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2012年辽宁省营口市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括
号内，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣23的绝对值是（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣6 D．6
2．（3分）不等式﹣3x≤9的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图是由8个棱长为1个单位的小立方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图
是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放《新闻联播》
B．抛掷一次硬币正面朝上
C．袋中有3个红球，从中摸出一球是红球
D．阴天一定下雨
第1页（共27页）6．（3分）圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为（ ）
A．1 B．3 C．1或2 D．1或3
7．（3分）若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ）
A．180° B．720° C．1080° D．540°
8．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝30°．动点P从点B出发，沿B﹣C﹣D的路线向
点D运动．设△ABP的面积为y（B、P两点重合时，△ABP的面积可以看做0），点P运动
的路程为x，则y与x之间函数关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）辽宁省进入全民医保改革3年来，共投入36420000000元，将数36420000000用科
学记数法表示为 ．
10．（3分）数据1，2，3，a的平均数是3，数据4，5，a，b的众数是5，则a+b＝ ．
11．（3分） ＝ ．
12．（3分）如图，a、b、c为三条直线，a∥b，若∠2＝121°，则∠1＝ ．
13．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点D作DF⊥BC于F．若AD＝2，BC＝4，
DF＝2，则DC的长为 ．
第2页（共27页）14．（3分）若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆锥的侧面积为 ．
15．（3分）二次函数y＝x2﹣6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝
0的一个解为x ＝1，则另一个解x ＝ ．
1 2
16．（3分）如图，直线y＝﹣x+b与双曲线 （x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于
E、F两点，连接OA、OB，若S△AOB ＝S△OBF +S△OAE ，则b＝ ．
三、解答题（17、18、19小题，每小题8分，共24分）
17．（8分）在数学课上，教师对同学们说：“你们任意说出一个x的值（x≠0，1，2），我立刻就
知道式子 的计算结果”．请你说出其中的道理．
18．（8分）如图，直线 分别交x轴、y轴于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交
x轴、y轴于C、D两点．
（1）求点C的坐标；
（2）求△BCD的面积．
第3页（共27页）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，
1）、C（0，﹣2）．
（1）点B关于坐标原点O对称的点的坐标为 ；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A B C；
1 1
（3）求过点B 的反比例函数的解析式．
1
四、解答题（20小题10分，21小题10分，共20分）
20．（10分）2012年4月23日是第17个世界读书日，《教育导报》记者就四川省农村中小学
教师阅读状况进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了教师每年阅读书籍数量的统
计图（不完整）．设x表示阅读书籍的数量（x为正整数，单位：本）．其中A：1≤x≤3； B：
4≤x≤6； C：7≤x≤9；D：x≥10．请你根据两幅图提供的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了多少名教师？
第4页（共27页）（2）补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中扇形D的圆心角的度数．
21．（10分）某市今年中考体育测试，其中男生测试项目有1000米跑、立定跳远、掷实心球、
一分钟跳绳、引体向上五个项目．考生须从这五个项目中选取三个项目，要求：1000米跑
必选，立定跳远和掷实心球二选一，一分钟跳绳和引体向上二选一．
（1）写出男生在体育测试中所有可能选择的结果；
（2）请你用列表法或画树状图法，求出两名男生在体育测试中所选项目完全相同的概率．
五、解答题（22小题8分，23小题10分，共18分）
22．（8分）如图所示，两个建筑物AB和CD的水平距离为30m，张明同学住在建筑物AB内
10楼P室，他观测建筑物CD楼的顶部D处的仰角为30°，测得底部C处的俯角为45°，求
建筑物CD的高度．（ 取1.73，结果保留整数．）
23．（10分）如图，实线部分为某月牙形公园的轮廓示意图，它可看作是由 P上的一段优弧
和 Q上的一段劣弧围成， P与 Q的半径都是2km，点P在 Q上．⊙
（1⊙）求月牙形公园的面积；⊙ ⊙ ⊙
（2）现要在公园内建一块顶点都在 P上的直角三角形场地ABC，其中∠C＝90°，求场地
的最大面积． ⊙
六、解答题（本题满分12分）
24．（12分）如图，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个
第5页（共27页）全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形
成一个底面是正方形的长方体包装盒．
（1）若折叠后长方体底面正方形的面积为1250cm2，求长方体包装盒的高；
（2）设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为x（cm），长方体的侧面积为S（cm2），求S与x
的函数关系式，并求x为何值时，S的值最大．
七、解答题（本题满分14分）
25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接
EM并延长交线段CD的延长线于点F．
（1）如图1，求证：AE＝DF；
（2）如图2，若AB＝2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明
理由；
（3）如图3，若AB＝ ，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．
直接写出线段AE长度的取值范围；
①判断△GEF的形状，并说明理由．
②
第6页（共27页）八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（0，3）、C
（1，0 ）三点．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转60°，与直线y＝﹣x交于点
N．在直线DN上是否存在点M，使∠MON＝75°．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请
说明理由；
（3）点P、Q分别是抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝﹣x上的点，当四边形OBPQ是直角梯
形时，求出点Q的坐标．
第7页（共27页）2012年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括
号内，每小题3分，共24分）
1．【分析】先计算﹣23的值，再根据绝对值的定义，求得答案即可．
【解答】解：∵﹣23＝﹣8，|﹣8|＝8，
∴﹣23的绝对值是8．
故选：B．
【点评】本题考查有理数的乘方运算及绝对值的定义，注意结果的符号．
2．【分析】先解不等式得到x≥﹣3，在数轴上表示为﹣3的右侧部分且含﹣3，这样易得到正
确选项．
【解答】解：﹣3x≤9，
解得x≥﹣3．
在数轴上表示为：
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：利用数轴表示不等式的解集体现了数形
结合的思想．也考查了解一元一次不等式．
3．【分析】先利用勾股定理计算出AB的长，然后根据正弦的定义即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∴sinA＝ ＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的
比．也考查了勾股定理．
4．【分析】先细心观察原立体图形和正方体的位置关系，结合四个选项选出答案．
【解答】解：由图可知，主视图有三行，最下一层4个小正方体，中间两个，最上在正中间一
第8页（共27页）个．故选D
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
5．【分析】根据事件的分类判断，必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可解决．
【解答】解：A、打开电视，正在播放《新闻联播》是随机事件，故本选项错误；
B、抛掷一枚硬币正面朝上是随机事件，故本选项错误；
C、袋中有3个红球，从中摸出一球是红球是必然事件，故本选项正确；
D、阴天下雨是随机事件，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件
下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随
机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．
6．【分析】两圆相切，有两种可能：外切，内切；根据外切和内切时，两圆半径与圆心距的数量
关系，分别求解．
【解答】解：当两圆外切时，
则圆心距等于两圆半径之和，此时另一个圆的半径是2﹣1＝1；
当两圆内切时，
圆心距等于两圆半径之差，则另一个圆的半径是2+1＝3．
故另一个圆的半径为1或3．
故选：D．
【点评】考查了圆与圆的位置关系，注意：两圆相切，可能内切，也可能外切．
7．【分析】由一个多边形的每个外角都等于60°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的
边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
∵多边形的每个外角都等于60°，
∴n＝360°÷60°＝6，
∴这个多边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°．
故选：B．
【点评】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和＝（n﹣2）•180°；也考查了n边
形的外角和为360°．
8．【分析】先分别求出点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动时，当0＜x≤2和2＜
x≤4时，y与x之间的函数关系式，即可得出函数的图象．
第9页（共27页）【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则
当0＜x≤2，y＝ x，
当2＜x≤4，y＝1，
由以上分析可知，这个分段函数的图象是C．
故选：C．
【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是求出y与x之间的函数关系，注意
分类讨论思想的运用，具有很强的综合性．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：36 420 000 000＝3.642×1010，
故答案为：3.642×1010．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．【分析】根据平均数的定义先求出a的值，再根据众数的定义求出b的值，即可得出答案．
【解答】解：利用平均数的计算公式，得（1+2+3+a）÷4＝3，求得a＝6，
∵数据4，5，a，b的众数是5，
∴这组数据的众数即出现最多的数为5，
∴b＝5，
∴a+b＝6+5＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查的是平均数和众数的概念，本题的关键是根据平均数的定义先求出a的
值，再根据众数的定义求出b的值，注意一组数据的众数可能不只一个．
11．【分析】根据tan45°＝1得到原式＝3﹣2×1，再计算乘法，然后计算减法运算即可．
【解答】解：原式＝3﹣2×1
＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减
运算．也考查了特殊角的三角形函数值．
第10页（共27页）12．【分析】由a∥b，根据平行线的性质得到∠3+∠1＝180°，由对顶角相等得∠3＝∠2＝
121°，然后把∠3＝121°代入∠3+∠1＝180°进行计算即可得到∠1的度数．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3+∠1＝180°，
∵∠3＝∠2＝121°，
∴∠1＝180°﹣121°＝59°．
故答案为59°．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．也考查了邻补角的定义．
13．【分析】过A作AE⊥BC于E，得出四边形AEFD是平行四边形，得出AE＝DF，AD＝EF＝
2，证△AEB和△DFC全等得出BE＝CF，求出CF＝1，在Rt△DFC中，根据勾股定理求出
即可．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE＝DF，AD＝EF，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴∠B＝∠C，
在△AEB和△DFC中
∵ ，
第11页（共27页）∴△AEB≌△DFC，
∴CF＝BE，
∵EF＝AD＝2，BC＝4，
∴BE＝CF＝1，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的
性质和判定，解此题的关键是把等腰梯形转化成直角三角形和平行四边形，题目具有一定
的代表性，是一道比较好的题目．
14．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2 ×3×4÷2＝12 cm2．
故答案为：12 cm2． π π
【点评】本题考π查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆
锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
15．【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x 的值．
2
【解答】解：由图可知，对称轴为x＝﹣ ＝ ＝3，
根据二次函数的图象的对称性， ＝3，
解得x ＝5．
2
故答案为：5．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，要注意数形结合，熟悉二次函数的图象与性质．
16．【分析】根据直线解析式求出点E、F的坐标，过点O作OM⊥AB于点M，设A（x ，y ）、B
1 1
（x ，y ），联立两函数解析式求解可得y ＝x ，y ＝x ，从而判断出点A、B关于OM对称，并
2 2 1 2 2 1
求出点A的坐标，然后代入双曲线解析式计算即可得解．
【解答】解：令y＝0，则﹣x+b＝0，
解得x＝b，
令x＝0，则y＝b，
所以，点E（b，0）、F（0，b），
所以，OE＝OF，
过点O作OM⊥AB于点M，则ME＝MF，
第12页（共27页）设点A（x ，y ）、B（x ，y ），
1 1 2 2
联立 ，
消掉y得，x2﹣bx+1＝0，
根据根与系数的关系，x •x ＝1，
1 2
所以y •y ＝1，
1 2
所以y ＝x ，y ＝x ，
1 2 2 1
所以OA＝OB，
所以AM＝BM（等腰三角形三线合一），
∵S△AOB ＝S△OBF +S△OAE ，
∴FB＝BM＝AM＝AE，
所以点A（ b， b），
∵点A在双曲线y＝ 上，
∴ b× b＝1，
解得b＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立两函数解析式求解得到OA
＝OB，然后根据三角形的面积求出点A、B、M是线段EF的四等分点，并求出点A的坐标
是解题的关键．
三、解答题（17、18、19小题，每小题8分，共24分）
17．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据化简结果即可得出结论．
第13页（共27页）【解答】解：∵原式＝ ÷ ，
＝ ×
＝x．
∴任意说出一个x的值（x≠0，1，2）均可以为此式的计算结果．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18．【分析】（1）由直线y＝﹣ x+8，分别交x轴、y轴于A、B两点，即可求得点A与B的坐标，
即可得OA，OB，由勾股定理即可求得AB的长，由CD是线段AB的垂直平分线，可求得
AE与BE的长，易证得△AOB∽△AEC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AC
的长，继而求得点C的坐标；
（2）易证得△AOB∽△DEB，由相似三角形的对应边成比例，即可求得BD的长，又由
S△BCD ＝ BD•OC，即可求得△BCD的面积．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣ x+8，分别交x轴、y轴于A、B两点，
当x＝0时，y＝8；当y＝0时，x＝6．
∴OA＝6，OB＝8．
在Rt△AOB中，AB＝ ＝10，
∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE＝5．
∵∠OAB＝∠CAE，∠AOB＝∠AEC＝90°，
∴△AOB∽△AEC，
∴ ，
即 ，
∴AC＝ ．
∴OC＝AC﹣OA＝ ，
第14页（共27页）∴点C的坐标为（﹣ ，0）；
（2）∵∠ABO＝∠DBE，∠AOB＝∠BED＝90°，
∴△AOB∽△DEB，
∴ ，
即 ，
∴BD＝ ，
∴S△BCD ＝ BD•OC＝ × × ＝ ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、点与一次函数的性质、勾股定理以及线段
垂直平分线的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
19．【分析】（1）根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得出答案；
（2）分别找到各点的对应点，然后顺次连接即可得出旋转后得到的△A B C．
1 1
（3）根据（2）所得的图形，可得出点B 的坐标，然后利用待定系数发可求出过点B 的反比
1 1
例函数的解析式．
【解答】解：（1）点B关于坐标原点O对称的点的坐标为（1，﹣1）；
（2）所画图形如下：
（3）由（2）得B 点坐标为（3，﹣1），
1
设过点B 的反比例函数解析式为 ，
1
把点B （3，﹣1）代入 中，得k＝﹣3．
1
故可得反比例函数解析式为y＝ ．
第15页（共27页）【点评】此题考查了旋转作图、待定系数法求函数解析式及关于原点对称的点的坐标，解
答本题的关键是熟练各个知识点，注意规范作图，难度一般．
四、解答题（20小题10分，21小题10分，共20分）
20．【分析】（1）用A组的频数除以A组所占的百分比即可求得抽查的教师人数；
（2）用总人数减去A、B、C组的频数即可求得D组的频数，从而补全统计图；
（3）用该组的频数除以总人数乘以周角的度数即可求得圆心角的度数．
【解答】解：（1）38÷19%＝200（人）．
（2）D组的频数为：200﹣38﹣74﹣48＝40，统计图如图．
（3）360°× ＝72°．…（3分）
【点评】本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21．【分析】（1）首先将立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳和引体向上分别用A，B，C，D表示，
然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两名男生在体育测试中
所选项目完全相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）将立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳和引体向上分别用A，B，C，D表示，
画树状图得：
可得可能选择的结果有四种： 1000米跑、立定跳远、一分钟跳绳； 1000米跑、立定跳
① 第16页（共27页） ②远、引体向上； 1000米跑、掷实心球、一分钟跳绳； 1000米跑、掷实心球、引体向上；
③ ④
（2）记： 1000米跑、立定跳远、一分钟跳绳； 1000米跑、立定跳远、引体向上；
1000米①跑、掷实心球、一分钟跳绳； 1000米②跑、掷实心球、引体向上；
③列表得 ④
（ ①， ） （ ②， ） （ ③， ） （ ④， ）
① （①，①） （①，②） （①，③） （①，④）
② （②，①） （②，②） （②，③） （②，④）
③ （③，①） （③，②） （③，③） （③，④）
∵所有④可能出现的结④果共有①16种，其④中所②选项目相同④的有③4种． ④ ④
∴两人所选项目相同的概率为： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以
上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
五、解答题（22小题8分，23小题10分，共18分）
22．【分析】过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形，得到PE＝BC＝30，在Rt△PDE
中，利用∠DPE＝30°，PE＝30，求得DE的长；在Rt△PEC中，利用∠EPC＝45°，PE＝30
求得CE的长，利用CD＝DE﹢CE即可求得结果．
【解答】解：过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形．
∴PE＝BC＝30．
在Rt△PDE中，∵∠DPE＝30°，PE＝30，
∴DE＝PE×tan30°＝30× ＝10 ．
在Rt△PEC中，∵∠EPC＝45°，PE＝30，
∴CE＝PE×tan45°＝30×1＝30．
∴CD＝DE﹢CE＝30﹢10 ＝30﹢17.3≈47（m）
答：建筑物CD的高约为47 m．
第17页（共27页）【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图
形利用三角函数解直角三角形．
23．【分析】（1）连接DQ、EQ、PD、PE、PQ、DE，得出等边三角形DPQ和等边三角形EPQ，
得出∠PQD＝∠EQP＝60°，根据相交两圆的性质得出DE⊥PQ，求出FQ和DF的值，求
出DE，分别求出扇形DQE的面积和三角形DEQ的面积，即可求出弓形DPE的面积，根
据圆的面积和弓形的面积求出答案即可；
（2）根据∠ACB＝90°得出AB是圆的直径，是2km，要使三角形ABC的面积最大得出只要
高CN最大即可，得出CN的最大值是CP（P和N重合，CN最大），代入求出即可．
【解答】解：（1）连接DQ、EQ、PD、PE、PQ、DE．
由已知PD＝PQ＝DQ，
∴△DPQ是等边三角形．
∴∠DQP＝60°．
同理∠EQP＝60°．
∴∠DQE＝120°，
∵ P和 Q交于D、E，
∴⊙QP⊥D⊙E，DF＝EF，
∵△EPQ是等边三角形，
第18页（共27页）∴∠QDE＝30°，
∴FQ＝ DQ＝1，
由勾股定理得：DF＝ ＝EF，
即ED＝2 ，
S弓形DPE ＝S扇形QDE ﹣S△DQE
＝ ﹣ ×2 ×1
＝ ﹣ ，
故月牙形公园的面积＝4 ﹣2（ ﹣ ）＝（ +2 ）km2．
π π π
答：月牙形公园的面积为（ +2 ）km2．
π
（2）∵∠C＝90°，
∴AB是 P的直径，
⊙
过点C作CN⊥AB于点N，S△ABC ＝ CN•AB，
∵AB＝4km，
∴S△ABC 的面积取最大值就是CN长度取最大值，即CN＝CP＝2km，
S△ABC 的面积最大值等于4km2，
故场地的最大面积为4km2．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角
三角形性质，扇形的面积，三角形的面积，相交两圆的性质等知识点的综合运用，主要考
查学生运用定理进行推理和计算的能力．
六、解答题（本题满分12分）
24．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出NP的长度，再利用正方形性质表示出底面
正方形面积进而得出答案即可；
（2）表示出长方体的侧面积进而利用二次函数的最值求法得出答案．
【解答】解：（1）设剪掉阴影部分的每个等腰直角三角形的腰长为xcm，则NP＝ xcm，
DP＝ ，QM＝PW＝ × ，
第19页（共27页）由题意得： ．
解得， ， （超过60，故不符合题意舍去），
答：长方体包装盒的高为5 cm．
另法：∵由已知得底面正方形的边长为 ＝25 ，
∴AN＝25 × ＝25．
∴PN＝60﹣25×2＝10．
∴PQ＝10× ＝5 （cm）．
答：长方体包装盒的高为5 cm．
（2）由题意得，S＝4×S四边形QPWM ＝4×PW•QP，
∵PW＝ × ，QP＝x，
∴ x．
∵a＝﹣4＜0，
∴当x＝15 时，S有最大值．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用以及二次函数最值求法，发现底边长与正方形
ABCD边长的关系是解题关键．
七、解答题（本题满分14分）
25．【分析】（1）由条件可以得出AM＝DM，∠A＝∠ADF＝90°，∠AME＝∠DMF，可以证明
△AEM≌△DFM，就可以得出结论．
（2）过点G作GH⊥AD于H，通过条件可以证明△AEM≌△HMG，得出ME＝MG，进而得
第20页（共27页）出∠EGM＝45°，再由（1）的结论可以得出∠EGF＝90°，从而得出结论．
（3） 当点G、C重合时利用三角形相似就可以求出AE的值，从而求出AE的取值范围．
①
过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，证明△AEM∽△HMG，可以得出 ，从
②
而求出tan∠MEG＝ ，就可以求出∠MEG＝60°，就可以得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
证明：在矩形ABCD中，∠EAM＝∠FDM＝90°，∠AME＝∠FMD．
∵AM＝DM，
∴△AEM≌△DFM．
∴AE＝DF．
（2）答：△GEF是等腰直角三角形．
证明：过点G作GH⊥AD于H，如图2，
∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH＝AB＝2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME＝90°．
∴∠AME+∠GMH＝90°．
∵∠AME+∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠GMH．
∴△AEM≌△HMG．
∴ME＝MG．
∴∠EGM＝45°．
由（1）得△AEM≌△DFM，
∴ME＝MF．
∵MG⊥EF，
∴GE＝GF．
∴∠EGF＝2∠EGM＝90°．
∴△GEF是等腰直角三角形．
（3 ） 当C、G重合时，如图4，
∵四边①形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
第21页（共27页）∴∠AME+∠AEM＝90°．
∵MG⊥EF，
∴∠EMG＝90°．
∴∠AME+∠DMC＝90°，
∴∠AEM＝∠DMC，
∴△AEM∽△DMC
∴ ，
∴ ，
∴AE＝
∴ ＜AE≤ ．
△GEF是等边三角形．
②证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，如图3，
∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH＝AB＝2 ．
∵MG⊥EF，
∴∠GME＝90°．
∴∠AME+∠GMH＝90°．
∵∠AME+∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠GMH．
又∵∠A＝∠GHM＝90°，
∴△AEM∽△HMG．
∴ ．在Rt△GME中，
∴tan∠MEG＝ ＝ ．
∴∠MEG＝60°．
由（1）得△AEM≌△DFM．
∴ME＝MF．
第22页（共27页）∵MG⊥EF，
∴GE＝GF．
∴△GEF是等边三角形．
【点评】本题是一道相似形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判
定及性质，三角函数值的运用，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定．在解答时添
加辅助线构建全等形和相似形是关键．
八、解答题（本题满分14分）
第23页（共27页）26．【分析】（1）利用待定系数法将A，B，C三点代入求出a，b，c即可得出解析式；
（2）首先求出EF的长进而得出F点的坐标，再分两种情况： 当点M在射线ND上时，
∠MON＝75°， 当点M在射线NF上时，不存在点M使得∠①MON＝75°，分别得出M点
的坐标即可； ②
（3）分别根据 直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP＝90°， 在直角梯形OBPQ中，
PB∥OQ，∠B①PQ＝90°求出Q点的坐标即可． ②
【解答】（1）解：由题意把A（﹣3，0）、B（0，3）、C（1，0）代入y＝ax2+bx+c列方程组得：
，解得 ．
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，4）．
（2）存在．
理由：方法（一）：
由旋转得∠EDF＝60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF＝60°，DE＝4，
∴EF＝DE×tan60°＝4 ．∴OF＝OE+EF＝1+4 ．
∴F点的坐标为（ ，0）．
设过点D、F的直线解析式是y＝κx+b，
把D（﹣1，4），F（ ，0）
代入求得 ．
分两种情况： 当点M在射线ND上时，
∵∠MON＝75①°，∠BON＝45°，
∴∠MOB＝∠MON﹣∠BON＝30°．∴∠MOC＝60°．
∴直线OM的解析式为y＝ x．
∴点M的坐标为方程组． 的解，解方程组得， ．
∴点M的坐标为（ ， ）．
第24页（共27页）当点M在射线NF上时，不存在点M使得∠MON＝75°
②理由：∵∠MON＝75°，∠FON＝45°，∴∠FOM＝∠MON﹣∠FON＝30°．
∵∠DFE＝30°，∴∠FOM＝∠DFE．∴OM∥FN．∴不存在，
综上所述，存在点M，且点M的坐标为（ ， ）．
方法（二） M在射线ND上，过点M作MP⊥x轴于点P，
由旋转得∠①EDF＝60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF＝60°，DE＝4
∴EF＝DE×tan60°＝4 ．∴OF＝OE+EF＝1+4 ．
∵∠MON＝75°，∠BON＝45°，∴∠MOB＝∠MON﹣∠BON＝30°．
∴∠MOC＝60°．在Rt△MOP中，∴MP＝ OP．
在Rt△MPF中，∵tan∠MFP＝ ，
∴ ＝ ．
∴OP＝2 + ．∴MP＝6+ ．
∴M点坐标为（2 + 、6+ ），
M在射线NF上，不存在点M使得∠MON＝75°
②理由：∵∠MON＝75°，∠FON＝45°，∴∠FOM＝∠MON﹣∠FON＝30°．
∵∠DFE＝30°．∴∠FOM＝∠DFE．∴OM∥DN．∴不存在．
综上所述，存在点M，且点M的坐标为（ ， ）．
（3）有两种情况 直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP＝90°．
如图2，∵∠OBP①＝∠AOB＝90°，∴PB∥OA．
所以点P、B的纵坐标相同都是3．
因为点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
把y＝3代入抛物线的解析式中得x ＝0（舍去），x ＝﹣2．
1 2
由PQ∥OB得到点P、Q的横坐标相同，
都等于﹣2．把x＝﹣2代入y＝﹣x得y＝2．
所以Q点的坐标为（﹣2，2）．
第25页（共27页）在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ＝90°．
②如图3，∵D（﹣1，4），B（0，3），∵PB∥OQ，∴DB∥OQ，
点P在抛物线上，∴点P、D重合．
∴∠EDF＝∠EFD＝45°．∴EF＝ED＝4．
∴OF＝OE+EF＝5．
作QH⊥x轴于H，∵∠QOF＝∠QFO＝45°，
∴OQ＝FQ．∴OH＝ OF＝ ．
∴Q点的横坐标﹣ ．∵Q点在y＝﹣x上，∴把x＝﹣ 代入y＝﹣x得y＝ ．∴Q点的坐
标为（﹣ ， ）．
综上，符合条件的点Q有两个，坐标分别为：（﹣2，2），（﹣ ， ）．
第26页（共27页）【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及锐角三角函数的应用和图象上
点的坐标性质等知识，根据已知进行分类讨论得出是解题关键．
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