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Born to win
1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1) .
(2) 已知 则 .
(3) 级数 的和为 .
(4) 设 阶方阵 的秩为 ,则其伴随矩阵 的秩为 .
(5) 设总体X 的方差为1,根据来自 的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则
的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设 则 在点 处 ( )
(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续
(C) 连续但不可导 (D) 可导
(2) 设 为连续函数,且 则 等于 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 阶方阵 具有 个不同的特征值是 与对角阵相似的 ( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件
(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件
(4) 假设事件 和 满足 ,则 ( )
(A) 是必然事件 (B) .
(C) (D)Born to win
(5) 设随机变量 的密度函数为 ,且 . 是 的分布函数,则对任
意实数 ,有 ( )
(A) . (B)
(C) (D)
三、(本题满分5分)
设 是由方程 所确定的二元函数,求 .
四、(本题满分7分)
已知 ,求常数 的值.
五、(本题满分9分)
设某产品的成本函数为 需求函数为 其中 为成本,
为需求量(即产量), 为单价, 都是正的常数,且 ,求:
(1) 利润最大时的产量及最大利润;
(2) 需求对价格的弹性;
(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.
六、(本题满分8分)
假设:(1) 函数 满足条件 和 ;
(2) 平行于 轴的动直线 与曲线 和 分别相交于点 和 ;
(3) 曲线 ,直线 与 轴所围封闭图形的面积 恒等于线段 的长度.
求函数 的表达式.
七、(本题满分6分)
假设函数 在 上连续,在 内二阶可导,过点 与 的直
线与曲线 相交于点 ,其中 .
证明:在 内至少存在一点 ,使 .Born to win
八、(本题满分10分)
为何值时,线性方程组
有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.
九、(本题满分9分)
设二次型
经正交变换 化成 ,其中 和 是三维列
向量, 是3阶正交矩阵.试求常数 .
十、(本题满分8分)
设随机变量 和 同分布, 的概率密度为
(1) 已知事件 和 独立,且 求常数
(2) 求 的数学期望.
十一、(本题满分8分)
假设一大型设备在任何长为 的时间内发生故障的次数 服从参数为 的泊松分
布.
(1) 求相继两次故障之间时间间隔 的概率分布；
(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率 .Born to win
1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】 ,
极限 , 而 ,
所以 .
(2)【答案】
【解析】令 则有 ,则
由复合函数求导法则知
(3)【答案】
【解析】利用几何级数求和公式 令 ,即得
(4)【答案】
【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.
由于 ,说明 中3阶子式全为0,于是 的代数余子式 故 .
所以秩
若熟悉伴随矩阵 秩的关系式Born to win
易知
注：按定义
伴随矩阵是 阶矩阵,它的元素是行列式 的代数余子式,是 阶子式.
(5)【答案】
【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值 的置信区间,可以用正
态总体的区间估计公式近似求其置信区间.
因X 的方差为 ,设X 的期望为 ,则 .
当置信度为 ,时 ,有正态分布表知 .因此用公式：
.
将 代入上式,得到所求的置信区间为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(C)
【解析】利用函数连续定义判定.
由于当 时, 为有界变量, 为无穷小量,则
,且
于是 在 处连续.故(A)(B)不正确.
又因为 不存在,所以
在 处不可导,所以选(C).
【相关知识点】函数连续定义：如果函数在 处连续,则有 .Born to win
(2)【答案】(A)
【解析】
【相关知识点】积分上限函数的求导公式：
.
(3)【答案】(B)
【解析】 有 个线性无关的特征向量.
由于当特征值 时,特征向量 线性无关.从而知,当 有 个不同特征值时,
矩阵 有 个线性无关的特征向量,那么矩阵 可以相似对角化.
因为当 的特征值有重根时,矩阵 仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其
几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B).
(4)【答案】(D)
【解析】 的充分必要条件是 ,即 .显然四个选项中,
当 时, ,可得 .因此 是 的充分条件.因此
选(D).
(5)【答案】(B)
【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识.
由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有
随机变量 的密度函数为 ,则 ,又由于 ,所以
,(偶函数积分的性质)
即 .
于是 .
故应选(B).
三、(本题满分5分)
【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得
整理后得Born to win
由此,得 .
方法二：应先求出函数对 的偏导数,将 两边分别对 求偏导,
解之得 ,
.
故 .
四、(本题满分7分)
【解析】 ,
令 ,则当 时, ,
,
所以 .
而
,
由 得 ,所以 或
五、(本题满分9分)
【解析】(1) 利润函数为Born to win
,
对 求导,并令 ,得 ,得 .
因为 所以,当 时为利润函数的极大值点,根据题意也是利
润的最大值点,所以 .
(2) 因为 ,所以 ,故需求对价格的弹性为 .
(3) 由 得 .
六、(本题满分8分)
【解析】由题设可得示意图如右.设 ,则 ,
即 .
两端求导,得 ,即 .
由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得
由初始条件 ,得 .因此,所求函数为 .
【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程 的通解公式为:
,其中 为常数.
七、(本题满分6分)
【解析】因为 分别在 和 上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在
,使得Born to win
由于点 在弦 上,故有
从而
这表明 在区间 上满足罗尔定理的条件,于是存在 ,使得
.
八、(本题满分10分)
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,
第一行和第三行互换,再第一行分别乘以 、 加到第二行和第三行上,再第二行
和第三行互换,再第二行乘以 加到第三行上,有
.
(1)当 且 时, ,方程组有唯一解,即
(2)当 时, 方程组无解.
(3)当 时,有 .
因为 ,方程组有无穷多解.Born to win
取 为自由变量,得方程组的特解为 .
又导出组的基础解系为 ,所以方程组的通解为 ,其中 为任意常数.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设 是 矩阵,线性方程组 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵 的秩,即 .(或者说, 可由 的列向量 线表出,亦
等同于 与 是等价向量组)
设 是 矩阵,线性方程组 ,则
（1） 有唯一解
（2） 有无穷多解
（3） 无解
不能由 的列向量 线表出.
九、(本题满分9分)
【解析】经正交变换二次型 的矩阵分别为 .
由于 是正交矩阵,有 ,即知矩阵 的特征值是0,1,2.那么有
【相关知识点】二次型的定义：含有 个变量 的二次齐次多项式(即每项都是二
次的多项式)
其中 ,
称为 元二次型,令 , ,则二次型可用矩阵乘法表示为
其中 是对称矩阵 ,称 为二次型 的矩阵.Born to win
十、(本题满分8分)
【解析】(1)依题意,因为随机变量 和 同分布,则
,
又事件 独立,故 .
估计广义加法公式：
解以 为未知量的方程 得 ,(因 不合题
意).
再依题设条件可知
.
再解以 为未知量的方程: ,得 .
(2) 直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:
十一、(本题满分8分)
【解析】本题的关键在于理解随机变量 的意义,事件 表示设备在任何长为
的时间内发生 次故障,其概率为 .
由于 表示相继两次故障之间时间间隔,故当 时, 当 时,
事件 与 是互逆事件,并且 表示在长为 的时间内没有发生故障,它等
价于事件 .
(1)易见 是只取非负值的连续型随机变量.
当 时,
当 时,事件 与 等价.于是有
因此 .Born to win
计算得知 服从参数为 的指数分布.
(2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此
.
