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▹讲师：余贞
更多干货关注 粉笔教师教育 粉笔教师二 、 功 和 功 率
1．恒力的功
公式：𝐴 = 𝐹 ∙ ∆𝑟 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃∆𝑟
𝑟
式中，𝜃为恒力𝑭与位移∆𝒓的夹角。
2．变力的功
𝑏 𝑏 𝑏
公式：𝐴 = d𝐴 = 𝑭 ∙ d𝒓 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃d𝑠
𝑎 𝑎 𝑎
该公式表明质点从𝑎点移至𝑏点时，变力对质点所做的功等于𝑎𝑏段上所有元功的和。其中，d𝐴是力𝑭在
位移元d𝒓上做的元功；𝜃是𝑭与d𝒓之间的夹角；d𝑠为d𝒓相应的路程元。
（二）功率
d𝐴 𝑭∙d𝒓
公式：𝑃 = = = 𝑭 ∙ 𝒗 = 𝐹𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃
d𝑡 d𝑡(真题2015年下·高中）一物体在几个力同时作用下运动，其位移为∆𝑟 = 8𝑖Ԧ − 2𝑗Ԧ + 4𝑘(SI),其中一个
分力为𝐹 = 6𝑖Ԧ + 4𝑗Ԧ − 𝑘(SI)，则该分力在此过程的功为（ ）。
A.36J B.48J C.56J D.60J【例1】传送机通过滑道将长为𝐿、质量为𝑚的柔软匀质物体以初速𝑣 向右送上水平台
0
面，物体前端在台面上滑动𝑠距离后停下来，已知滑道上的摩擦可忽略不计，物与台面间
的摩擦因数为𝜇，而且𝑠 > 𝐿，试计算物体的初速度𝑣
0三 、 动 能 定 理
质量为𝑚的质点在合外力𝑭作用下，由𝑎点运动到𝑏点时，速率由𝑣 变化到𝑣，有
0
𝑏 𝑏 d𝑣 𝑏 d𝑠 𝑣 1 1
𝐴 = න d𝐴 = න 𝑚 ⋅ d𝑠 = න 𝑚 ⋅ d𝑣 = න 𝑚𝑣d𝑣 = 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣 2
0
d𝑡 d𝑡 2 2
𝑎 𝑎 𝑎 𝑣
0
合外力对物体作的功总等于物体动能的增量【例1】一链条，总长为𝑙，放在光滑的桌面上，其中一端下垂，长度为𝑎，如图所示，假
定开始时链条静止。求链条刚刚离开桌边时的速度。（真题2022上·高中）一质量𝑚 = 1𝑘𝑔的物体在外力𝐹的作用下由静止开始在水平面上做直线运动，
已知物体与水平面间的动摩擦因数𝜇 = 0.2，外力𝐹随时间𝑡的变化关系如图，设最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，空气阻力不计，𝑔 = 10𝑚/𝑠2 ，求：
1. 第3秒末物体的瞬时速度
2．力𝐹在前3𝑠内所做的功四 、 保 守 力 与 势 能
（一）保守力与非保守力
1．保守力
（1）概念
力对物体做的功只与运动物体的始、末位置有关，与路径无关，这样的力称为保守力。
（2）保守力做功的特点
∮ 𝑭 ⋅ d𝒓 = 0
𝐿
质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作
∮ 表示沿闭合曲线积分，上式表明：
𝐿
的功为零。2．非保守力
力对物体所做的功与物体的始、末位置和运动路径都有关，这样的力称为非保守力，如摩擦力。
（二）势能
保守力场中，物体空间位置的单值函数称为势能，用𝐸 表示。保守力的功等于势能
增量的负值，为
p
𝐴 = − 𝐸 − 𝐸 = −Δ𝐸
p𝑏 pa p
式中，𝐸 是末位置的势能，𝐸 是初位置的势能。
p𝑏 pa【例】有一保守力𝑭 = −𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2 𝒊，沿𝑥轴作用于质点上，式中𝐴、𝐵为常量，取𝑥 = 0时
𝐸 = 0，则与此力相应的势能为（ ）。
p
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
A． 𝑥2 − 𝑥3 B． 𝑥2 − 𝑥3
2 3 3 2
𝐵 𝐴 𝐵 𝐴
C． 𝑥3 − 𝑥2 D． 𝑥3 − 𝑥2
3 2 2 3五 、 角 动 量 定 理 角 动 量 守 恒 定 律
（一）力矩和角动量
1.力矩
质点𝑃在坐标系𝑂𝑥𝑦𝑧中的位置矢量是𝒓，那么作用于质点的力𝑭相对于固定点𝑂所产生的力矩为
𝑴 = 𝒓 × 𝑭
力矩是矢量，其大小为𝑀 = 𝑟𝐹𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝐹𝑑，𝜑为𝒓、𝑭间小于180° 的夹角。𝑴的方向垂直于由矢量𝒓
和𝑭所决定的平面，其指向由右手螺旋确定：右手的四指由𝒓的方向经小于180∘ 的角转向𝑭的方向，
伸直的拇指所指的方向就是力矩𝑴的方向。2.角动量
如果质点的速度为𝒗，质点位矢𝒓与其动量𝑚𝒗的叉积，称为质点对𝑂点的角动量或动量矩，表达式
为
𝑳 = 𝒓 × 𝑚𝒗
角动量是矢量，其大小为𝐿 = 𝑚𝑣𝑟𝑠𝑖𝑛𝑎，式中𝑎为𝒓与动量𝑚𝒗之间的夹角，它的方向垂直于由矢
量𝒓和𝑚𝒗所决定的平面，其指向由右手螺旋法则确定：让右手的四指由矢量𝒓的方向经小于180∘
的角转到矢量𝑚𝒗的方向，拇指所指的方向就是角动量𝑳的方向。（二）质点的角动量定理
1.内容
质点角动量的增量，等于在同一时间内它所获得的冲量矩。
2.公式
𝑡
න 𝑴d𝑡 = 𝑳 − 𝑳
0
𝑡
0
𝑡
式中， 𝑴d𝑡称为𝑴在𝑡 到𝑡的时间内对定点𝑂的冲量矩。
0
𝑡
0（三）质点的角动量守恒定律
1.内容
若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零，则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。
2.公式
d𝑳
𝑴 = = 0，𝑳 =常矢量
d𝑡【例1】角动量为𝐿、质量为𝑚的地球人造卫星，在半径为𝑟的圆轨道上运行。试求它的动能、势
能和总能量。（真题2022年上·高中）北斗卫星导航系统是中国攀登科技高峰取得的重大成果，如图所示，某
北斗卫星在近地点A和远地点B的动能分别为𝐸 ，𝐸 ，角动量大小分别为𝐿 、𝐿 ，则（ ）
𝑘𝐴 𝑘𝐵 𝐴 𝐵
A．𝐿 = 𝐿 ，𝐸 < 𝐸
𝐴 𝐵 𝑘𝐴 𝑘𝐵
B．𝐿 < 𝐿 ，𝐸 < 𝐸
𝐴 𝐵 𝑘𝐴 𝑘𝐵
C．𝐿 = 𝐿 ，𝐸 > 𝐸
𝐴 𝐵 𝑘𝐴 𝑘𝐵
D．𝐿 > 𝐿 ，𝐸 > 𝐸
𝐴 𝐵 𝑘𝐴 𝑘𝐵第 三 节 刚 体 的 定 轴 转 动
一、刚体运动的描述
（一）刚体的概念：在任何情况下形状和大小都不会发生变化的物体称为刚体。
（二）刚体的平动：如果在运动过程中，刚体内任意两点所连成的直线始终保持与初始位置平行，则
称这种运动为平动。
（三）刚体的定轴转动概述
1.转动：如果刚体在运动过程中，其上各点都绕同一条直线旋转，这种运动就称为转动，这一直线叫
做转轴。
2.定轴转动：如果转轴相对于所选的参考系固定，这种转动则称为绕固定轴的转动，简称定轴转动。二、转动惯量
（一）物理意义
转动惯量是描述刚体在转动时总惯性大小的物理量。转动惯量用符号𝐽表示，单位是kg ∙
m
2。
（二）公式
1.单个质点的转动惯量为:𝐼 = 𝑚𝑟 2
2.质点系的转动惯量为:𝐼 = σ 𝑚 𝑟 2
𝑖 𝑖
3.质量连续分布的刚体的转动惯量:𝐼 = 𝑟 2 d𝑚
𝑚
d𝑚为质量元，简称质元。质量为线分布时，d𝑚 = 𝜆d𝑙，𝜆为质量的线密度；质量为面分
布时，dm = σd𝑆，𝜎（西格玛）为质量的面密度；质量为体分布时，dm = ρd𝑉，ρ为质
量的体密度。【例1】求质量为𝑚、长为𝑙的匀质细杆对通过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量。
𝑦
𝑥
𝑥
𝑂 d𝑥【例2】如图表示质量为𝑚、半径为𝑅、密度均匀的圆盘，求它对过圆心且与盘面垂直的
转轴的转动惯量。
𝑅
𝑟 d𝑟（三）平行轴定理
刚体转动惯量与轴的位置有关。若二轴平行，其中一轴过质心，则刚体对二轴转动
惯量有下列关系：
2
𝐼 = 𝐼 + 𝑚𝑑
𝐶
其中，𝑚为刚体质量，𝐼 为刚体对过质心轴的转动惯量，𝐼为对另一平行轴的转动
𝐶
惯量，𝑑为两轴的垂直距离，该式叫做平行轴定理。
𝑧′
𝑧
𝐶
𝑑
𝑂【例】如图所示为实验用的摆，摆长为𝑙，摆球（圆盘）半径为𝑟，摆长的质量为𝑚 ，摆球
𝑙
的质量为𝑚 。求对过悬点且与摆面垂直的轴线的转动惯量。
𝑟
𝑙
𝑟四 、 刚 体 的 定 轴 转 动 定 律
（一）内容
在定轴转动中，刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体
的转动惯量成反比。
（二）公式
𝑀
𝛽 = 或 𝑀 = 𝐼𝛽
𝐼
𝑑𝜔
𝑀 = 𝐼𝛽 = 𝐼
𝑧
𝑑𝑡【例1】一转动系统的转动惯量为I，角速度为ω，两制动闸瓦对轮的压力都为𝐹 ，闸瓦与轮缘
𝑁
间的摩擦因数为𝜇，轮半径为𝑟，求从开始制动到静止需用多少时间。【例2】一半径为𝑅，质量为𝑚的匀质圆盘（忽略厚度），平放在粗糙的水平桌面上，设盘
与桌面间的摩擦因数为𝜇，令圆盘最初以角速度𝜔 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它
0
将经过多少时间才停止转动？
𝑅
𝑟 d𝑟（真题2016年下·高中）确定物体绕某个轴的转动惯性，可以由理论计算也可通过实验测定。
（1）用积分计算质量为𝑚、半径为𝑅的内质薄圆盘绕其中心轴转动惯量。
（2）如图所示，该圆盘质量未知，可用如图的实验方法测得该圆盘绕中心轴的转动惯量。左圆盘的边
缘绕有质量不计的细绳，绳的下端挂一质量为𝑚的重物，圆盘与转轴间的摩擦忽略不计。测得重物下落
的加速度为𝑎，求圆盘绕其中心轴的转动惯量。五 、 刚 体 的 角 动 量 定 理 和 角 动 量 守 恒 定 律
（一）刚体的角动量
1.概念：刚体做定轴转动的角动量的大小等于其转动惯量与角速度的乘积，其方向与角速
度方向相同。
2.公式：𝑳 = σ 𝑟 ×△ 𝑚 𝑣 = σ△ 𝑚 𝑟 2 𝝎 = 𝐼𝝎
𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
式中， △ 𝑚 为刚体的第𝑖个质元的质量， 𝑟 为该质元到转轴的距离， 𝜔为刚体绕定轴转
𝑖 𝑖
动的角速度。
（二）刚体的角动量定理
𝑑𝑳
1.微分形式：
𝑴 =
𝑑𝑡
该式表明作用于刚体的合外力矩等于刚体的角动量对时间的变化率。
𝑡 𝑡
2.积分形式：
𝑴𝑑𝑡 = 𝑑𝑳 = 𝑳 − 𝑳 = 𝐼𝝎 − 𝐼𝝎
𝟎 𝟎
𝑡 𝑡
0 0
该式表明作用于刚体的冲量矩等于在作用时间内角动量的增量。（三）角动量守恒定律
若刚体所受合外力矩为零，则刚体的角动量为一常量。
公式： 𝑳 = σ 𝑳 = 常量
𝒊
即： 𝐼 𝝎 = 𝐼 𝝎
1 1 2 2【例1】在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为𝑚的人。圆盘的半径为𝑅，转动惯量
为𝐼，角速度为𝜔。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化。六 、 刚 体 转 动 的 功 与 能
（一）刚体的转动动能
刚体由于转动而具有的动能称为刚体的转动动能
1
𝐸 = 𝐼𝜔2
𝑘
2
（二）力矩的功
𝜃
当刚体在力矩𝑀的作用下，从角𝜃 转到角𝜃 时，力矩M所做的总功为：𝐴 = 𝑑𝐴 = 2 𝑀𝑑𝜃
1 2
𝜃
1
若𝑀与𝑑𝜃同号，则𝐴为正；若异号，𝐴为负。
（三）刚体定轴转动的动能定理
1 1
2 2
𝐴 = 𝐼𝜔 − 𝐼𝜔 = 𝐸 − 𝐸
2 1 𝑘2 𝑘1
2 2【例1】某冲床上飞轮的转动惯量为4.00 × 103𝑘𝑔 ⋅ 𝑚2 ，当它的转速达到30 𝑟Τ𝑚𝑖𝑛时，它的转
动动能是多少？每冲一次，其转速降到10 𝑟Τ𝑚𝑖𝑛，求每冲一次飞轮对外所做的功。【例2】一根质量为𝑚、长为𝑙的均匀棒𝑂𝐴，可绕通过其一端的光滑轴𝑂在竖直平面内转动，今
使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中心点𝐶和端点𝐴的速度。质点的直线运动 刚体的定轴转动
𝑑𝑥 𝑑𝜃
速度𝑣 = 角速度𝜔 =
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑣 𝑑𝜔
加速度𝑎 = 角加速度𝛽 =
𝑑𝑡 𝑑𝑡
匀速直线运动𝑥 = 𝑣𝑡 匀角速转动𝜃 = 𝜔𝑡
力𝐹 力矩𝑀
质量𝑚 转动惯量𝐼
牛二𝐹 = 𝑚𝑎 转动定律𝑀 = 𝐼𝛽
动量𝑚𝑣 角动量𝐼𝜔
冲量𝐹𝑡 冲量矩𝑀𝑡
动量定理𝐹𝑡 = 𝑚𝑣 − 𝑚𝑣 角动量定理𝑀𝑡 = 𝐼𝜔 − 𝐼 𝜔
0 0 0
动量守恒定律σ𝑚𝑣 = 常量 角动量守恒定律σ𝐼𝜔 = 常量
1 1
平动动能
𝑚𝑣2
转动动能
𝐼𝜔2
2 2
常力的功𝐴 = 𝐹𝑠 常力矩的功𝐴 = 𝑀𝜃
1 1 1 1
动能定理𝐹𝑠 = 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣 2 动能定理𝑀𝜃 = 𝐼𝜔2 − 𝐼𝜔 2
0 0
2 2 2 2
