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考前突破 05 二次函数性质综合题（2 大必考题型）
题型一：纯性质综合题
题型二：交点问题
题型一：纯性质综合题
【中考母题学方法】
1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 .
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 和 是抛物线上的两点.若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围.
2．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数 （b，c为常数）的图象经过点 ，对称轴为
直线 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点 向上平移2个单位长度，向左平移m（ ）个单位长度后，恰好落在 的图象
上，求m的值；
(3)当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围．3．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数 （a，b为常数）．设自变量x取 时，y取
得最小值．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上，且 ．求点P到y轴的距离；
(3)当 ，且 时，分析并确定整数a的个数．
4．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线 （b为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶
点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．
（ⅰ）若 ，且 ， ，求h的值；
（ⅱ）若 ，求h的最大值．5．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 在二次函数 的图像
上，记该二次函数图像的对称轴为直线 ．
(1)求 的值；
(2)若点 在 的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次
函数的图像．当 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设 的图像与 轴交点为 ， ．若 ，求 的取值范围．
6．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线 与x轴交点的坐标分别为 ， ，
且 ．
(1)若抛物线 与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ．试判断下列每组
数据的大小（填写 、 或 ）：
① ________ ；② ________ ；③ ________ ．
(2)若 ， ，求b的取值范围；
(3)当 时， 最大值与最小值的差为 ，求b的值．7．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线 过点 和点 ，
直线 过点 ，交线段 于点 ，记 的周长为 ， 的周长为 ，且
．
(1)求抛物线 的对称轴；
(2)求 的值；
(3)直线 绕点 以每秒 的速度顺时针旋转 秒后 得到直线 ，当 时，直线 交抛物线
于 ， 两点．
①求 的值；
②设 的面积为 ，若对于任意的 ，均有 成立，求 的最大值及此时抛物线 的解析式．
8．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线 （ 是常
数）经过点 ．点 、 是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为 、 ，点 的横坐标为 ，
点 的纵坐标与点 的纵坐标相同，连结 、 ．(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求证：当 取不为零的任意实数时， 的值始终为2；
(3)作 的垂直平分线交直线 于点 ，以 为边、 为对角线作菱形 ，连结 ．
①当 与此抛物线的对称轴重合时，求菱形 的面积；
②当此抛物线在菱形 内部的点的纵坐标 随 的增大而增大时，直接写出 的取值范围．
【中考模拟即学即练】
9．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
(1)求 的值以及抛物线的对称轴；
(2)将该抛物线向右平移 个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求 的值．
10．（2025·江西景德镇·模拟预测）抛物线 的顶点到 轴的距离为3．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线与 轴有两个交点，当 ，求 的取值范围．11．（2024·浙江台州·模拟预测）已知抛物线 ： 经过点 ．
(1)求 的函数表达式及其顶点坐标；
(2)若点 和 在抛物线 上，且 ， ．
①求A，B两点的坐标；
②将拋物线 平移得到抛物线 ： ．当 时，抛物线 的函数最大值为p，最
小值为q，若 ，求k的值．
12．（2024·贵州六盘水·二模）已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且图象经过点 ， ．
(1)求二次函数的表达式
(2)将二次函数的图象向右平移 个单位，图象经过点 ，求m 的值；
(3)在由（2）平移后的图象上，当 时，函数的最小值为 ，求n的值．
13．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数 的图象，根据图象回答下列问题：(1)二次函数 的图象与 的图象有什么相同和不同（各写出两条）；
(2)若有一个二次函数的图象与 的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数
的表达式．
14．（2025·湖北黄石·一模）如图1，抛物线 交x轴于A，C两点，交y轴于点B，对称轴为
，若点A的坐标为 ， ，点 为某个动点．
(1)直接写出点B，C的坐标；
(2)当点D在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线 的解析式为 ，依据函数图象试求不等式
的解集；
(3)如图2，过点D作x轴的垂线 ，交抛物线于点E，记 ，求n关于m的函数解析式．当n随m
的增大而增大时，求m的取值范围．15．（2024·贵州遵义·三模）如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形状可
以近似的看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱 ， 均与地面垂直，且 ， 、
之间的水平距离 ．绳子最低点与地面的距离为 ．
(1)按如图（1）建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式.(2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱 撑起绳子，如图
（2） 的高度为 ，通过调整 的位置，使左边抛物线 对应的函数关系式为 ，
且最低点离地面1.4米，求水平距离 .
(3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线 对应的函数关系式为 ，将图（2）中 ，
两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移 个单位长度，平移后的函数图象在 时，y
的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
16．（2024·江苏盐城·二模）已知二次函数 的图象开口向下，且经过 ，
两点．
(1) （填“ ”或“ ”）；
当 时，求 的值；
(2)若点 和点 也在二次函数 图象上，且 ， ．
求 的取值范围；若两不同点 和 都在二次函数 的图象上，且始终满足 ，求 的取
值范围．
题型二：交点问题
【中考母题学方法】
1．（2020·江苏盐城·中考真题）若二次函数 的图像与 轴有两个交点
，且经过点 过点 的直线 与 轴交于点 与该函数的图像交于点（异于点 ）．满足 是等腰直角三角形，记 的面积为 的面积为 ，且 ．
（1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）；
（2）求直线 相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
2．（2021·四川雅安·中考真题）已知二次函数 ．（1）当该二次函数的图象经过点 时，求该二次函数的表达式；
（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在
线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长
度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;
（3）若对满足 的任意实数x，都使得 成立，求实数b的取值范围．3．（2020·湖南株洲·中考真题）如图所示，二次函数 的图像（记为抛物线 ）与y轴
交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为 ， ，且 ．
（1）若 ， ，且过点 ，求该二次函数的表达式；
（2）若关于x的一元二次方程 的判别式 ．求证：当 时，二次函数
的图像与x轴没有交点．
（3）若 ，点P的坐标为 ，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的 顶点在直
线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线 交于点D，若 ，求 的最小值．4．（2020·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系 中，把与 轴交点相同的二次函数图像称为“共
根抛物线”．如图，抛物线 的顶点为 ，交 轴于点 、 （点 在点 左侧），交
轴于点 ．抛物线 与 是“共根抛物线”，其顶点为 ．
（1）若抛物线 经过点 ，求 对应的函数表达式；
（2）当 的值最大时，求点 的坐标；
（3）设点 是抛物线 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若 与 相似，求其“共根抛
物线” 的顶点 的坐标．【中考模拟即学即练】
5．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数 在 和 时的函数值相等．
(1)求二次函数 图像的对称轴；
(2)若二次函数 的图像与x轴只有一个交点，求b的值．
6．（2024·浙江宁波·一模）若二次函数 与x轴只有一个交点，且经过 和 ．
(1)用含a的代数式表示m;
(2)若点 也在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式．
7．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线 的顶点为 ，与 轴相交与点 ．
(1)求点 、 的坐标；
(2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与 轴的另一个交点为 ，求
的值．8．（2024·云南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴的交点为A、
B（点A在点B的左侧），且 ．
(1)求抛物线的对称轴及m与a的数量关系；
(2)若将此抛物线在点A、B之间的部分与线段 所围成的区域（包括边界）记为C，当在C内的整点（横、
纵坐标都为整数的点）有且仅有7个时，求出a的取值范围．
9．（2025·上海静安·一模）二次函数 的部分图像如图所示，已知它与 轴的一个交点坐标是
，且对称轴是直线 ．
(1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与 轴的另一个交点坐标为 ．
(2)如果该函数图像经过点 ，求它的顶点坐标．
10．（2024·福建福州·模拟预测）已知二次函数 ．
(1)当 时，
①若该函数图像的对称轴为直线 ，且过点 ，求该函数的表达式；
②若方程 有两个相等的实数根，求证： ；(2)若 ，已知点 ，点 ，当二次函数 的图像与线段 有交
点时，直接写出a的取值范围．
11．（2024·贵州安顺·一模）如图，二次函数 与 轴有两个交点，其中一个交点为 ，
且图象过点 ，过 ， 两点作直线 ．
(1)求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；
(2)将二次函数 向左平移1个单位，得函数 __________； 与 轴的交点坐标为
__________；
(3)在（2）的条件下，将直线 向下平移 个单位后与函数 的图象有唯一交点，求 的值．
12．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数 （m是常数）．(1)当 时，求该二次函数图象的顶点坐标．
(2)求证：无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点．
(3)若点 是该二次函数图象上的任意一点，求 的最大值．
13．（2024·山东临沂·二模）已知二次函数 ．
(1)求该二次函数图象与 轴的交点坐标，
(2)若 ，当 时， 的最大值是4，求当 时， 的最小值；
(3)已知 ， 为平面直角坐标系中两点，当抛物线与线段 有且只有一个公共点时，
请求出 的取值范围．
14．（2024·甘肃张掖·三模）已知二次函数图象顶点为 ，直线 与该二次函数交于A，B两
点，其中A点 ，B点在y轴上．(1)求此二次函数的解析式；
(2)P为线段 上一动点（不与A，B重合），过点P作y轴的平行线与二次函数交于点E．设线段 长
为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式；
(3)D为线段 与二次函数对称轴的交点，在 上是否存在一点P，使四边形 为平行四边形？若存
在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
