文档内容
方法精讲-数量 3
（笔记）
主讲教师：唐宋
授课时间：2024.06.21
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 3（笔记）
学习任务：
1.课程内容：行程问题、几何问题
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第 159～164页
4.重点内容：
（1）掌握行程问题的基础公式与匀变速运动平均速度公式
（2）掌握直线和环形上的相遇、追及问题的计算公式，会用图示来理解复
杂的运动过程
（3）掌握几何问题的基本公式及其运用
（4）掌握三角形三边关系、勾股定理、特殊三角形及面积相关知识
1【注意】回顾知识点：
1.工程问题的基本等量关系：总量=效率*时间（W=P*T）。
2.给完工时间型的工程问题的解题思路：先赋值总量（W），赋值的技巧是公
倍数（不要求最小公倍数，也可以赋值总量为 1）；再算效率=总量/时间（P=W/T）；
最后根据工作过程列式子或方程。
3.给效率比例型的工程问题的解题思路：先赋值效率（P），赋值的技巧是按
比例关系赋值；再算总量=效率*时间（W=P*T）；最后根据工作过程列式子或方程。
给完工时间型和给效率比例型只是切入的顺序不同，核心都是把总量（W）和效
率（P）找到。
4.给具体单位型（给出工作总量或者效率的具体值）工程问题的解题思路：
设未知数，找等量关系列方程。
5.给效率比例型，若甲 3天的工作量等于乙 2天的工作量，工作量相等的情
况下，效率和时间成反比，甲乙时间之比为 3：2，则甲乙效率比为 2：3。若题
目说是36台挖掘机工作，则赋值每台的效率为1。
6.经济利润问题涉及的基本公式：利润=售价-进价（经济利润问题和生活非
常紧密，“利润”可能表述为“盈利、获利”，“售价”可能表述为“销售额”，“进
价”可能表述为“成本”），利润率=利润/进价（注意区分，资料分析中，利润率
=利润/营业收入），售价=进价*（1+利润率），如上节课的拓展题，有售价的变化、
进价的变化、利润率，可以根据该公式分析利润率；折扣=折后价/折前价（和成
本无关，也可以称为“折后价/原价”），总价=单价*数量。
7.题目已知具体价格时，解题方法：方程法；题目没有具体价格时，解题方
法：赋值法。方程法和赋值法并不是互斥的，赋值之后可能会根据等量关系列方
程求解。
8.典型的分段计费问题有：水电费、出租车费、税费等，其解题过程：先分
开，再汇总计算。
9.函数最值题型的特征：单价和销量此消彼长（卖得越贵、销量越少），求
最大利润或总价（注意利润最大并不是总价最大，总价最大是可以尽量不赚钱，
贴着成本卖甚至亏本卖，以低价倾销、亏本甩卖赚取市场，达到总价最高，但利
润可能是 0 甚至负数）；解题方法是：两点式，列式时需要注意问的是利润还是
2总价，令式子为 0，取均值即为最高点。
10.函数最值例 1：讲义印刷后发现题目有歧义，题库已经修改为“计划购
买20台”。
第六节 行程问题
三量关系：路程=速度*时间
考查题型：
1.普通行程（简单）
2.相对行程（重点）
【注意】行程问题：
1.三量关系：路程=速度*时间，用字母“S=V*T”表示。注意这里的速度和
初中物理中的速度是不一样的，比如从 A 点出发，走出去 100 米后再返回到 A
点，物理中速度为 0，因为从 A 点出发又回到 A 点的位移是 0，速度=位移/时间
=0/时间=0；数学上，出去100米、回来 100米，路程=2*100 米，速度=路程/时
间=2*100/时间。严谨一点来说，物理上是矢量，有方向，但数学上是标量；全
国除了广东、上海会考物理，其他省考都不考查。
2.考查题型：
（1）普通行程（简单）：一个主体的运动，比如一辆车以某个速度开了多长
时间，问路程。
（2）相对行程（重点）：多个主体，如两个主体相遇、追及，甚至多次相遇、
追及，难度高一些。
【例 1】（2024 国考）甲和乙两辆车同时从 A 地出发匀速开往 B 地，甲车出
发时的速度比乙车快 20%，但乙车行驶 1个小时后速度加快 30千米/小时继续匀
速行驶，又用了 3小时与甲车同时抵达，问 A、B两地相距多少千米？
A.540 B.510
C.600 D.570
【解析】1.根据题意，乙行驶时间为 1+3=4小时；甲和乙同时出发、同时到
达，说明甲也是行驶4小时。问A、B两地的距离，问路程，已知甲、乙的时间，
3只需要求出速度，题目没有给出速度，设未知数找等量关系列式求解；“甲车出
发时的速度比乙车快 20%”，„„比„„高/快/少/低，后面的主体看作 1，V ：
甲
V =1.2：1，设 V =x、V =1.2x。甲、乙都是走完AB这条路，甲全程都是按1.2x
乙 乙 甲
的速度走，S =V *t =1.2x*4；乙同样是走 AB 这条路，但有速度的变化，前 1
AB 甲 甲
小时的速度是 x，后面 3 个小时速度加快 30 千米/小时，S =x*1+（x+30）*3；
AB
S =1.2x*4=x*1+（x+30）*3→4.8x=x+3x+90→0.8x=90，不着急求解 x，因为求
AB
的不是x，而是路程S ，S =4.8x=6*0.8x=6*90=540 千米，对应 A项；如果没有
AB AB
想到6倍关系，S =4.8x=4.8*（90/0.8）=6*90=540千米，对应 A项。【选A】
AB
【注意】
1.本题建议 1～2分钟做出来。
2.可以画图分析。没有相遇、追及的过程，单纯甲、乙走完 AB 这条路，可
以不画图。
【例 2】（2020 事业单位）甲骑车从 A 地前往 3 千米外的 B 地，出发时均匀
加速，骑行到一半路程时的速度为 30千米/小时。此后均匀减速，到达 B地时的
速度为20千米/小时。问甲全程用时为多少分钟？
A.不到 9 分30秒 B.9分30秒～10 分之间
C.10 分～10分30秒之间 D.超过10分30 秒
【解析】2.涉及中学物理的概念→匀加（减）速的平均速度，但考查非常简
单。“甲骑车从 A 地前往 3 千米外的 B 地”→AB 的距离为 3 千米，“骑行到一半
路程时的速度为 30千米/小时”→骑行到 1.5千米时的速度为 30千米/小时；出
发的速度（初速度）没有给出，默认初速度为 0。分析：速度从 0 千米/小时开
4始均匀加速到 30千米/小时，V =（0+30）/2=15千米/小时，前一半的路程为
前一半
1.5 千米，已知路程、速度，则 t =1.5/15=0.1 小时=6 分钟，此时不能考
前一半路程
虑全程是两个 6 分钟选择 D 项，因为后一半路程的速度和前一半路程的不一样，
所以时间是不同的。后一半路程的速度从30千米/小时均匀减速到20千米/小时，
V =（30+20）/2=25千米/小时，后一半的路程为 1.5千米，t =1.5/25=0.06
后一半 后一半路程
小时=3.6 分钟。所求=6+3.6=9.6 分钟＞9.5 分钟=9 分 30 秒，对应 B 项；或者
9.6分钟＜10 分钟，排除C、D项，9.6分钟=9分36秒，考试过程中不需要计算
这么精确，只需要知道 0.6分钟＞30秒即可，对应B项。【选B】
【注意】
1.匀加（减）速的平均速度：（V +V ）/2。比如一个人刚开始以 20的速度
初 末
开始运动，然后加速到30（末速度），假设速度是均匀变化的，求平均速度，所
求=（V +V ）/2=（20+30）/2=25；假设时间是 1小时，则 S=25*1=25公里；或
初 末
者已知路程为 50 公里，求时间，t=50/25。注意速度先从 0 匀加速到 30，再从
30匀减速到 20，平均速度≠（0+20）/2=10，因为中间的过程速度并不是均匀变
化的，而是先加速、后减速，如下图，左边是均匀变化、右边是均匀变化，但合
在一起并不是均匀变化，要分开看。
2.优化：速度从 0 千米/小时开始均匀加速到 30 千米/小时，再均匀减速到
20 千米/小时，V =（0+30）/2=15 千米/小时，V =（30+20）/2=25 千米/
前一半 后一半
小时；已知“骑行到一半路程时的速度为 30千米/小时”，说明前半段路程为 1.5
千米、后半段路程为 1.5 千米，已知路程、速度，则 t +t
前一半路程 后一半路程
=1.5/15+1.5/25=0.1+0.06=0.16小时=9.6分钟。
53.有的同学画出 V-t图，通过面积思考，这是微积分的思想（图形的面积和
x、y 轴的乘积相关），但这种思维需要很好的数学背景，反而把本题想复杂了。
【例 3】（2024 广东）小李从山脚开始登顶，匀速走了 1 小时后到达一个凉
亭，并在凉亭休息了半小时。继续走 500米后，恰好完成登顶路程的一半。从山
顶沿原路匀速返回时，他走了 1小时又到了这个凉亭，继续走半小时回到了山脚。
则登顶路程为多少米？
A.2000 B.3000
C.3600 D.4000
【解析】3.“小李从山脚开始登顶”，根据常识可知上山速度和下山速度是
不一样的。注意上山走完一半的路程后并没有直接返回，后面给出从山顶沿原路
匀速返回，不能理解为完成登顶路程的一半然后原路返回。
方法一：画图分析，假设上山的路程为 A→B，凉亭在靠近山脚的 C 点（因
为到凉亭再走 500 米后才完成登顶路程的一半），中点为 O；下山时 B→C 用了 1
小时，继续走半小时到达 A点。上山 1小时的路程为A→C，下山回来时 C→A 用
了半小时，A→C 和 C→A 路程是相同的，速度和时间成反比，说明 V ：V
上山 下山
=0.5/1=1/2。设 V =x、V =2x（也可以不设未知数，纯比例分析，但比较抽
上山 下山
象，思维难度比较大），路程=速度*时间，上山时，AC=x*1=x；下山时，CB=2x*1=2x，
AC+500=路程的一半=（AC+CB）*（1/2）→x+500=（x+2x）*（1/2）→x+500=1.5x
→0.5x=500，解得 x=1000，所求=AB=3x=3000，对应B项。
6方法二：发现有比例关系，尽可能应用到其他相关条件中。下山时，B→C
走了1小时，C→A走了半小时，下山的速度是相同的，说明路程之比为AC：CB=1：
2，求的是路程，设 AC=S、CB=2S；“匀速走了1小时后到达一个凉亭，„„继续
走 500 米后，恰好完成登顶路程的一半”，说明上山时，1 小时走的路程为 AC，
假设中点为O，则 AC+CO=半程→S+500=3S*（1/2）→S+500=1.5S，解得 S=1000，
求全程，所求=3S=3*1000=3000米，对应 B项。【选B】
【注意】
1.方法一：所求=x+2x=3x，结合选项，排除A、D项。
2.根据条件，上山时，山脚→凉亭用了 1小时；下山时，凉亭→山脚用了半
小时，山脚→凉亭和凉亭→山脚路程相同（破题点），速度和时间成反比（时间
越大、速度越小），则V /V =0.5/1=1/2。
上山 下山
3.这类题是小学奥数常见题，但初中、高中很少见，因为初中、高中的行程
问题基本是物理题。考试中，例1、例 2考查更多，能做出来即可，例 3这样纯
7奥数思维的题门槛更高。
4.“在凉亭休息了半小时”，相当于停在一个点不动，路程为 0，不需要分
析。
直线相遇——两人同时相向而行
公式：S =（V+V）*t=V *t
和 1 2 和
S ：就是两人走的路程之和
和
【注意】直线相遇——两人同时相向而行（相向即相对的方向，也可以描述
为“不同向”或者“反向”）。
1.公式：S =（V+V）*t=V *t。
和 1 2 和
2.S ：就是两人走的路程之和。
和
3.推导：汤姆从 A点出发、杰瑞从 B点出发，都朝着 C点走，假设汤姆的速
度为V，杰瑞的速度为 V，在C点相遇时所用时间为T，汤姆的路程为AC=V*T，
1 2 1
杰瑞的路程为 BC=V*T，完整的路程 S =AC+BC=V*T+V*T，同时相遇→T 相同，
2 和 1 2
故S =（V+V ）*T=V *T。推导不重要，主要记住公式。
和 1 2 和
【例 4】（2023 事业单位）甲、乙两人分别同时从相距 18km 的 A、B 两地相
向匀速而行，乙的步行速度为 4km/h，甲携带一个遥控小汽车，在自己出发的同
时将小汽车放在地面上与自己同向匀速行驶，小汽车的行驶速度为 10km/h，遇
8到乙后立即掉头向甲的方向行驶，遇到甲后又立即掉头向乙的方向行驶，如此在
甲、乙之间往返行驶直到甲、乙两人相遇。已知两人相遇时小汽车行驶的路程共
计20km，则甲的步行速度为多少 km/h？
A.4 B.5
C.6 D.7
【解析】4.题目很长，很多同学会放弃，但讲完之后换一下数据，10 秒内
就能出答案，因为是套路题，有200 年的历史。根据题意，小汽车在甲、乙两人
之间来回跑，直到甲、乙相遇才停下，不需要画图分析，已知小汽车的速度、路
程，可以求出小汽车的时间，数学的行程问题不考虑方向，则 t =20/10=2 小
小汽车
时。小汽车从甲、乙同时出发时开始运动，到甲、乙相遇时结束运动，则 t
小汽车
=t =2 小时，转化为相遇问题，S =（V +V ）*t →18=（？+4）*2，
甲乙相遇 甲乙和 甲 乙 甲乙相遇
解得？=5，对应 B项。【选B】
【注意】
1.本题核心在于 t =t 。历史典故：有记者问数学家冯·诺依曼，甲、
小汽车 甲乙相遇
乙两人同时出发、相向而行，有一只苍蝇从甲出发时跟着甲，在甲、乙两人之间
来回飞，直到甲、乙相遇时停下，问苍蝇飞了多长时间？苍蝇和甲乙同时出发，
到甲乙相遇时停下，所以苍蝇飞的时间=甲乙的相遇时间=甲乙路程和/甲乙速度
和，冯·诺依曼想了几秒给出答案，问问题的记者说：“想不到世界著名的大数
学家也知道小学生的数学把戏”，冯·诺依曼说：“这有什么技巧吗？我是用无穷
级数心算出来的”。
2.不要考虑画图分析，是无穷级数（微积分思想）。
直线追及——两人同时同向而行
公式：S =（V-V）*t=V *t
差 1 2 差
S ：追及刚开始时两人相差的距离（起点的距离）
差
9【注意】直线追及——两人同时同向而行：
1.公式：S =（V-V）*t=V *t。
差 1 2 差
2.S ：追及刚开始时两人相差的距离（起点的距离）。
差
3.推导：汤姆从A点出发，杰瑞从 B点出发，假设汤姆在 C点追上杰瑞。汤
姆的速度为 V ，杰瑞的速度为 V，追及时间为 T，汤姆的运动路程为 AC=V*T，
1 2 1
杰瑞的运动路程为 BC=V*T，AC 包含 BC，用减法思维，AC-BC=V*T-V*T=起点之
2 1 2
间的距离AB=S ，则S =V*T-V*T=（V-V）*T=V *T。考试时不一定非要画图，
差 差 1 2 1 2 差
清楚题目的描述可以直接套公式。
4.例：杰瑞偷了汤姆的钱包，跑了 100米后，汤姆发现并开始追杰瑞，已知
汤姆的速度为 10m/s，杰瑞的速度为 5m/s，问多长时间汤姆能追上杰瑞？
答：S =V *t，则t =S /V =100/（10-5）=20s。追赶过程中，每分每秒
差 差 追及 差 差
的路程是不断变小的，分析中间的路程变化太限于局部，不好想，所以不分析中
间的路程，只抓住首尾得出追及公式，即分析追及过程不考虑中间某一时刻的距
离。
10【引例】爸爸骑车从某地出发，沿公路追赶前面 500 米处的正在跑步的小明，
若骑车速度为 5米/秒，小明跑步速度为 3米/秒，则爸爸追上小明需要多久？
追及问题中一般不用纠结到底跑了多远，
两个人出发点的距离（S ）是定值，不会随着时间推移而改变。
差
抓住核心套公式计算即可
【注意】
1.引例：爸爸骑车从某地出发，沿公路追赶前面 500 米处的正在跑步的小明，
若骑车速度为 5米/秒，小明跑步速度为 3米/秒，则爸爸追上小明需要多久？
答：根据题意，S =500，爸爸骑车的速度为 5 米/秒、小明跑步的速度为 3
差
米/秒，V =5-3，所求=S /V =500/（5-3）=250秒。
差 差 差
2.追及问题中一般不用纠结到底跑了多远，因为两个人出发点的距离（S ）
差
是定值，不会随着时间推移而改变，抓住核心——套公式计算即可。
【例 5】（2023 事业单位）老张在匀速行驶的公交车上看见好友老李正沿相
反方向匀速行走，2分钟后公交车到站，老张下车后立即去追老李，若老张的追
赶速度是老李步行速度的 3倍，是公交车速度的 1/8，问老张用多少分钟才能追
上老李？
A.18 B.25
C.30 D.36
【解析】5.根据题意，老李没有在公交车上，而是在路上走。画图分析，假
设老张在A点看到好友老李，公交车继续往前开了 2分钟，老张在 B点下车，此
时老李往左边走了 2分钟到达C点，老张从 B点开始追 C点的老李，S =BC。问
差
追赶的时间，不需要分析中间的过程，只需要找到 S （起点之间的距离）、V 、
差 张
V 套公式计算即可，t =S /（V -V ），需要知道速度，速度相关只给出分数、
李 追 差 张 李
倍数，没有具体值，可以赋值，已知“老张的追赶速度是老李步行速度的 3 倍，
是公交车速度的 1/8”，赋值V =1，则 V =1*3=3、V =3*8=24；时间单位都是
李 张 公交车
“分钟”，不需要进行单位转换，老张下车后开始追老李，S =BC=1*2+24*2=50，
差
t =S /V =S /（V -V ）=50/（3-1）=50/2=25分钟，对应 B项。【选B】
追 差 差 差 张 李
11【注意】
1.“老张在匀速行驶的公交车上看见好友老李”，此时默认老张和老李在同
一个点，不要认为可以斜着看（老张在公交车前面的位置，老李在公交车靠后的
位置），这样没法做题，因为不知道老张和老李刚开始的距离，公交车往前开 2
分钟，中间相差的几米也不影响。
2.速度赋值为多少都可以，比如赋值V =10，则V =10*3=30、V =30*8=240，
李 张 公交车
速度是10倍关系，求解出来的 S 也是 10倍数关系，最后能够约掉→（10*S ）
差 差
/（10*V ）=S /V ，凡是赋值，不影响结果。
差 差 差
3.200X 年国考就考查过一样的题，题目是警察在公交车上看见一个小偷，
小偷偷了钱包往公交车相反的方向跑，过了几分钟警察下车追小偷，已知警察追
赶的速度是小偷的 X倍，是公交车速度的 1/Y，问警察用多久追上小偷？选项分
别为A.55、B.90、C.110、D.150，答案为 110（C项），可以猜题（警察→110）。
4.本题不能猜。
环形相遇（同时同点反向出发）
公式：S =（V+V）*t=V *t。
和 1 2 和
相遇 1次，S =1圈
和
相遇 N次，S =N圈
和
12环形追及（同时同点同向出发）
公式：S =（V-V）*t=V *t
差 1 2 差 追
追上 1次，S =1圈
差
追上 N次，S =N圈
差
本质：每追上一次，速度快的人比速度慢的人又多走了一圈
【注意】环形：不是一个圆中套一个圆（同心圆），现实跑道确实是有宽度
的，数学公式中不考虑宽度，这里的环形是首尾封闭的图形（圆形、椭圆、正方
形、三角形、长方形都是环形）。
1.环形相遇（同时同点反向出发）：
（1）公式：S =（V+V）*t=V *t。
和 1 2 和
（2）相遇 1次，S =1圈；相遇 N次，S =N圈。
和 和
（3）推导：两个从 A 点反向出发，一个往左边走，速度为 V，一个往右边
1
走，右边速度为 V ，相遇时间为 t，左边路程为 V*t，右边路程为 V*t。S
2 1 2 和
=V*t+V *t=V *t 。环形上可以无限次相遇，相遇 1 次，S =1 圈。假设第 N 次
1 2 和 遇 和
相遇，继续走到第 N+1次相遇，从第 N次相遇到第N+1次相遇，又走了一圈；每
相遇一次，多走一圈；相遇N次，S =N圈。
和
13（4）甲、乙两人在环形跑道上同点出发，相遇第 8次时，甲正好跑完 5圈，
求甲、乙速度比。相遇 8次，说明甲乙共同跑了 8圈，其中甲跑完 5圈，则乙跑
完3圈，时间一样，路程比=速度比，V ：V =5：3。
甲 乙
2.环形追及（同时同点同向出发）：类似中考体育中的 800米、1000 米，比
如体测从同一个点出发，现实生活会复杂一点，分内外跑道，考题不会那么复杂。
（1）公式：S =（V-V）*t=V *t 。
差 1 2 差 追
（2）追上 1次，S =1圈；追上 N次，S =N圈。
差 差
（3）推导：假设从A点出发，刘翔、唐宋两人同时出发，唐宋跑到B点时，
刘翔从背后追上唐宋，没有说明都是匀变速运动，刘翔：A→A→B，唐宋：A→B，
A→B 的距离是不知道的，只能作差，S =1 圈。追上 1 次，S =1 圈。刘翔跑的
差 差
是 V*t，唐宋跑的是 V*t，S =（V *t-V*t）=V *t 。每追上一次，现实生活
1 2 差 1 2 差 追
中叫套一圈，即多跑一圈。从B点追上是第 N次，到C点刘翔又追上唐宋，刘翔
比唐宋又多跑一圈，是第 N+1 次追上。追上一次，多跑一圈；追上 N 次，S =N
差
圈。
14（4）本质：每追上一次，速度快的人比速度慢的人又多走了一圈。
（5）例：长跑比赛，甲追乙，一圈是 400 米，当甲第 4 次追上乙时，乙正
好跑了 2000 米，问 V /V =（ ）。当甲第 4 次追上乙时，路程差为 4 圈，每
甲 乙
圈是 400 米，S =4*400=1600 米。同一点出发的，没有起点之间的差距，S 就
差 差
是甲比乙多跑的距离，1600 米=S -S →S =2000+1600=3600 米，“当„„时”
甲 乙 甲
说明时间一样，速度比=路程比，V /V =3600/2000=1.8 倍。
甲 乙
【例 6】（2020重庆选调）甲、乙两人分别以不同速度在周长为 500米的环
形跑道上跑步，甲的速度是 180 米/分钟。若两人从同一地点同时出发，反向跑
步，75秒时第一次相遇；若两人保持各自的速度从同一地点同时出发同向而行，
那么乙第一次追上甲时跑的圈数是多少圈？
A.5 B.5.5
C.6 D.6.5
【解析】6.方法一：根据反向判断，同点反向是相遇，S =V *T；同点同向
和 和
是追及，S =V *T。第一次相遇：换算单位，甲的速度是 180 米/分钟，时间为
差 差
75秒=5/4 分钟，S =500米=（V +V ）*T =（180+V ）*（5/4），解得V =220
和 甲 乙 遇 乙 乙
米/分钟。“若”说明重新开始，速度不变，从同一点同向出发，乙追甲（快的
追慢的），每追上一次，路程差为一圈，S =500米=（V -V ）*T =（220-180）
差 乙 甲 追
*T ，T =12.5 分钟。问的是乙第一次追上甲时跑的圈数，主语是乙，问的是乙
追 追
的圈数。圈数=S /500，S =V *T =220*12.5，所求=220*12.5/500，选项没有
乙 乙 乙 追
量级差别，可以把 12.5 看成 1/8，220*（1/8）÷500→220/4000→有效数字为
1555；计算：原式=2750/500=5.5圈，对应 B项。
方法二：第一步求出 V =220 米/分钟，中间步骤不看，先看问题，问的是
乙
乙第一次追上甲时跑的圈数，圈数=V *T/500=220*T/500，约分后为 11*T/25，
乙
11 是质数，11 不能被 25 约掉，再乘以时间，也还会有 11，观察选项，含有 11
的只有B项。【选B】
【注意】
1.环形同点出发：每相遇一次合走一圈；每追上一次多走一圈。
2.追及是快的人追慢的人。
3.加一个选项 E.4.5，问甲跑了几圈，已知甲的速度为 180，所求
=180*T/500=9*T/25，最后的答案中有 9 因子，排除 A、B、C、D 项，选择 E 项。
6是3的倍数，但不是 9的倍数。
【练习】（2023 事业单位）老张和小张在周长为 400 米的运动场上跑步，
小张的跑步速度快于老张，当两人在同一起点同时同向出发，则每隔 8分钟相遇
一次；当两人在同一起点同时反向出发，则每隔 2分钟相遇一次，老张在该运动
场跑一圈需要多少分钟？
A.5.33 B.5.36
C.5.42 D.5.45
【解析】拓展.相遇、追及是根据方向判断的，“当两人在同一起点同时同向
出发，则每隔 8分钟相遇一次”，追及：400=8*V →V =50；“当两人在同一起点
差 差
同时反向出发，则每隔 2分钟相遇一次”，相遇：400=2*V →V =200。求的是老
和 和
张，老张速度是小的，V -V =50，V +V =200，V =（200-50）/2=75米/分钟，
大 小 大 小 小
老张在该运动场跑一圈需要 400/75=16/3=5 ≈5.33分钟，对应 A项。【选A】
【注意】
1.环形同点出发：每相遇一次合走一圈；每追上一次多走一圈。
2.猜题技巧换一题未必能用。
16第七节 几何问题
一、公式运用（简单）
二、三角形相关（重点）
【注意】
1.公式运用（简单）：周长、面积、表面积、体积的计算，不需要死记硬背
公式，做题用到的时候看一看、记一记。
2.三角形相关（重点）：勾股定理、相似三角形，重点不是说只考它，简单
公式运用也是考查非常多的。
【注意】公式运用：
171.周长（正方形、长方形、圆形考查多，弧长可能十年考查一次）：
（1）正方形：4a。
（2）长方形：2（a+b）。
（3）圆形：2πr。
（4）弧长：2πr*（n°/360°）。
2.面积（正方形、长方形、三角形、圆形常考，扇形、菱形考查很少，梯形
近两年热门起来）：
（1）正方形：a²。
（2）长方形：ab。
（3）三角形：1/2ah。
（4）圆形：πr²。
（5）扇形：πr²*（n°/360°）。
（6）梯形：1/2（a+b）。
（7）菱形：对角线乘积/2。
3.表面积（正方体、长方体、圆柱体考查多）：
（1）正方体：6a²。
（2）长方体：2（ab+bc+ac）。
（3）圆柱体：2πr²＋2πrh。上下两个底面+侧面。
（4）球体：4πr²。
4.体积（正方体、长方体、柱体、锥体考查多，球体考查非常少）：
（1）正方体：a³。
（2）长方体：abc。
（3）柱体：Sh。
（4）锥体：1/3*Sh。比如金字塔，上面是尖尖的，下面是一个底面。
（5）球体：4/3πr³。
【例 1】（2024 联考）某公园绿化管理部门采购了 100 片围栏，每片长 1 米
且不可弯折。现拆分拟围成 5块周长相等且互不相邻的矩形花卉区域。若不考虑
拼接间隙，那么这 5块区域的最大与最小面积最多可相差多少平方米？
A.10 B.12
18C.16 D.25
【解析】1.矩形就是长方形，100 米分成5块周长相等的矩形，那么每块的
周长为 20 米。这 5 块区域的最大与最小面积最多可相差多少平方米，那么最大
的越大越好，最小的越小越好。长方形面积=长*宽，周长=2*（长+宽）→长+宽
=10 米，长宽相等时，长*宽最大，5*5=25 平方米；长宽相差越大，长*宽最小，
9*1=9平方米，所求=25-9=16平方米，对应 C项。【选C】
【注意】正方形是特殊的矩形，是特殊的平行四边形，是特殊的菱形。
【例 2】（2024 联考）甲、乙两个圆柱容器底面积之比为 3：4，分别盛有 7
厘米高和 10 厘米高的液体。现在向两个容器内注入同样多的液体，直至两个容
器内液体的高度相等，则甲容器内液面上升至：
A.9 厘米 B.12厘米
C.15 厘米 D.19厘米
【解析】2.方法一：原来的容器中底面积不同、高不同，因此液体体积不同。
然后注入同样多的液体，最后高相等，不代表最后的体积相等。求的是甲容器内
液面的高度（10→15，上升至 15，上升了 5）。方程是更通用的思路。设注入液
体后的高度为 H，甲容器液面上升的高度为 H-7。“甲、乙两个圆柱容器底面积之
比为3：4”，设甲的底面积为 3x，乙的底面积为 4x（也可以赋值），新注入液体
的体积=上升高度*底面积，乙容器液面上升的高度为 H-10，（H-7）*3x=（H-10）
*4x，x 可以约掉，解得 H=19，对应 D项。
方法二：比例思路，注入的体积是一样的，上升高度越高则底面积越小，是
反比关系，甲、乙两个圆柱容器底面积之比为 3：4，说明上升高度为 4：3=（H-7）：
（H-10）。
方法三：猜题。问的是上升至，甲原来就有一个高度 7厘米，可能选一个上
升的高度，原有 7 厘米+上升了？厘米=（ ），找相差 7 厘米的选项，7+B 项=D
项，说明B项为坑，猜 D项。【选D】
【注意】
1.新注入的高度和原来的高度没有关系，只影响上升的高度。
192.柱体=S*h。
二、三角形相关（重点）
1.勾股定理
2.面积相关
【注意】三角形相关：两个知识点都非常重要。
1.勾股定理（重点）。
2.面积相关（重点）：主要是相似三角形的相关考法。
1.勾股定理相关
常考点：a²+b²=c²、特殊角直角三角形三边关系
1.常考勾股数：（3、4、5）、（5、12、13）、（7、24、25）、（8、15、
17）
勾股数：满足勾股定理的一组整数
2.特殊角直角三角形三边关系
【注意】勾股定理相关：
1.常考点：a²+b²=c²（两个直角边的平方和=斜边的平方，只有直角三角形
的三条边才满足勾股定理，反过来，满足勾股定理的一定是直角三角形）、特殊
角直角三角形三边关系。
2.常考勾股数：（3、4、5）*n、（5、12、13）、（7、24、25）、（8、15、
17）。（3、4、5）*n、（5、12、13）考查最多，其中的5 和13就是斜边；“*n”
的意思是有可能考查它们的倍数，例如（3、4、5）同时扩大一样的倍数变成（6、
208、10）、（300、400、500），一样满足勾股定理；（7、24、25）、（8、15、
17）考查较少，了解即可。
3.特殊直角三角形三边关系：实际上考查的就是三角函数，例如 30°角所
对的直角边1 是斜边2的一半，即 sin30°=1/2，但是我们不需要记三角函数那
么多，只要记住两个最经典的直角三角形即可。
（1）30°角的直角三角形：三边之比为 1：√ ：2；例如一个 30°角的直
角三角形，30°角的邻边为100，则另一条直角边=100/√ =100√ /3；注意不要
看到30°就随便弄个 2：1，看清楚斜边是 2、短的直角边是 1，而例子没有给斜
边，给的100对应的是√ ，要求的是 1对应的边长，√ 是 1的√ 倍，故100 是？
的√ 倍→？=100/√ 。
（2）45°角的等腰直角三角形：三边之比为 1：1：√ ，两条腰长都是 1，
斜边长是√ 。
21（3）120°角的等腰三角形：三边之比为 1：1：√ 。在中间作一条高，则
左边的三角形是 30°角的直角三角形，左边的边长分别为为1/2、√ /2、1，右
边的一样，则大三角形的底边长=√ /2+√ /2=√ 。
（4）以上三个三角形能囊括考场上 90%以上直角三角形的考法。如果算出
来不是以上这些数字的话，考的就是最基本的勾股定理。
【例 3】（2024 国考）某公园内的道路如下图所示，其中 AB、BC 分别为正
南北向和正东西向道路，AB、AC 分别长 100 米和 200 米，且△BCD 为正三角形，
如要用直线道路连接 AD，则该道路的长度为多少米？
A.150√ B.50（√ +1）
C.100√ D.200√
【解析】3.南北和东西是垂直关系，根据题意可知斜边是 200、直角边是100，
可得∠ACB=30°，BC=100√ ；△BCD 为正三角形，即∠BCD=60°；求的是 AD，
要求AD 这个斜的边长，放在直角三角形中比较好求，由于∠ACB+∠DCB=60°+30°
=90°，故把AD放在直角三角形ACD中求。由于△BCD为正三角形，CD=BC=100√ ；
22在Rt△ACD中，AD²=AC²+CD²=40000+30000=70000，则AD=√ =100√ ，对应
C项。【选 C】
【注意】本题不太好量，一般情况下同学们是不会记忆√ 的，只会记√ ≈
1.414、√ ≈1.732（记住 1.4、1.7 就差不多了），√ 、√ 、√ 很多同学不一
定记得住，而且不建议大家真的去记，因为本题的干扰性很强，A项和D项算出
来只差 1.X%，这种情况下根本不可能量出来。
【例 4】（2024广东）甲、乙、丙三艘船在海上航行。某一时刻，甲观测到
乙位于它的北偏西 30°方向，甲、乙相距 6 千米；甲观测到丙位于它的正西方
向，甲、丙相距 6千米。则乙与丙之间的距离为多少千米？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】4.方法一：猜题，甲乙=6，甲丙=6，且甲乙丙构成一个三角形，猜
测乙丙=6，因为正三角形最好考，且正三角形有 60°，正好能和题目中的 30°
构成一个直角；如果乙丙=5 或者 4 的话，三角形会很窄，其中的各种边长也不
太规整，会出现根号，而题目中只有数字 6，没有出现根号，故优先猜正三角形，
猜D项。
方法二：根据题意画图，以甲为参照物，即以甲为原点，乙位于它的北偏西
30°方向（北偏西靠近北，西偏北靠近西，两者画出来不一样）、且相距6千米，
丙位于它的正西方向（正左边）、且相距6千米，问的是乙丙的距离；如果画的
23图跟老师的一样标准，能看出来乙丙=6。坐标系是垂直的，可得∠乙甲丙=60°，
且甲乙=甲丙，可得△甲乙丙是等边三角形，故乙丙=6，对应 D项。【选D】
【例 5】（2024上海）甲到A市游玩，入住宾馆后问前台服务员如果到附近
超市购物的话如何走，前台对他说：“出门右转步行 1700 米，再左转步行 700
米就能到达。”他误听成了“出门左转步行 700 米，再右转步行 1700 米就能到
达”。可近似认为相邻街道都互相平行，甲最后到达的地方与超市的直线距离为
多少米？
A.1000 B.2000
C.2600 D.3400
【解析】5.从宾馆出发往各个方向走，宾馆是参照物，以宾馆为原点画图，
往右走 1700 米、再往上走 700 米，到达 A 点，A 点是正确的地点；出门后往左
走 700 米、再往上走 1700 米，到达 B 点，B 点是甲现在所在的地点；求的是 AB
的直线距离。观察图形，发现 AB 的水平距离=700+1700=2400，说明 AB＞2400，
排除A、B项。
方法一：3400=2*1700，AB 也不可能是 3400 这么大，本题选项差距很大，
不会做可以猜 C项。
24方法二：AB 是斜线，放在直角三角形中求，AB 不是直角三角形中的边，作
一条垂线AC，在Rt△ABC中，AC就是水平距离=700+1700=2400，BC=1700-700=1000，
可以利用勾股定理→AB²=AC²+BC²求出 AB，但是没有必要。
思路一：AB 是最长边，但是一定小于两条短边之和，AB＜1000+2400=3400，
排除D项，选择 C项。
思路二：根据勾股数猜，边长后边都有两个 0，可以不看，则两条直角边分
别为10、24，分别是 5、12的倍数，想到勾股数（5、12、13）→（10、24、26），
则AB=2600，对应 C项。【选C】
【注意】几何考场思维：长度或面积都可以直接看（前提：选项差距较大）。
3.面积相关：
①高（底）相同的三角形，面积比等于底（高）之比。
常考套路：
任意三角形 ABC，D为BC上任一点，
AD 将ABC 分成两个小三角形，其面积之比一定等于 BD：DC。
【注意】面积相关：
1.高（底）相同的三角形，面积比等于底（高）之比。原理：S =1/2*a*h，
△
1/2是固定系数，说明三角形的面积只取决于底边和高，如果两个三角形的高一
样，则面积完全取决于底边，故高相同的三角形，面积比等于底之比；反之，如
果两个三角形的底边一样，则面积取决于高，故底相同的三角形，面积比等于高
之比。
252.常考套路：任意三角形 ABC，D为BC上任一点，AD 将△ABC分成两个小三
角形（△ABD和△ACD），两个三角形的高都是 AE（共用），故其面积之比=底边
之比，即面积之比一定等于 BD：DC。
（1）例如△ABC中，D 为AC边的中点，连接BD，则两个三角形的面积之比
为1：1。
（2）例如△ABC中，D 为AB边的三等分点，连接CD，则两个三角形的面积
之比为1：2。
【例 6】（2023联考）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三
角形ABC 区域内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形 DEF是中央工厂区。
已知 BD：DE：EC=1：2：3，F 为 AE 的中点，则新能源产业园区总面积是中央工
厂区面积的：
26A.7 倍 B.6倍
C.5 倍 D.4倍
【解析】6.方法一：求△ABC 和△DEF 面积的倍数，即求两个三角形的面积
比。如图所示，△DEF 可以理解为在△ADE 中以 D 作为顶点，对着中点 F 连线，
DF把△ADE分成了上下两部分，则S ：S =1：1，令S =S =S，则S =S+S=2S；
△ADF △DEF △ADF △DEF △ADE
已知 BD：DE：EC=1：2：3，2S 对应的底边为 2，连接 AD，AD 把△ABE 分成左右
两个三角形，底边是 1：2，右边是 2S，则 S =S；同理，AE 把△ACD 分成左右
△ABD
两个三角形，底边是 2：3，左边是2S，则S =3S；整个厂区的总面积=S+2S+3S=6S，
△ACE
黑色部分=S，所求=6S/S=6，对应B 项。
方法二：赋值算面积，S =1/2*a*h。题目给了比例，没有给任何具体长度，
△
可以赋值，已知 BD：DE：EC=1：2：3，则赋值BD、DE、EC 的长分别为1、2、3，
作△DEF 的高 h，△ABC的高h；△EFG和△EAH都是直角三角形，且有共同角∠
1 2
AED，说明两个三角形相似，意味着两个三角形的各个边长对应相同的比例，F
为AE的中点，可得EF/AE=1/2=h /h ；已经赋了一个值，高就不再赋值了，设 h
1 2 1
为 x，则 h 为 2x，则 S =6*2x/2，S =2*x/2，所求=6*2x/2÷（2*x/2）=6，
2 △ABC △DEF
对应B项。【选 B】
27【注意】本题给了图，且选项首位各不相同，可以肉眼观察图形估一下，也
可以估到6倍左右。
3.面积相关：
②相似三角形判定：两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似
常考结论：对应边长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【注意】相似三角形：
1.基本判定：两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似。
（1）如图所示，两个直角相等，∠1 也相等，则这两个三角形相似，相似
用“∽”表示。
（2）常考结论：对应边长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
①例：已知两个三角形相似，可得 10/20=13/（ ）=1/2→（ ）=26。
28②例：已知两个三角形相似，且两个三角形的边长之比为 1：2，左边三角
形的面积为10，问右边三角形的面积？
答：面积比等于相似比的平方，10：？=1²：2²=1：4→？=40。
2.常联想到相似三角形的场景：
（1）平行线中间有交叉：如左图所示，平行线中的内错角相等，可得∠1=
∠1，∠2 是对顶角，也相等，故上下两个三角形相似。平行线不一定是横的，
也可以是竖的，如右图所示，两个三角形一定相似。
（2）三角形内部出现平行关系：例如三角形中两条边的中点相连，得到一
条中位线，中位线和第三边平行，∠1=∠1，顶角共用，故上边的小三角形和大
三角形相似。
29（3）两个直角三角形除直角外还有相同角（最简单，考查最多）：例如直
角三角形中，从直角的顶点作底边的垂线，得到的三个三角形都相似，∠2共用，
且都是直角三角形，故右边的小三角形∽大三角形；同理，∠1共用，且都是直
角三角形，故左边的小三角形∽大三角形。
【例 7】（2024 事业单位）一条东西向的河流宽 50 米，如下图所示，甲划
船从北岸的 A 点出发，直线航行 130 米后到达南岸的 B 点，然后向左转向 90 度
继续直线行驶，到达河流北岸的 C 点，问A、C两点的距离在以下哪个范围内？
A.不到 150 米 B.150～160米之间
C.160～170 米之间 D.超过170米
【解析】7.根据题意可得，AB=130 米，∠ABC=90°，河流的宽 AD=50 米，
宽度是垂直河边画的，想到勾股数（5、12、13），可以推得 BD=120 米；如图所
示，还存在一个 Rt△ABC，由于AC∥BD（如果河流的两边不平行的话，宽度是会
随时变的，就不会有“河流宽50米”这种概念），∠1和∠1是内错角，可得∠
1=∠1，且两个三角形都有直角，两个直角天然相等，说明△ADB∽△ABC，则两
个三角形的各边对应成比例，求的是 AC；△ABC中，AC是斜边，130米是长直角
边；△ABD中，130 米是斜边，120 米是长直角边，可得斜边/长直角边=130/120=？
30/130米→？*120=130*130→？=130*130/120=130*（1+1/12）=130+10+=140+；直
接算也可以，只看有效数字→169/12，算出来是14开头，对应A项。【选A】
【注意】本题算出来是 140多一点点、可能都不到 141，离150比较远，而
选项都到 150、160、甚至 170 以上，故有的同学用肉眼观察，AB=130 米，发现
AC只比 AB长 10%左右，130*（1+10%）=140，也可以选出答案。凡是考试中出题
老师给配图的题目，绝大多数都是正确的图（也会有不正确的、不准的，例如“示
意图”），如果不会正常做法，可以测量一下。
【例 8】（2023联考）边长为 10厘米的正方形ABCD 如下图所示，E 为正方
形中的某一点，已知 AE长8厘米，BE长6厘米，问三角形 ADE的面积为多少平
方厘米？
A.24 B.32
C.44 D.48
31【解析】8.正方形的边长为 10cm，AE=8cm，BE=6cm，6：8：10=3：4：5，
一个三角形的三条边出现了（3、4、5）的倍数，满足勾股定理，一定是直角三
角形，可得△ABE 是直角三角形。求△ADE的面积；△ADE 中，已知 AD=10、AE=8。
方法一：以 AD为底边，作垂线 EF⊥AD，则S =（AD*EF）/2=10/2*EF=5*EF，
△ADE
EF 是自己作的辅助线，长度不一定是整数，故不能根据 5 的倍数选答案；EF 是
一个直角三角形中的直角边，题干中还有另外一个直角三角形，直角三角形很容
易出现相似，只需再找一个角相等就可以了，由于 EF⊥AD、AB⊥AD，可得 EF∥
AB，形成的两个内错角相等→∠1=∠1（由于两个角相等，为了好看都标成∠1），
可得△AEF∽△ABE；△AEF 中，斜边是 AE，EF 是∠1 旁边的直角边，△ABE 中，
斜边是 AB，∠1 旁边的直角边是 AE，可得 EF/AE=AE/AB→EF/8=8/10→
EF=8*8/10=6.4，则S =5*6.4≈30，对应B项。
△ADE
方法二：以 AE 为底边，作垂线 DG⊥AE，则 S =（DG*AE）/2=4*DG。DG 是
△ADE
Rt△ADG 中的直角边，要求的是直角三角形的边长，图中本身有一个（6、8、10）
的直角三角形，看一下这两个三角形是否相似；如图所示，∠1+∠2=90°由于∠
DAB=90°，故∠EAB=∠2（两个角都标记为∠2），两个直角天然相等，可得△ADG
∽△ABE；△ADG 中唯一已知的边长是斜边 AD=10，△ABE 中斜边的边长也是 10，
两个直角三角形的斜边对应相等，相似三角形+任意对应边的长度相等，即可判
定为两个三角形为全等三角形，说明两个三角形的每个对应边长分别相等，DG
是上边∠2的邻边，下边∠2的邻边 AE=8，可得DG=AE=8，则S =4*8=32，对应
△ADE
B项。
32方法三：观察。题目有图，且选项差距大，可以直接看。
思路一：直接看面积不好看，任何一个矩形连接对角线之后，会分成上下左
右4个相等的面积；连接正方形ABCD 的对角线AC、BD，S =10*10=100，对角
正方形
线把正方形四等分，可得每个的面积都是 25，△ADE比四等分的三角形多蓝色的
部分，可得 S ＞25，排除 A 项；C、D 项差不多是 25 翻倍，明显没有那么大，
△ADE
选择B项。
思路二：如果想不到面积，只想到看长度，根据方法二得到 S =8*DG/2=4*DG，
△ADE
需要求出DG的长度；观察图形，△ADG中，AD是斜边，可得 DG＜10；很明显 DG
＞BE=6，或者直接量一下，量出来 DG和AE几乎一样；综上，6＜DG＜10，DG 大
约是8，可得 S 在24～40之间，只有 B项符合。
△ADE
33思路三：根据方法一得到 S =（AD*EF）/2=10/2*EF=5*EF，可以用EF与水
△ADE
平的 AB 作对比，取 AB 的中点，底边的一半是 5，观察图形，发现 EF 比 5 大一
点点，EF-5=1.X，则所求=6.X*5=30+，对应B项。【选 B】
【注意】
1.直角三角形最常考相似：直角天然相等，只需再找一个角相等就可以了。
2.特殊：相似三角形+任意对应边的长度相等，即可判定为全等三角形。
3.几何考场思维：长度或面积都可以直接看（前提：选项差距较大），面积
需要找参照物才好比，需要作辅助线；长度可以和已知长度作对比。
34【注意】
1.成功道路上的人总是越来越少，因为上坡路走得累。数学是勇敢者的游戏，
剩者为王。
2.预习：
（1）第八节：排列组合与概率（抽象、难点，掌握简单题即可）。
（2）第九节：容斥原理（公式记忆为主，送分点，考查较少）。
（3）尽量自己认真思考做一遍，听课效果更佳；实在不会做，起码要熟悉
题目。
【答案汇总】
行程问题 1-5：ABBBB；6：B
几何问题 1-5：CDCDC；6-8：BAB
35遇见不一样的自己
Be your better self
36
