文档内容
2015 年福建省龙岩市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题的四个选项中，只有
一项符合题目要求）
1．（4分）（2015•龙岩）﹣1的倒数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
2．（4分）（2015•龙岩）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3=x6B．（x2）3=x6C．x3+x2=x5D．x+x2=x3
3．（2015•龙岩）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）（2015•龙岩）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A． 的值比8大
B．购买一张彩票，中奖
C．地球自转的同时也在绕日公转
D．袋中只有5个黄球，摸出一个球是白球
5．（4分）（2015•龙岩）如图所示几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）（2015•龙岩）若甲、乙、丙、丁四位同学一学期4次数学测试的平均成绩
恰好都是85分，方差分别为S 2=0.80，S 2=1.31，S 2=1.72，S 2=0.42，则成绩
甲 乙 丙 丁
最稳定的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（4分）（2015•龙岩）下列统计图能够显示数据变化趋势的是（ ）
A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图
8．（4分）（2015•龙岩）如图，在边长为 的等边三角形ABC中，过点C垂直于
BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（ ）
第1页（共22页）A． B． C． D．1
9．（4分）（2015•龙岩）已知点P（a，b）是反比例函数y= 图象上异于点（﹣1，﹣1）
的一个动点，则 + =（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．（4分）（2015•龙岩）如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长
为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•龙岩）2015年6月14日是第12个“世界献血者日”，据国家相
关部委公布，2014年全国献血人数达到约130 000 000人次，将数据130 000 000
用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2015•龙岩）分解因式：a2+2a= ．
13．（3分）（2015•龙岩）若4a﹣2b=2π，则2a﹣b+π= ．
14．（3分）（2015•龙岩）圆锥的底面半径是1，母线长是4，则它的侧面展开图的圆
心角是 °．
15．（3分）（2015•龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线
的解析式是 ．
第2页（共22页）16．（3分）（2015•龙岩）我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰
三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），
则正方形的腰点共有 个．
三、解答题（本大题共9小题，共92分）
17．（6分）（2015•龙岩）计算：|﹣ |+20150﹣2 sin30°+ ﹣9× ．
18．（6分）（2015•龙岩）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）+（x﹣1）2，其中
x=2 ．
19．（8分）（2015•龙岩）解方程：1+ = ．
20．（10分）（2015•龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若
EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：AE=DC；
（2）已知DC= ，求BE的长．
第3页（共22页）21．（11分）（2015•龙岩）某商场经理对某一品牌旅游鞋近一个月的销售情况进行
统计后，绘制了如下统计表与条形图：
尺码（码） 数量（双） 百分比（%）
36 60 30
37 30 15
38 a b
39 40 20
40 c 5
41 10 5
（1）写出表中a，b，c的值；
（2）补全条形图；
（3）商场经理准备购进同一品牌的旅游鞋1500双，请根据市场实际情况估计他
应该购进38码的鞋多少双？
22．（12分）（2015•龙岩）下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形
左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形
（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；
第4页（共22页）（2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①②③三部分，请在图甲中画出
将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置，并指出②③属于旋转、
平移和轴对称中的哪一种变换；
（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边
形剪拼成的正方形．
23．（12分）（2015•龙岩）某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如
下表：
A B
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地
校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子填写下表：
车辆数（辆） 载客量 租金（元）
A x 45x 400x
B 5﹣x
（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；
（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确
定最省钱的租车方案．
24．（13分）（2015•龙岩）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D
以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N
分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t．
第5页（共22页）（1）判断MN与AC的位置关系；
（2）求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；
（3）若△DMN是等腰三角形，求t的值．
25．（14分）（2015•龙岩）如图，已知点D在双曲线y= （x＞0）的图象上，以D为
圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c
经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点
Q．
（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）证明∠ACO=∠OBC；
（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
2015 年福建省龙岩市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题的四个选项中，只有
一项符合题目要求）
第6页（共22页）1．（4分）（2015•龙岩）﹣1的倒数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【解答】解：﹣1的倒数是﹣1，
故选：A．
2．（4分）（2015•龙岩）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3=x6B．（x2）3=x6C．x3+x2=x5D．x+x2=x3
【解答】解：A、x2•x3=x5，错误；
B、（x2）3=x6，正确；
C、x3与x2不是同类项，不能合并，错误；
D、x与x2不是同类项，不能合并，错误；
故选B
3．（2015•龙岩）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：A．
4．（4分）（2015•龙岩）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A． 的值比8大
B．购买一张彩票，中奖
C．地球自转的同时也在绕日公转
D．袋中只有5个黄球，摸出一个球是白球
【解答】解：A、 的值比8大属于不可能事件，此选项错误；
B、购买一张彩票，可能中奖，也可能不中奖，属于随机事件，此选项正确；
第7页（共22页）C、地球自转的同时也在绕日公转属于确定事件，此选项错误；
D、袋中只有5个黄球，摸出一个球是白球属于不可能事件，此选项错误．
故选：B．
5．（4分）（2015•龙岩）如图所示几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：几何体 的主视图为 ．
故选C
6．（4分）（2015•龙岩）若甲、乙、丙、丁四位同学一学期4次数学测试的平均成绩
恰好都是85分，方差分别为S 2=0.80，S 2=1.31，S 2=1.72，S 2=0.42，则成绩
甲 乙 丙 丁
最稳定的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：∵S 2=0.80，S 2=1.31，S 2=1.72，S 2=0.42，
甲 乙 丙 丁
∴S 2＜S 2＜S 2＜S 2，
丁 甲 乙 丙
∴成绩最稳定的同学是丁．
故选：D．
7．（4分）（2015•龙岩）下列统计图能够显示数据变化趋势的是（ ）
A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图
【解答】解：易于显示数据的变化趋势和变化规律的统计图是折线统计图．
故选C．
第8页（共22页）8．（4分）（2015•龙岩）如图，在边长为 的等边三角形ABC中，过点C垂直于
BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（ ）
A． B． C． D．1
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，
∴∠PBC= =30°，
∵PC⊥ BC，
∴∠PCB=90°，
在Rt△PCB中， =1，
∴点P到边AB所在直线的距离为1，
故选：D．
9．（4分）（2015•龙岩）已知点P（a，b）是反比例函数y= 图象上异于点（﹣1，﹣1）
的一个动点，则 + =（ ）
A．2 B．1 C． D．
【解答】解：∵点P（a，b）是反比例函数y= 图象上异于点（﹣1，﹣1）的一个动点，
∴ab=1，
∴ + = + = = =1．
故选：B．
第9页（共22页）10．（4分）（2015•龙岩）如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长
为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【解答】解：在菱形ABCD中，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABE=60°，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB=4，
在RT△ABE中，AE=ABsin∠ABE=4× =2 ，
故可得AC=2AE=4 ．
故选A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•龙岩）2015年6月14日是第12个“世界献血者日”，据国家相
关部委公布，2014年全国献血人数达到约130 000 000人次，将数据130 000 000
用科学记数法表示为 1.3×1 0 8 ．
【解答】解：将130 000 000用科学记数法表示为1.3×108．
故答案为：1.3×108．
12．（3分）（2015•龙岩）分解因式：a2+2a= a （ a+ 2 ） ．
【解答】解：a2+2a=a（a+2）．
第10页（共22页）13．（3分）（2015•龙岩）若4a﹣2b=2π，则2a﹣b+π= 2 π ．
【解答】解：因为4a﹣2b=2π，
所以可得2a﹣b=π，
把2a﹣b=π代入2a﹣b+π=2π．
14．（3分）（2015•龙岩）圆锥的底面半径是1，母线长是4，则它的侧面展开图的圆
心角是 9 0 °．
【解答】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为n．
根据题意得2π×1=
解得n=90°．
故答案为：90°
15．（3分）（2015•龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线
的解析式是 y=﹣2 x 2 ﹣4x﹣ 3 ．
【解答】解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，
抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）
2﹣1，
化为一般式，得
y=﹣2x2﹣4x﹣3，
故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．
16．（3分）（2015•龙岩）我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰
三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），
则正方形的腰点共有 9 个．
第11页（共22页）【解答】解：如图， ，
正方形一共有9个腰点，除了正方形的中心外，两条与边平行的对称轴上各有四
个腰点．
故答案为：9．
三、解答题（本大题共9小题，共92分）
17．（6分）（2015•龙岩）计算：|﹣ |+20150﹣2 sin30°+ ﹣9× ．
【解答】解：原式= +1﹣2 × +2﹣3=0．
18．（6分）（2015•龙岩）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）+（x﹣1）2，其中
x=2 ．
【解答】解：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）+（x﹣1）2
=x2﹣1+2x﹣x2+x2﹣2x+1，
=x2，
把x=2 代入原式=（2 ）2=12．
19．（8分）（2015•龙岩）解方程：1+ = ．
【解答】解：方程两边同乘以 （x﹣2）得，
第12页（共22页）（x﹣2）+3x=6，
解得；x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，
∴x=2不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
20．（10分）（2015•龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若
EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：AE=DC；
（2）已知DC= ，求BE的长．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=DC；
（2）解：由（1）得AE=DC，
∴AE=DC= ，
在矩形ABCD中，AB=CD= ，
在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（ ）2+（ ）2=BE2，
第13页（共22页）∴BE=2．
21．（11分）（2015•龙岩）某商场经理对某一品牌旅游鞋近一个月的销售情况进行
统计后，绘制了如下统计表与条形图：
尺码（码） 数量（双） 百分比（%）
36 60 30
37 30 15
38 a b
39 40 20
40 c 5
41 10 5
（1）写出表中a，b，c的值；
（2）补全条形图；
（3）商场经理准备购进同一品牌的旅游鞋1500双，请根据市场实际情况估计他
应该购进38码的鞋多少双？
【解答】解：（1）根据题意得：60÷30%=200，c=200×5%=10，a=200﹣60﹣30﹣40﹣
10﹣10=50； ×100%=25%，即b=25；
（2）补全条形统计图，如图所示：
第14页（共22页）（3）由（1）可得38码的旅游鞋大约占25%，故购进1500双旅游鞋中应购进38码
鞋375双．
22．（12分）（2015•龙岩）下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形
左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形
（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；
（2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①②③三部分，请在图甲中画出
将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置，并指出②③属于旋转、
平移和轴对称中的哪一种变换；
（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边
形剪拼成的正方形．
【解答】解：（1）根据剪拼前后图形的面积相等，得出拼成的正方形的边长=
=4 ，
（2）如图，②③都属于平移，
第15页（共22页）（3）如图乙：
或者
23．（12分）（2015•龙岩）某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如
下表：
A B
载客量（人/辆）45 30
租金（元/辆） 400 280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地
校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子填写下表：
第16页（共22页）车辆数（辆）载客量 租金（元）
A x 45x 400x
B 5﹣x 3 0 （ 5﹣ x ） 28 0（ 5﹣ x ）
（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；
（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确
定最省钱的租车方案．
【解答】解：（1）∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，
∴B型客车载客量=30（5﹣x）；B型客车租金=280（5﹣x）；
故填：30（5﹣x）；280（5﹣x）．
（2）根据题意，400x+280（5﹣x）≤1900，解得：x≤4 ，
∴x的最大值为4；
（3）由（2）可知，x≤4 ，故x可能取值为0、1、2、3、4，
①A型0辆，B型5辆，租车费用为400×0+280×5=1400元，但载客量为
45×0+30×5=150＜195，故不合题意舍去；
②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4=1520元，但载客量为
45×1+30×4=165＜195，故不合题意舍去；
③A型2辆，B型3辆，租车费用为400×2+280×3=1640元，但载客量为
45×2+30×3=180＜195，故不合题意舍去；
④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2=1760元，但载客量为
45×3+30×2=195=195，符合题意；
⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400×4+280×1=1880元，但载客量为
45×4+30×1=210，符合题意；
故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆．
24．（13分）（2015•龙岩）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D
以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N
分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t．
（1）判断MN与AC的位置关系；
（2）求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；
第17页（共22页）（3）若△DMN是等腰三角形，求t的值．
【解答】解：（1）∵在△ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，
∴MN∥AC；
（2）如图1，分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，
根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是 ▱AFGE的面积，
∵AC=6，BC=8，
∴AE=3，GC=4，
∵∠ACB=90°，
∴S =AE•GC=3×4=12，
四边形AFGE
∴线段MN所扫过区域的面积为12．
（3）据题意可知：MD= AD，DN= DC，MN= AC=3，
①当MD=MN=3时，△DMN为等腰三角形，此时AD=AC=6，
∴t=6，
②当MD=DN时，AD=DC，如图2，过点D作DH⊥AC交AC于H，则AH=
AC=3，
第18页（共22页）∵cosA= = ，
∴ = ，解得AD=5，
∴AD=t=5．
③如图3，当DN=MN=3时，AC=DC，连接MC，则CM⊥AD，
∵cosA= = ，即 = ，
∴AM= ，
∴AD=t=2AM= ，
综上所述，当t=5或6或 时，△DMN为等腰三角形．
25．（14分）（2015•龙岩）如图，已知点D在双曲线y= （x＞0）的图象上，以D为
圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c
经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点
Q．
（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）证明∠ACO=∠OBC；
（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
第19页（共22页）【解答】解：（1）∵以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），
∴点D的纵坐标是4，
又∵点D在双曲线y= （x＞0）的图象上，
∴4= ，
解得x=5，
故点D的坐标是（5，4）．
如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，
在RT△DAE中，DA=5，DE=4，
∴AE= =3，
∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8，
∴A（2，0），B（8，0），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），由于它过点C（0，4），
∴a（0﹣2）（0﹣8）=4，解得a= ，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x+4．
（2）如图2，连接AC，
第20页（共22页）在RT△AOC中，OA=2，CO=4，
∴tan∠ACO= = ，
在RT△BOC中，OB=8，CO=4，
∴tan∠CBO= = ，
∴∠ACO=∠CBO．
（3）∵B（8，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=﹣ x+4，
如图3，分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，
设P（t， t2﹣ t+4），
①AQ：AP=1：4，则易得Q（ ， ），
∵点Q在直线y=﹣ x+4上，
∴﹣ +4= ，整理得t2﹣8t﹣36=0，
第21页（共22页）解得t =4+2 ，t =4﹣2 ，
1 2
∴P （4+2 ，11﹣ ），P （4﹣2 ，11+ ），
1 2
②AQ：AP=2：4，则易得Q（ ， ），
∵点Q在直线y=﹣ x+4上，
∴﹣ • +4= ，
整理得t2﹣8t﹣12=0，解得P =4+2 ，P =4﹣2 ，
3 4
∴P （4+2 ，5﹣ ），P （4﹣2 ，5+ ）；
3 4
③AQ：AP=3：4，则易得Q（ ， ），
∵点Q在直线y=﹣ x+4上，
∴﹣ • +4= ，整理得t2﹣8t﹣4=0，解得t =4+2 ，t =4﹣2 ，
5 6
∴P （4+2 ，3﹣ ），P （4﹣2 ，3+ ），
5 6
综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的四等分点，其坐标分别为P
1
（4+2 ，11﹣ ），P（4﹣2 ，11+ ），P（4+2 ，5﹣ ），P（4﹣2 ，5+
2 3 4
）；P （4+2 ，3﹣ ），P （4﹣2 ，3+ ）．
5 6
参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；1987483819；gbl210；73zzx；sks；
放飞梦想；sjzx；sdwdmahongye；caicl；HLing；蓝月梦；王学峰；wkd；522286788；
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2016年4月14日
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