文档内容
2014年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分） ＝（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a5 B．（a2）3＝a5
C．a3+a3＝a6 D．（a+b）2＝a2+b2
3．（3分）下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，已知AB∥CD，∠C＝65°，∠E＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．32.5° C．35° D．37.5°
5．（3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1， ），则
点C的坐标为（ ）
第1页（共27页）A．（﹣ ，1） B．（﹣1， ） C．（ ，1） D．（﹣ ，﹣1）
6．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）为积极响应南充市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参加了卫生知
识竞赛，成绩记为A、B、C、D四等．从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图
两幅不完整的统计图表，根据图表信息，以下说法不正确的是（ ）
A．样本容量是200
B．D等所在扇形的圆心角为15°
C．样本中C等所占百分比是10%
D．估计全校学生成绩为A等大约有900人
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数
为（ ）
第2页（共27页）A．30° B．36° C．40° D．45°
9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上
进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（ ）
A． B．13 C．25 D．25
π π
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
abc＞0； 2a+b＝0； 当m≠1时，a+b＞am2+bm； a﹣b+c＞0； 若ax 2+bx ＝
1 1
①ax 2+bx ，且②x ≠x ，则x③+x ＝2．其中正确的有（ ）④ ⑤
2 2 1 2 1 2
A． B． C． D．
二、填空①题②（③本大题共6个小②题④，每小题3分，共18②分⑤） ②③⑤
11．（3分）分式方程 ＝0的解是 ．
12．（3分）分解因式：x3﹣6x2+9x＝ ．
13．（3分）一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3，则这
组数据的方差是 ．
14．（3分）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB＝8，则图中阴影部分的面积是
．（结果保留 ）
π
第3页（共27页）15．（3分）一列数a ，a ，a ，…a ，其中a ＝﹣1，a ＝ ，a ＝ ，…，a ＝ ，
1 2 3 n 1 2 3 n
则a +a +a +…+a ＝ ．
1 2 3 2014
16．（3分）如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在
BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′＝x，则x的取值范
围是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）计算：（ ﹣1）0﹣（ ﹣2）+3tan30°+（ ）﹣1．
18．（8分）如图，AD、BC相交于O，OA＝OC，∠OBD＝∠ODB．求证：AB＝CD．
19．（8分）在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动．有A、B 两
组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有0，2，3；B组卡片上分别写有﹣5，﹣1，1．每张
卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中
随机抽取一张记为y．
（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数是﹣1，它们恰好是ax﹣y＝5的解，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax﹣y＝5的解的概率．（请用
树形图或列表法求解）
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2 x+m＝0有两个不相等的实数根．
第4页（共27页）（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条下，方程的实数根是x ，x ，求代数式x 2+x 2﹣x x 的值．
1 2 1 2 1 2
21．（8分）如图，一次函数y ＝kx+b的图象与反比例函数y ＝ 的图象相交于点A（2，5）和
1 2
点B，与y轴相交于点C（0，7）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）当x取何值时，y ＜y ．
1 2
22．（8分）马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A、B同时
收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船
B 的西北方向上，船 B 在船 A 正东方向 140 海里处．（参考数据：sin36.5°≈0.6，
cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）．
（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；
（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往
搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．
23．（8分）今年我市水果大丰收，A、B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这
第5页（共27页）些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和
20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水
果400件，乙销售点需要水果300件．
（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为W元，请用含x的代数式表示W，并写
出x的取值范围；
（2）若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最
低的运输方案，并求出最低运费．
24．（8分）如图，已知AB是 O的直径，BP是 O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E
在CD的延长线上，EP＝⊙EG， ⊙
（1）求证：直线EP为 O的切线；
（2）点P在劣弧AC上⊙运动，其他条件不变，若BG2＝BF•BO．试证明BG＝PG；
（3）在满足（2）的条件下，已知 O的半径为3，sinB＝ ．求弦CD的长．
⊙
25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点
B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交
直线AB于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，S四边形OBDC ＝2S△BPD ；
（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理
由．
第6页（共27页）第7页（共27页）2014年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】按照绝对值的性质进行求解．
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得：|﹣ |＝ ．
故选：C．
【点评】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．
2．【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A；
根据幂的乘方，可判断B；
根据合并同类项，可判断C；
根据完全平方公式，可判断D．
【解答】解：A、底数不变指数相加，故A正确；
B、底数不变指数相乘，原式＝a6，故B错误；
C、系数相加字母部分不变，原式＝2a3，故C错误；
D、和的平方等于平方和加积的二倍，原式＝a2+b2+2ab，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项和完全平方公式，熟记和的平
方等于平方和加积的二倍．
3．【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
D、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．
故选：D．
【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．【分析】根据平行线的性质求出∠EOB，根据三角形的外角性质求出即可．
第8页（共27页）【解答】解：设AB、CE交于点O．
∵AB∥CD，∠C＝65°，
∴∠EOB＝∠C＝65°，
∵∠E＝30°，
∴∠A＝∠EOB﹣∠E＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出
∠EOB的度数和得出∠A＝∠EOB﹣∠E．
5．【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出
∠OAD＝∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边
相等可得OE＝AD，CE＝OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠COE+∠AOD＝90°，
又∵∠OAD+∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OE＝AD＝ ，CE＝OD＝1，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（﹣ ，1）．
故选：A．
第9页（共27页）【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线
构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
6．【分析】解不等式组得到解集为﹣2＜x≤3，将﹣2＜x≤3表示成数轴形式即可．
【解答】解：解不等式 得：x≤3．
解不等式x﹣3＜3x+1得：x＞﹣2
所以不等式组的解集为﹣2＜x≤3．
故选：D．
【点评】考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个
不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成
若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是
不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；
“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7．【分析】根据条形统计图和扇形统计图提供的数据分别列式计算，再对每一项进行分析即
可．
【解答】解：A、 ＝200（名），则样本容量是200，故A正确；
B、成绩为A的人数是：200×60%＝120（人），
成绩为D的人数是200﹣120﹣50﹣20＝10（人），
D等所在扇形的圆心角为：360°× ＝18°，故B错误；
C、样本中C等所占百分比是1﹣60%﹣25%﹣ ×100%＝10%，故C正确；
D、全校学生成绩为A等大约有1500×60%＝900人，故D正确；
由于该题选择错误的，故选：B．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
第10页（共27页）图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
8．【分析】求出∠BAD＝2∠CAD＝2∠B＝2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求
∠B，
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵CD＝AD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出
∠BAD＝2∠CAD＝2∠B＝2∠C关系．
9．【分析】连接BD，B′D，首先根据勾股定理计算出BD长，再根据弧长计算公式计算出
， 的长，然后再求和计算出点B在两次旋转过程中经过的路径的长即可．
【解答】解：连接BD，B′D，
∵AB＝5，AD＝12，
∴BD＝ ＝13，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ＝6 ，
π
∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是： +6 ＝ ．
π
故选：A．
第11页（共27页）【点评】此题主要考查了弧长计算，以及勾股定理的应用，关键是掌握弧长计算公式l＝
．
10．【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，得到b＝﹣2a
＞0，即2a+b＝0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性
质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞
am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x
＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax 2+bx ＝ax 2+bx 先移项，再分解因式得到（x ﹣x ）
1 1 2 2 1 2
[a（x +x ）+b]＝0，而x ≠x ，则a（x +x ）+b＝0，即x +x ＝﹣ ，然后把b＝﹣2a代入计算
1 2 1 2 1 2 1 2
得到x +x ＝2．
1 2
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以 正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，②
∴c＞0，
∴abc＜0，所以 错误；
∵抛物线对称轴①为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以 正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为③直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以 错误；
④ 第12页（共27页）∵ax 2+bx ＝ax 2+bx ，
1 1 2 2
∴ax 2+bx ﹣ax 2﹣bx ＝0，
1 1 2 2
∴a（x +x ）（x ﹣x ）+b（x ﹣x ）＝0，
1 2 1 2 1 2
∴（x ﹣x ）[a（x +x ）+b]＝0，
1 2 1 2
而x ≠x ，
1 2
∴a（x +x ）+b＝0，即x +x ＝﹣ ，
1 2 1 2
∵b＝﹣2a，
∴x +x ＝2，所以 正确．
1 2
故选：D． ⑤
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系
数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口
向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），
对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线
与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△＝b2﹣4ac＞0
时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac
＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+1+2＝0，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣3．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
12．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x3﹣6x2+9x，
＝x（x2﹣6x+9），
＝x（x﹣3）2．
故答案为：x（x﹣3）2．
第13页（共27页）【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行
二次分解因式．
13．【分析】先根据中位数的定义求出x的值，再求出这组数据的平均数，最后根据方差公式
S2＝ [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]进行计算即可．
1 2 n
【解答】解：∵按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3，
∴x＝3，
∴这组数据的平均数是（1+2+3+3+4+5）÷6＝3，
∴这组数据的方差是： （[ 1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了中位数和方差：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2
1 2 n
＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重
1 2 n
新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
14．【分析】设AB与小圆切于点C，连结OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环
（阴影）的面积＝ •OB2﹣ •OC2＝ （OB2﹣OC2），以及勾股定理即可求解．
【解答】解：设ABπ与小圆切π于点C，π 连结OC，OB．
∵AB与小圆切于点C，
∴OC⊥AB，
∴BC＝AC＝ AB＝ ×8＝4．
∵圆环（阴影）的面积＝ •OB2﹣ •OC2＝ （OB2﹣OC2）
又∵直角△OBC中，OB2＝πOC2+BCπ 2
π
∴圆环（阴影）的面积＝ •OB2﹣ •OC2＝ （OB2﹣OC2）＝ •BC2＝16 ．
故答案为：16 ． π π π π π
π
第14页（共27页）【点评】此题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，
注意到圆环（阴影）的面积＝ •OB2﹣ •OC2＝ （OB2﹣OC2），利用勾股定理把圆的半径
之间的关系转化为直角三角形π的边的关π系． π
15．【分析】分别求得a 、a 、a 、…，找出数字循环的规律，进一步利用规律解决问题．
1 2 3
【解答】解：a ＝﹣1，
1
a ＝ ＝ ，
2
a ＝ ＝2，
3
a ＝ ＝﹣1，
4
…，
由此可以看出三个数字一循环，
∵2014÷3＝671…1，
∴a +a +a +…+a ＝671×（﹣1+ +2）﹣1＝1005.5．
1 2 3 2014
故答案为：1005.5．
【点评】此题考查了找规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照
什么规律变化的，找出规律是解题的关键．
16．【分析】作出图形，根据矩形的对边相等可得BC＝AD，CD＝AB，当折痕经过点D时，根
据翻折的性质可得A′D＝AD，利用勾股定理列式求出A′C，再求出BA′；当折痕经过
点B时，根据翻折的性质可得BA′＝AB，此两种情况为BA′的最小值与最大值的情况，
然后写出x的取值范围即可．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝17，
∴BC＝AD＝17，CD＝AB＝8，
当折痕经过点D时，
①由翻折的性质得，A′D＝AD＝17，
第15页（共27页）在Rt△A′CD中，A′C＝ ＝ ＝15，
∴BA′＝BC﹣A′C＝17﹣15＝2；
当折痕经过点B时，由翻折的性质得，BA′＝AB＝8，
②∴x的取值范围是2≤x≤8．
故答案为：2≤x≤8．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出BA′的最小值与
最大值时的情况，作出图形更形象直观．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．【分析】本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．
针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得结果．
【解答】解：原式＝1﹣ +2+ +3
＝6．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对
值等考点的运算．
18．【分析】根据等角对等边可得OB＝OC，再利用“边角边”证明△ABO和△CDO全等，根
据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵∠OBD＝∠ODB，
∴OB＝OD，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，准确识图确定出全等的三角形并求出OB
第16页（共27页）＝OD是解题的关键．
19．【分析】（1）将x＝2，y＝﹣1代入方程计算即可求出a的值；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax﹣y＝5的
解的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）将x＝2，y＝﹣1代入方程得：2a+1＝5，即a＝2；
（2）列表得：
0 2 3
﹣5 （0，﹣5） （2，﹣5） （3，﹣5）
﹣1 （0，﹣1） （2，﹣1） （3，﹣1）
1 （0，1） （2，1） （3，1）
所有等可能的情况有9种，其中（x，y）恰好为方程2x﹣y＝5的解的情况有（0，﹣5），（2，
﹣1），（3，1），共3种情况，
则P＝ ＝ ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
20．【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于
m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值；
（2）根据（1）可知：m＝1，继而可得一元二次方程为x2﹣2 x+1＝0，根据根与系数的关系，
可得x +x ＝2 ，x x ＝1，再将x 2+x 2﹣x x 变形为（x +x ）2﹣3x x ，则可求得答案．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2 x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝8﹣4m＞0，
解得m＜2，
故整数m的最大值为1；
（2）∵m＝1，
∴此一元二次方程为：x2﹣2 x+1＝0，
∴x +x ＝2 ，x x ＝1，
1 2 1 2
∴x 2+x 2﹣x x ＝（x +x ）2﹣3x x ＝8﹣3＝5．
1 2 1 2 1 2 1 2
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．此题难度不大，解题的
第17页（共27页）关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
⇔
掌握根与系数的关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x +x ＝ ，
1 2 1 2
x x ＝ ．
1 2
21．【分析】（1）将点C、点A的坐标代入一次函数解析式可得k、b的值，将点A的坐标代入
反比例函数解析式可得m的值，继而可得两函数解析式；
（2）寻找满足使一次函数图象在反比例函数图象下面的x的取值范围．
【解答】解：（1）将点（2，5）、（0，7）代入一次函数解析式可得： ，
解得： ．
∴一次函数解析式为：y＝﹣x+7；
将点（2，5）代入反比例函数解析式：5＝ ，
∴m＝10，
∴反比例函数解析式为：y＝ ．
（2）由题意，得： ，
解得： 或 ，
∴点B的坐标为（5，2），
由图象得：当0＜x＜2或x＞5时，y ＜y ．
1 2
第18页（共27页）【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是联立解析式，
求出交点坐标．
22．【分析】（1）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE即可；
（2）分别求出PA、PB的长，根据两船航行速度，计算出两艘船到达P点时各自所需要的时
间，即可作出判断．
【解答】解：（1）过点P作PE⊥AB于点E，
由题意得，∠PAE＝36.5°，∠PBA＝45°，
设PE为x海里，则BE＝PE＝x海里，
∵AB＝140海里，
∴AE＝（140﹣x）海里，
在Rt△PAE中， ，
即：
解得：x＝60，
∴可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离约为60海里；
（2）在Rt△PBE中，PE＝60海里，∠PBE＝45°，
则BP＝ PE＝60 ≈84.8海里，
B船需要的时间为：84.8÷30≈2.83小时，
在Rt△PAE中， ＝sin∠PAE，
∴AP＝PE÷sin∠PAE＝60÷0.6＝100海里，
第19页（共27页）∴A船需要的时间为：100÷40＝2.5小时，
∵2.83＞2.5，
∴A船先到达．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用
三角函数值计算有关线段，难度一般．
23．【分析】（1）表示出从A基地运往乙销售点的水果件数，从B基地运往甲、乙两个销售点
的水果件数，然后根据运费＝单价×数量列式整理即可得解，再根据运输水果的数量不小
于0列出不等式求解得到x的取值范围；
（2）根据一次函数的增减性确定出运费最低时的运输方案，然后求解即可．
【解答】解：（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，则从A基地运往乙销售点的水果（380
﹣x）件，
从B基地运往甲销售点水果（400﹣x）件，运往乙基地（x﹣80）件，
由题意得，W＝40x+20（380﹣x）+15（400﹣x）+30（x﹣80），
＝35x+11200，
即W＝35x+11200，
∵ ，
∴80≤x≤380，
即x的取值范围是80≤x≤380；
（2）∵A地运往甲销售点的水果不低于200件，
∴x≥200，
∵k＝35＞0，
第20页（共27页）∴运费W随着x的增大而增大，
∴当x＝200时，运费最低，为35×200+11200＝18200元＜18300元，
此时，方案为：
从A基地运往甲销售点的水果200件，运往乙销售点的水果180件，
从B基地运往甲销售点的水果200件，运往乙销售点的水果120件．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确表示
出从A、B两个基地运往甲、乙两个销售点的水果的件数是解题的关键．
24．【分析】（1）连结OP，先由EP＝EG，证出∠EPG＝∠BGF，再由∠BFG＝∠BGF+∠OBP
＝90°，推出∠EPG+∠OPB＝90°来求证．
（2）连结OG，由BG2＝BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO＝∠BFG＝90°，根据垂
径定理可得出结论．
（3）连结AC、BC、OG，由sinB＝ ，求出OG，由（2）得出∠B＝∠OGF，求出OF，再求出
BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度．
【解答】（1）证明：连结OP，
∵EP＝EG，
∴∠EPG＝∠EGP，
又∵∠EGP＝∠BGF，
∴∠EPG＝∠BGF，
∵OP＝OB，
∴∠OPB＝∠OBP，
∵CD⊥AB，
∴∠BFG＝∠BGF+∠OBP＝90°，
∴∠EPG+∠OPB＝90°，
∴直线EP为 O的切线；
⊙ 第21页（共27页）（2）证明：如图，连结OG，OP，
∵BG2＝BF•BO，
∴ ＝ ，
∴△BFG∽△BGO，
∴∠BGO＝∠BFG＝90°，
由垂径定理知：BG＝PG；
（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，
∵sinB＝ ，
∴ ＝ ，
∵OB＝r＝3，
∴OG＝ ，
由（2）得∠EPG+∠OPB＝90°，
∠B+∠BGF＝∠OGF+∠BGF＝90°，
∴∠B＝∠OGF，
∴sin∠OGF＝ ＝
第22页（共27页）∴OF＝1，
∴BF＝BO﹣OF＝3﹣1＝2，FA＝OF+OA＝1+3＝4，
在Rt△BCA中，
CF2＝BF•FA，
∴CF＝ ＝ ＝2 ．
∴CD＝2CF＝4 ．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵
活运用直角三角形中的正弦值．
25．【分析】（1）将x＝0代入y＝x﹣1求出B的坐标，将x＝﹣3代入y＝x﹣1求出A的坐标，
由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，由此表示出S四边形OBDC 和
2S△BPD 建立方程求出其解即可．
（3）如图 2，当∠APD＝90°时，设出 P 点的坐标，就可以表示出 D 的坐标，由
△APD∽△FCD列出比例式求解即可；如图3，当∠PAD＝90°时，作AE⊥x轴于E，根据比
例式表示出AD，再由△PAD∽△FEA列出比例式求解．
【解答】方法一：
解：（1）∵y＝x﹣1，
当x＝0时，y＝﹣1，
∴B（0，﹣1）．
当x＝﹣3时，y＝﹣4，
∴A（﹣3，﹣4）．
∵y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+4x﹣1；
（2）∵P点横坐标是m（m＜0），
∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）
如图1 ，作BE⊥PC于E，
∴BE＝①﹣m．
第23页（共27页）CD＝1﹣m，OB＝1，OC＝﹣m，CP＝1﹣4m﹣m2，
∴PD＝1﹣4m﹣m2﹣1+m＝﹣3m﹣m2，
∴ ，
解得：m ＝0（舍去），m ＝﹣2，m ＝﹣ ；
1 2 3
如图1 ，作BE⊥PC于E，
∴BE＝②﹣m．
PD＝m2+4m﹣1+1﹣m＝3m+m2，
∴ ＝2× ，
解得：m＝0（舍去）或m＝ （舍去）或m＝ ，
∴m＝﹣ ，﹣2或 时，S四边形OBDC ＝2S△BPD ；
（3）如图2，当∠APD＝90°时，设P（m，m2+4m﹣1），则D（m，m﹣1），
∴AP＝m+3，CD＝1﹣m，OC＝﹣m，CP＝1﹣4m﹣m2，
∴DP＝1﹣4m﹣m2﹣1+m＝﹣3m﹣m2．
在y＝x﹣1中，当y＝0时，x＝1，
∴F（1，0），
∴OF＝1，
∴CF＝1﹣m．AF＝4 ．
∵PC⊥x轴，
∴∠PCF＝90°，
∴∠PCF＝∠APD，
∴CF∥AP，
∴△APD∽△FCD，
，
∴ ，
解得：m＝﹣1或m＝﹣3（舍去），
第24页（共27页）∴P（﹣1，﹣4）
如图3，当∠PAD＝90°时，作AE⊥x轴于E，
∴∠AEF＝90°，CE＝m+3，EF＝4，AF＝4 ，PD＝m﹣1﹣（﹣1+4m+m2）＝﹣3m﹣m2．
∵PC⊥x轴，
∴∠DCF＝90°，
∴∠DCF＝∠AEF，
∴AE∥CD．
∴ ，
∴AD＝ （3+m）．
∵△PAD∽△FEA，
∴ ，
∴ ，
∴m＝﹣2或m＝﹣3（舍去）
∴P（﹣2，﹣5）．
当∠APD＝90°时
∴点A与点P关于对称轴对称
∵A（﹣3，﹣4）
∴P（﹣1，﹣4）
综上，存在点P（﹣2，﹣5）或P（﹣1，﹣4）使△PAD是直角三角形．
方法二：
（1）略．
（2）∵S四边形OBDC ＝2S△BPD ，
∴ OC×（OB+CD）＝2× DP×OC，
∴OB+CD＝2DP，
∵P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1），B（0，1），
∵CD＝1﹣m，OB＝1，
∴1+1﹣m＝2|m2+4m﹣1﹣m+1|，
﹣2m2﹣6m＝2﹣m，
① 第25页（共27页）∴2m2+5m+2＝0，
∴m ＝﹣ ，m ＝﹣2，
1 2
2m2+6m＝2﹣m，
②∴2m2+7m﹣2＝0，
m＝ （舍）或m＝ ，
∵m＜0，∴满足题意的解m ＝﹣ ，m ＝﹣2，m ＝ ，
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（3）设P（m，m2+4m﹣1），则D（m，m﹣1），A（﹣3，﹣4），
∵△PAD是直角三角形，∴PD⊥PA，PD⊥DA，PA⊥DA．
PD⊥PA，∵PD⊥x轴，∴PA∥x轴，∴P ＝A ，
Y Y
①∴m2+4m﹣1＝﹣4，∴m＝﹣1，m＝﹣3（舍），
PD⊥DA，∵PD⊥x轴，
②∴DA∥x轴，∴DY＝AY，
∴m﹣1＝﹣4，m＝﹣3（舍）
PA⊥DA，∴K ×K ＝﹣1，
PA DA
③
∴ ＝﹣1，
∴m＝﹣2，
综上，存在点P （﹣1，﹣4），P （﹣2，﹣5）使△PAD是直角三角形．
1 2
第26页（共27页）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，
三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，
用相似三角形的性质求解是难点．
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日期：2020/2/21 11:42:20；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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