降价前和降价后售价均为100*（1+20%）
=120，80*1.5=120，对应D项。【选D】
16二、分段计费
1.在生活中，水电费、出租车费等，每段计费标准不等。问：在不同标准下，
一共需要的费用？
2.计算方法：先按标准分开算，计算后再汇总。
3.引例：某地出租车收费标准为：3 公里内起步价 8 元，超出 3 公里部分，
每公里2元。小明打车坐了 12公里，共花费多少钱？
【注意】分段计费：生活中比较常见，涉及很多标准，按照标准每段分开看
即可。
1.在生活中，水电费、出租车费等，每段计费标准不等。问：在不同标准下，
一共需要的费用？
2.计算方法：先按标准分开算，计算后再汇总。
3.引例：某地出租车收费标准为：3 公里内起步价 8 元，超出 3 公里部分，
每公里2元。小明打车坐了 12公里，共花费多少钱？
答：12公里拆分为 3公里以内的部分和超出 3公里的部分，前3 公里8元，
超出3公里的部分为 9公里，每公里2元，共花费 8+9*2=26元。
【例 1】（2021 联考）假设个人出版著作所得稿费纳税方法如下：
（1）稿费不超过 800元不纳税；
（2）超过800 元但不超过4000元的部分纳税 10%；
（3）超过4000 元的部分纳税15%。
已知张教授出版一部著作，纳税 620元，则张教授的这笔稿费是多少元？
A.9000 B.8000
C.7000 D.6000
【解析】1.若稿费为 10000 元，纳税10000*15%错误，没有分段。本题可以
代入，若代入 B 项纳税正好是 620 元，说明 B 项正确；若代入 B 项纳税超过了
620 元，说明 B 项太大，可以同时排除 A、B 项；若代入 B 项纳税小于 620 元，
说明 B 项太小，可以直接选 A 项。假设稿费为 x 元，结合选项可知稿费超过了
4000元，（4000-800）*10%+（x-4000）*15%=620，320+（x-4000）*15%=620，x-
174000=2000，解得x=6000，对应D项。【选 D】
【例 2】（2023 联考）某智慧公共停车场的收费标准如下：停车不超过 15分
钟，不收费；超过 15分钟但不超过60分钟，按 1小时计，收费5元；超过1小
时后，超过的部分按每 30分钟4元收费（不足 30分钟，按30分钟计）。若李先
生支付停车费17元，则他停车的时长可能为：
A.2 小时 B.2 小时15分钟
C.2 小时45分钟 D.3 小时
【解析】2.之所以问“可能”，是因为不足 30 分钟按 30 分钟计算，停车时
间是一个范围，不是一个确定值，本题没有必要计算出完整的时间范围，可以验
证停车费17元。居中代入，代入一个选项，有 17元可以帮助判断代入数据偏大
还是偏小。代入较小的 B 项（越小越好算）：“停车不超过 15 分钟，不收费”不
需要考虑，停车时间超过了 15 分钟，该条件无意义。前 1 小时收费 5 元，后 1
小时15 分钟收费3*4=12 元，5+12=17元，当选。【选B】
【注意】居中代入：代入选项后，有已知数据可以帮助判断偏大或偏小。
三、函数最值
1.特征：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高？
2.引例：单价为 3000元，可卖出16万件，若单价每提升 300元，销量会降
低1万件，请问当单价定价为多少元时，销售总额最高？
3.方法：两点式。
（1）设提价次数为 x，列出所需函数。
（2）令函数=0，解得x、x。
1 2
（3）当x=（x +x）/2时，该函数取得最值。
1 2
【注意】函数最值：
181.特征：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高？
2.引例：单价为 3000元，可卖出16万件，若单价每提升 300元，销量会降
低1万件，请问当单价定价为多少元时，销售总额最高？
答：单价提高销量下降，单价最高销量可能会变成 0，销售总额可能会最低，
因此销售总额最高的情况不一定是单价最高。设提价 x次，销售总额=单价*销量
=（3000+300x）*（16-x），令乘积为0，3000+300x=0，解得x=-10；16-x=0，解
1
得x=16。当x=（-10+16）/2=3时，销售总额最高，单价=3000+300*3=3900。
2
3.方法：两点式，这类题目近10年都是这样操作。
（1）设提价次数为 x，列出所需函数。
（2）令函数=0，解得x、x。
1 2
（3）当x=（x +x）/2时，该函数取得最值。
1 2
4.原理：要找函数的最大值，（3000+300x）*（16-x）展开会出现 x²，为二
次函数，且x²的系数为负，图像为开口向下的抛物线，找抛物线最高点，找到对
称轴即可。令函数值为 0，找到相对于对称轴对称的两个点 x、x，对称轴=（x+x）
1 2 1 2
/2。
【拓展】（2018 联考）某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以 4元出售，
可卖出 20 万株，若苗木单价每提高 0.4 元，就会少卖 10000 株。问在最佳定价
的情况下，该公司最大收入是多少万元？
A.60 B.80
C.90 D.100
【解析】拓展.求收入最大，写出收入的函数。收入=单价*数量，假设提价
x次，收入=（4+0.4x）*（20-x），令乘积为 0（两个数的乘积为0，要么前者为
0，要么后者为0），4+0.4x=0，解得x=-10；20-x=0，解得x=20。x=（-10+20）
1 2
19/2=5时，取得最大收入，最大收入=（4+0.4*5）*（20-5）=6*15=90，对应 C项。
【选C】
【例 1】（2023 事业单位）某电脑制造厂商生产销售一批电脑。每台电脑成
本价格为 4499 元，销售价格为 5699 元。某单位以销售原价购买 20 台电脑，在
此基础上，若销售价格每降低 100元，就多购买 2台。则该电脑制造厂商在该笔
交易中可获得的最大利润为多少元？
A.24200 B.24000
C.36000 D.31200
【解析】1.单价和销量此消彼长，问最大利润，不能分析收入最大，收入最
大不一定利润最大。总利润=单件利润*销量，设降价 x次，总利润=（5699-100x-
4499）*（20+2x），令总利润为 0，5699-100x-4499=1200-100x=0，解得 x=12；
1
20+2x=0，解得 x=-10。当 x=（12-10）/2=1 时，取得最值，最大利润=（1200-
2
100）*（20+2）=1100*22=242 开头，对应 A项。【选A】
【注意】不要盲目的用售价*数量，要看问题。若问总收入最大，总收入=售
价*数量；若问总利润最大，总利润=单件利润*数量。
【拓展 1】（2020 江苏）某商品的进货单价为 80元，销售单价为 100元，每
天可售出 120 件。已知销售单价每降低 1 元，每天可多售出 20 件。若要实现该
商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是：
A.5 元 B.6 元
C.7 元 D.8 元
【解析】拓展 1.要求利润最大，写出利润的函数，总利润=单件利润*数量。
设降价x次，总利润=（100-x-80）*（120+20x），令函数为0，100-x-80=20-x=0，
解得x=20；120+20x=0，解得x=-6。当x=（20-6）/2=7时，利润最大，降价次
1 2
数为7，单价降低 7元，对应C项。【选C】
【拓展 2】（2024 山东）某线上店铺将进货单价为 8元的商品按每件 10元出
20售，每天可销售100 件。店铺计划提高售价增加利润，若每件商品售价提高 1元，
每天销售量就要减少 10件，为保证每天获利最多，问该商品售价应为多少？
A.不到 13元 B.13～15元之间
C.15～17元之间 D.17 元以上
【解析】拓展 2.本题为例2改编题，问利润最高，总利润=单件利润*数量。
设提价x次，总利润=（10+x-8）*（100-10x），令函数为 0，10+x-8=0，解得 x=-
1
2；100-10x=0，解得 x=10。x=（-2+10）/2=4 时，利润最大，售价=10+4=14，对
2
应B项。【选B】
【例 2】（2024 山东）某线上店铺将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出
售，每天可销售100 件。店铺计划提高售价增加利润，若每件商品售价提高 1元，
每天销售量就要减少 10 件，为保证每天至少获利 350 元，问该商品售价应为多
少？
A.不到 13元 B.13～15元之间
C.15～17元之间 D.17 元以上
【解析】2.要求每天至少获利 350 元，售价为 14 元时利润最高，若售价为
14 元仍然不符合至少获利 350 元，则不可能存在至少获利 350 元的情况，因此
利润最高的情况一定符合至少获利 350 元。假设售价为 16 元仍然符合至少获利
350元，不可能，题目是单选题，不可能有两个答案。【选B】
211.预习：第六节行程问题，第七节几何问题。尽量自己认真思考做一遍，听
课效果更佳；实在不会做，起码要熟悉题目。
2.下节课 18：50开始，回顾本节课的知识点。
【注意】
1.作业不要按照思维导图抄，尽可能靠回忆填写，实在想不起来可以看导图。
2.预习：第六节行程问题，第七节几何问题，题目难度比较高，行程问题和
排列组合是高频且难度较高的题型，预习若看不懂，可以跳过行程问题，看几何
问题。尽量自己认真思考做一遍，听课效果更佳；实在不会做，起码要熟悉题目。
3.下节课 18：50开始，回顾本节课的知识点。
【答案汇总】
工程问题 1-5：BDCAA；6-7：DA
基础经济 1-4：DBCC
分段计费 1-2：DB
函数最值 1-2：AB
22遇见不一样的自己
Be your better self
23
