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Born to win
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设 则 _______.
(2) 设曲线 与 都通过点 且在点 有公共切线,
则 _______, _______, _______.
(3) 设 ,则 在点 _______处取极小值 _______.
(4) 设 和 为可逆矩阵, 为分块矩阵,则 _______.
(5) 设随机变量 的分布函数为
则 的概率分布为 _______.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,
把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 下列各式中正确的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 设 则下列级数中肯定收敛的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设 为 阶可逆矩阵, 是 的一个特征根,则 的伴随矩阵 的特征根之一是( )
(A) (B) (C) (D)
(4) 设 和 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )Born to win
(A) 与 不相容 (B) 与 相容
(C) (D)
(5) 对于任意两个随机变量 和 ,若 ,则 ( )
(A) (B)
(C) 和 独立 (D) 和 不独立
三、(本题满分5分)
求极限 ,其中 是给定的自然数.
四、(本题满分5分)
计算二重积分 ,其中 是由 轴, 轴与曲线 所围成的区域,
.
五、(本题满分5分)
求微分方程 满足条件 的特解.
六、(本题满分6分)
假设曲线 ： 、 轴和 轴所围区域被曲线 ： 分为面积
相等的两部分,其中 是大于零的常数,试确定 的值.
七、(本题满分8分)
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为 和 ；销售量分别为 和
； 需 求 函 数 分 别 为 和 , 总 成 本 函 数 为
试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？
八、(本题满分6分)
试证明函数 在区间 内单调增加.Born to win
九、(本题满分7分)
设有三维列向量
问 取何值时,
(1) 可由 线性表示,且表达式唯一?
(2) 可由 线性表示,且表达式不唯一?
(3) 不能由 线性表示?
十、(本题满分6分)
考虑二次型 .问 取何值时, 为正定二
次型.
十一、(本题满分6分)
试证明 维列向量组 线性无关的充分必要条件是
,
其中 表示列向量 的转置, .
十二、(本题满分5分)
一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与
其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以 表示该汽车首次遇到
红灯前已通过的路口的个数.求 的概率分布.
十三、(本题满分6分)
假设随机变量 和 在圆域 上服从联合均匀分布.
(1) 求 和 的相关系数 ;(2) 问 和 是否独立?
十四、(本题满分5分)
设总体 的概率密度为
其中 是未知参数, 是已知常数.试根据来自总体 的简单随机样本Born to win
,求 的最大似然估计量 .
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)
(1)【答案】
【解析】方法一：先求出两个偏导数 和 ,然后再写出全微分 ,
,
所以Born to win
.
方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算 .
.
(2)【答案】 , ,
【解析】由于曲线 与 都通过点 则
,
又曲线 与 在点 有公切线,则 ,即
,
亦即 ,解之得 , , .
(3)【答案】 ；
【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式 可知,
.
对函数 求导,并令 ,得
,
解之得驻点 ,且
故 是函数 的极小值点,极小值为
.
(4)【答案】
【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有
,Born to win
由对应元素或块相等,即
从 和 均为可逆矩阵知 .故应填 .
(5)【答案】
0.4 0.4 0.2
【解析】因为随机变量 的分布函数 在各区间上的解析式都与自变量 无关,所以
在 的连续点, ,只有在 的间断点处 取值的概率才大于零,且
,则
,
因此 的概率分布为
0.4 0.4 0.2
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)
(1)【答案】(A)
【解析】由重要极限 可知,
极限 ,
.
而极限 ,
令 ,则
,
所以 .Born to win
故选项(A)正确.
(2)【答案】(D)
【解析】因为 ,由 收敛及比较判别法可知 绝对收敛.
即(D)正确.
另外,设 ,则可知
(A) , (C)
都不正确.
设 ,则可知(B)不正确.
(3)【答案】(B).
【解析】由 为 的特征值可知,存在非零向量 ,使得 .
两端同时乘以 ,有 ,由公式 得到 .于是
.
按特征值定义知 是伴随矩阵 的特征值.故应选(B).
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 是 阶矩阵,若存在数 及非零的 维列
向量 使得 成立,则称 是矩阵 的特征值,称非零向量 是矩阵 的特征向
量.
(4)【答案】(D)
【解析】 ,如果 ,则 ,即 与 互不相容；如果
,则 ,即 与 相容.由于 、 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.
任何事件 一定可以表示为两个互不相容事件 与 的和. 又因 ,从而
,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把 、 互不相容
等同于 、 相互独立而错选(C).
, 不相容, , 均不为零,因此
,
即(C)不正确. 用排除法应选(D).
事实上,
(5)【答案】(B)Born to win
【解析】由于 ,因此有
故应选(B).
【相关知识点】若两个随机变量 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：
1) ；
2) ；
3) ；
4) 和 不相关,即 和 的相关系数 .
三、(本题满分5分)
【解析】方法一：这是 型未定式极限.
,
其中指数上的极限是 型未定式,由洛必达法则,有
.
所以 .
方法二：由于 ,
记 ,则当 时 ,从而Born to win
.
而 ,所以 .
又因
.
所以 .
四、(本题满分5分)
【解析】积分区域 如图阴影部分所示.
由 ,得 .
因此 .
令 ,有 ,故
.
五、(本题满分5分)
【解析】将原方程化为 ,由此可见原方程是齐次微分方程.Born to win
令 ,有 将其代入上式,得 ,
化简得 ,即 .积分得
将 代入上式,得通解 .
由条件 ,即 求得 .
所以 所求微分方程的特解.
六、(本题满分6分)
【解析】先求出曲线 和 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积 和 ,如图：
由 得
所以
,
.
又因为 ,所以 ,即 ,解得
七、(本题满分8分)
【解析】方法1：总收入函数为
,
总利润函数为
.
由极值的必要条件,得方程组Born to win
即 .
因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当 时,厂
家所获得的总利润最大,其最大总利润为
方法2：两个市场的价格函数分别为
,
总收入函数为
,
总利润函数为
.
由极值的必要条件,得方程组
因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当 ,即
时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为 .
八、(本题满分6分)
【解析】因为 ,所以 .
,两边对 求导,得
.Born to win
令 ,为证函数 为增函数,只需 在 上成
立,,即 .
方法一：利用单调性.
由于 ,
且 ,故 ,所以函数 在 上单调减少.
又 ,于是有 .从而
, ,
于是函数 在 单调增加.
方法二：利用拉格朗日中值定理.
令 ,
所以在区间 存在一点 ,使得
,
即 .又因为 ,所以 ,所以
.
故对一切 ,有 .函数 在 单调
增加.
九、(本题满分7分)
【解析】设 将分量代入得到方程组
对方程组的增广矩阵作初等行变换.Born to win
第一行分别乘以有 、 加到第二行和第三行上,有
,
再第二行加到第三行上,所以有
.
若 且 即 且 ,则 ,方程组有唯一解,即
可由 线性表示且表达式唯一.
若 ,则 ,方程组有无穷多解, 可由 线性表示,且表
达式不唯一.
若 ,则 ,方程组无解,从而 不能由 线性表示.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设 是 矩阵,线性方程组 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵 的秩,即是 (或者说, 可由 的列向量 线表出,
亦等同于 与 是等价向量组).
设 是 矩阵,线性方程组 ,则
(1) 有唯一解
(2) 有无穷多解
(3) 无解 不能由 的列向量 线表出.
十、(本题满分6分)
【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.
二次型 的矩阵为 ,其顺序主子式为
正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有Born to win
.
解出其交集为 ,故 时, 为正定二次型.
【相关知识点】二次型的定义：含有 个变量 的二次齐次多项式(即每项都是二
次的多项式)
其中 ,
称为 元二次型,令 , ,则二次型可用矩阵乘法表示为
其中 是对称矩阵 ,称 为二次型 的矩阵.
十一、(本题满分6分)
【解析】记 ,则 线性无关的充分必要条件是 .
由于
,
从而取行列式,有 .
由此可见 线性无关的充分必要条件是 .
【相关知识点】 个 维向量 线性相关的充分必要条件是齐次方程组
有非零解.特别地, 个 维向量 线性相关的充分必要条件是行列式Born to win
.
十二、(本题满分5分)
【解析】首先确定 的可能值是 ,其次计算 取各种可能值的概率.
设事件 “汽车在第 个路口首次遇到红灯”, 且 相互独立.
事件 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为 .所以有
则 的概率分布为
注：此题易犯的一个错误是将 计算为 ,这是由于该街道仅有三个设有红绿信
号灯的路口, 仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问
题.
十三、(本题满分6分)
【解析】二维均匀分布 的联合密度函数为
是区域 的面积, 所以 的联合密度
.
由连续型随机变量边缘分布的定义, 和 的概率密度 和 为Born to win
.
由一维连续型随机变量的数学期望的定义：
,
若 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是 .
故 ,
由于被积函数为奇函数,故 .
,
因为此二重积分区域关于 轴对称,被积函数为 的奇函数,所以积分式为0.
.由相关系数计算公式 ,于是 和 的相关系数 .
(2)由于 ,可见随机变量 和 不独立.
十四、(本题满分5分)
【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似
然函数.
现题设给出概率密度函数 ,则似然函数
(由于 是单调递增函数, 取最大与 取最大取到的 是一致的,而加对数后能把连
乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).
由对数似然方程Born to win
得 的最大似然估计值 .所以得 的最大似然估计量为 .
【相关知识点】似然函数的定义：
设 是相应于样本 的一组观测值,则似然函数为：
.
