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2024 年中考第一次模拟考试（湖南长沙卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列四个实数中，最小的是( )
A． B．4 C．1 D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，
两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴最小的数是 ，
故选：D．
2．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形沿某个点旋转180度后能与原图完全重合的；由此问题可求
解．
【详解】解：选项A、B、D不能找到一个点绕其旋转180度后能与原图完全重合，所以都不是中心对称图形，而C选项可以找到一个点绕其旋转180度后能与原图完全重合，所以是中心对称图形；
故选C．
【点睛】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法对各选项进行判断即可．
【详解】解：由题意知， ，正确，故A符合要求；
，错误，故B不符合要求；
，错误，故C不符合要求；
，错误，故D不符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法．熟练掌握积的乘方，
完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法是解题的关键．
4．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青
团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ）
A．7.358×107 B．7.358×103 C．7.358×104 D．7.358×106
【答案】A
【分析】本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，利用科学记数法的法则解答即可．
【详解】解：7358万 ，
故选：A．
5．如图，把一个含有 角的直角三角板放在两条平行线m，n上，若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可求 ， ，即可求解．
【详解】解：如图：
，
，
是 的一个外角， ，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握性质是解题的关键．
6．如图， 是 的直径， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角的性质．
由 是 的直径可得 ，又由“同弧或等弧所对圆周角相等”可得 ，从而可
求得 ．
【详解】∵ 是 的直径，
∴ ，∵
∴ ，
∴ ．
故选：C
7．一元一次方程不等式组 的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，在数轴上表示解集时“ ”，“
”要用实心圆点表示；“ ”，“ ”要用空心圆点表示．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．先分
别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可．
【详解】解： ，
由①得， − ，
由②得， ，
故原不等式组的解集为： ．
在数轴上表示为：
故答案为：D．
8．如图，在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，
下列说法错误的是（ ）A．众数是90分 B．方差是10 C．平均数是91分 D．中位数是90分
【答案】B
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
【详解】解：A、∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；故此选项不符合题意；
B、方差是： ；故此选项符合题意；
C、平均数是（85×2+100×1+90×5+95×2）÷10＝91；故此选项不符合题意；
D、∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2＝90；故此选项不符合题
意．
故选：B．
【点睛】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，能从统计图中获得有关
数据，求出众数、中位数、平均数、方差是解题的关键．
9．在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查正比例函数的系数和一次函数常数项决定图象所过象限的知识点．
【详解】解： ．由函数 得 ，与 图象的 矛盾，故本选项不符合题意；
．函数 所过象限错误，故本选项不符合题意；
．函数 所过象限错误，故本选项不符合题意；．由函数 得 ，与 图象的 一致，故本选项符合题意．
故选：D．
10．“千门万户瞳瞳日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来
祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春
节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费
领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、
灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只
领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别用 表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，利用列表法求出概率即可．
【详解】解：分别用A，B，C表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，列表如下：
A B C
A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
共有9中等可能的结果，其中他们恰好领取同一类礼品有 种等可能的结果，
∴ ；
故选C．
【点睛】本题考查列表法求概率，解题的关键是正确的列出表格．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用二次根式有意
义则被开方数大于或等于零即可得出答案．【详解】解： 在实数范围内有意义，
故 ，
解得： ．
故答案为： ．
12．分式方程 的解是 ．
【答案】
【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴原方程的解为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验．
13．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】利用方程有两个不相等的实数根时， ，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【详解】解： 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，即 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
14．如图，扇形 的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点P，
，则 的长 （结果保留π）．【答案】 /
【分析】先求解 ，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：由作图知： 垂直平分 ，
∵ ，
∴ ，
∵扇形的半径是1，
∴ 的长 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，等腰三角形的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解本
题的关键．
15．如图，反比例函数 的图象经过 对角线的交点 ，已知点A， ， 在坐标轴上，
， 的面积为16，则 ．
【答案】
【分析】由平行四边形面积转化为矩形 面积，在得到矩形 面积，应用反比例函数比例系数k
的意义即可．
【详解】解：如图，过点 做 轴于点 ．四边形 为平行四边形，
，
又 轴，
为矩形，
，
，
为对角线交点， 轴，
四边形 为矩形面积为8，
即 ，
设 点坐标为 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形
面积相等是解题的关键．
16．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中
容方几何？”其大意是：如图， 的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形 的
边长为 ．
【答案】 /
【分析】先设正方形的边长为x，再表示出 ， ，然后说明 ∽ ，并根据对应边成比例得
出答案.
【详解】根据题意可知 ， ．设正方形的边长为x，则 ， .
∵四边形 是正方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
即 ，
解得 .
所以正方形的边长为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段
长的常用方法．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9
分，第24、25每题10分，共72分）
17．计算：
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算特殊角三角函数值，零次幂，负整数次幂，绝对值，再进行加
减运算即可，正确计算是解题的关键．
【详解】解：18．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运
算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
当 时，
原式 ．
19．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔 ，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是 ，向前走
9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是 和 ．
(1)求 的度数；
(2)求该铁塔 的高度．（结果精确到 米；参考数据： ， ）
【答案】(1)
(2) 米
【分析】本题考查了仰角的定义、解直角三角形、三角函数；（1）延长 交直线 于点F，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设 米，根据 ，构建方程求出x即可．
【详解】（1）延长 交直线 于点F，则 ，
依题意得： ， ，
∴ ．
（2）设 米，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
在 中， ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
即该铁塔 的高度约为 米．
20．为了进一步加强中小学国防教育，教育部研究制定了《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开
展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛
（百分制），并规定90分及以上为优秀， 分为良好， 分为及格，59分及以下为不及格．该
学校七、八两个年级各有学生300人，现随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下
面给出了部分信息．
a．抽取七年级20名学生的成绩如下：6 6
87 57 96 79 89 97 77 100
5 7
8 9
69 89 94 58 69 78 81 88
3 7
b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示（数据分成5组： ， ，
， ， ）
c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示．
d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 方差
七年
81
级
八年
82
级
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中 的值；
(2)估计七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人；
(3)若本次竞赛成绩达到81分及以上的同学可以获得参加挑战赛的机会，请根据样本数据估计，七、八两
个年级中哪个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多？并说明理由．
【答案】(1)补全条形统计图见解析；
(2)七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有165人
(3)七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多；理由见解析
【分析】（1）根据题意可得七年级成绩位于 的有4人；七年级成绩位于第10位和第11位的是
81和83，即可求解；（2）先求出八年级成绩优秀的所占的百分比，再分别用300乘以各自的百分比，即可求解；
（3）分别求出七、八两个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：根据题意得：七年级成绩位于 的有4人，
补全图形如下：
七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83，
∴七年级成绩的中位数 ；
（2）解：根据题意得：八年级成绩良好的所占的百分比为
∴八年级成绩优秀的所占的百分比为 ，
∴八年级成绩达到优秀的学生有 （人），
七年级成绩达到优秀的学生有 人，
（人），
答：七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有165人．
（3）解：八年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：
（人），
七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：
（人），
∵ ，
∴七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，求中位数，用样本估计总体，明确题意，准确从统计
图中获取信息是解题的关键．21．如图，在 中， ，点 在 边上，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得
到 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 时，求 的长；
(3)点 在 上运动时，试探究 的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存
在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由 即可证明 ；
（2）证明 （ ），勾股定理得到 ，在 中，勾股定理即可求解；
（3）证明 ，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，可知 ， ， ．
．
即 ．
．
（2） 在 中， ，
．
．
，
， ．．
．
在 中， ．
（3）由（2）可知， ．
当 最小时，有 的值最小，此时 ．
为等腰直角三角形，
．
．
即 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性
质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．某服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件与B种型号服装10件共需
要1810元；若购进A种型号服装12件与B种型号服装8件共需要1880元．
(1)A、B两种型号的服装每件分别为多少元？
(2)若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定购
进A型服装的数量要比购进B型服装的数量的2倍还多4件，这样服装全部售出后可使总的获利不少于
732元，问至少购进B型服装多少件？
【答案】(1)A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元．
(2)至少购进B型服装10件．
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，准确地找到等量关系并用方程组表示
出来是解题的关键．
（1）根据题意可知，本题中的相等关系是“A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元”和“A
种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元”，列方程组求解即可．
（2）利用两个不等关系列不等式，结合实际意义求解．
【详解】（1）设A种型号服装每件x元，B种型号服装每件y元．
依题意可得：，
解得： ，
答：A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元．
（2）设B型服装购进m件，则A型服装购进 件．
根据题意得： ，
解不等式得 ，
答：至少购进B型服装10件．
23．如图，四边形 为矩形，点 在边 上， ，连接 ，过点 作 交 于点 ，
分别过点 、 作 、 且 、 相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，点 是 的中点，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据 即余角的性质得到，可得 ，根据矩形的性质可得
，可证明 ，由此即可求证 ；
（2）根据题意可证四边形 是正方形，在 中由勾股定理求出的长，且 是等腰直角三角
形，根据其性质得到．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是证
明 ，由勾股定理求出 的长，由等腰直角三角形的性质即可得到 ．
24．如图，A，B，C是 上的三点，且 ， ，点D为优弧 上的动点，且．
(1)如图1，若 ，延长 到F，使得 ，连接 ，求证： 是 的切线；
(2)如图2，若 的角平分线与 相交于E，求 的半径与 的长；
(3)如图3，将 的 边所在的直线 绕点A旋转得到 ，直线 与 相交于M，N，连接 ．
在运动的过程中， 的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为 ，
(3) 在运动的过程中， 的值不发生变化，其值为25
【分析】（1）连接 ，先证 ，推出 ，得到四边形 是平行四边形，
，再得到 ，即可证得结论；
（2）连接 交 于H，连接 ，由垂径定理得 ，根据 ，求出
，设 的半径为x，则 ， ，在 中，由勾股定理求出 ， 的
半径为 ，根据角平分线定义及同弧所对圆周角相等得到 ，由此得到
；
（3）连接 ，并延长 交 于Q，连接 ，过点A作 于P，证明 ，得到
，由（2）可知，点A到直线 的距离为3，直线 绕点A旋转得到 ，A到直线 的距离始终等于3，不会发生改变，由此得到 ．
【详解】（1）证明：连接 ，如图1所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
图1
（2）解：连接 交 于H，连接 ，如图2所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，在 中，由勾股定理得： ，
设 的半径为x，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴ 的半径为 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
图2
（3）解：连接 ，并延长 交 于Q，连接 ，过点A作 于P，如图3所示：
则 是 的直径，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）可知，点A到直线 的距离为3，直线 绕点A旋转得到 ，∴点A到直线 的距离始终等于3，不会发生改变，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 在运动的过程中， 的值不发生变化，其值为25．
图3
【点睛】此题考查锐角三角函数，证明直线是圆的切线，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和
性质，勾股定理，垂径定理，等知识，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
25．定义：在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交点坐标为 ，那么我们把经
过点 且平行于 轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
(1)抛物线 的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
(2)经过点 和 的抛物线 与 轴交于点 ，它的极限分割线与该抛
物线另一个交点为 ，请用含 的代数式表示点 的坐标．
【拓展运用】
(3)在（2）的条件下，设抛物线 的顶点为 ，直线 垂直平分 ，垂足为 ，交该
抛物线的对称轴于点 ．
①当 时，求点 的坐标．
②若直线 与直线 关于极限分割线对称，是否存在使点 到直线 的距离与点 到直线 的距离相等的 的值？若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 和
(2)点 的坐标为
(3)①顶点为 或顶点为 ；②存在， 或 或
【分析】（1）根据定义，确定c值，再建立方程组求解即可．
（2）把点 代入解析式，确定 ，根据定义建立方程求解即可．
（3）①根据等腰直角三角形的性质，得到等线段，再利用字母表示等线段建立绝对值等式计算即可．
②设 与对称轴的交点为 ，用含 的式子表示出点 的坐标，分别写出极限分割线 、直线 及直
线 的解析式，用含 的式子分别表示出点 到直线 的距离和点 到直线 的距离，根据点 到直
线 的距离与点 到直线 的距离相等，得出关于 的绝对值方程，解方程即可．
【详解】（1）∵抛物线 的对称轴为直线 ，极限分割线为 ，
极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为 ，则另一个交点坐标为 ．
故答案为： 和 ．
（2）抛物线经过点 ，
∴
∴
∴ ，
解得
∴点D的坐标为 ．
（3）①设 与对称轴交于点 ，若 ，则 ．∵点C的坐标为 ，点D的坐标为 ．．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
∵抛物线 的顶点为 ，
∴抛物线 的顶点为 ，
∴当 时， ，故顶点为 ；
∴当 时， ，故顶点为 ；
∴顶点为 或顶点为 ．
存在， 或 或 ．
如图，设 与对称轴的交点为 ．由 知， ，抛物线 的顶点为 ，∴抛物线
的极限分割线 ： ，
直线 垂直平分 ，
∴直线 ： ，
∴点 到直线 的距离为 ；
直线 与直线 关于极限分割线 对称，
直线 ： ，
∵ ，
∴点 到直线 的距离为 ，
点 到直线 的距离与点 到直线 的距离相等，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 或 ，
故 或 或 ．
【点睛】．查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练
掌握二次函数的图像与性质及绝对值方程是解题的关键．
