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专项训练六 常考解直角三角形模型
1.(2023·日照)日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一,主要为日照近海及进出日照港的
船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度,如图所示,在点B处测得灯塔最高点A的
仰角∠ABD=45°,再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°,BC=15.3 m,则灯塔的
高度AD大约是(结果精确到1 m,参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73)( )
A.31 m B.36 m
C.42 m D.53 m
2.林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳 AB到地面,如图所示.已知彩旗绳与地面形成
25°角(即∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32 m(即AC=32 m),则彩旗绳AB的
长度为 ( )
A.32sin 25° m B.32cos 25° m
32 32
C. m D. m
sin25° cos25°
3.(2023·广西)如图,焊接一个钢架,包括底角为37° 的等腰三角形外框和3 m高的支柱,则共需钢材
约 m.(结果取整数,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
4.(2023·内江)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+√b-8=12a-36,则sin
B的值为 .
5.(2024·宿迁)双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一,由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成.某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动,该小组制定了测量方案,在实地测量后撰写
活动报告,报告部分内容如表:
测量七凤塔高度
测角仪、
测量工具 活动形式 以小组为单位
皮尺等
测量示意图 测量步骤及结果
如图,步骤如下:
①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG=37°;
②沿着CA方向走到E处,用皮尺测得CE=24米;
③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG=45°.
……
已知测角仪的高度为1.2米,点C,E,A在同一水平直线上.根据以上信息,求塔AB的高度.
(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
6.(2024·河北三模)如图,在一个建筑物两侧搭两个长度相同的滑梯(即BC=EF),设计要求左、右两
边的滑梯BC,EF的坡度分别为1∶2和1∶0.5.测得AD=3米,CD=5米.
(1)求滑梯的长.
(2)试猜想两个滑梯BC,EF的位置关系,并证明.
(3)小亮(看成点P)从点E沿滑梯EF下滑,请直接写出他与C处距离的最小值.(2024·秦皇岛北戴河区一模)四边形不具有稳定性,工程上可利用这一性质解决问题.
如图是某篮球架的侧面示意图,BE,CD,GF为长度固定的支架,支架在A,D,G处与立柱AH连接
(AH⊥MN),在B,C处与篮板连接(BC⊥MN),EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变
EF的长度,使得支架BE绕点A旋转,从而改变四边形ABCD的形状,以此调节篮板的高度).已知
AD=BC,DH=208 cm;测得∠GAE=60°时,点C离地面的高度为288 cm.调节伸缩臂EF,使得点C离
地面的高度升高 16 cm,判断∠GAE 增大还是减小了?增大(或减小)了多少度?(参考数据:sin
54°≈0.8,cos 54°≈0.6)【详解答案】
基础夯实
1.B 解析:在 Rt△ADB 中,∠ABD=45°,∴AD=BD.设 AD=x m,则 BD=x m,CD=(x-15.3)m.在 Rt△ADC 中,
AD x
∠ACD=60°,∴tan∠ACD= = =√3,∴x≈36,∴灯塔的高度AD大约是36 m.故选B.
CD x-15.3
2.D 解析:∵AC表示的是地面,BC表示的是图书馆,∴AC⊥BC.
AC 32
∴△ABC为直角三角形.∴AB= = m.故选D.
cos25° cos25°
3.21 解析:∵△ABC是等腰三角形,且CD⊥AB,∴AD=BD.
CD 3 CD 3
∵CD=3 m,∴AC=BC= ≈ =5(m),AD=BD= ≈ =4(m).
sin37° 0.60 tan37° 0.75
∴共需钢材约为2AC+2AD+CD=21 m.
4
4. 解 析 :∵ a2+|c-10|+√b-8=12a-36,∴ a2-12a+36+|c-10|+√b-8=0.∴ (a-6)2+|c-10|+√b-8
5
b 8 4
=0.∴a-6=0,c-10=0,b-8=0.解得a=6,b=8,c=10.∴a2+b2=62+82=100=102=c2.∴∠C=90°.∴sin B= = = .
c 10 5
5.解:由题意得,DF=CE=24米,AG=EF=CD=1.2米,∠BDG=37°,∠BFG=45°,
BG
在Rt△BDG中,tan∠BDG=tan 37°= ≈0.75,
DG
BG
∴GD= ,
0.75
在Rt△BFG中,∵∠BFG=45°,
∴FG=BG,
∵DF=24米,
BG
∴DG-FG= -BG=24,
0.75
解得BG=72,
∴AB=72+1.2=73.2(米),
∴塔AB的高度为73.2米.
6.解:(1)在Rt△ACD中,
∵AD=3米,CD=5米,
∴AC= =4(米),
√CD2-AD2=√52-32
∵滑梯BC的坡度分别为1∶2,∴AB=2AC=8(米),
在Rt△ABC中,
BC= =4 (米),
√AB2+AC2=√82+42 √5
∴滑梯的长为4√5米.
(2)两个滑梯BC,EF的位置关系:BC⊥EF.
证明:延长BC交EF于点G,如图1,
图1
∵左、右两边的滑梯BC,EF的坡度分别为1∶2和1∶0.5,
AC 1 DE 1 2
∴ = , = = ,
AB 2 DF 0.5 1
∴AB=2AC,DE=2DF,
∵BC=EF,BC2=AB2+AC2=5AC2,EF2=DE2+DF2=5DF2,
∴AC=DF,
又∵∠BAC=∠EDF=90°,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),
∴∠ABC=∠DEF,
∵∠DFE+∠DEF=90°,
∴∠DFE+∠ABC=90°,
∴∠BGF=90°,
∴BC⊥EF.
(3)他与C处距离的最小值为2√5米.
解析:理由:小亮(看成点P)从点E沿滑梯EF下滑,他与C处距离的最小值就是CG的长.
延长BC交EF于点G,连接BE,如图2,
图2
由(1)(2)知AB=DE=8米,AC=DF=4米,BC=EF=4√5米,
∴BF=AB+AD+DF=8+3+4=15(米),1 1
∵S = EF·BG= BF·DE,
△BEF
2 2
BF·DE 15×8
∴BG= = =6√5(米),
EF 4√5
∴CG=BG-BC=6√5-4√5=2√5(米),
∴他与C处距离的最小值为2√5米.
能力提升
解:∠GAE减小,减小6°.
理由:如图,当∠GAE=60°时,延长BC与底面交于点K,过D作DQ⊥CK于点Q,
∵BC⊥MN,AH⊥MN,
∴BC∥AH,
∵AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠QCD=∠ADC=∠GAE=60°,
∵点C离地面的高度为288 cm,DH=208 cm,
∴CQ=288-208=80(cm).
CQ 80
=
在Rt△CDQ中,CD=cos60° 1 =160(cm).
2
如图,点C离地面的高度升高16 cm时,
∴CQ=80+16=96(cm).
CQ 96
∴cos ∠QCD= = =0.6.
CD 160
∴∠QCD≈54°.
∴此时∠GAE=∠ADC=∠QCD=54°.
∵60°-54°=6°,
∴∠GAE减小了,减小了6°.
