文档内容
2024 年中考第二次模拟考试（包头卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．规定 ，则 的值为（ ）
A．7 B． C．1 D．
3．不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．将一块三角板如图放置， ， ，点 ， 分别在 ， 上，若 ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正
方体的个数最少是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．76．在 □ □ 的空格□中，分别填上“＋”或“-”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率
是（ ）
A． B． C．1 D．
7．受赵爽弦图证明勾股定理的启发，王刚同学利用两个相同的小正方形和两组分别全等的直角三角形拼
成了如图所示的矩形，若 ，则该矩形的面积为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．48
8．如图，一束光线从点 出发，经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的值是
（ ）
A． B． C．1 D．2
9．如图， 内接于⊙ ， 于点 ，若 ， ，⊙ 的半径 ，则 的值为
（ ）
A．5 B． C．7 D．
10．如图，在平面直角坐标 中，点 在函数 的图象上， 轴于点 ，点 在 轴正半
轴上，且 ，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，若 的面积为3，则
的值为（ ）A．8 B．6 C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知a为整数，且 ，则 ．
12．已知 的两根为2，3，则 的两个根分别为 ．
13．如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心， 长为半径作圆弧交
于点 ，交 于点 ，则阴影部分的面积为 ．
14．如图， ，将线段 绕原点O顺时针旋转 ，线段 的中点C恰好落在抛物线
上，则 ．
15．如图，在 中， ，点 是线段 上一点，连接 ，将 沿直线
翻折，点 的对应点是 ，当点 恰好落在 的边上时， 的长是 ．16．如图，在矩形 中， ， ， 的角平分线交边 于点 ， 于点 ，
连结 并延长分别交 ， 于点 ， ．给出下列结论：① ；② ；③
；④ ．其中正确的有 ．
三、解答题本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答
题卡的对应位置．
17．（本小题满分8分）
（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）解方程： ．
18．（本小题满分8分）校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消
防安全知识”宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取
10名学生的成绩进行了统计，整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格 ，良好
，优秀 ），下面给出了部分信息：
10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98
10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据为；85，90，90，90，94
抽取的七、八年级学生成续统计表
众 “优秀”等级所占百
年级 平均数 中位数 方差
数 分比
七年级 90 89 a
八年级 90 b 90 30
(1)八年级10名学生中“合格”等级的人数在扇形统计图中所占圆心角的度数为______度；
(2)填空： ______， ______；
(3)根据以上数据，你认为该校七八年级中，哪个年级学生对消防知识掌握得更好？请说明理由，并对
如何加强学生的消防意识写出一条你的看法．
19．（本小题满分8分）如图，在某大楼观测点P处进行观测，测得山坡 上A处的俯角为 ，测得山脚B处的俯角为 ．已知该山坡 的坡度 ， 米，点P，H，B，C，A在同一个平面
上，点H，B，C在同一条直线上，且 ．
(1)求观测点P与山脚B点之间的距离；
(2)求观测点P与山顶A点之间的距离．
20.本小题满分11分）某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万
元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表：
2
每件售价x/万元 … 24 28 30 32 …
6
4
月销售量y/件 … 52 44 40 36 …
8
(1)求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
(2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成
本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获
得的利润 （万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？
21．（本小题满分12分）如图， 内接于 ． 为直径，过 作 ，交 的延长线于
点 ，过 作 的切线交 于点 ．
(1)求证： ；（请用两种证法解答）
(2)若 的半径为4， ，求 的长．
22．（本小题满分12分）如图1，四边形 中， ，点 在 上， 平分 ，若
．(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)如图2，当 时，延长 、 交于点 ，在 上取点 ，若 ，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，若 ，求 的长．
23．（本小题满分13分）如图，已知抛物线 的图象与x轴交于 ， 两点，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点P为第四象限内抛物线上的一个动点，连接 交直线 于点Q．设点P的横坐标为
m，求出 的最大值及此时点P的坐标．
(3)如图2，点F是抛物线上的一个动点，是否存在一点F，使 ？若存在，请直接写出点
F的坐标；若不存在，请说明理由．
