文档内容
2012年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）9的算术平方根是（ ）
A．3 B．﹣3 C．81 D．﹣81
2．（3分）联合国人口基金会的报告显示，世界人口总数在2011年10月31日达到70亿，将
70亿用科学记数法表示为（ ）
A．7×109 B．7×108 C．70×108 D．0.7×1010
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x3﹣x2＝x B．x6÷x2＝x3 C． + ＝ D． × ＝
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2AC，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列调查中，调查方式选择正确的是（ ）
A．为了了解1000个灯泡的使用寿命，选择全面调查
B．为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查
C．为了了解生产的一批炮弹的杀伤半径，选择全面调查
D．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
6．（3分）如图，过 ▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与
GH，那么图中的 ▱AEMG的面积S
1
与 ▱HCFM的面积S
2
的大小关系是（ ）
A．S ＞S B．S ＜S C．S ＝S D．2S ＝S
1 2 1 2 1 2 1 2
7．（3分）不等式组 的解集是（ ）
A．x＞2 B．x≤4 C．x＜2或x≥4 D．2＜x≤4
8．（3分）圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．320° B．40° C．160° D．80°
9．（3分）随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷两
第1页（共26页）次骰子，掷得面朝上的点数之和是5的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）已知下列命题：
若a≤0，则|a|＝﹣a；
①若ma2＞na2，则m＞n；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③垂直于弦的直径平分弦．
④其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（3分）在矩形ABCD中，点O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为20cm，则
AB的长为（ ）
A．1cm B．2cm C． cm D． cm
12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+5（m﹣5）＝0的两个正实数根分别为x ，x ，且
1 2
2x +x ＝7，则m的值是（ ）
1 2
A．2 B．6 C．2或6 D．7
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
13．（3分）计算： ＝ ．
14．（3分）化简：[ ﹣ ]÷ ＝ ．
15．（3分）某校六个绿化带小组一天植树的棵树如下：10，11，12，13，8，x．若这组数据的平均
数是11，则这组数据的众数是 ．
16．（3分）关于x的两个方程x2﹣x﹣2＝0与 有一个解相同，则a＝ ．
17．（3分）如图，△ABC内接于 O，∠BAC＝60°， O的半径为2，则BC的长为 （保
留根号）． ⊙ ⊙
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，△ABO是直角三角形，∠ABO＝90°，
第2页（共26页）点B的坐标为（﹣1，2），将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得到△A B O，则过A ，B两点
1 1 1
的直线解析式为 ．
19．（3分）如图，直线y＝ x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C
的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y＝ 的图象上，CD平行于y轴，S△OCD ＝ ，则k的
值为 ．
20．（3分）如图，将△ABC纸片的一角沿DE向下翻折，使点A落在BC边上的A′点处，且
DE∥BC，下列结论：
∠AED＝∠C； ； BC＝2DE； S四边形ADA′E ＝S△DBA′+S△EA′C ．
① ② ③ ④
其中正确结论的个数是 个．
三、解答题（共6小题，满分60分）
21．（8分）某年级组织学生参加夏令营活动，本次夏令营活动分为甲、乙、丙三组进行．如图
条形统计图和扇形统计图反映了学生参加夏令营活动的报名情况，请你根据图中的信息
回答下列问题：
第3页（共26页）（1）该年级报名参加本次活动的总人数为 人，报名参加乙组的人数为 人；
（2）补全条形统计图中乙组的空缺部分；
（3）根据实际情况，需从甲组抽调部分学生到丙组，使丙组人数是甲组人数的3倍，应从
甲组抽调多少名学生到丙组？
22．（8分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽AD＝5米，斜坡AB的坡度i＝1：3（指
坡面的铅直高度AE与水平宽度BE的比），斜坡DC的坡度i＝1：1.5，已知该拦水坝的高
为6米．
（1）求斜坡AB的长；
（2）求拦水坝的横断面梯形ABCD的周长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
23．（10分）某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品
每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商
品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销
售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？
24．（10分）如图，已知AB为 O的直径，过 O上的点C的切线交AB的延长线于点E，
AD⊥EC于点D且交 O于点⊙F，连接BC，⊙CF，AC．
（1）求证：BC＝CF⊙；
（2）若AD＝6，DE＝8，求BE的长；
（3）求证：AF+2DF＝AB．
第4页（共26页）25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点D在BC上，且CD＝
3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC
向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD
于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．
（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
26．（12分）已知直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A，D两点，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过
点A，D，点B是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）设点M是直线AD上一点，且S△AOM ：S△OMD ＝1：3，求点M的坐标；
（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三
角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共26页）第6页（共26页）2012年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所
以结果必须为正数，由此即可求出9的算术平方根．
【解答】解：∵32＝9，
∴9的算术平方根是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，易错点正确区别算术平方根与平方根的定义．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：70亿＝7 000 000 000＝7×109．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据合并同类项法则对A进行判断；根据同底数幂的除法法则对B进行判断；根据
同类二次根式的定义对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、x3与x2不是同类项，不能合并，所以A选项错误；
B、x6÷x2＝x4，所以B选项错误；
C、 与 不是同类二次根式，不能合并，所以C选项错误；
D、 × ＝ ＝ ，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的乘法： × ＝ （a≥0，b≥0）．也考查了合并同类项、
同底数幂的除法以及二次根式的加减法．
4．【分析】在RT△ABC中，根据AB＝2AC，可得出∠B＝30°，∠A＝60°，从而可得出sinA的值．
第7页（共26页）【解答】解：
∵∠C＝90°，AB＝2AC，
∴∠B＝30°，∠A＝60°，
故可得sinA＝ ．
故选：C．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值及直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边一半，
属于基础题，这是需要我们熟练记忆的内容．
5．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到
的调查结果比较近似．
【解答】解：A、C、D、了解1000个灯泡的使用寿命，了解生产的一批炮弹的杀伤半径，了解
一批袋装食品是否含有防腐剂，都是具有破坏性的调查，无法进行普查，故不适于全面调
查．
B、了解某公园全年的游客流量，工作量大，时间长，故需要用抽样调查．
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查
的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义
或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普
查．
6．【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、GPFD，证△ABD≌△CDB，
得出△ABD和△CDB的面积相等；同理得出△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和
△FDM的面积相等，相减即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中；
第8页（共26页）∵ ，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S ＝S ．
1 2
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题
的关键是求出△ABD和△CDB的面积相等，△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和
△FDP的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等
7．【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等
式组的解集即可．
【解答】解： ，
由 得：x＞2，
由①得：x≤4．
故②不等式组的解集为2＜x≤4．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式（组）等知识点，关键是能根据不等
式的解集找出不等式组的解集，题目比较好，难度适中．
8．【分析】根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用公式求得圆锥的侧
面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心
角即可．
【解答】解：∵圆锥的底面直径是80cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为： d＝80 ，
∵母线长90cm， π π
第9页（共26页）∴圆锥的侧面展开扇形的面积为： lr＝ ×80 ×90＝3600 ，
π π
∴ ＝3600 ，
π
解得：n＝160．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的有关计算，解决此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与
圆锥的关系．
9．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与掷得面朝上的点数
之和是5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，掷得面朝上的点数之和是5的有4种情况，
∴掷得面朝上的点数之和是5的概率是： ＝ ．
故选：B．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步
以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．【分析】先对每一命题进行判断，再写出每一命题的逆命题，然后判断出真假，即可得出原
命题与逆命题均为真命题的个数．
【解答】解： 若a≤0，则|a|＝﹣a是真命题，逆命题为若|a|＝﹣a，则a≤0是真命题，
若ma2＞na① 2，则m＞n是真命题，逆命题为若m＞n，则ma2＞na2是假命题，
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形是真命题，逆命题为平行四边形的两组对角
③分别相等是真命题，
垂直于弦的直径平分弦是真命题，逆命题为平分弦的直径垂直于弦是假命题，
④
第10页（共26页）所以原命题与逆命题均为真命题的个数是2个．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理；主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的
命题叫做假命题，关键是要熟悉有关的性质定理．
11．【分析】根据矩形性质求出AB＝CD，∠B＝∠C，可证△ABO≌△DCO，求出∠AOB＝
∠DOC＝45°，求出AB＝OB，即可求出答案．
【解答】
解：∵O是BC中点．
∴OB＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，
在△ABO和△DCO中
∵ ，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴∠AOB＝∠DOC，
∵∠AOD＝90°，
∴∠AOB＝∠DOC＝45°，
∴∠BAO＝45°＝∠AOB，
∴AB＝OB，
∵矩形ABCD的周长是20cm，
∴2（AB+BC）＝20cm，
AB+BC＝10cm，
∴AB＝ cm．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形性质、全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质的应用，关
键是求出AB＝OB，题目比较好，难度适中．
12．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系和两根都为正根得到
第11页（共26页）x +x ＝m＞0，x •x ＝5（m﹣5）＞0，则m＞5，由2x +x ＝7得到m+x ＝7，即x ＝7﹣m，x
1 2 1 2 1 2 1 1 2
＝2m﹣7，于是有（7﹣m）（2m﹣7）＝5（m﹣5），然后解方程得到满足条件的m的值．
【解答】解：根据题意得x +x ＝m＞0，x •x ＝5（m﹣5）＞0，
1 2 1 2
则m＞5，
∵2x +x ＝7，
1 2
∴m+x ＝7，即x ＝7﹣m，
1 1
∴x ＝2m﹣7，
2
∴（7﹣m）（2m﹣7）＝5（m﹣5），
整理得m2﹣8m+12＝0，
（m﹣2）（m﹣6）＝0，
解得m ＝2，m ＝6，
1 2
∵m＞5，
∴m＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分
别为x ，x ，则x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．也考查了一元二次方程的解法．
1 2 1 2 1 2
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
13．【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简及零指数幂的运算，然后合并即可得出答
案．
【解答】解：原式＝ ﹣1﹣2 +1
＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式
的化简、分母有理化及零指数幂的运算法则．
14．【分析】先将括号里面的分式的分子分母分解因式，再通分进行分式加减计算后，最后进
行分式的除法计算就可以得出结论．
【解答】解：原式＝
第12页（共26页）＝
＝
＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了因式分解的运用，异分母分式的加减法则和分式除法计算．解答中注
意符号的确定．
15．【分析】首先根据平均数的定义求得x的值，然后利用众数的定义求得答案即可．
【解答】解：∵数据10，11，12，13，8，x的平均数是11，
∴x＝6×11﹣（10+11+12+13+8）＝12，
∵数据12出现的次数最多，
∴众数为12．
故答案为12．
【点评】本题考查了平均数及众数的定义，解题的关键是首先根据平均数是11求得x的值，
然后根据众数的定义求得众数即可．
16．【分析】首先解出一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的解，根据两个方程x2﹣x﹣2＝0与
解相同，把x的值代入第二个方程中，解出a即可．
【解答】解：x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
∵x+1≠0，
∴x≠﹣1，
把x＝2代入 ＝ 中得： ＝ ，
解得：a＝4，
故答案为：4．
第13页（共26页）【点评】此题主要考查了解一元二次方程，以及解分式方程，关键是正确确定x的值，注意
分式方程要注意分母有意义，还要检验．
17．【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC＝2BD，又由圆周角定理，可求
得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可
求得答案．
【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，
则BC＝2BD，
∵△ABC内接于 O，∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠A⊙＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝ ＝30°，
∵ O的半径为2，
⊙
∴BD＝OB•cos∠OBC＝2× ＝ ，
∴BC＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．此题
难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
18．【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，根据相似三角形对应边成比例求出AC的长度，然后
求出OA的长度，从而得到点A的坐标，再根据旋转变换的性质求出点A 的坐标，然后利
1
用待定系数法求一次函数解析式解答即可．
【解答】解：如图，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵点B的坐标为（﹣1，2），
∴OC＝1，BC＝2，
∵∠ABO＝90°，
∴∠BAC+∠AOB＝90°，
又∵∠BAC+∠ABC＝90°，
第14页（共26页）∴∠AOB＝∠ABC，
∴Rt△ABC∽Rt△BOC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得AC＝4，
∴OA＝OC+AC＝1+4＝5，
∴点A（﹣5，0），
根据旋转变换的性质，点A （0，5），
1
设过A ，B两点的直线解析式为y＝kx+b，
1
则 ，
解得 ．
所以过A ，B两点的直线解析式为y＝3x+5．
1
故答案为：y＝3x+5．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转变换的性质，作辅助线构造出相
似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出AC的长度，然后得到点A的坐标是解题的
关键．
19．【分析】把x＝2代入y＝ x﹣2求出C的纵坐标，得出OM＝2，CM＝1，根据CD∥y轴得
出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D的
坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．
【解答】解：∵点C在直线AB上，即在直线y＝ x﹣2上，点C的纵坐标为﹣1，
第15页（共26页）∴代入得：﹣1＝ x﹣2，
解得，x＝2，即C（2，﹣1），
∴OM＝2，
∵CD∥y轴，S△OCD ＝ ，
∴ CD×OM＝ ，
∴CD＝ ，
∴MD＝ ﹣1＝ ，
即D的坐标是（2， ），
∵D在双曲线y＝ 上，
∴代入得：k＝2× ＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数、反比例函数的图象上
点的坐标特征、三角形的面积等知识点，通过做此题培养了学生的计算能力和理解能力，
题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
20．【分析】由折叠的性质可得：AD＝A′D，AE＝A′E，DE∥BC，易得DE是△ABC的中位
线，由平行线的性质可得 ∠AED＝∠C与； ；由三角形中位线的性质，
① ②
可得 BC＝2DE；由相似三角形的性质，易证得S四边形ADA′E ＝S△DBA′+S△EA′C ．
【解③答】解：由折叠的性质可得：AD＝A′D，AE＝A′E，
第16页（共26页）∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
故 正确；
∵①DE∥BC，
∴ ，
∴ ，
故 正确；
∵②AD＝A′D，AE＝A′E，DE∥BC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
故 正确；
∵③DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴S△ADE ＝S△A′DE ＝ S△ABC ，
∴S四边形ADA′E ＝S△DBA′+S△EA′C ＝ S△ABC ．
故 正确．
故④答案为：4．
【点评】此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质以及平
行线的性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应
用．
三、解答题（共6小题，满分60分）
21．【分析】（1）根据甲组有18人，所占的比例是30%，即可求得总数，总数乘以所占的比例
即可求得这一组的人数；
（2）根据乙组的人数即可补全条形统计图中乙组的空缺部分；
（3）设应从甲组调x名学生到丙组，根据丙组人数是甲组人数的3倍，即可列方程求解．
【解答】解：（1）18÷30%＝60（人），
第17页（共26页）乙组的人数：60×20%＝12（人）；
（2）
（3）设应从甲组调x名学生到丙组，可得方程：30+x＝3（18﹣x），
解得：x＝6．
答：应从甲组调6名学生到丙组．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小
22．【分析】（1）根据坡度的定义得出BE的长，进而利用勾股定理得出AB的长；
（2）利用矩形性质以及坡度定义分别求出CD，CF，EF的长，进而求出梯形ABCD的周长
即可．
【解答】解：（1）∵ ＝i＝ ，AE＝6，
∴BE＝3AE＝18，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：
AB＝ ＝6 ，
答：斜坡AB的长为6 m；
（2）过点D作DF⊥BC于F，
可得四边形AEFD是矩形，
故EF＝AD，∵AD＝5，∴EF＝5，
∵ ＝i＝ ，
DF＝AE＝6，
第18页（共26页）∴CF＝ DF＝9，
∴BC＝BE+EF+CF＝18+5+9＝32，
在Rt△DCF中，根据勾股定理得：
DC＝ ＝3 ，
∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+DA＝6 +32+3 +5＝37+6 +3 ，
答：拦水坝的横断面梯形ABCD的周长为（37+6 +3 ）m．
【点评】此题主要考查了坡度的定义以及勾股定理的应用，根据已知坡度定义得出BE，FC
的长是解题关键．
23．【分析】（1）题中有两个等量关系：购买A种商品进价+购买B种商品进价＝36000，出售
甲种商品利润+出售乙种商品利润＝6000，由此可以列出二元一次方程组解决问题．
（2）根据不等关系：出售甲种商品利润+出售乙种商品利润≥8160，可以列出一元一次不
等式解决问题．
【解答】解：（1）设商场购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据题意得：
，
解得： ．
答：该商场购进甲种商品200件，乙种商品120件．
（2）设乙种商品每件售价z元，根据题意，得
120（z﹣100）+2×200×（138﹣120）≥8160，
解得：z≥108．
答：乙种商品最低售价为每件108元．
【点评】本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润＝售
价﹣进价．
24．【分析】（1）根据切线的性质首先得出CO⊥ED，再利用平行线的判定得出CO∥AD，进
第19页（共26页）而利用圆周角、圆心角定理得出BC＝CF；
（2）首先求出△EOC∽△EAD，进而得出r的长，即可求出BE的长；
（3）利用全等三角形的判定得出Rt△AGC≌Rt△ADC，进而得出Rt△CGB≌Rt△CDF，即
可求出AD+DF＝AB得出答案即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵ED切 O于点C，
∴CO⊥E⊙D，
∵AD⊥EC，
∴CO∥AD，
∴∠OCA＝∠CAD，
∵∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠CAD，
∴ ＝ ，
∴BC＝CF；
（2）解：在Rt△ADE中，
∵AD＝6，DE＝8，
根据勾股定理得AE＝10，
∵CO∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴ ＝ ，
设 O的半径为r，
∴⊙OE＝10﹣r，
∴ ＝ ，
∴r＝ ，
∴BE＝10﹣2r＝ ；
（3）证明：过C作CG⊥AB于G，
∵∠OAC＝∠CAD，AD⊥EC，
第20页（共26页）∴CG＝CD，
在Rt△AGC和Rt△ADC中，
∵ ，
∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），
∴AG＝AD，
在Rt△CGB和Rt△CDF中，
∵ ，
∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），
∴GB＝DF，
∵AG+GB＝AB，
∴AD+DF＝AB，
AF+DF+DF＝AB，
∴AF+2DF＝AB．
【点评】此题主要考查了切线的性质定理和圆周角及弧的关系、相似三角形的判定与性质、
全等三角形的判定与性质等知识，得出GB＝DF是解题关键．
25．【分析】（1）先根据点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的
速度沿BC向终点C运动求出 1秒后AP及BQ的长，进而可得出 QD及的长，再由
PE∥BC可知 ＝ ，故可得出PE＝QD，由PE∥BC即可得出结论；
第21页（共26页）（2）先用t表示出PC及CQ的长，再求出 ＝ 即可得出结论；
（3）分∠EQP＝90°，∠QED＝90°两种情况，通过三角形相似，列出比例关系，求出t的值
即可．
【解答】解：（1）能，
如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC
向终点C运动，t＝1秒，
∴AP＝1厘米，BQ＝1.25厘米，
∵AC＝4cm，BC＝5cm，点D在BC上，CD＝3cm，
∴PC＝AC﹣AP＝4﹣1＝3（厘米），QD＝BC﹣BQ﹣CD＝5﹣1.25﹣3＝0.75（厘米），
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ACD，
∴ ＝ ， ＝ ，解得PE＝0.75，
∵PE∥BC，PE＝QD，
∴四边形EQDP是平行四边形；
（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿
BC向终点C运动，
∴PC＝AC﹣AP＝4﹣t，QC＝BC﹣BQ＝5﹣1.25t，
∴ ＝ ＝1﹣ ， ＝ ＝1﹣ ，
∴ ＝ ，
又∵∠C＝∠C，
∴△CPQ∽△CAB，
∴∠CPQ＝∠CAB，
∴PQ∥AB；
（3）分两种情况讨论：
如图3，当∠EQD＝90°时，显然有EQ＝PC＝4﹣t，
①又∵EQ∥AC，
第22页（共26页）∴△EDQ∽△ADC
∴ ＝ ，
∵BC＝5厘米，CD＝3厘米，
∴BD＝2厘米，
∴DQ＝1.25t﹣2，
∴ ＝ ，解得t＝2.5（秒）；
如图4，当∠QED＝90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则四边形EMCP是矩形，
②EM＝PC＝4﹣t，
在Rt△ACD中，
∵AC＝4厘米，CD＝3厘米，
∴AD＝ ＝ ＝5，
∴CN＝ ＝ ，
∵∠CDA＝∠EDQ，∠QED＝∠C＝90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ，解得t＝3.1（秒）．
综上所述，当t＝2.5秒或t＝3.1秒时，△EDQ为直角三角形．
第23页（共26页）【点评】本题考查的是相似三角形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形
的判定定理及直角三角形的性质，难度较大．
26．【分析】（1）首先由已知的直线解析式确定点A、D的坐标，再利用待定系数法可求出抛
物线的解析式，在抛物线的解析式中，令y＝0，即可求出点B的坐标．
（2）△AOM、△OMD中，它们的高都可视作点O到直线AD的距离，所以它们的面积比可
转化为底边的比，即AM：MD＝1：3，显然MD＞AM，所以只需考虑点M在线段AD上以及
点M在线段DA的延长线上这两种情况，可过点M作x轴的垂线，通过构建相似三角形来
求出点M的坐标．
（3）先求出点C的坐标，在知道了点C、B的坐标后，设出点P的坐标，然后表示出△BCP
的三边长，分 CP＝BP、 CP＝BC、 BP＝BC三种情况，列等式求出点P的坐标，需
要注意的是要①利用点P在②y轴正半轴上③，将不合题意的解舍掉．
【解答】解：（1）令y＝0，则2x+4＝0，
解得x＝﹣2，
第24页（共26页）令x＝0，则y＝4，
所以，点A（﹣2，0）、D（0，4）；
代入抛物线y＝﹣ x2+bx+c中，得：
，解得
∴抛物线的解析式：y＝﹣ x2+x+4；
令y＝0，得：0＝﹣ x2+x+4，解得 x ＝﹣2、x ＝4
1 2
∴点B（4，0）．
（2）∵S△AOM ：S△OMD ＝1：3，∴AM：MD＝1：3；
过点M作MN⊥x轴于N，如右图；
当点M在线段AD上时，AM：AD＝1：4；
①∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN＝ OD＝1、AN＝ OA＝ 、ON＝OA﹣AN＝2﹣ ＝ ；
∴M（﹣ ，1）；
当点M在线段DA的延长线上时，AM：AD＝1：2；
②∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN＝ OD＝2、AN＝ OA＝1、ON＝OA+AN＝3；
∴M（﹣3，﹣2）；
综上，符合条件的点M有两个，坐标为：（﹣ ，1）、（﹣3，﹣2）．
（3）当x＝2时，y＝﹣ x2+x+4＝4，∴点C（2，4）；
设点P的坐标为（0，m）（m＞0），则有：
CP2＝m2﹣8m+20、BP2＝m2+16、BC2＝20；
第25页（共26页）当CP＝BP时，m2﹣8m+20＝m2+16，解得 m＝ ；
①
当CP＝BC时，m2﹣8m+20＝20，解得 m ＝0（舍）、m ＝8（舍去）（此时三点在一条直线
1 2
②上，不能围成三角形）；
当BP＝BC时，m2+16＝20，解得 m ＝﹣2（舍）、m ＝2；
1 2
③
综上，存在符合条件的点P，坐标为（0， ）或（0，2）．
【点评】此题主要考查的是函数解析式的确定、三角形面积的解法、相似三角形以及等腰
三角形的判定和性质等重要知识；后两题涉及的情况较多，都要进行分类讨论，以免出现
漏解的情况．最后一题还要注意点P的位置，这是容易出错的地方．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/8/18 22:08:55；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第26页（共26页）
