文档内容
2024 年中考第一次模拟考试（湖南长沙卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C A A C C D B D C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．
12．
13． /
14． /
15．
16． /
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9
分，第24、25每题10分，共72分）
17．【解析】
.（6分）
18．【解析】原式.（3分）
当 时，原式 ．（6分）
19．【解析】（1）延长 交直线 于点F，则 ，
依题意得： ， ，
∴ ．（3分）
（2）设 米，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
在 中， ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
即该铁塔 的高度约为 米．（6分）
20．【解析】（1）根据题意得：七年级成绩位于 的有4人，
补全图形如下：七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83，
∴七年级成绩的中位数 ；（2分）
（2）根据题意得：八年级成绩良好的所占的百分比为
∴八年级成绩优秀的所占的百分比为 ，
∴八年级成绩达到优秀的学生有 （人），
七年级成绩达到优秀的学生有 人，
（人），
答：七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有165人．（5分）
（3）八年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：
（人），
七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：
（人），
∵ ，
∴七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多．（8分）
21．【解析】（1）由题意，可知 ， ， ．
．
即 ．
．（3分）
（2） 在 中， ，．
．
，
， ．
．
．
在 中， ．（6分）
（3）由（2）可知， ．
当 最小时，有 的值最小，此时 ．
为等腰直角三角形，
．
．
即 的最小值为 ．（8分）
22．【解析】（1）设A种型号服装每件x元，B种型号服装每件y元．
依题意可得：
，
解得： ，
答：A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元．（5分）
（2）设B型服装购进m件，则A型服装购进 件．
根据题意得： ，
解不等式得 ，
答：至少购进B型服装10件．（9分）
23．【解析】（1）证明：∵ ，
∴ ，∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．（4分）
（2）如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．（9分）
24．【解析】（1）证明：连接 ，如图1所示：
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；（3分）
图1
（2）连接 交 于H，连接 ，如图2所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
设 的半径为x，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，解得： ，
∴ 的半径为 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；（6分）
图2
（3）连接 ，并延长 交 于Q，连接 ，过点A作 于P，如图3所示：
则 是 的直径，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，（8分）
由（2）可知，点A到直线 的距离为3，直线 绕点A旋转得到 ，
∴点A到直线 的距离始终等于3，不会发生改变，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 在运动的过程中， 的值不发生变化，其值为25．（10分）
图3
25．【解析】（1）∵抛物线 的对称轴为直线 ，极限分割线为 ，
极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为 ，则另一个交点坐标为 ．
故答案为： 和 ．（2分）
（2）抛物线经过点 ，
∴
∴
∴ ，
解得
∴点D的坐标为 ．（5分）
（3）①设 与对称轴交于点 ，若 ，则 ．∵点C的坐标为 ，点D的坐标为 ．．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
∵抛物线 的顶点为 ，
∴抛物线 的顶点为 ，
∴当 时， ，故顶点为 ；
∴当 时， ，故顶点为 ；
∴顶点为 或顶点为 ．（7分）
存在， 或 或 ．
如图，设 与对称轴的交点为 ．由 知， ，抛物线 的顶点为 ，∴抛物线
的极限分割线 ： ，
直线 垂直平分 ，
∴直线 ： ，
∴点 到直线 的距离为 ；
直线 与直线 关于极限分割线 对称，
直线 ： ，
∵ ，
∴点 到直线 的距离为 ，
点 到直线 的距离与点 到直线 的距离相等，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 或 ，
故 或 或 ．（10分）
