文档内容
绝密★启用前
2024 年中考押题预测卷 01【南京卷】
数 学
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1 2 3 4 5 6
B D B B B B
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
7．2，1 8．x≠2 9．3 10．1 11．20
2√10 3
12．﹣1 13． 或2√2或2 14．120 15．105 16．
3 32
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第
25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
{4(x−1)＞3x−2①
17解： ，
2x−3≤5②
解①得x＞2，
解②得x≤4．
则不等式组的解集是：2＜x≤4．（4分）
则整数解是：3，4．（6分）
m2−1 2m+1
18．解： ÷(m+ )
m m
m2−1 m2 2m+1
= ÷( + ) （2分）
m m m
m2−1 m2+2m+1
= ÷
m m
(m+1)(m−1) m
= • （4分）
m (m+1) 2
m−1
= ．（6分）
m+1
19．解：（1）∵共有A、B、C、D四个景点，
1
∴恰好选中A景点的概率为 ；（4分）
4（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，选中A、B两个景点至少有一个的结果有10个，
10 5
∴随机选择两个景点，A，B景点至少有一个的概率为： = ．（8分）
12 6
20．解：（1）本次检测抽取了大、中、小学生共：50000×20%＝10000（名），
其中小学生：10000×45%＝4500（名）．
故答案为：10000，4500；（4分）
（2）估计 2022 年该地区 5 万名大、中、小学生中，3 分钟跳绳成绩合格的中学生人数为：
50000×40%×90%＝18000（名）．
故答案为：18000；
（3）与2018年相比，2022年该地区大学生3分钟跳绳成绩合格率下降了5%（答案不唯一）（8分）
21．解：如图，先作AB的垂直平分线得到圆心O，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线交 O于Q、
P，接着过Q、P点分别作AB的垂线，垂足分别为M、N，
⊙
则四边形MNPQ为所作．
（8分）
22．解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，
设DM与BC交于点G，则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，
∵∠ABC＝148°，
∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，
在Rt△CBN中，BC＝30cm，
∴CN＝30•sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），
BN＝30•cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），
∴AF＝BN＝15.9cm，
∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），（2分）
∵DM∥BN，
∴∠CGM＝∠CBN＝58°，
∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，
√3
在Rt△CDM中，CM＝DM•tan30°= ×24.9≈14.36（cm），（4分）
3
∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），
∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），
∴DE＝MF＝26.1cm，
∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1 cm．（8分）
5
23．解：（1）把点（1，k2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2− k，得
2
5
k2＝12﹣2（k﹣1）+k2− k
2
2
解得k= （2分）
3
5
（2）把点（2k，y ）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2− k，得
1 2
5 3
y ＝（2k）2﹣2（k﹣1）•2k+k2− k＝k2+ k
1 2 2
5
把点（2，y ）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2− k，得
2 2
5 13
y ＝22﹣2（k﹣1）×2+k2− k＝k2− k+8
2 2 2
∵y ＞y
1 2
3 13
∴k2+ k＞k2− k+8
2 2
解得k＞1 （5分）
5
（3）抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2− k解析式配方得
21
y＝（x﹣k+1）2+（− k−1）
2
将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为
1
y＝（x﹣k）2+（− k−1）
2
当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，
1 5
∴x＝1时，y最小 ＝（1﹣k）2−
2
k﹣1＝k2−
2
k，
5 3 3
∴k2− k =− ，解得k ＝1，k =
2 2 1 2 2
都不合题意，舍去；
1
当1≤k≤2时，y最小 =−
2
k﹣1，
1 3
∴− k﹣1 =−
2 2
解得k＝1；
当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，
1 9
∴x＝2时，y最小 ＝（2﹣k）2−
2
k﹣1＝k2−
2
k+3，
9 3
∴k2− k+3=−
2 2
3
解得k ＝3，k = （舍去）
1 2 2
综上，k＝1或3．（8分）
24．∵点P在BC上，且点P在∠BAC的平分线上，
∴点P到AB、AC的距离相等，
∴点P就是所求的图形．（4分）
（2）证明：∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵PA＝PC，
∴∠C＝∠CAP，
∴∠BAP＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△PBA∽△ABC，
PA AB
∴ = ，
AC BC
∴PA•BC＝AC•AB，∴PC•BC＝AC•AB．
（8分）
25.（1）证明：如图①，连接CO交AB于K，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵CD与 O相切，
∴半径OC⊥CD，
⊙
∴OC⊥AB，
由垂径定理得：AK＝BK，
∴直线CK垂直平分AB，
∴AC＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．（4分）
（2）解：（Ⅰ）如图②，连接AE，OB，过点A作AG⊥CD于G，过点O作OF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠D，AB＝CD，
∴∠ACD＝∠BAC，∵^BC=^BC，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵OF⊥弦BC，
1
∴CF= BC，∠BOC＝2∠COF，
2
∴∠COF＝∠ACD，
∵四边形ABCE是 O的内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
⊙
∵∠AED+∠AEC＝180°，
∴∠AED＝∠ABC，
∴∠AED＝∠D，
∴AE＝AD，
∵AD＝6，
∴AE＝BC＝6，CF＝3，
∵AE＝AD，AG⊥CD，
∴EG＝DG，设EG＝DG＝x，
∵CE＝5，
∴CG＝x+5，CD＝2x+5，
∵AB＝AC，
∴AC＝CD＝2x+5，
在Rt△ACG中，AG2＝AC2﹣CG2，
在Rt△AEG中，AG2＝AE2﹣EG2，
∴AC2﹣CG2＝AE2﹣EG2，
即（2x+5）2﹣（x+5）2＝62﹣x2，
9
解得：x ＝2，x =− （舍去），
1 2 2
∴EG＝DG＝2，AC＝CD＝9，
在Rt△ADG中，AG=√AD2−DG2=√62−22=4√2，
AG 4√2
∴sin∠COF＝sin∠ACD= = ，
AC 9
CF 3 27√2
= = =
∴OC sin∠COF 4√2 8 ，
9
27√2
∴ O的半径为 ．
8
⊙
（Ⅱ）如图③，连接AE，∵EF•AB＝CE2，
EF CE
∴ = ，
CE AB
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠D，
∴∠BAC＝∠ACD，∠BAD+∠D＝180°，
∵^BC=^BC，
∴∠BAC＝∠BEC，
∴∠ACD＝∠BEC，
∴EF＝CF，
又∵AB＝AC，
CF CE
∴ = ，
CE AC
又∵∠ECF＝∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
∴∠CEF＝∠CAE，即∠BEC＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠BAC，
∵∠AED＝∠D＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC，
设∠BAC＝ ，
1
则∠ABC＝α∠ACB＝∠D＝90°− ，∠CAE＝∠DAE＝ ，
2
∵∠BAD+∠D＝180°， α α
1
∴3 +90°− ＝180°，
2
解得α： ＝36° α，
1 1
∴∠D＝α 90°− ＝90°− ×36°＝72°，
2 2
故答案为：72．α（8分）26．解：（1）曲线OCDEF为小郑的运动图象，50m用时60s，
50 5
∴小郑游泳的平均速度为 = （m/s），
60 6
∵小郑来回游了4次，
100
∴游泳池的长度为 = 25（m），
4
5
故答案为： ，25；
6
（2）①小外在45s后游泳的速度也保持不变，且小郑和小外同时到达终点，
1
∴小外剩余时间3等分，每份为 ×（120﹣45）＝25（s），
3
∴图象关键点的横坐标为70，95，120，（3分）
函数图象如图所示：
5 5 5
②小郑的函数表达式为：y = x（0≤x＜30），y =− x+50（30≤x＜60），y = x﹣50（60≤x＜
1 6 1 6 1 6
5
90），y =− x+100（90≤x＜120），
1 6
5
小外的函数表达式为：y = x（0≤x＜45），y ＝﹣x+70（45≤x＜70），y ＝x﹣70（70≤x＜95），y
2 9 2 2 2
＝﹣x+120（95≤x＜120），
5 5 5
（Ⅰ）当0≤x＜30时，y ﹣y = x− x = x＝5，解得x＝18，符合题意，
1 2 6 9 18
5 5 25 162
（Ⅱ）当30≤x＜36时，y ﹣y =− x+50− x=− x+50＝5，解得x= ，符合题意，
1 2 6 9 18 5
5 5 25 198
（Ⅲ）当36≤x＜45时，y ﹣y = x﹣（− x+50）= x﹣50＝5，解得x = ，符合题意，
2 1 9 6 18 5
5 1
（Ⅳ）当45≤x＜60时，y ﹣y ＝﹣x+70﹣（− x+50）=− x+20＝5，解得x＝90，不符合题意，舍去，
2 1 6 6
720 5 11 690
（Ⅴ）当60≤x＜ 时，y ﹣y ＝﹣x+70﹣（ x﹣50）=− x+120＝5，解得x= ，符合题意，
11 2 1 6 6 11
720 5 11 750
（Ⅵ）当 ≤x＜70时，y ﹣y = x﹣50﹣（﹣x+70）= x﹣120＝5，解得x = ，符合题意，
11 1 2 6 6 115 1
（Ⅶ）当70≤x≤90时，y ﹣y = x﹣50﹣（x﹣70）=− x+20＝5，解得x＝90，符合题意，
1 2 6 6
5 11 1050
（Ⅷ）当90＜x＜95时，y ﹣y ＝x﹣70﹣（− x+100）= x﹣170＝5，解得x= ，不符合题意，
2 1 6 6 11
舍去，
5 1
（Ⅸ）当95≤x≤120时，y ﹣y ＝﹣x+120﹣（− x+100）=− x+20＝5，解得x＝90，不符合题意，
2 1 6 6
舍去，
162 198 690 750
综上所述，小郑出发18s、 s、 s、 s、 s、90s时，两人相距5m．
5 5 11 11
（10分）
27．解：（1）由题意得，∠BEF＝∠BED＝90°，
在Rt△BEF中，∠ABC＝30°，BE＝6，
BE 6
= = =
∴BF cos∠ABC √3 4√3；（2分）
2
（2）①当点E在BC上方时，
如图1，过点D作DH⊥BC于H，
AC
在Rt△ABC中，AC＝6，tan∠ABC= ，
BC
6
= =
∴BC √3 6√3，
3
在Rt△BED中，∠EBD＝∠ABC＝30°，BE＝6，
√3
∴DE＝BE•tan∠DBE＝6× =2√3，
3
在Rt△BCE中，BE＝6，BC＝6√3，
根据勾股定理得，CE=√BC2−BE2=√(6√3) 2−62=6√2，
∴CD＝CE+DE＝6√2+2√3，
1 1
∵S△BCD =
2
CD•BE =
2
BC•DH，CD⋅BE (6√2+2√3)×6
∴DH= = =2√6+2；
BC 6√3
②当点E在BC下方时，如图2，过点D作DM⊥BC于M，
√2 √3
同理可得CE＝6 ，DE＝2 ，
∴CD＝6√2−2√3，
1 1
∵S△BDC =
2
BC•DM =
2
CD•BE，
CD⋅BE (6√2−2√3)×6
∴DM= = =2√6−2，
BC 6√3
∴点D到直线BC的距离为2√6+2或2√6−2；（6分）
（3）如图3﹣1，连接CD，取CD的中点G，
取BC的中点O，连接GO，则OG∥AB，
∴∠COG＝∠B＝30°，
∴∠BOG＝150°，
∵点G为CD的中点，点O为BC的中点，
1
∴GO= BD＝2√3，
2
∴点G在以点O为圆心，2√3为半径的圆上，如图3﹣2，
∴三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为
150°所对的圆弧，
150×π×2√3 5√3
∴点G所经过的路径长为 = ；
180 3
π
（4）如图4，过点O作OK⊥AB于K，
∵点O为BC的中点，BC＝6√3，
∴OB＝3√3，3√3
∴OK＝OB•sin30°= ，
2
由（3）知，点G是以点O为圆心，2√3为半径的圆上，
3√3 7√3
∴点G到直线AB的距离的最大值是2√3+ = ；
2 2
（10分）
