文档内容
2013福建福州中考题
2013 年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的
相应位置填涂）
1. 2的倒数是
A. B. 2 C. D. -2
2. 如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 60°
3. 2012年12月13日，嫦娥二号成功飞抵距地球约700万公里远
的深空，7 000 000用科学计数法表示为
A. 7×105 B. 7×106 C. 70×106 D. 7×107
4. 下列立体图形中，俯视图是正方形的是
5. 下列一元二次方程有两个相等实数根的是
A. B.
C. D.
6. 不等式 的解集在数轴上表示正确的是
7. 下列运算正确的是
A. B. C. D.
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8. 如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点
C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D
在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为
A. 2.5cm B. 3.0cm C. 3.5cm
D. 4.0cm
9. 袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别。从袋中随机地取出一个球，如果
取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是
A. 3个 B. 不足3个 C. 4个 D. 5个或5个以上
10．A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分
别为A（ ， ），B（ ， ），下列结论正确的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共5小题，每小题4分。满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）
11. 计算： =__________
12. 矩形的外角和等于__________度
13. 某校女子排球队队员的年龄分布如下表：
年龄 13 14 15
人数 4 7 4
则该校女子排球队队员的平均年龄是__________岁
14. 已知实数 ， 满足 ， ，则 的值是
__________
15. 如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点。已知
每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是__________
三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图或添辅助线用
铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）
16.（每小题7分，共14分）
（1）计算： ； （2）化简：
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17.（每小题8分，共16分）
（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，
求证：BC=BD；
（2）列方程解应用题
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则
还缺25本，这个班有多少学生？
18（. 10分）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查。已知抽取的
样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）样本中，男生的身高众数在__________组，中位数在__________组；
（2）样本中，女生身高在E组的人数有__________人；
（3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤ <170之间的学生约有
多少人？
19（. 12分）如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为（-2，0），等边三角形AOC经过平
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移或轴对称或旋转都可以得到△OBD。
（1）△AOC沿 轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是__________个单位长度；
△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是__________；
△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是__________度；
（2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数。
20（. 12分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且
ME=1，AM=2，AE=
（1）求证BC是⊙O的切线；
（2）求 的长。
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21（. 12分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为 ，
设AB= ，AD=
（1）求 与 的函数关系式；
（2）若∠APD=45°，当 时，求PB•PC的值；
（3）若∠APD=90°，求 的最小值。
22.（14分）我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是
（1）对于这样的抛物线：
当顶点坐标为（1，1）时， =__________；
当顶点坐标为（ ， ）， 时， 与 之间的关系式是____________________
（2）继续探究，如果 ，且过原点的抛物线顶点在直线 上，请用含 的代
数式表示 ；
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点 ， ，…， 在直线 上，横坐标依次为1，
2，…，（为正整数，且 ≤12），分别过每个顶点作 轴的垂线，垂足记为 ， ，…，
，以线段 为边向右作正方形 ，若这组抛物线中有一条经过 ，
求所有满足条件的正方形边长。
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福建省福州市2013年中考数学试卷（解析版）
一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的
相应位置填涂）
1．（2013福州）2的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．2D．﹣2
考点：倒数．
分析：根据倒数的概念求解．
解答：解：2的倒数是 ．
故选A．
点评：主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数是负数，
正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（2013福州）如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
考点：余角和补角．
分析：根据互余两角之和为90°即可求解．
解答：解：∵OA⊥OB，∠1=40°，
∴∠2=90°﹣∠1=90°﹣40°=50°．
故选C．
点评：本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和等于90°是解答本题的关键．
3．（2013福州）2012年12月13日，嫦娥二号成功飞抵距地球约700万公里远的深空，7 000
000用科学记数法表示为（ ）
A．7×105B．7×106C．70×106 D．7×107
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错
点，由于7 000 000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．
解答：解：7 000 000=7×106．
故选B．
点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．（2013福州）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）
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A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图．
分析：俯视图是从上面看所得到的视图，结合选项进行判断即可．
解答：解：A．俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；
B．俯视图是一个圆，故本选项错误；
C．俯视图是一个圆，故本选项错误；
D．俯视图是一个正方形，故本选项正确；
故选D．
点评：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图的定义 ．
5．（2013福州）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+3=0 B．x2+2x=0 C．（x+1）2=0 D．（x+3）（x﹣1）=0
考点：根的判别式．
专题：计算题．
分析：根据计算根的判别式，根据判别式的意义可对A、B、C进行判断；由于D的两根可直接
得到，则可对D进行判断．
解答：解：A．△=0﹣4×3=﹣12＜0，则方程没有实数根，所以A选项错误；
B．△=4﹣4×0=4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C．x2+2x+1=0，△=4﹣4×1=0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；
D．x =﹣3，x =1，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．
1 2
故选C．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程
有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6．（2013福州）不等式1+x＜0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
专题：计算题．
分析：求出不等式的解集，即可作出判断．
解答：解：1+x＜0，
解得：x＜﹣1，
表示在数轴上，如图所示：
故选A
点评：此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，把每个不等式的解
集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数
轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．
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有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心
圆点表示．
7．（2013福州）下列运算正确的是（ ）
A．a•a2=a3 B．（a2）3=a5C． D．a3÷a3=a
考点：分式的乘除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
专题：计算题．
分析：A．原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
B．原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
C．原式分子分母分别乘方得到结果，即可作出判断；
D．原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断．
解答：解：A．a•a2=a3，本选项正确；
B．（a2）3=a6，本选项错误；
C．（ ）2= ，本选项错误；
D．a3÷a3=1，本选项错误，
故选A
点评：此题考查了分式的乘除法，同底数幂的乘除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运
算法则是解本题的关键．
8．（2013福州）如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长
为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（
）
A．2.5cmB．3.0cmC．3.5cmD．4.0cm
考点：平行四边形的判定与性质；作图—复杂作图．
分析：首先根据题意画出图形，知四边形ABCD是平行四边形，则平行四边形ABCD的对角
线相等，即AD=BC．再利用刻度尺进行测量即可．
解答：解：如图所示，连接BD、BC、AD．
∵AC=BD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC．
测量可得BC=AD=3.0cm，
故选：B．
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点评：此题主要考查了复杂作图，关键是正确理解题意，画出图形 ．
9．（2013福州）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一
个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（ ）
A．3个 B．不足3个 C．4个 D．5个或5个以上
考点：可能性的大小．
分析：根据取到白球的可能性交大可以判断出白球的数量大于红球的数量，从而得解．
解答：解：∵袋中有红球4个，取到白球的可能性较大，
∴袋中的白球数量大于红球数量，
即袋中白球的个数可能是5个或5个以上．
故选D．
点评：本题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性
就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等 ．
10．（2013福州）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，
y+b），B（x，y），下列结论正确的是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．b=0 D．ab＜0
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
分析：根据函数的图象可知：y随x的增大而增大，y+b＜y，x+a＜x得出b＜0，a＜0，即可推出
答案．
解答：解：∵根据函数的图象可知：y随x的增大而增大，
∴y+b＜y，x+a＜x，
∴b＜0，a＜0，
∴选项A、C、D都不对，只有选项B正确，
故选B．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征的应用，主要考查学生的理解能力和观察图
象的能力．
二．填空题（共5小题，每小题4分．满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）
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11．（2013福州）计算： = ．
考点：分式的加减法．
专题：计算题．
分析：因为分式的分母相同，所以分母不变，分子相减即可得出答案．
解答：解：原式= = ．故答案为 ．
点评：本题比较容易，考查分式的减法运算 ．
12．（2013福州）矩形的外角和等于 度．
考点：多边形内角与外角．
分析：根据多边形的外角和定理解答即可．
解答：解：矩形的外角和等于360度．
故答案为：360．
点评：本题考查了多边形的外角和，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是
360°．
13．（2013福州）某校女子排球队队员的年龄分布如下表：
年龄 13 14 15
人数 4 7 4
则该校女子排球队队员的平均年龄是 岁．
考点：加权平均数．
分析：根据加权平均数的计算公式把所有人的年龄数加起来，再除以总人数即可．
解答：解：根据题意得：（13×4+14×7+15×4）÷15=14（岁），
故答案为：14．
点评：此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，是一道基础题 ．
14．（2013福州）已知实数a，b满足a+b=2，a﹣b=5，则（a+b）（3 a﹣b）3的值是 ．
考点：幂的乘方与积的乘方．
专题：计算题．
分析：所求式子利用积的乘方逆运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
解答：解：∵a+b=2，a﹣b=5，
∴原式=[（a+b）（a﹣b） 3=103=1000．
故答案为：1000
]
点评：此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键 ．
15．（2013福州）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称
为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是
．
考点：正多边形和圆．
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分析：延长AB，然后作出C所在的直线，一定交于格点E，根据S =S ﹣S 即可求
△ABC △AEC △BEC
解．
解答：解：延长AB，然后作出C所在的直线，一定交于格点E．
正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，
相邻的两个顶点之间的距离是： ，则△BCE的边EC上的高是： ，
△ACE边EC上的高是： ，
则S =S ﹣S = ×4×（ ﹣ ）=2 ．
△ABC △AEC △BEC
故答案是：2 ．
点评：本题考查了正多边形的计算，正确理解S =S ﹣S 是关键．
△ABC △AEC △BEC
三．解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图或添辅助线用
铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）
16．（2013福州）（1）计算： ；
（2）化简：（a+3）2+a（4﹣a）
考点：整式的混合运算；实数的运算；零指数幂．
分析：（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负数的绝对值等于它的相反数计
算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果；
（2）原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘多项式法则计算即可得到结果．
解答：解：（1）原式=1+4﹣2 =5﹣2 ；
（2）原式=a2+6a+9+4a﹣a2=10a+9．
点评：此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，涉及的知识有：完全平方公式，平方差
公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
17．（2013福州）（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；
（2）列方程解应用题把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每
人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？
考点：全等三角形的判定与性质；一元一次方程的应用．
分析：（1）求出∠CAB=∠DAB，根据SAS推出△ABC≌△ABD即可；
（2）设这个班有x名学生，根据题意得出方程3x+20=4x﹣25，求出即可．
解答：（1）证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
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在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD（SAS），
∴BC=BD．
（2）解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+20=4x﹣25，
解得：x=45，
答：这个班有45名小学生．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，主要考查学生的推理能
力和列方程的能力．
18．（2013福州）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知
抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：身高情况分组表
（单位：cm）
组别 身高
A x＜155
B 155≤x＜160
C 160≤x＜165
D 165≤x＜170
E x≥170
根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）样本中，男生的身高众数在 组，中位数在
组；
（2）样本中，女生身高在E组的人数有 人；
（3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少
人？
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；众数．
专题：图表型．
分析：（1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；
（2）先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解；
（3）分别用男、女生的人数乘以C、D两组的频率的和，计算即可得解．
解答：解：∵B组的人数为12，最多，
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∴众数在B组，
男生总人数为4+12+10+8+6=40，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，
∴中位数在C组；
（2）女生身高在E组的频率为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%=5%，
∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴样本中，女生身高在E组的人数有40×5%=2人；
（3）400× +380×（25%+15%）=180+152=332（人）．
答：估计该校身高在160≤x＜170之间的学生约有332人．
故答案为（1）B，C；（2）2．
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信
息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问 题．
19．（2013福州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC
经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是 个单位长度；△AOC与
△BOD关于直线对称，则对称轴是 ；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则
旋转角度可以是 度；
（2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
考点：旋转的性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；平移的性质．
专题：计算题．
分析：（1）由点A的坐标为（﹣2，0），根据平移的性质得到△AOC沿x轴向右平移2个单位
得到△OBD，则△AOC与△BOD关于y轴对称；根据等边三角形的性质得
∠AOC=∠BOD=60°，则∠AOD=120°，根据旋转的定义得△AOC绕原点O顺时针旋转120°
得到△DOB；
（2）根据旋转的性质得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以OE为等腰
△AOD的顶角的平分线，根据等腰三角形的性质得到OE垂直平分AD，则∠AEO=90°．
解答：解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；
∴△AOC与△BOD关于y轴对称；
∵△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB．
（2）如图，∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB，
第13页2013福建福州中考题
∴OA=OD，
∵∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠DOC=60°，
即OE为等腰△AOD的顶角的平分线，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AEO=90°．
故答案为2；y轴；120．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点
与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质、轴对称的性质以及平
移的性质．
20．（2013福州）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于
点E，且ME=1，AM=2，AE=
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求 的长．
考点：切线的判定；勾股定理的逆定理；弧长的计算；解直角三角形．
分析：（1）欲证明BC是⊙O的切线，只需证明OB⊥BC即可；
（2）首先，在Rt△AEM中，根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°；
其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函数的定义
求得ON= = ；
最后，由弧长公式l= 计算 的长．
解答：（1）证明：如图，
∵ME=1，AM=2，AE= ，
∴ME2+AE2=AM2=4，
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．
又∵MN∥BC，
∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．
第14页2013福建福州中考题
又∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接ON．
在Rt△AEM中，sinA= = ，
∴∠A=30°．
∵AB⊥MN，
∴ = ，EN=EM=1，
∴∠BON=2∠A=60°．
在Rt△OEN中，sin∠EON= ，
∴ON= = ，
∴ 的长度是： • = ．
点评：本题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理，弧长的计算，解直角三角形等．
要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即 可．
21．（2013福州）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的
面积为 ，设AB=x，AD=y
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；
（3）若∠APD=90°，求y的最小值．
考点：相似形综合题．
专题：综合题．
分析：（1）如图1，过A作AE垂直于BC，在直角三角形ABE中，由∠B=45°，AB=x，利用锐
角三角函数定义表示出AE，三角形PAD的面积以AD为底，AE为高，利用三角形面积公式
表示出，根据已知的面积即可列出y与x的函数关系式；
（2）根据∠APC=∠APD+∠CPD，以及∠APC为三角形ABP的外角，利用外角性质得到关系
式，等量代换得到∠BAP=∠CPD，再由四边形ABCD为等腰梯形，得到一对底角相等及
AB=CD，可得出三角形ABP与三角形PDC相似，由相似得比例，将CD换为AB，由y的值
求出x的值，即为AB的值，即可求出PB•PC的值；
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（3）取AD的中点F，过P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，当PF=PH时，PF
最小，此时F与H重合，由三角形APD为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即为PH，三角形APD面积以AD为底，PH为
高，利用三角形面积公式表示出三角形APD面积，由已知的面积求出y的值，即为最小值．
解答：解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x，
∴AE=AB•sinB= x，
∵S = AD•AE= ，
△APD
∴ •y• x= ，
则y= ；
（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，
∴∠BAP=∠CPD，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠B=∠C，AB=CD，
∴△ABP∽△PCD，
∴ = ，
∴PB•PC=AB•DC=AB2，
当y=1时，x= ，即AB= ，
则PB•PC=（ ）2=2；
（3）如图2，取AD的中点F，连接PF，
过P作PH⊥AD，可得PF≥PH，
当PF=PH时，PF有最小值，
∵∠APD=90°，
∴PF= AD= y，
∴PH= y，
∵S = •AD•PH= ，
△APD
∴ •y• y= ，即y2=2，
∵y＞0，∴y= ，
则y的最小值为 ．
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点评：此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，
直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握相似三角形的判定与性质
是解本题的关键．
22．（2013福州）我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx（a≠0）
（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a= ；
当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a与m之间的关系式是
（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx（k≠0）上，请用含k的代数式表
示b；
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A ，A ，…，A 在直线y=x上，横坐标依次为1，2，…，n
1 2 n
（为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B ，B ，…，B ，以线段A B
1 2 n n n
为边向右作正方形A B C D ，若这组抛物线中有一条经过D ，求所有满足条件的正方形边
n n n n n
长．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）利用顶点坐标公式（﹣ ， ）填空；
（2）首先，利用配方法得到抛物线的解析式y=a（x+ ）2﹣ ，则易求该抛物线的顶点坐标
（﹣ ，﹣ ）；
然后，把该顶点坐标代入直线方程y=kx（k≠0），即可求得用含k的代数式表示b；
（3）根据题意可设可设A（n，n），点D 所在的抛物线顶点坐标为（t，t）．由（1）（2）可得，点
n n
D 所在的抛物线解析式为y=﹣ x2+2x．所以由正方形的性质推知点D 的坐标是（2n，n），则
n n
把点D 的坐标代入抛物线解析式即可求得4n=3t．然后由n、t的取值范围来求点A 的坐标，
n n
即该正方形的边长．
解答：解：（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴ ，
解得， ，
即当顶点坐标为（1，1）时，a=1；
当顶点坐标为（m，m），m≠0时， ，
解得，
则a与m之间的关系式是：a=﹣ 或am+1=0．
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故答案是：﹣1；a=﹣ 或am+1=0．
（2）∵a≠0，
∴y=ax2+bx=a（x+ ）2﹣ ，
∴顶点坐标是（﹣ ，﹣ ）．
又∵该顶点在直线y=kx（k≠0）上，
∴k（﹣ ）=﹣ ．
∵b≠0，
∴b=2k；
（3）∵顶点A ，A ，…，A 在直线y=x上，
1 2 n
∴可设A （n，n），点D 所在的抛物线顶点坐标为（t，t）．
n n
由（1）（2）可得，点D 所在的抛物线解析式为y=﹣ x2+2x．
n
∵四边形A B C D 是正方形，
n n n n
∴点D 的坐标是（2n，n），
n
∴﹣ （2n）2+22n=n，
∴4n=3t．
∵t、n是正整数，且t≤12，n≤12，
∴n=3，6或9．
∴满足条件的正方形边长是3，6或9．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函
数的顶点坐标公式以及正方形的性质．解答（3）题时，要注意n的取值范围．
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