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Born to win
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)
(1) 曲线 在点 处的切线方程是__ _ .
(2) 幂级数 的收敛域是__ _ .
(3) 齐次线性方程组
只有零解,则 应满足的条件是__ _ .
(4) 设随机变量 的分布函数为
则 =__________, .
(5) 设随机变量 的数学期望 ,方差 ,则由切比雪夫(Chebyshev)不
等式,有 __ _ .
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,
把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设 则当 时 ( )
(A) 与 是等价无穷小量 (B) 与 是同阶但非等价无穷小量
(C) 是比 较高阶的无穷小量 (D) 是比 较低阶的无穷小量
(2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设 为 阶方阵且 ,则 ( )
(A) 中必有两行(列)的元素对应成比例Born to win
(B) 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合
(C) 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合
(D) 中至少有一行(列)的元素全为0
(4) 设 和 均为 矩阵,则必有 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 以 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件 为 ( )
(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”
(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”
三、计算题(本题满分15分,每小题5分)
(1) 求极限
(2) 已知 且 的二阶偏导数都连续.求 .
(3) 求微分方程 的通解.
四、(本题满分9分)
设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为
,
且最大需求量为6,其中 表示需求量, 表示价格.
(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)
(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分)
(3) 画出收益函数的图形.(3分)
五、(本题满分9分)
已知函数
试计算下列各题：
(1) (4分) (2) (2分)
(3) (1分) (4) .(2分)
六、(本题满分6分)Born to win
假设函数 在 上连续,在 内可导,且 ,记
证明在 内, .
七、(本题满分5分)
已知 其中 求矩阵 .
八、(本题满分6分)
设 .
(1) 问当 为何值时,向量组 线性无关?(3分)
(2) 问当 为何值时,向量组 线性相关?(1分)
(3) 当向量组 线性相关时,将 表示为 和 的线性组合.(2分)
九、(本题满分5分)
设
(1)试求矩阵 的特征值；(2分)
(2)利用(1)小题的结果,求矩阵 的特征值,其中 是三阶单位矩阵.(3分)
十 、(本题满分7分)
已知随机变量 和 的联合密度为
试求：(1) ；(5分) (2) .(2分)
十一、(本题满分8分)
设随机变量 在[2,5]上服从均匀分布,现在对 进行三次独立观测,试求至少有两次
观测值大于3的概率.Born to win
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)
(1)【答案】
【解析】对函数 两边对 求导,得
令 得 所以该曲线在点 处的切线的斜率为 ,
所以 切线方程是 即 为所求.
(2)【答案】
【解析】因系数 ,从而
即幂级数的收敛半径 ,当 时幂级数绝对收敛.
当 时得交错级数 (条件收敛)；当 时得正项级数 (发散).
于是,幂级数的收敛域是 .
(3)【答案】
【解析】 个方程 个未知数的齐次方程组 有非零解的充分必要条件是 ,
因为此时未知数的个数等于方程的个数,即 为方阵时,用 判定比较方便.
而
所以当 时 .所以此题应填: .
(4)【答案】 ,
【解析】由于任何随机变量 的分布函数 是右连续函数,因此对任何 ,有Born to win
.
对于 ,有
令 ,得到 ,其中 .又
因 在 处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此
所以
(5)【答案】
【解析】由切比雪夫不等式 ,有
.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)
(1)【答案】(B)
【解析】由洛必达法则有
.
所以 与 是同阶但非等价无穷小量.
(2)【答案】(C)
【解析】由不定积分的概念和性质可知,
为常数.
故应选(C).
(3)【答案】(C)
【解析】本题考查 的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.Born to win
因为对矩阵 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了
的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.
以3阶矩阵为例,若 ,
条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有 ,所以
(A)、
(B)不满足题意,不可选.
若 ,则 ,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.
这样用排除法可知应选(C).
(4)【答案】(C)
【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式
之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.
因此,若要拆开 阶行列式 ,则应当是 个 阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵
的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.
若 ,则
.
而且 存在时,不一定 都存在,所以选项(D)是错误的.
由行列式乘法公式 知(C)正确.
注意,行列式是数,故恒有 .而矩阵则不行,故(B)不正确.
(5)【答案】D
【解析】设事件 “甲种产品畅销”,事件 “乙种产品滞销”,则 事件“甲种产
品畅销,乙种产品滞销”可表示为 则
“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).
三、计算题(本题满分15分,每小题5分.)
(1)【解析】这是 型未定式求极限.Born to win
设 ,则当 时, .于是
,
令 ,则 时 ,
所以 ,
所以 ,
由洛必达法则得
,
所以 .
(2)【解析】方法一：先求 ,再求 .由复合函数求导法则,
故
.
方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得
.
于是有 .
再对 外求偏导数,即得Born to win
.
【相关知识点】复合函数求导法则：若 和 在点 处偏导数存在,函
数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数 在点
处的偏导数存在,且
.
(3)【解析】微分方程 对应的齐次方程 的特征方程为
,
特征根为 ,故对应齐次微分方程的通解为 .
设所给非齐次方程的特解为 ,代入方程 ,比较系数,
得 ,故所求方程的通解为
为常数.
【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果 ,则二阶常系数非齐次线性
微分方程 具有形如
的特解,其中 与 同次( 次)的多项式,而 按 不是特征方程的根、是特征方
程的单根或是特征方程的重根依次取为 、 或 .
四、(本题满分9分)
【解析】(1)收益函数
. 20
e
边际收益函数 40
e2
60
. e3
x
O
2 4 6
(2)由 ,得 .Born to win
又 .
因此 在 取极大值.
又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为 .
所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为 .而相应的价格为 .
(3) 由以上分析可列下表,并画出收益函数的图形.
2 4
+ 0 - - -
- - - 0 +
极大值 拐点
,凸 ,凸 ,凹
五、(本题满分9分)
【解析】(1) 为分段函数,由定积分的性质,
.
(2)用定积分换元法,
令 ,则 ,所以
,
而 ,
故 .
(3) 用定积分换元法,
令 ,则 ,所以Born to win
而 ,
故 .
(4)利用以上结果,有
.
六、(本题满分6分)
【解析】对 两边对 求导,得
.
证法一：由积分中值定理知,在 内存在一点 使得 ,
所以 .
又因为 ,故有 ,所以 .
证法二：令 ,则
.
因为 ,所以 ,
即 在 上为减函数,所以 ,
所以 .
七、(本题满分5分)
【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下：
由 得Born to win
因为
所以
方法二：本题还可用由 作初等行变换 ,此解法优点是
少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.
,
第一行乘以 分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以 加到第三行上,得
第三行自乘 ,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有 ,
所以
八、(本题满分6分)
【解析】 个 维向量 线性相关的充分必要条件是齐次方程组.
有非零解.
特别地, 个 维向量 线性相关的充分必要条件是行列式 .
由于Born to win
,
故当 时,向量组 线性无关； 时向量组 线性相关.
当 时,设 将坐标代入有
解出 即 .
九、(本题满分5分)
【解析】(1) 矩阵 的特征方程为
,
经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有
,
故矩阵 的特征值为： .
(2)由 为 的特征值可知,存在非零向量 使 ,两端左乘 ,得 .
因为 ,故 ,于是有 .按特征值定义知 是 的特征值.
由 的特征值是 可知 的特征值为 又因为
,
那么 的特征值是
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 是 阶矩阵,若存在数 及非零的 维列
向量 使得 成立,则称 是矩阵 的特征值,称非零向量 是矩阵 的特征向
量.
十 、(本题满分7分)
【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分Born to win
(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得
.
因为由分部积分法有
,
由洛必达法则,对 型极限,有 .所以有
十一、(本题满分8分)
【解析】以 表示事件“对 的观测值大于3”,依题意, 的概率密度函数为
因此
设随机变量 表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件
出现的次数).显然, 服从参数 的二项分布,因此,所求概率为
.
【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若 ,则
, .
