文档内容
专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型
等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客，
并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系
统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）......................................................................2
模型2.等边截等长模型（定角模型）.........................................................................................................3
模型3.等边内接等边......................................................................................................................................4
....................................................................................................................................................8
模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）
帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。
条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；② 。证明：如图，过点D作 交 于H，则 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
在 和 中, ，∴ ，∴ ；
∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ．
例1．（23-24八年级上·广东中山·期末）如图， 中， ， ， 点P从点B出发沿线
段 移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿 的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移
动的速度相同，连接 与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)．
(1)求证: ；(2)求证: ；(3)如图，过点P作 于点E，在点P，Q移动的过
程中，线段 的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．例2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究
问题情境：在 中， ，在射线 上截取线段 ，在射线 上截取线段 ，连结 ，
所在直线交直线 于点M．
猜想判断：（1）当点D在边 的延长线上，点E在边 上时，过点E作 交 于点F，如图
①．若 ，则线段 、 的大小关系为_______．
深入探究：（2）当点D在边 的延长线上，点E在边 的延长线上时，如图②．若 ，判断线
段 、 的大小关系，并加以证明．
拓展应用：（3）当点D在边 上（点D不与 、 重合），点E在边 的延长线上时，如图③．若
， ， ，求 的长．
例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q
为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，DE的长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
例4．（2024·河南·校考一模）问题背景：已知在 中，边AB上的动点D由A向B运动(与A，B不
重合)，同时点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF
上一点，求 的值．
（1）初步尝试：如图①，若 是等边三角形， ，且点D､E的运动速度相等，小王同学发现
可以过点D作 交AC于点G，先证 ，再证 ，从而求得 的值为________；
（2）类比探究：如图②，若 中， ，且点D，E的运动速度之比
是 ，求 的值；
（3）延伸拓展：如图③，若在 中， ，记 ，且点D､E的运动
速度相等，试用含m的代数式表示 的值(直接写出结果，不必写解答过程)．
模型2.等边截等长模型（定角模型）
条件：如图，在等边 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， 与 相交于点 ，于点 ．结论：① ；②AD=BE；③ ；④BQ=2PQ。
证明：在等边三角形 中， ， ，
在 和 中， ， ，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE；
．
， ，∴BQ=2PQ．
例1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形 边 、 上的点，且
， 与 交于点F．求证： ．
例2．（2024八年级·重庆·培优）如图， 为等边三角形，且 与 相交于点 ，则
（ ）．A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不确定
例3．（23-24八年级·广东中山·期中）如图，在等边 中，点 分别在边 上，且
， 与 相交于点 ， 于点 ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的长．
例4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形 的 ， 边上各取一点 ， （均不与端
点重合），且 ， ， 相交于点 ，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则模型3.等边内接等边
图1 图2
1）等边内接等边（截取型）
条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF；
结论：三角形DEF也是等边三角形。
证明：∵ 是等边三角形，∴ ， ．
∵ ，∴ ．
在 和 中， ∴ （ ），
∴ ．同理 ，∴ ，∴ 是等边三角形．
2）等边内接等边（垂线型）
条件：如图，点 、 、 分别在等边 的各边上，且 于点 ， 于点 ，
于点 ，结论：三角形DEF也是等边三角形。
证明： 是等边三角形， ，
， ， ， ，
， ， 是等边三角形，
例1．（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形 的顶点 、 、 依次作 、 、
的垂线 、 ，三条垂线围成 ，若 ，则 的周长为（ ）A．12 B．18 C．20 D．24
例2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形 ，点 ， ， 分别为边
上的黄金分割点（ ， ， ），连接 ， ， ，我们称
为 的“内含黄金三角形”，若在 中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概
率是 ．
例3．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形 的各边上，且
于点P， 于点M， 于点N．(1)求证： 是等边三角形；(2)若 ，
求 的长．
例4．（2023·广西·中考真题）如图， 是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边 ， ，
上运动，满足 ．(1)求证： ；(2)设 的长为x， 的面积为y，求y
关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述 的面积随 的增大如何变化．1．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图， 是等边三角形，点D，E分别在 ， 上，且
， ， 与 相交于点F，则下列结论：① ，② ，
③ ．其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．（2024广东九年级二模）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与
线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若
BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OPAQ；④若AB=3，则OC的最小值为 ，其中正确的是（ ）
⋅
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③3．（2024·广西·一模）如图，在等边 中， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，连
接 ， 交于点 ，在点D从点B运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中， ，点 在边
上，点 在边 上，连接 并延长 交 的延长线于点 ，连接 ，且 ，过点 作
于点 交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，以下四个结论中：
； ； 当 时， ； ．正确的有（ ）
个．
A． B． C． D．
5．（2023·福建莆田·一模）如图， 和 都是等边三角形，将 先向右平移得到 ，
再绕顶点 逆时针旋转使得点 ， 分别在边 和 上．现给出以下两个结论：①仅已知 的周
长，就可求五边形 的周长；②仅已知 的面积，就可求五边形的面积．下列说法正确的是（
）A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
6．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图， 是等边三角形，D，E分别是 ， 边上的点，且
，连接 ， 相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
① ； ② ；③ ；④若 ，则
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
7．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，ΔABC是等边三角形，点 分别在边 上，且
与 相交于点 ．若 ，则ΔABC的边长等于（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，过等边 的顶点A，B，C依次作
的垂线 三条垂线围成 ，已知 ，则 的周长是 ．9．（23-24天津九年级上期中）如图，点 分别在正三角形 的三边上，且 也是正三角形.
若 的边长为 ， 的边长为 ，则 的内切圆半径为 ．
10．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在等腰直角 中， 为 的中点，
为 上一点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，若 ，则 的长为 ．
11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，过边长为a的等边 的边 上一点P，作
于E，Q为 延长线上一点，当 时，连 交 边于D，则 的长为
．
12．（2023浙江中考一模）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ，
BP相交于点O．若BO=6，PO=2，则AP的长，AO的长分别为 ．13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在等边 的 ， 上各取一点D，E，使 ，
， 相交于点M，过点B作直线 的垂线 ，垂足为H．若 ，则 的长为 ．
14．（2023·辽宁鞍山·一模）如图，在三角形 中， ， ， ， 与 相
交于点F，若 ，则E到 的距离为 ．
15．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）【问题提出】
数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等边三角形 中，点 ， 分别在 ， 边上，
， 交于点 ，且 ．
（1）线段 ， 的数量关系为______， 的度数为______．
【类比探究】老师继续提出问题，若改变 的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？
同学们根据老师的提问画出图形，如图2， 是等腰直角三角形， ，点 ， 分别在 ，
边上， ， 交于点 ，同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段 ，
的数量关系．
（2）请先将条件补充完整：线段 ， 的数量关系为______；再根据图2写出线段 ， 的数量关
系和 的度数，并说明理由．【拓展探究】（3）如图3， 是等腰直角三角形， ，若点 沿 边上一动点，点 是射线
上一动点，直线 ， 交于点 ，在（2）的条件下，当动点 沿 边从点 移动到点 （与点
重合）时，请直接写出运动过程中 长的最大值和最小值．
16．（2023·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形 中，点 ， 分别是边 ， 上的点，且
，连结 ， 交于点 ．(1)求证： ；(2)连接 ，若 时，①求
的值；
②设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，求 的值．
17．（23-24九年级下·上海宝山·阶段练习）如图（1），已知 是等边三角形，点D、E、F分别在边
、 、 上，且 ．(1)试说明 是等边三角形的理由．
(2)分别连接 与 相交于O点（如图（2）），求 的大小．
(3)将 绕F点顺时针方向旋转 得到图（3）， 与 平行吗？说明理由．18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试） 中 ，点D是 边中点，过点D的直线交
边于点M，交 边的延长线于点N，且 ．(1)如图①，当 时，求证：
；
(2)如图②，当 时，请直接写出线段 的数量关系．
19．（2024·广西南宁·模拟预测）如图， 是边长为2的等边三角形，点D，E，F分别在边
上运动，满足 ．(1)求证： ；(2)设 的长为x， 的面积
为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述 的面积随 的增大如何变化．
20．（23-24山东八年级上期中）问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图（1），在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则
BM＝CN；②如图（2），在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若
∠BON＝90°，则BM＝CN．
然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图（3），在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的
点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．
任务要求：（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索；
①在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON
等于多少度时，结论BM＝CN成立（不要求证明）；
②如图（4），在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝
108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
21．（23-24九年级·四川绵阳·期末）小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：【习题回顾】：如图，在等边三角形 的 边上各取一点P，Q使 ，AQ，BP相交于点
O，求 的度数．请你解答该习题．
【拓展延伸】：（1）如图1，在等腰 的 边上各取一点P，Q，使 ， 平分
， ， ，求 的长．小明的思路：过点A作 交 延长线于点G，证
明 ，…
（2）如图2，在 的 边上各取一点P、Q，使 ， 平分 ， ，
，求 的数量关系，请你解答小明提出的问题．
22．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图： 是边长为 的等边三角形， 是 边上一动点，
由点 向点 运动（ 与点 、 不重合），点 同时以点 相同的速度，由点 向 延长线方向运动
（点 不与点 重合），过点 作 于点 ，连接 交 于点 ．
(1)若设 的长为 ，则 ______， ______；
(2)当 时，求 的长；(3)点 ， 在运动过程中，线段 的长是否发生变化？请说明理由．23．（2023·河南开封·一模）教材呈现：如下为华师版八年级上册数学教材第65页的部分类容．
做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个
三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗?此时，符合条件的角
形有多少种？
(1)【操作发现】如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形
__________全等．（填“一定”或“不一定”）
(2)【探究证明】已知：如图2，在 和 中， ， ， ．
求证： ．证明：在 上取一点 ，使 ．请补全完整证明过程：
(3)【拓展应用】在 中， ，点 在射线 上，点 在 的延长线上，且 ，连接
DE，DE与 边所在的直线交于点 ．过点 作 交直线 于点 ，若 ， ，则
_________．（直接写出答案）
24．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知，如图1，在等腰 中， ，点E是射
线 上的动点，点D是边 上的动点，且 ，射线 交射线 于点F．
(1)求证： ；(2)连接 ，如果 是以 为腰的等腰三角形，求线段 的长；
(3)如图2，当点E在边 上时，连接 ，若 ，线段 的长为 ．25．（2024·陕西渭南·一模）【问题提出】（1）如图1， ，A、D在 上，B、C在 上， ，
若 ，则 的长为__________；
【问题探究】（2）如图2，已知 是等边三角形，D、E分别为 上的点，且 ，连接
．求证： ；
【问题解决】（3）如图3是某公园一块四边形空地 ，其中 ， 米， 米，
，P、Q分别在 上，且 ， 是平行于 的一条绿化带，E、F是线段 上的
两个动点（点E在点F的左侧）， 米，M在线段 上运动（不含端点），且保持 ，管
理人员计划沿 铺设两条笔直的水管，为了节省费用，公园负责人要求这两条水管的长度之和（即
的值）最小，求这两条水管的长度之和的最小值．（绿化带、水管宽度均忽略不计）
