文档内容
难点 05 一次函数反比例函数实际应用、面积、存在性、最值
（6 大热考题型）
题型一：方案选择问题
题型二：费用最少、利润最大问题
题型三：反比例函数面积问题
题型四：特殊三角形存在性问题
题型五：特殊四边形存在性问题
题型六：最值问题
题型一：方案选择问题
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及
最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或
线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
【中考母题学方法】
【典例1】（电话计费）（2023·四川·中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫
A 免费
B 108 免费
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计
费金额关于t的函数解析式；
(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
【变式1-1】（租车问题）（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，
若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学
生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名
老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示
甲型客车 乙型客车
载客量/（人/辆） 45 30
租金/（元/辆） 400 280
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；
(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【变式1-2】（购买方案）（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲
每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：
方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；
方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的 付款．
某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶 ．设选择方案一需付款 元，选择方案二需付款
元．
(1)分别写出 ， 关于x的函数表达式．
(2)当 时．
①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱．
②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的
商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·河南周口·三模）春和 景明，草长莺飞的四月和五月，全家最适合周末去附近的公园里踏青或
爬山，并且进行野餐，某便民商店计划在春天踏春之际购进 ， 两种不同型号的野餐垫共 个，已知
购进 型号的野餐垫 个和 型号的野餐垫 个需要 元，购进 型号的野餐垫 个和 型号的野餐垫个需要 元．
(1)求该商店购进每个 型号和 型号的野餐垫的价格；
(2)该商店在调查后根据实际需求，现在决定购进 型号的野餐垫不超过 型号野餐垫数量的 ，为使购进
野餐垫的总费用最低，应购进型 号野餐垫和 型号的野餐垫各多少个?购进野餐垫的总费用最低为多少元?
2．（2024·山西忻州·三模）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去
参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话．
王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800
元．”
小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．”
小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数；
(2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租
用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？
3．（2024·山东青岛·模拟预测）自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开
展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设
备价格比 B型设备价格每台高 ，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少
5 台．
(1)求 A，B型设备每台的价格分别是多少元．
(2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为 元，求 关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案．
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，
某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现， 品牌的电脑单价比 品牌电脑的单价少
1000元，通过预算得知，用 万元购买 品牌电脑比购买 品牌电脑多10台．
(1)试求 ， 两种品牌电脑的单价分别是多少元；
(2)该公司计划购买 ， 两种品牌的电脑一共40台，且购买 品牌电脑的数量不少于 品牌电脑的 ，试
求出该公司费用最少的购买方案．
题型二：费用最少、利润最大问题
【中考母题学方法】
【典例2】（一次函数与二元一次方程组结合）（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基
地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）甲 22
乙 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705
元．
(1)求 的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大
于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售
完这两种水果获得的利润 （元）与购进甲种水果的数量 （千克）之间的函数关系式（写出自变量 的
取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
【变式2-1】（一次函数与二元一次方程组、不等式综合）（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，
助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将 、 两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件 品种柑橘礼
盒比 品种柑橘礼盒的售价少 元．且出售 件 品种柑橘礼盒和 件 品种柑橘礼盒的总价共 元．
(1)求 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
(2)已知加工 、 两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、 元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出
、 两种柑橘礼盒共1000盒，且 品种柑橘礼盒售出的数量不超过 品种柑橘礼盒数量的 倍．总成
本不超过 元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排 、 两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户
在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【变式2-2】（一次函数与分式方程结合）（2024·四川眉山·中考真题）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深
厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用 元购进的 款文创产品和用
元购进的 款文创产品数量相同．每件 款文创产品进价比 款文创产品进价多 元．
(1)求 ， 两款文创产品每件的进价各是多少元？
(2)已知 ， 文创产品每件售价为 元， 款文创产品每件售价为 元，根据市场需求，商店计划再用
不超过 元的总费用购进这两款文创产品共 件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润
最大，最大利润是多少元？【变式2-3】（一次函数与分式方程、不等式结合）（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，
现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队
单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的
工期，两队最多能修复公路多少千米？
【中考模拟即学即练】
1．（2024·四川德阳·中考真题）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采
用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．
为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，
有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．
A、B两种组合的进价和售价如下表：
价格 A B进价（元/件） 94 146
售价（元/件） 120 188
(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
(2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95
件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
2．（2024·四川广安·中考真题）某小区物管中心计划采购 ， 两种花卉用于美化环境．已知购买2株
种花卉和3株 种花卉共需要21元；购买4株 种花卉和5株 种花卉共需要37元．
(1)求 ， 两种花卉的单价．
(2)该物管中心计划采购 ， 两种花卉共计10000株，其中采购 种花卉的株数不超过 种花卉株数的4
倍，当 ， 两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．
3．（2024·云南·中考真题） 、 两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．
某超市销售 、 两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个）
型
35 a
号
型号 42
若顾客在该超市购买8个 种型号吉祥物和7个 种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个 种型号
吉祥物和5个 种型号吉祥物，则一共需要410元．
(1)求 、 的值；(2)若某公司计划从该超市购买 、 两种型号的吉祥物共90个，且购买 种型号吉祥物的数量 （单位：
个）不少于 种型号吉祥物数量的 ，又不超过 种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物
获得的总利润为 元，求 的最大值．
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资
金购买 、 两种电动车．若购买 种电动车 辆、 种电动车 辆，需投入资金 万元；若购买
种电动车 辆、 种电动车 辆，需投入资金 万元．已知这两种电动车的单价不变．
(1)求 、 两种电动车的单价分别是多少元？
(2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买 、 两种电动车 辆，其中 种电动车的数量不
多于 种电动车数量的一半．当购买 种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
(3)该公司将购买的 、 两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用 元与骑行时间 之间
的对应关系如图．其中 种电动车支付费用对应的函数为 ； 种电动车支付费用是 之内，起步价元，对应的函数为 ．请根据函数图象信息解决下列问题．
①小刘每天早上需要骑行 种电动车或 种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3
（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为 ，那么小刘
选择______种电动车更省钱（填写 或 ）．
②直接写出两种电动车支付费用相差 元时， 的值______．
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，
需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌
毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？
(2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙
种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，
学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？6．（2024·四川广元·中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．
某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：
价格/类别 短款 长款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
(1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
(2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不
变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最
大销售利润是多少？
7．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高
10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
(1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过
11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
8．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递
分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，
能使每天分拣快递的件数最多?
题型三：反比例函数面积问题
【类型一：三角形面积与k的关系】
1 1 1
S = |k| S = |k| S = |k|
△ABC 2 △ABC 2 △BCD 21 S =|k| S =|k|
S = |k| △ABC △ABC
△DBC 2
S =2|k| S =2|k| S =S
△ABC △ABC △BDE △BFE
【类型二：四边形面积与k的关系】
S =|k| S =|k| S =|k|
❑ ❑ ❑
S =2|k| S =2|k| S=|k −k |
△ABC △ABC 1 2
S=|k −k | S=|k −k | S=|k −k |
1 2 1 2 1 2
【类型三：重叠部分面积与k的关系】S =S S =S S =S
△ABC 四BEDC △ABF 四EFCD 四BCHG 四HDEF
【类型四：反比例函数与图形中点与k的关系】
D为AB中点， 点E为平行四边形ADBC的对 点E为矩形ADBC的对角线的
3 角线的交点 交点
S = |k|
△ABC 2 S =3|k| S =2|k|
▱ACBD 矩
3
S =S = |k|
△ACD △BCD 4
【类型五：反比例函数中的特殊线段的关系】
BC⊥x轴，BA⊥y轴
AC=BD DE∥BC
DF=EG,DE∥AC
【中考母题学方法】
【典例3】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线 上，连接AO并延长，交双曲线
于点B，点C为x轴上一点，且 ，连接 ，若 的面积是6，则k的值为
（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-1】（2024·广西贺州·三模）如图，在直角坐标系中， 与x轴相切于点B， 为 的直径，
点C在函数 的图象上，D为y轴上一点，则 的面积为 ．
【变式3-2】（2024·山东滨州·模拟预测）如图，垂直于x轴的直线l分别交反比例函数 的图象、
的图象于点A、B，若 的面积为5，则 ．
【变式3-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数 的图象经过平行四边形
的顶点 ， 在 轴上，若点 ， ，则实数 的值为 ．【变式3-4】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ，
，过点 作 轴交 轴于点 ，点 为线段 上的一点，且 ．反比例函数
的图象经过点 交线段 于点 ，则四边形 的面积是 ．
【变式3-5】（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在函数
的图象上， ， ．将线段 沿 轴正方向平移得线段 （点 平移后的对应点为
）， 交函数 的图象于点 ，过点 作 轴于点 ，则下列结论：
① ；
② 的面积等于四边形 的面积；
③ 的最小值是 ；
④ ．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【中考模拟即学即练】
1．（2024·安徽安庆·三模）已知反比例 与 的图像如图所示， 为x轴正半轴上一动点，过点 作 轴，分别交反比例函数 与 的图像于点 ， ，点 ，
（点 在点 的上方）在 轴上，且 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中， 与x轴相切于点B， 为 的直径，点C
在函数 的图象上，D为y轴上一点，若 的面积为1，则 ．
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，反比例函数 在第三象限的图象是 ， 在第
四象限的图象是 ，点A、C在 上，过A点作 轴交 于B点，过C点作 轴于D点，点P为x
轴上任意一点，连接 ，若 ，则 ．4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的线段 的两端点 ， 分别在反比例函数
和 的图象上，过点 作 轴的垂线，垂足为 ．若 的面积为1，则
的值为 ．
5.（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点 ， 分别在函数 图像的两支上（ 在第一象限），
连结 交 轴于点 ．点 ， 在函数 图像上， 轴， 轴，连结 ， ．
若 ， 的面积为12，四边形 的面积为15，则 的值为 ．
6.（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，将直角 向右平移到 位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数 的图象经过 与 的交点 ，连接 并延长交 轴于点
，若 的面积为3，则 的值是 ．
7．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 分别在 轴、 轴上，
点 的坐标为 ，双曲线 分别与边 交于点 ，则阴影部分的面积是 ．
8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边 和菱形 的边 、 都
在x轴上，反比例函数 的图象经过点C．已知 的面积为 ，则k的值为 ．
9．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， 的边 轴，边 轴，且点
在反比例函数 （k为大于0的常数， ）的图象上．若 的面积是2，则k的值是 ．
10．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，点C、E在坐标轴上，矩形 分别交某反比例函数于点F、
G， ， ， 的面积为9，则该反比例函数解析式为 ．
11．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数 和 的图象在第一象限内分
别交于点A，B．过点A作 轴于点C，过点B作 ，交 的延长线于点D．若 的面
积为 ，则 ．
12．（2024·贵州黔东南·一模）如图，平行四边形 中， ， ，它的边 在 轴的负
半轴上，对角线 在 轴的正半轴上．反比例函数 的图像经过点 ．(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点 的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点 ，连接BD，直接写出 面积的取值范围．
13．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知点A在正比例函数 的图象上，过点A作 轴于点
B，以 为边作正方形 ，点D在反比例函数 的图象上．
(1)当点A的横坐标为2时，求反比例函数的表达式；
(2)若正方形 的面积为m，试用含m的代数式表示k的值．题型四：特殊三角形存在性问题
【中考母题学方法】
【典例4】（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于
， 两点，一次函数 的图象过点A与反比例函数交于另一点 ．
(1)求反比例函数的解析式；当 时，根据图象直接写出x的取值范围；
(2)在y轴上是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理
由．
【变式4-1】（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点B，C在x轴上，
D在y轴上， ， 的长是方程 的两个根（ ）．请解答下列问题：(1)求点B的坐标；
(2)若 ，直线 分别交x轴、y轴、 于点E，F，M，且M是 的中点，直线 交
延长线于点N，求 的值；
(3)在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使 是腰长为5的等腰三角形？若
存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2024·浙江·模拟预测）如图，直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，与反比例函数 的图象相交于 两点．过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 、 ，并延
长 ，与直线 相交于点 ．在第一象限找点 ，使以 为顶点的四边形为平行四边形，
反比例函数 ， 经过点 ．
(1)求 的面积．
(2)在反比例函数 的图象上找点 ，使 是直角三角形，求出符合要求的点 的坐
标．
(3)如图 ，在反比例函数 的图象上有一点 ， 轴于点 ， 轴于点 ，
分别交反比例函数 的图象于 两点，求 的面积．【中考模拟即学即练】
1．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于A、B两
点，与x轴交于点C，其中点A的坐标为
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且 是直角三角形，求点P的坐标．
2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象
交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图，将直线 向上平移2个单位长度后得到新的直线 ，点M在直线 上，设点M的横坐标
为 ．连接 ， ．①求 的面积；
②当 是直角三角形时，求点M的坐标．
3．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数 图象与正比例函数 图象相交于点 与点
．
(1)试求反比例函数 与正比例函数 的函数表达式及点 的坐标．
(2)请直接写出 的解集．
(3)现把 的图象绕 点顺时针旋转 得到了 ．试问在 函数图象上是否存在一动点 ，
使 是以 为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点 的坐标；如果没有，请说明理由．
题型五：特殊四边形存在性问题
【中考母题学方法】
【典例5】（2023·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 ， 轴分别
相交于点A，B，与反比例函数 的图象相交于点C，已知 ，点C的横坐标为2．(1)求 ， 的值；
(2)平行于 轴的动直线与 和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平
行四边形，求点D的坐标．
【变式5】（2023·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义： 为图形 上任意一点，
如果点 到直线 的距离等于图形 上任意两点距离的最大值时，那么点 称为直线 的“伴随点”．
例如：如图1，已知点 ， ， 在线段 上，则点 是直线 ： 轴的“伴随点”．
(1)如图2，已知点 ， ， 是线段 上一点，直线 过 ， 两点，当点 是
直线 的“伴随点”时，求点 的坐标；
(2)如图3， 轴上方有一等边三角形 ， 轴，顶点A在 轴上且在 上方， ，点 是
上一点，且点 是直线 ： 轴的“伴随点”．当点 到 轴的距离最小时，求等边三角形
的边长；
(3)如图4，以 ， ， 为顶点的正方形 上始终存在点 ，使得点 是直线 ：
的“伴随点”．请直接写出 的取值范围．【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东广州·一模）如图，四边形 为正方形，点 在 轴上，点 在 轴上，且 ，
，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点 ．
(1)求点 的坐标和反比例函数的解析式；
(2)若点 为直线 上的一动点（不与点 重合），在 轴上是否存在点 ，使以点 、 、 、 为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2023·广东广州·中考真题）已知点 在函数 的图象上．
(1)若 ，求n的值；
(2)抛物线 与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为
E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设 的外接圆圆心为C， 与y轴的另一个交点为F，当 时，是否存在四边形 为平
行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
题型六：最值问题
【中考母题学方法】
【典例6】（2023·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于
点 ．将点 沿 轴正方向平移 个单位长度得到点 为 轴正半轴上的点，点 的横坐标大于点
的横坐标，连接 的中点 在反比例函数 的图象上．(1)求 的值；
(2)当 为何值时， 的值最大?最大值是多少?
【变式6-1】（2023·西藏·中考真题）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于A，B两点，
且点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(1)求 的值和反比例函数的解析式；
(2)点A关于原点O的对称点为 ，在x轴上找一点P，使 最小，求出点 的坐标．
【变式6-2】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 与反比例函
数 的图象交于点 ， ，与 轴， 轴分别交于 ， 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点 在 轴上，当 的周长最小时，请直接写出点 的坐标；(3)将直线 向下平移 个单位长度后与 轴， 轴分别交于 ， 两点，当 时，求 的值．
【变式6-3】（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，等腰直角三角形 的直角顶
点 ，顶点A、 恰好落在反比例函数 第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线 所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·宁夏银川·三模）如图，直线 与反比例函数 的图像交于点 ，与 轴
交于点 ，平行于 轴的直线 交反比例函数的图像于点 ，交AB于点 ，连接BM．(1)求 的值和反比例函数的表达式；
(2)当 时，求 的面积．
(3)直线 沿 轴方向平移，当 为何值时， 的面积最大？最大面积是多少？
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）若定义纵坐标与横坐标平方的差为常数的点为“晨点”
(1)当这个常数为 时，下列函数存在“晨点”的请划“ ”，不存在的请划“ ”．
① （ ）
② （ ）
③ （ ）
(2)若二次函数 有且只有一个“晨点”，且点 关于该二次函数的“晨点”的对称点恰
好也是“晨点”，求这个二次函数的解析式；
(3)已知 ， ，其中 ，“晨点” 在 轴上，直线 和直线 上的另一个“晨点”
分别为 ， ，若四边形 能组成平行四边形，且有四边形 面积不超过 ，则四边形周长是否
存在最大值，如果存在，请求出最大值，如果不存在请说明理由．
