文档内容
答案速查
一、 选择题
I. R 2. C. 3. C. 4. A. 5. B. 6. D. 7. D. 8. C. 9. D. 10. A.
二、 填空题
II. -2. 12.x + 2y-z = O. 13.0. 14. y. 15. y. 16. y.
也、解答题
17. (1)必)=h(2 - In z). (2)与彳
18. 极小值为■,器)=-岛.
19.芸
20.证明略.
，1 -1 1、
21.⑴P= 0 1 0 ，可逆线性变换为x = Py. (2)不存在.
、0 0 1,
(2z9 OVzVl,
22. (DO. (2)不相互独立.⑶於)=
(0,其他.
2023年全国硕士研究生招生考试数学一试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com2023年全国硕士研究生招生考试数学一试题
姓名 分数
一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符
合题目要求的.
1.曲线y = zln（e + 土 ）的斜渐近线方程为
Ay = z + e・ B. 3/ = x + C. v = z. D. v = z—.
2. 若微分方程y ay -{-by = 0的解在（一8, + oo）上有界，则
A. a < 0,6 > 0. B. a > 0,6 > 0. C.q = 0,5>0. D. a = 0,6 < 0.
0 = 2i+| z |,
3. 设函数v = /Cz）由 确定，则
。=1 H sint
A. fM）连续（0）不存在. B./（0）存在,/（z）在i = 0处不连续.
c./a）连续/（o）不存在. d. r（o）存在,r（z）在^ =。处不连续.
4. 已知a„”均收敛，则绝对收敛”是“吏3绝对收敛”的
n=l n=l n=l ”=1
A.充分必要条件. B,充分不必要条件.
C,必要不充分条件. D,既不充分也不必要条件.
/ O A \ /AB C\ / E AB\
5.已知n阶矩阵A ,B,C满足ABC = O,E为〃阶单位矩阵.记矩阵 ， ， 的秩分别为厂】,
VBC ' O E7 O 7
r2 5，则
A.门< a V r3. B.门M为V尸2・ C. r3 < n < r2. D・ r2 < n < r3.
6.下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是
1 1 a 1 1 Q 1 1。、 1 1 /
A. 0 2 2 ・ B. 1 2 0 c. 0 2 0 ・ D. 0 2 2
0 0 3. a 0 3, 0 0 2, 0 0 2.
p
2 2' < -
7.已知向量ai = 2 = 1 ，A = 5 ・若Y既可由。】，地线性表示,也可由A，位线性表示，则y =
11,
3
<1> 9
'3 '
B・k 5 以£R ,k e r.
2023年全国硕士研究生招生考试数学一试题
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一、选择题
1. B. 2. D. 3. C. 4. A. 5. A. 6. C. 7. C. 8. C. 9. A. 10. D.
二、填空题
11.4. 12.4.，13. [4广，+8). 14. -1. 15. -E. 16.4-
O
三:解答题
17. y=2x.
18. I=2l2.
19. 1=0.
20.证明略.
'1 2 3、
21. (1)4= 2 4 6
、3 6 9,
1 __2 __3_
/14 75 770
(2)Q= 弟 基 一器，在正交变换x=Qy下初,而)化为标准形14寸.
3 n 5
1/14 ^70 J
，—3、
+k2 0 ，其中刈以2为任意常数.
、1 ,
瓮*，其中x = igx.,y = i £匕顽)= 俨
22.(9 =
n-\-m
2022年全国硕士研究生招生考试数学一试题
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姓名 分数
一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是■符
合■目要求的.
1. 设函数g满足好俗=1,则
A/(l.) = l. Klim/(x)=0. C./(l)=0. D. lim/(x) = l.
2. 设函数(《)，其中/(〃)可导.若x寰+'寿=J(ln 'Tn x)，则
A/(l.) = y,/(l)=0. B./(l)=0,/(l) = l.
C./(l) = y,/(l) = l. D./(l)=0,/(l)=y.
3. 已知数列《甚｝,其中一■ 则
A. 当limcos(sin而,)存在时Jimx”存在.
W*oo tr^OO
B. 当limsin(cos劣,)存在时,limxn存在.
»r*<»
tr^oo
C. 当limsin(cos z”)存在时,limcos xn存在，但limz”不一定存在.
n-*oo n-^oo n-*<»
D. 当limcos(sin z”)存在时,limsin x„存在，但limz”不一定存在.
n~»ao n-*oo
4. 已知 /1 = f 舟------ dz,I2 = f 普£ 土式)&”3 = f 1 (w—dx测
Jo 2(1 + cos x) Jo 1 + cos x Jo 1 + sin x
A. It
2022年全国硕士研究生招生考试数学一试题
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一、选择题
1. D. 2. C. 3. a 4. A. 5. A. 6. B. 7.C. 8. D. 9. C. 10. A.
二、填空题
11.* 12,争 13E 14. 4兀 15. 16.
三、解答题
:儿11
1
17. lim
e"—1 sin x,
18.收敛域为（0,口;和函数
土+z+(Dln(l—z),
xe(0,1),
S(x)= <
e
X = 1.
19.最大值为66.
20 .⑴ I(Di) = 8k.
(xex e + jy) dr + (4jyex 一 x)djy _
(2) J =—TV.
x2 + 4/
\_42 76
2 T 3
__ 72 匝 73
21. (1)P
2 6 T
匝 在
0
T 3 J
5 _1_
3 T T
1_ _5_
~3 ~3
_1 _5_
1 3 T 3 .
1, 0 1,
（2）Z的概率密度为/z（z） =｛（1 + z）,2
10, 其他.
(3)E =2 In 2 — 1.
2021年全国硕士研究生招生考试数学一试题
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姓名 分数
一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符E
合题目要求的.
工尹0,
1.函数 /(x)= < 在z = 0处
x = 0
A.连续且取得极小值. B.连续且取得极大值.
C.可导且导数等于零. D,可导且导数不为零.
2.设函数 可微，且八z + l,e，)=z(z +Il/(z,/) =2/lnz,则 d，(l,l)=
A & — dy B・ dr + dy
C. dy. D. — dy.
3.设函数/（x） = 牛专在z = 0处的3次泰勒多项式为az +&r2 4-cr3，则
1 ~r x
7 七.
A. a = 1,6 = 0,c = B. a = 1,6 = 0,c =----
o b
7
C.a=-l,6=-l,c=-T. D. a =— 1,6 =— l,c =
o
4.设函数/（x）在区间［0,1］上连续，则=
A四章（穿）+ 巳勉景（穿垮
C四景（银）+• D.四景（£）车
5.二次型 ，&1，互，工3）= +乃）2 + （而+羽）2 —（羽一而）2的正惯性指数与负惯性指数依次为
A 1,1. B. 2,0. C. 2,1. D. 1,2.
T 1 '3、
6.已知ai = 0 ,血= 2 »i} = e~r ^P{T>s + t | T> s} = e~ r ・(2)0=(十 g绪)・
2020年全国硕士研究生招生考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com2020年全国硕士研究生招生考试数学一试题
姓名 分数
一、选择题:1 ~8小题,每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
目要求的.
1. 当工-0+时,下列无穷小量中最高阶的是
B.£ln(l+y?)dz.
A. (4 — l)dz.
J 0
C. J sin / dt・ D. J ＞/sin31 dt.
2. 设函数/&)在区间(-1,1)内有定义，且lim/(x) = 0,则
x-*O
A. 当lim = 0时,/(x)在x = 0处可导.
z /ITT
B. 当lim △孑)=0时»y(x)在z = 0处可导.
z x
C. 当/&)在z = 0处可导时,lim = 0.
z V\x\
D. 当/(x)在工=0处可导时,lim = 0.
z x
3. 设函数f{x,y)在点(0,0)处可微,/(0,0) = 0,n= (|£，群一】)|＜。。＞，非零向量a与”垂直，则
A. lim E ,(工5及垃力存在. B. lim I"(秘?2竺》I存在.
(工,‘)-(0,0) J W + 寸 (x,y)-*(0,0) J T + 巧
C. lim I a .(工,mmH 存在, D. lim 存在.
(x,y)-*(0,0) J W ] (x,y)-»(0,0) + J
4. 设R为幕级数、aa”的收敛半径,r是实数，则
n=l
A■当史 a2„r2n发散时,|尸|发R B•当5>2”户收敛时,\r\2”/”发散• D.当|,心时疙『收敛.
”=1 n=l
5. 若矩阵A经初等列变换化成B,则
A.存在矩阵P,使得PA =B. B.存在矩阵P,使得BP = A.
C.存在矩阵P,使得PB=A. D.方程组Ar = 0与JRr = 0同解.
2020年全国硕士研究生招生考试数学一试题
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一、 选择题
1. C. 2. B. 3.D. 4. D. 5. C. 6. A. 7. C. 8. A.
二、 填空题
9. -^1—+-!-^- . 10. J3— -2 . 11. cos71. 12.普.13. * =奴1,-2,1)以 €R 14.冬
cos x cos y 3 3
近、解答题
15. (l)j> = ze■专.(2)曲线 y = y(.x~)在C,0)及G/J, +°°)内是凹的，在(一8,—西)及(0,,/3)内是
凸的.拐点为(一73, -V3e-+),(0,0),(V3,V3e4).
16. (Da =-l,6=-l. (2)学.
18. (1)证明略.(2)1.
19- (。44)・
-1 1 0'
—— —0 1
20. (l)a = 3,6 = 2,c=- 2. (2) 2 .
#00
' u ，
‘1 1 1 '
21. (l)z = 3,了=一2.(2) -2 -1 -2 .
、0 0 一4,
[pez, z< 0, i
22. (l)/z(z) = (2)力=奇.(3)X与Z不相互独立.
l(l-p)e-x,z>0. 匕
23. WA=y[^. (2)/=+W(x—")\
2019年全国硕士研究生招生考试数学一试题
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姓名 分数
一、选择题：1~8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只宥一个选项是符合题
目要求的.
1. 当 -* 0 x — tan x x* 是同阶无穷小，则龙=
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
[x\x\ 0,
2. 设函数/(x) = { 则1 = 0是/(x)的
(xln x, z > 0,
A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点,
C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点.
3.设是单调增加的有界数列 ，则下列级数中收敛的是
A-圣 B. ©(—1)” 土
n=l
cf；(i-为• D. £ (如一记).
n=l
4. 设函数Q(x,>)=亨.如果对上半平面(>>0 )内的任意有向光滑封闭曲线C都有§
^P(x9y')dx-}~Q(x9y')dy = 0,
那么函数P(x,y)可取为
A. y —与. B.——七. C. -------. D. x — .
y y y x y y
5. 设4是3阶实对称矩阵,E是3阶单位矩阵.若A2 +A= 2E,且\A\ =4,则二次型xTAx的规范形为
人"+邳+摇. B. ”+羽一乂.
C. 了?一展一D. —yi—yl—yl.
6. 如图所示，有3张平面两两相交,交线相互平行，它们的方程
a” z +。设 y + 口启 z = di(i = 1,2,3)
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为4,A,则
A. r(A) = 2,r(A)=3.
B. r(A)=2,r(A)=2.
C. r(A) = l,r(A)=2.
D. r(A) = l,r(A) = l.
2019年全国硕士研究生招生考试数学一试题
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一、 选择题
((D1)). (2)(B). (3)(B). (4)(0. (5)(A). (6)(A). (7)(A). (8)(D).
二、 填空题
(-92). (10)2(ln2-l). (ll)i-Jt. (12)-y. (13)-1, (14)y.
-M、解答题
(15)e2zarctan\/ex — l— ((+2)■/e' —1 +C,其中 C 为任意常数.(16)—■~~—户 m2.
2 6 7t4-4-l_3v3
(17)譬.(18)(I)y=Ge-，+z-l(G为 任意常数).(口)证明略.
(19) 证明略；linu?„=0.
-2'
(20) ( I )当a尹2时,，(了】，乃，视)=0的解为x=0?当a=2时,六与，而，而)=0的解为x=k —1 ,k为任意
、1 ’
常数.
(口)当。尹2时,/(xi ,x2,羽)的规范形为/+展+掳；当。=2时,，(］】，五，羽)的规范形为yi +彼
3—6 知 4—6处 4—6^3
(21X1)2. (H)P= —1+2加 一 1+2屈 一1+2么，其中属以2,么为任意常数,妫关么・
、A】 k2 k3 ,
】|nl
(22) ( I )A. ( II )P{Z = 0} = e~A ；P{Z = n} = e-A -z—i— ,n =± 1, ±2,・・・・
2 • I n | !
(23) ( I)& =+£ | X； (n)S =<7,r& =
2018年全国硕士研究生招生考试数学一试题
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姓名 分数
一、选择题：1~8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
目要求的.
(1)下列函数中，在x=0处不可导的是
(A)/(x)= |x| sin|x|. (B)/(x)= | j:|sin V\x\,
(C) /(x) = cos|x|. (D)/(x) = cos V\x\ .
(2)过点(1,0,0),(0,1,0),且与曲面相切的平面为
(A)z=0 与 x-\-y—z=l. (B)z=0 与 2x-\~2y—z=2.
(.Ox—y 与x~\~y—z=l・ (D)h=/ 与 2x+2jz—z=2.
⑶*】)”融!=
(A) sin 1+cos 1. (2Bsi)n 1+cos 1.
(2Csi)n l+2cos 1. (D)2sin l+3cos 1.
(4)设 M = ［孕-dz, N = j ； = J； (1 + J cos z)dz,则
(A)M>N>K. (B)M>K>N. (C)K>M>N. (D)K>N>M
'1 1 0、
(5)下列矩阵中,与矩阵 0 1 1相似的为
.0 0 1,
'1 1 -1 ‘1 o -r
(A) 0 1 1 . (B) 0 1 1 .
0 0 1 , 、0 0 I ,
‘1 1 -r i o -r
(C) 0 1 0 . (D) 0 1 0 .
、0 0 I , 、0 0 1 ,
⑹设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩,(X Y)表示分块矩阵，则
(A)r(A AB)=r(A). (B)r(A BA)=r(A).
(C)r(A B) = max{ r(A) , r(B)}. (D)r(A B) = r(AT BT).
2018年全国硕士研究生招生考试数学一试题
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一、 选择题
((1A)). (2)(0, (3)(D). (4)(0. (5)(A). (6)(B). (7)(A). (8)(B).
二、 填空题
(09.) (10)广，(GcosV5x+Gsin*H),其中 G ,G 为任意常数.(11)-1.(⑵盘折
用3)2. (14)2.
三、解答题
(16)土
(17)队一1)=。是;y(z)的极小值;y(l) = 1是的极大值.(18)证明略.
(x2+y =2jc,
((19) I)所求方程为 (n )M=64.
[z=0.
'1〕 1 '
((20) I)证明略.(U)x= 1 +人2 ，其中互为任意常数.
、1, 、—1,
_1_ __1_
73 42 76
01. (B)a>l 且 6>1.
(C)aVl 且。+5>1. (D)a>l 且 a+6>l.
(2&—1), zVl,
(2)已知函数/(x)= 则f(z)的一个原函数是
{In x9 zA,
((•Z—1)2, X I(X—l)2, zVl,
(FA(x))= (B)F(i) =
(x(ln x—1), lx(ln x+l) —1, x^l.
((x—l)2, x0),记 p=P{X&+/},则
(A)力随着产的增加而增加. (B)0随着。的增加而增加.
(C)p随着“的增加而减少. (D)p随着。的增加而减少.
2016年全国硕士研究生招生考试数学一试题
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一、 选择题
(I) (0, (2)(A). (3)(B). (4)(B). (5)(D). (6)(A). (7)(0, (8)(D).
二、 填空题
(9) — 4*. (10)4-. (ll)-dx. (12)=. (13)2"+'— 2. (14)#.
M、解答题
(a1=5-l),6= —= (17)3.
(18) (1 )证明略.
(II) J (x) =U1(X)W2 (x) •••Un (x) +«1 (x)u$ (x) •••Un(X)+ — 4~Ui (x)«2(X)(x).
(19) 孝K. (20)(1)证明略.(11)当为=0时，&=c(ai—<»3),c为任意非零常数.
'2 -3 -1'
⑵)(I)a=4/=5. (II)P= 1 0 -1 .
.0 1 1 .
(22) ( I )P{y=^ = (4—l)(W)i(+)' ,&=2,3,・“.(fl )16.
(23) (1)。的矩估计量d=2X-l. (口)。的最大似然估计量3=min{X|,Xz，…,X”}.
2015年全国硕士研究生招生考试数学一试题
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姓名 分数
一、选择题：1〜8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 S
目要求的.
(1)设函数六了)在(-oo,4-oo)内连续，其二阶导函数f(z)的图形如右图所示，则曲
线、=/&)的拐点个数为
(A)0. (B)l.
(02. (D)3.
豪2，+(了一§归是二阶常系数非齐次线性微分方程丁' +时'+如=
⑵设y
的一个特解，则
(A)a=—3,5=2, c= — l. (B)a=3,A=2,c= —1.
(C)a= —3,》=2,c=l. (D)g=3,5=2,c=1.
(3)若级数S a”条件收敛，则工=厄与工=3依次为暴级数S心”&—1)'的
n=l »=1
(A)收敛点，收敛点. (B)收敛点，发散点.
(C)发散点，收敛点. (D)发散点，发散点.
(4)设D是第一象限中由曲线2xy=l,ixy=l与直线y=x,y=/3x围成的平面区域，函数/(x,y)在D上连续,
D
(B)j：则空
(A) f ( rcos 0, rsin O') rdr. f ( rcos 0, rsin &) rdr.
4 4 J 72sin 20
(如妲
P 费［.a /(rcos ^,rsin O')dr.
f ( rcos 8, rsin O') dr. (D)
J 4 J 2s矗in 2费。 J 4 J ^2^20
q i i、 1 '
(5)设矩阵A= 1 2 a ,b= d .若集合Q={1,2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为
.1 4 a2> d2.
(A^a《：Q,d^Q.
(Oa£Q,dWQ.
(6)设二次型/(xi ,x2 ,羽)在正交变换x=Py下的标准形为2“ +展一房，其中P=(«i ,e2,e3).若Q=(幻，一务，
免)，则，工2 g)在正交变换x=Qy下的标准形为
(2A") —展 + 捎. (B)2f+展一房. (C)2“一般一屏・ (D)2«+M+展.
2015年全国硕士研究生招生考试数学一试题
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一、 选择题
((01.) (2)(D). (3)(D). (4)(A). (5)(B). (6)(A). (7)(B). (8)(D).
二、 填空题
(29) x-3，-z-1=0. (10)1. (11) xe2^1 . (12) n. (13) [-2,2]. (14) £.
W、解答题
(y1,5) (16)极小值为 /(l) = -2, (17)y(M)=^(e2"-e-2*-4M). (18)-4k. (19)证明略.
r-i
2
((20) I)方程组Ax=0的一个基础解系为a=
3
1
2 6 -r
-1 — i
(d)b= ^-(.k}a9k2a9k3a)，其中如 ,kz ,k3为任意常数.
-1 —
0 0 0
(21)证明略.
‘0, y<.09
乎， OCjCl,
(22)(1)玲(少= (n)|.
土+于，l=x2 +sin
(2) 设函数yCr)具有二阶导数,g(x)=/(0)(l-x)+/(l)x,则在区间［0,1］上
(A)当 /(x)>0 时,/(x)>g(i). (B)当 /(x)>0 时
(C)当 /(x)>0 时,/•(Q>g(z). (D)当 /(x)>0 时,/(工)i sin x)2dx=min^ j (x—a cos x—6sin x)2dz ?，则 a\ cos x~\~b\ sin x—
(A)2sin x. (B)2cos x. (C)27tsin x. (D)2ncos x.
0 a b 0
a 0 0 b
(5)行列式
0 d 0
0 0 d
(A)(ad—bc)2. (B)-(ad—5c)2. (C)W—邳. (D)^c2-a2^.=
(6) 设ai，血，她均为3维向量，则对任意常数妇I,向量组a> +如3 ,血+血3线性无关是向量组S，&,a3线性无-
关的
(A)必要非充分条件. (B)充分非必要条件.
(C)充分必要条件. (D)既非充分也非必要条件・
(7) 设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0. 5,P(A-B)=0.3,则P(B—A)=
(A)0.1. (B)0. 2. (C)0. 3. (D)0. 4.
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
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一、 选择题
((1D)). (2)(A). (3)(0. (4)(D). (5)(B). (6)(B). (7)(A). (8)(0.
二、 填空题
(9)1. (10)Ge*+Ge3、一工职,其中 G，G 为任意常数.(11)国.(12)ln 2, (13)-1, (14)1一斗.
=W、解答题
(81-52)n-41n 2. (16)( I )证明略.(□治&)=2^+广，.
(17)极小值为/■(],—号)=*+. (18)证明略.
(19) (I)x2+y-2z2+2z=l. (II)(0,0,y).
/1+&+为2 —k\ \
(20) 当且仅当a=~ 1且6=0时,存在满足条件的矩阵C,且C= ，其中k} ,k2为任意常数.
' kz /
(21) 证明略.
0, yVl,
以荡 , lWyV2, (口)券
(22)(I)Fy(jz) =
1,
(23)( I )。的矩估计量为【文；X,. ( 口)。的最大似然估计量为二圭一・
1=1 d
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
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姓名 分数
一、选择题：1〜8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
(1)已知极限limLarfan 其中*为常数，且法0,则
X
(B 弗=2,c=专.
(A)4=2,c=—~ .
(D)&=3,c=§.
(C)A=3,c=—・
<5
(2)曲面a^+cos xy-\~yz+x=G在点(0,1, —1)处的切平面方程为
(A)z—v+z=—2. (B)z+v+z=0.
(C)z—2y+z= —3. (D)%—z=0.
(3)设 /(x) = | x—• | ,6,=21 /'(H)sin 7Mwdr(”=l,2,…).令 S(z)= 6„sin nnx,则S(—号
((22)
I)土1
(fl)-y
9
.
((23) I )/(2；^)=—^=6^ ,- 0 0 1,
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
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一、 选择题
(1)(0. (2)(0, (3)(A). (4)(B). (5)(D). (6)(D). (7)(D). (8)(B).
二、 填空题
(9)ln(l+/2). (lO)e-'sinx. (11)4, (12)〃. (13)1. (14)“(/+#).
F、解答题
(15)广土 (16)/(1,1)+A(1,1)+&(1,1).
(17) 当化＜1时,方程只有一个实根;当互＞1时,方程有且仅有3个不同的实根.
(18) 证明略.(19)a.
(20) (I)a=5. ( n=2ai +4a? —as =ai + 2a? ；A = 5ai + 10az —2a3.
'1 '
(21) (1) — 1是A的一个特征值，其对应的全部特征向量为知0 ，如为任意非零常数;1是A的一个特征
.-1.
值,其对应的全部特征向量为处joj ,k2为任意非零常数;0也是A的一个特征值，其对应的全部特征向量为
°
‘0 0 1
以3为任意非零常数.(n)a= 0 0 0
、0, .1 0 0,
(22)(1)
(H)
Z -1 0 1
P _1_
1 T T T
(皿)Pay =。・
(23)(1)护=斗方(X；一啊)' (U)E&)=/,DG2)=等
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
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姓名 分数
一、选择题：1〜8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
(1) 曲线 了=(]—1)(] —2)2(1—3)3(1—4)4 的拐点是
((lA,0)). (B)(2,0). (0(3,0). (D)(4,0).
(2) 设数列0｝单调减少,1皿=0,$= J劣3=1,2,…)无界,则蓦级数史％(工一 1)”的收敛域为
”"8 4=1 n=l
(A)(-1,1J. (B)E-1,1). (OE0,2). (D)(0,2[.
⑶设函数y(Q具有二阶连续导数，且y(x)>0,/(0)=0,则函数z=/a)ln/(3-)在点(0,0)处取得极小值的一个
充分条件是
(A)/(0)>l,/z(0)>0. (B) /(0)>l,/,(0)<0.
(0/(0)<1,/(0)>0. (0)/(0)<1,/(0)<0.
-JL -X
(4) 设 1= 4 ln(sin x)dz, 4 ln(cot x)dr,K= ln(cos z)dx,则 I,J,K 的大小关系为
J 0 J 0 J 0
(A) KJ 0 1 0.
(A)P】P2. (B)pr'p2
(OPzPl (D)RPT
(6) 设A =(ai,a2 ,a3,a4)是4阶矩阵,4*为A的伴随矩阵.若(l,0,l,0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则
Ax=Q的基础解系可为
(A)ai »a3. (B)ai ,a2. (C)ai ,a2 »a3. (D)a2 »a3，a4.
(7) 设E Cz)与F2 Cz)为两个分布函数，其相应的概率密度片Cr)与f2 Cr)是连续函数,则必为概率密度的是
(A)/； (z)£ (x). (B)2£ (z)F】G).
(C)/i (jc)F2 (x). (D)/i (j7)F2(x)+/2 (z)Fi (z).
⑻设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max{X,Y},V=min{X,Y},则E(UV) =
(A)ECT- EV. (B)EX • EY.
(C)EU.EY. (D)EX・EV.
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
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一、 选择题
(1)(0. (2)(B). (3)(D). (4)(D). (5)(A). (6)(D). (7)(0. (8)(A).
二、 填空题
?
(9)0. (10)-4k. (11)0. (12)号.(13)6. (14)2.
I
o
b三、解答题
(15) y=C1eI+C2e2l-x(x+2)e*,其中 G ,G 为任意常数.
(16) /(x)的单调增加区间为(-1,0)和(1,+8)；单调减少区间为(一8,-1)和(0,1). /&)的极小值为
六±1) =0;极大值为/X0)=十(1一 +).
(17) ( I ) [ | In R [ln(l+z)]”dz< [撰 | In dz(〃=l ,2,…).理由略.(H)lim〃n=0.
0 J 0
J n-*oo
(18) 收敛域为[一 1,1];和函数为zarctan次一 12Y}=*. (II)/z(z)=^(2-z)2, 1(工0 ,、0)尹0.
(C)若 fx(Xo ,物)尹0,则七(工0 ,丁0)=0. (D)若 fx(Xo ,、0)尹0,则 f、(工0，劣0)乂。.
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
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一、填空题
(l)V=$z— . (2以=专(inz—).⑶尊.(4)(2—V2 )tcR3. (5)2. (6)-||.
二、选择题
((07.) ,(8)(A). (9)(B). (10)(D). (11)(B). (12)(0. (13)(B). (14)(D).
三、解答题
(15)-|-. (16)收敛区间为(一1,1) ；y(z)=2j：arctan x—ln(l+x2) + p^2 ( —1,1).
(2107.) (18)证明略.(19)(1 )证明略.(口)甲(少=-;/.
(I 1
而°厉
(20) ( I )0. ( □)正交变换x=Qy= J_ n __L y- (DI)zi=&，工z =—加工3=0,其中&为任意实数.
.0 1 0 .
(21) 当 玲：9 时,x=c1(1,2,3)t+c2(3,6,«t!
当人=9 时，若 r(A) = 2,通解为 x=C3(l,2,3)T；若 r(A) = l,通解为 x=c4(—6,a,0)T+c5(—c,0,a)T.
其中,C】位,C3 ,C4 ,C5均为任意常数.
[2z, OVzVl, 1 — , 0VyV2, 1七 0VY2,
(22)(I)_/x(z) = 甘仙 M)=〈 2 (口)眼)=< 2
〔0, 其他* lo,其他.
、0, 其他.
(23)(1)—
■rt—1
(i=l,2,•••,„). (D)--.
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
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姓名 分数
一、 填空题：1~6小题,每小题4分，共24分.
(1) 曲线y=2^i的斜渐近线方程为____— .
(2) 微分方程玲' + 2y=zln x满足y(l) = — ~的解为.
(3) 设函数u(z,y,z) = l+宜+为+芫，单位向量n (1,1,1)测箫| .
(4) 设。是由锥面Z=7?+7与半球面z= gT—寸围成的空间区域是。的整个边界的外侧，则
JJ d>dz+ydzdx+zdzdy=.
s
⑸设a】,a2 ,a3均为3维列向量,记矩阵
A=(ai ,a2 ,*),
H=(. 52u d2u 32u_32u d2u _d2u rm
(AW = -^7- 8)狞=矽. (C)云矿矽 (D)碧-狞•
(10) 设有三元方程zy—zlny+e*=l,根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程,
(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(z,y).
(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y{x,z)和z=z(x,y).
(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数上=工3，刃和z=z(z,y).
(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(.y,z)和y=yCr,z).
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com(11) 设A, ,A2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a, ,a2，则页,A(a, +血)线性无关的充分必要
条件是
(A)Ai t^O. (B)人2乂0. (C)Ai =0. (D)A2 =0.
(12) 设A为〃3>2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A'与B'分别为A,B的伴随矩阵，则
(A)交换A'的第1列与第2列得B-. (B)交换A-的第1行与第2行得B'.
(C)交换A*的第1列与第2列得一. (D)交换A'的第1行与第2行得一职.
(13) 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
0 1
0 0.4 a
1 b 0. 1
已知随机事件0=0｝与｛X+Y=l｝相互独立，则
(A)a=0. 2,6=0. 3. (B)a=0. 4,6=0. 1. (C)a=O. 3,》=0. 2. (D)a=O. 1,6=0. 4.
(14) 设Xi,Xz，…,X”3N2)为来自总体N(0,l)的简单随机样本,穴为样本均值为样本方差，则
(A)nX~N(0,l). (B)nS2~z2(ri).
—~f(n~l). (D)(n71)X^ ~F(l,w-l).
i=2
三、解答题：15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分11分)
设。=｛&,少If+JE，了 2。，了20｝,[1+^+/]表示不超过1 的最大整数,计算二重积分
Qzy [1+3/]drdy.
D
((16) 本题满分12分)
求嘉级数
§(_ Di [1 + n(2n - 1) k”
的收敛区间与和函数/XQ.
(17) (本题满分11分)
如图所示，曲线C的方程为了=顶(了),点(3,2)是它的一个拐点，直线九与
4分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数
八工)具有三阶连续导数，计算定积分
I* (x2+])/*(])&.
J 0
(18) (本题满分12分)
已知函数，(z)在】0,1]上连续，在(0,1)内可导，且/(0)=0,/(1) = 1.
证明：
(I)存在 ee(o,i),使得六 s)=i—&
(U)存在两个不同的点〃，长(0,1),使得=
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
7 .
考研电子版网站：www. pdf2book. com(19) (本题满分12分)
设函数夙、)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分£么嘴[笋，的值恒
为同一常数.
(I)证明对右半平面工> 0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有
X <2工，
f(Z，y)= C 甘小
E,其他.
求：(I )(X,Y)的边缘概率密度fx(H)，h(y);
(n )Z=2X-Y的概率密度/z(z).
(23) (本题满分9分)
设Xi,X2,“・,X”3>2)为来自总体N(0,l)的简单随机样本,穴为样本均值，记匕=*一云,1=1,2,
求：(I)y.的方差D匕并=1,2,•••,"；(!!)匕与K的协方差Cov(Yi,y„).
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com(11) 设。1 »a2，…,冬均为n维列向量,A是mXn矩阵，下列选项正确的是
(A) 若。1 ,a2» —线性相关，则Aa】9Aa2^*^Aas线性相关.
(B) 若a】皿，・・・，亿线性相关，则A。】，A«2,…，痴ts线性无关.
(C) 若,a2，…，低线性无关，则A«i ,A«2,线性相关.
(D) 若。1 ,血，…,亿线性无关，则Aoi ,A«2,Ao.线性无关.
(12) 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的一1倍加到第2列得仁记P =
1 1 0、
0 1 '0，则
=[o 0 1,
(A)C=P AP. (B)C=PAP~1.
(CC=)P TAP. (D)C=PAPT.
(13) 设A,B为随机事件，且P(B)>0,P(A|B) = l,则必有
(A)P(AUB)>P(A). (B)P(A(JB)>P(B).
(C)F(AUB)=P(A). (D)P(AUB)=P(B).
(14) 设随机变量X服从正态分布N3 /) ,Y服从正态分布N仙以)，且
F{ |X—凶 | V1}>P{ IV一如 <1},
则必有
(A)biVb2・ t (B)s>b2.
(C加1 <芹2 . ( D加1 >〃2・
三、解答题：15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
设区域D= (愆,少|/ + J W1 口20}，计算二重积分
i=L[摊产心.
(16) (本题满分12分)
设数列{工」满足0<工1<〃,工11+i=sinH1,S=l,2,…).
(I )证明limz.存在,并求该极限；
n-^oo
(口)计算1血(冬)矿
(17) (本题满分12分)
将函数 心 =2+二撰展开成工的藉级数.
(18) (本题满分12分)
设函数了3)在(0,+°o)内具有二阶导数，且z=/( 7?+7)满足等式
寿+窍=。・
(I)验证
(口)若/(1)=0,/(1)=1,求函数/■(")的表达式.
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com(19) (本题满分12分)
设在上半平面D={Cr,y) 3>0}内，函数f{x,y)具有连续偏导数，且对任意的t>0都有fCtX,ty^=t~2 f(.x,y).
证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
争 yf{x,y')dx—Tf{x,y')dy=O.
(20) (本题满分9分)
已知非齐次线性方程组
'了1 +互 +的 +x4 = —1,
■s 4xi +3zz+5m3—Xi = —1,
、"+工2+3工3+& = 1
有三个线性无关的解.
(I )证明方程组系数矩阵A的秩r(A) = 2,
(D)求 a,b的值及方程组的通解.
(21) (本题满分9分)
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3.向量佐=(一 1,2, — 1尸02 = (0, — 1,1尸是线性方程组Ax=0的
两个解.
(I)求A的特征值与特征向量；
(H )求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得GTA2=A.
(22) (本题满分9分)
设随机变量X的概率密度为
1
~2 » —lVzVO,
fxS=< — 0V<2,
、0,其他.
令丫=/『(工以)为二维随机变量(X,Y)的分布函数，求：
(DY的概率密度片3);
(DF) (-y,4).
(23) (本题满分9分)
设总体X的概率密度为
(9, 0a3 +ai .
(C)ai —2血，血—22Y}；
(n)求z=x+v的概率密度fz(z).
(24) (本题满分11分)
设总体X的概率密度为
(1
总， O<.x<,0,
10, 其他，
其中参数。(0<吱1)未知,X.Xz，…,X”是来自总体X的简单随机样本，云是样本均值.
(I)求参数。的矩估计量8;
(n)判断4X2是否为序的无偏估计量，并说明理由.
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com二、 填空题：9~14小题,每小题4分，共24分.
(9) 微分方程满足条件火1) = 1的解是3-==.
(10) 曲线sin x^+lnCji—x)=x在点(0,1)处的切线方程为■
(11) 已知幕级数S。”(了+2)”在工=0处收敛，在工=一4处发散，则幕级数吏a“(工一3)"的收敛域为
”=0 >1=0
(12) 设曲面 £ 是 z = J4—兄一函的上侧，则 jj工ydydz+zdzdr+£drdy=•
2
(13) 设A为2阶矩阵,ai ,d为线性无关的2维列向量,Ao】 =O,Aa2=2a1+a2测A的非零特征值为_
Q4)设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P(X=E(X2))=.
三、 解答题：15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分9分)
[sin sin(sin x)]sin x
求极限hm----------------;--------------.
f x*
(16) (本题满分9分)
计算曲线积分
J sin 2xdz+2(x2—l)ydy,
其中L是曲线y = sin 了上从点〈0,0)到点(mO)的一段.
(17) (本题满分11分)
(x2 +y —2Z2 =0,
已知曲线C： 求曲线C上距离皿面最远的点和最近的点.
0+y+3z=5,
(18) (本题满分10分)
设函数/'(z)连续.
(I )利用定义证明函数F(x)= [ /(t)d«可导，且尸(工)=,愆)；
J 0
(口)当，(工)是以2为周期的周期函数时，证明
G(z)=2 J： fMdt
也是以2为周期的周期函数.
(19) (本题满分11分)
将函数八r) = lT(0«K)展开成余弦级数，并求 史(一 1?"里的和.
”=1 n
(20) (本题满分10分)
设a,。为3维列向量，矩阵A=aaT+^T,其中aLR分别是a,0的转置.证明：
(I )r(4)<2;
(n )若a,p线性相关，则r(A)<2.
(21) (本题满分12分)
设n元线性方程组Ax = b,其中
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com(I)证明行列式|A|=(n+l)a"(
(口)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求8 ;
(ID)当a为何值时,该方程组有无穷多解，并求通解.
((22) 本题满分11分)
设*随)机=变(量：：X与Y相互独立,X的概率分布为P{X=£}=身(£=一 1,0,1) ,Y的概率密度为
0«,
记 Z=X+Y.
其他，
(1)求「(Za2 a3 +ai的过渡矩阵为
‘1 0 r ‘1 2 0〕
(A) 2 2’ 0 ・ (B) 0 2 3
、0 3 3> A 0 3>
] 1_ __i_ 1 1
~2 T __6~ T T
__1_ __1_
(C) ~2 T T ・ (D) T T T
1 j_ 1 __l_ 1
~2 T T ~6 T J
(6)设A,B均为2阶矩阵,A，,B，分别为的伴随矩阵.若⑷=2,|B| =3,则分块矩阵(:；)的伴随矩阵为
/ O 3B- \ / O 2B' \ / O 3A* \ ( O 2A* \
(A) . (B) . (C) ). (D) .
、2A* O / V3A* O ' 、2B* O ' 、3B* O '
(7) 设随机变量X的分布函数为F(z)=O. 3$(x)+0. 7/(亨)，其中①愆)为标准正态分布的分布函数，则EX=
(A)0, (B)0.3. (C)0.7. (D)l.
(8) 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(O,1) ,Y的概率分布为P{Y=O} =P{Y=1} =土记
Fz(z)为随机变量Z=XY的分布函数,则函数Fz(z)的间断点个数为
(A)0, (B)l. (02. (D)3.
二、 填空题：9~14小题,每小题4分，共24分.
⑼设函数f(u,p)具有二阶连续偏导数,z=f{X,xy),则畿=.
(10) 若二阶常系数齐次线性微分方程、"+*+如=0的通解为y=(C1 +Gx)eS则非齐次方程y+ay'+by=x
满足条件y(0)=2,J(0)=0的解为/=.
(11) 已知曲线 L：y=zZ(0Vr^/^),则 L zds =.
(12) 设 Q={(z,y,z) |x2+J+z20,6>0)
^bf2 (x), z>0
为概率密度，则a，5应满足
(A)2a+3A=4. (B)3a+2》=4.
(C)a+6=1. (D)a+6=2.
二、 填空题：9〜14小题,每小题4分，共24分.
(9) 设 J ' 则黔 | .
[了 = J Ind 4- a2 )du, M R=o
(10) 「石cos " dr = ・
Jo
(11) 已知曲线L的方程为y=l-|z|(z€[-l,l]),起点是(-1,0),终点为(1,0),则曲线积分L巧& +廿心=
(12) 设a={(z,y,z) |^+J->，, _8VzV+8, —00<^<+°°»
求常数A及条件概率密度Aix(^l^).
(23) (本题满分11分)
设总体X的概率分布为
X 1 2 3
P 1-0 0-02 俨
其中参数鲍(0,1)未知.以N表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为〃)中等于，的个数(i=l,2,3).试
求常数为，久,<23,使浩=力a,N；为0的无偏估计量，并求T的方差. *
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com二、 填空题：9〜14小题,每小题4分，共24分.
(9) 曲线 y= ( tan tdt(0<了(专)的弧长 s=.
(10) 微分方程v'+v=ercos z满足条件y(0)=0的解为>=.
(11) 设函数f(w)=•『奔％则摹匚=--------.
>==2
(12) 设L是柱面x2+y = 1与平面z = x + y的交线，从Z轴正向往Z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分
争工z&+zdy+Wdz=.
(奄若二次曲面的方程士 w +炒+2axy+2xz+2yz=i经正交变换化为"+绍=4,则a=.
(14) 设二维随机变量(X,Y)服从正态分布, 1
（I）求A的所有特征值与特征向量；
（口）求矩阵4
（22）（本题满分11分）
设随机变量X与Y的概率分布分别为
X 0 1
_2_
P
~3
Y -1 0 1
P J_ ± ±
3 3 3
且 p{x2=y2}=i.
（I）求二维随机变量（X,Y）的概率分布；
（口）求Z=XY的概率分布；
（111）求乂与丫的相关系数10灯.
（23）（本题满分11分）
设K,Xz，…,X,为来自正态总体N（例,/）的简单随机样本，其中g已知,/>0未知，云和甘分别表示样本
均值和样本方差.
（I） 求参数/的最大似然估计
（II） 计算£&）和£）&）.
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com(7) 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P{X={&,/注)| i+v+n= 1, 了2。,:yN。,泽。}，则 JJ y2 必=・
(13) 设a为3维单位列向量,£为3阶单位矩阵,则矩阵E一皿丁的秩为_______ ・
1 1 —
(14) 设A,B,C是随机事件,A与C互不相容,P(AB)=y,P(C)=十,则P(A8|C) =.
三、 解答题:15〜23小题，共94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
证明:j：ln ；±'+cos 工21 + 芸(一1<了<1).
(16) (本题满分10分)
求函数/(x,3))=xe-Z^的极值.
(17) (本题满分10分)
求蓦级数切4状？吉的收敛域及和函数.
(18) (本题满分10分)
已知曲线L：「―'")'(00(00.记Z=
X-Y.
(I)求Z的概率密度
(n)设乙，Zz,z,为来自总体z的简单随机样本，求/的最大似然估计量y；
(皿)证明/为/的无偏估计量.
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com则
(A)>/>2 >力3 • (B)/?2>/>i>/>3. (C)/>3 >色 >力2 . (D) p\> p3>' p2 .
⑻设随机变量X〜心)，丫〜F(1 ,〃),给定a(0Vo<0.5),常数c满足P{X>c} =a，则P(Y>?}=
(A)a. (B)l-a. (C)2a. (D)l-2a.
二、 填空题：9〜14小题，每小题4分，共24分.
⑼设函数y=f(.jc)由方程y—x=^x~y}确定，则独此/(+)—1］=・
(10) 已知力—衣2，必=^一澎，必=一女篮是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解
_*=____________.
(x=sin t9 J2 I
(11) 设 ., 。为参数)，则攵刃 上=________ ・
lj/=Zsin t+cos t I *=十
(12) r离舛=——•
(13) 设A =(%)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式,A,为％的代数余子式.若aq +A# =0(3 = 1，2,3),则
|A|=.
(14) 设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P(Ya}=.
三、 解答题:15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
计算r碧&,其中，&)=『业户
』工
J 0 J 1 t
(16) (本题满分10分)
设数列{a“}满足条件：
00=3,0! =l,a„-2 —n(n—l)a„=0(n^2),
S(z)是藉级数去aq'的和函数.
(I)证明 S'(z)-S(z)=0;
(口)求S(z)的表达式.
(17) (本题满分10分)
求函数 /(x)>')= (j/+^-)ex+>,的极值.
(18) (本题满分10分)
设奇函数六了)在［-1,1］上具有二阶导数，且六1) = 1.证明：
(I)存在扼(0,1),使得，(£)=1;
(口)存在 长(一1,1),使得 /*(,)+/(,) = 1.
(19) (本题满分10分)
设直线L过A(l,0,Q),B(0,l,l)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面与平面z=0,z=2所围成的立体
为Q.
(I)求曲面2的方程；
(口)求/2的形心坐标.
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com((20) 本题满分11分)
/I a\ /0 1\
设A=( ,B= ).当a/为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C.
'1 07 '1 b'
((21) 本题满分11分)
设二次型 ,工2 ,无)=2(a/l +az工Z +。3工3 )2 +(但勾 +4 Z2 +房工3 )2，记
(I)证明二次型，对应的矩阵为2aaT+«JT；
(n )若a,p正交且均为单位向量，证明r在正交变换下的标准形为2"士展.
((22) 本题满分11分)
设随机变量X的概率密度为
W，
02.
(I)求Y的分布函数；
(口)求概率 P{XWY}.
((23) 本题满分11分)
设总体X的概率密度为
z>0,
、0, 其他,
其中。为未知参数且大于零.X ,Xz,X”为来自总体X的简单随机样本.
(I)求。的矩估计量；
(口)求。的最大似然估计量.
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com(8)设连续型随机变量X】与X2相互独立且方差均存在,X】与X?的概率密度分别为方G)与认工)，随机变量匕
的概率密度为A.(少3)+E(少],随机变量丫2 =y(xx +X2),则
(A)Ey1>EY2,DY1>D^. (B)EY1=EY29DYl=DY2.
(C)EY,=EY29DY1d^.
二、填空题：9〜14小题,每小题4分，共24分.
(9) 曲面z=j:2(1 —sin y)+/(l —sin z)在点(1,0,1)处的切平面方程为
(10) 设/U)是周期为4的可导奇函数，且，(工) = 2Cr-l),zC[0,2],则/(7)=
(由微分方程x-ln y)=0满足条件^(l)=e3的解为y=.
(12) 设L是柱面x2+y = 1与平面y+z = 0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分
§ zdr + ydz =.
(13) 设二次型/(xi ,x2，工3)=始一话+2<1工1工3+4及工3的负惯性指数为1，则a的取值范围是.
(14) 设总体X的概率密度为
祟、0)；
(口)求宓
(23) (本题满分11分)
设总体X的分布函数为
FGc；0) =
其中。是未知参数且大于零.Xi ,X2,-,X„为来自总体X的简单随机样本.
(I)求 EX 与 E(X)；
(U)求。的最大似然估计量九；
(in)是否存在实数使得对任何e>0,都有limP{吃一a| =0?
n-*o°
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(7)若A,B为任意两个随机事件，则
(A)P(AB)P(A)P(B).
(C) P( ABXF(A)+P(B). (D) 〈旦)
(8)设随机变量 X,Y 不相关，且 EX=2,EY=1,DX=3,则 E[X(X+Y-2)] =
(A) ~3. (B)3. (C)—5. (D)5.
二、填空题：9〜14小题,每小题4分，共24分.
ln(cos 工)
(9)lim
x2
(10)L sin z
l+cos X
(11)若函数 z=z(x9y)由方程 ez+xyz+z+cos x=2 确定，则 dz
I (0,1)
(12)设。是由平面z+y+z=l与三个坐标平面所围成的空间区域，则(z+2y+3z)&d>dz=
2 0・ ・ 0 2
-1 2・ -0 2
: :
(13)”阶行列式 =
0 0・・・ 2 2
0 0・•• —1 2
(14) 设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(l,0;l,l;0),则P{XY-Y<0}=.
三、解答题：15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
设函数/(x) = x+aln(l +x) +6xsin x,g{x) =kx3.若六工)与g(工)在0时是等价无穷小,
求a,b,k的值.
(16) (本题满分10分)
设函数六工)在定义域I上的导数大于零.若对任意的xo e 1,曲线y=y&)在点处的切线与直线
x=xo及x轴所围成区域的面积恒为4,且/'(0) = 2,求六工)的表达式.
(17) (本题满分10分)
已知函数f(x,y)=x+y+xy, ft线C：^2+J+功=3,求在曲线C上的最大方向导数.
(18) (本题满分10分)
(I )设函数"(工),°(工)可导，利用导数定义证明[U(Z)O(H)]' = 1/(X),(Z)+U(*)P'(H)；
(n )设函数 U1(Z),% (z),…，刀(H)可导,/(X)=U1 (x)u2 (jc)"-u„(x)'写出 /(工)的求导公式.
(19) (本题满分10分)
已知曲线L的方程为『一 I£一''起点为A(0,*,0),终点为B(0,—/^O),计算曲线积分
[z=x9
1= J (y+z^dz+lz2 — x2+y)dy+x2jy2&.
2015年全国硕士研究生招生考试数学一试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(20) (本题满分11分)
设向量组 a： ,a2 ,a3 为 R3 的一个基,A =2® +2如3，位=2a2，氏=ai+(k+l)a3-
(I)证明向量组E，所为R'的一个基；
(口)当左为何值时，存在非零向量&在基a. ,a2 ,a3与基fk，氏，氏下的坐标相同，并求所有的&
(21) (本题满分11分)
■ 0 2 -3 4 -2 0、
设矩阵A= -1 3 -3 相似于矩阵B= 0 b 0
、1 -2 a . 、0 3
(I )求a,b的值；
(n)求可逆矩阵p,使p^ap为对角矩阵.
((22) 本题满分11分)
设随机变量X的概率密度为
2-Iln2,工＞0,
f(.x') =
0, 5^0.
对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数.
(1)求丫的概率分布；
(R )求 EY.
((23) 本题满分11分)
设总体X的概率密度为
f(.xt9') =
其他，
其中0为未知参数.X、,X,，…,X”为来自该总体的简单随机样本.
(I)求。的矩估计量；
(口)求0的最大似然估计量.
2015年全国硕士研究生招生考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com(8) 随机试验E有三种两两不相容的结果& ,A2 ,A3，且三种结果发生的概率均为命■.将试验E独立重复做2次,X
表示2次试验中结果A发生的次数,丫表示2次试验中结果也发生的次数，则X与Y的相关系数为
(A)— . (B)— . (C)-y. (D)-|-.
二、填空题：9〜14小题,每小题4分，共24分. 典赡蕨缨
Hn(l + tsin £)dz
(9) lim -----------g— =_______ .
I 1 —*cos X
(崩响量场 A(x9y,z') = (x-\-y-\-z')i-}-xyj -\~zk 的旋度 rot A=
(11)设函数 f(u,p)可微,z=z(x,y')由方程(x+l)z—=a^ f(x—z,y')确定测 dz I =_______ •
I (0,1)
(12)设函数/(x)=arctan工一丧方，且 尸(。)=1，则a=.
A -1 0 0
0 A -1 0
(13) 行列式 =.
0 0 A -1
432 A+l
(14) 设勾，命，…,而为来自总体Ng)的简单随机样本，样本均值芸=9. 5,参数兴的置信度为0.95的双侧置信
区间的置信上限为10. 8,则P的置信度为0. 95的双侧置信区间为.
三、解答题：15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
已知平面区域 D= l(r,0) I 2«2(l+cos(9),-y<^y "计算二重积分JJ^dxdy.
D
(16) (本题满分10分)
设函数)&)满足方程y+2y'+ky=G,其中0<*<1,
(I)证明反常积分「° y(Qdx收敛；
(H)若火。)=1,港(0)=1,求『 水工)&的值.
(17) (本题满分10分)
设函数f(x,y)满足丑咨立=(2工+1)职-，,且六0,y)=y+l,L,是从点(0,0)到点(1,Q的光滑曲线.计算曲
线积分&)= f 捋函&+」令少心,并求的最小值.
J L, djc dy
((18) 本题满分10分)
设有界区域。由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成,£为Q整个表面的外侧,计算曲面积分
1= jj (/+l)dydz—2ydzdx~i-3zY.
(I) 写出(x,y)的概率密度；
(II) 问。与乂是否相互独立？并说明理由;
(in )求Z=U+X的分布函数Fz(z).
((23) 本题满分11分)
设总体X的概率密度为
暮，0P(A|B)的充分必要条件是
(A)P(B|A)>P(B|A). (B)P(B|A)P(B0). (D)P(B|AXP(B|A).
(8) 设Xi,X2,・",X“(”〉2)为来自总体N(〃,l)的简单随机样本，记X=§ 则下列结论中不正确的是
n «=1
(A)克；(X, — “)2服从z2分布. (B)2 (X” 一 X)服从x2分布.
1 = 1
(C)克；(X. -X)2服从,分布. (D)"(X — ")2服从％2分布.
i=l
二、填空题：9~14小题,每小题4分，共24分.
(9) 已知函数，(/二士?，则 舟(0)=.
(10) 微分方程/+2/+33，=0的通解为>=.
(11) 若曲线积分［义芸号岬在区域。={(了,〉)|兄+，<1}内与路径无关测<2=_______•
jl x 十y — 1
(12) 慕级数吏(一1广技-1在区间(一1,1)内的和函数S(x)=.
n=l
'i o r
(13) 设矩阵A= 1 1 2 ,依，血，<*3为线性无关的3维列向量组，则向量组Aai ,Aa,的秩为.
.0 1 1.
(14)设随机变量X的分布函数为F(z)=0. 53(z)+0. 5中(专在)，其中小(了)为标准正态分布函数，则
EX=.
三、解答题：15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
设函数具有二阶连续偏导数,y=f(.ex,cosx'),求=。，跆
(16) (本题满分10分) -
求 limg^ln(l+^).
(17) (本题满分10分)
已知函数y&)由方程x3+y3-3x+3y-2=0确定，求y(z)的极值.
2017年全国硕士研究生招生考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com(18) (本题满分10分)
设函数六工)在区间[0,1〕上具有二阶导数，且/U)>0,lim心<0.证明：
(I)方程六工)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根；
(n)方程y(x)/(x)+E/(x)]2=o在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.
(19) (本题满分10分)
设薄片形物体s是圆锥面L /7T7被柱面Z2 =膈割下的有限部分,其上任一点的密度为“G，v，z)=
97?+7+?.记圆锥面与柱面的交线为C.
(I)求c在皿平面上的投影曲线的方程；
(口)求，的质量以
(20) (本题满分11分)
设3阶矩阵A=(ai ,a2 ,a3)有3个不同的特征值，且a3=ai +2az.
(I) 证明 r(A)=2,
(II) 若”=ai +az +a3，求方程组Ax=p的通解.
(21) (本题满分11分)
设二次型f(4，工2 ,羽)=2始一云+a^+2x1x2-8x1x3+2x2x3,在正交变换x=Qy下的标准形为不"+
兀况，求a的值及一个正交矩阵0
(22) (本题满分11分)
设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为P{X=0} = P{X=2}=$ ,Y的概率密度为
(2jz, OVyCl,
为)=
10,其他.
(I)求 p{y 为曲面x2 + +4Z2 = 4(z N 0)的上侧，则 |J J4 — z。一 4站 drdy =.
s,
13. 设A=(s ,d &为3阶矩阵.若a, ,a2线性无关，且a3 = ~ai +2版，则线性方程组Ax=0的通解为.
寺，0EX-1}=.
三、 解答题：15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分10分)
设函数火工)是微分方程y' +巧=e-夸满足条件y(0) = 0的特解.
(1) 求火工)；
(2) 求曲线> =y(x)的凹凸区间及拐点.
16. (本题满分10分)
设a,b为实数，函数z=2+ax2+by2在点(3,4)处的方向导数中,沿方向l=-3i~ij的方向导数最大,最大值
为10.
⑴求a,b ;
(2)求曲面 z = 2 -\-ax2 + by2 ( 0 )的面积.
17. (本题满分10分)
求曲线y = e-xsin x{x 2。)与工轴之间图形的面积.
18. (本题满分10分)
设 an = \ 寸 J1—人 &(〃=0,1,2,…).
J o
⑴证明:数列 0}单调减少，且a“ =蛆5 3=2,3,・“)；
〃十2
(2)求 1 imd.
18 Qi
2019年全国硕士研究生招生考试数学一试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com19.(本题满分10分)
设。是由锥面衣+。_ = (1 — z)2 (0 < Z < 1)与平面Z = 0围成的锥体，求Q的形心坐标.
20. (本题满分11分)
设向量组ai = (l,2,l)T,a2 = (l,3,2)T,a3 = (l,a,3)T*R3 的一个基，0= (1,1,1)T 在这个基下的坐标为
(Z>,c,l)T .
(1) 求 a,b,c; ,
(2) 证明a2 ,a3，。为R3的一个基，并求a2,a3 ,»到垢,a2 ,a3的过渡矩阵.
21. (本题满分11分)
-2 -2 1 '2 1 0
已知矩阵4= 2 z —2 与B = 0-10 相似.
、0 0 -2. 、。。y.
⑴求x,yi
(2)求可逆矩阵P使得P-'AP = B.
22. (本题满分11分)
设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为P{V=-1}= p,P{Y=l} =
1-/>(0<1),令2 = XY.
(1) 求Z的概率密度；
(2) 》为何值时，X与Z不相关？
(3) X与Z是否相互独立？
23. (本题满分11分)
设总体X的概率密度为
.0,
其中A是已知参数，。>0是未知参数，A是常数.XnXz,…,X”是来自总体X的简单随机样本.
⑴求A ;
(2)求/的最大似然估计量.
2019年全国硕士研究生招生考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com6.已知直线h :=竺=@ ==臭与直线如=虫=号==全相交于一点.记向量a,=
Ql 0\ C\ 。2 。2 。2
1,2,3,则
A. ai可由此，口3线性表示. B. 02可由。1 ,口3线性表ZK.
C. *可由ai,%线性表示. D.,。2 S3线性无关.
7.设A,B,C为三个随机事件，且
»
P(A) = P(B) = P(O = +，F(AB) = O,P(AC) = P(BC)=志,
则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为
A. -j-. B. %. C. -y. D. &•
4 5 乙 J•乙
8.设 Xi , •••,跖为来自总体X的简单随机样本，其中P{X = 0} = F{X = 1} = * 0（x）表示标准正态分布
：00_
函数，则利用中心极限定理可得p{习X, < 55）的近似值为
.=1
A. 1-0（1）. B.0（1）. C. 1-0（0.2）. D.0（O.2）.
二、填空题：9〜14小题,每小题4分，共24分.
xi = +〃 E+ 1 ,),则孔=
10.设-
11.若函数 /(x)满足 f(x) +"'(工)+ _/•(工)=0(a > 0)，且 /(0) = ="，则工)& =
3 2 J (1,1)-
12. 设函数 ra,/) = J。我 dz,贝
a 0 -1 1
0 a 1 -1
13. 行列式
—1 1 a 0
1 -1 0 a
14. 设X服从区间（一号，苛）上的均匀分布,Y= sinX,则Cov（X,Y） =
三、解答题：15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. （本题满分10分）
求函数= x3 +8/ —xy的极值.
16. （本题满分10分） 、
计算曲线积分7= f 若三如+吕％心,其中L是衣+寸=2,方向为逆时针方向.
J l 4z + y 十 y
17. （本题满分10分）
设数列0}满足勾=l，（" + l）a出=（"+ 土）"证明：当|z|Vl时部级数泌收敛，并求其和函数.
& n=l
2020年全国硕士研究生招生考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com18. (本题满分10分)
设2为曲面z = ( 1 < / +寸w 4)的下侧,，&)是连续函数,计算
I = jj[”(可)+ 2x — y]dydz-\- [yf (可)-\~2y-\- xjdzdz 4- [_zf(xy) +z]dzdy
s
19. (本题满分10分)
设函数/(x)在区间[0,2]上具有连续导数,/(0) = /(2) = 0,M= max { | /(x) | }.证明：
xe[o,2]
(1) 存在 f 6 (0,2),使得 | /(?) |>M； '
(2) 若对任意的了 € (0,2), | /(x) |2 +byl,
其中a>h
(1) 求a,。的值；
(2) 求正交矩阵Q.
21. (本题满分11分)
设A为2阶矩阵,P= (a,Az),其中a是非零向量且不是4的特征向量.
(1) 证明P为可逆矩阵；
(2) 若^a + Aa — 6a = 0,求F'AP,并判断A是否相似于对角矩阵.
22. (本题满分11分)
设随机变量X1，X2,X3相互独立，其中X1与X2均服从标准正态分布,X,的概率分布为P{X3 = 0}=
= -|.y = x3X! +(i-x3)x2.
p{x3 = i}
(1) 求二维随机变量(X| ,Y)的分布函数，结果用标准正态分布函数小(z)表示；
(2) 证明随机变量Y服从标准正态分布.
23. (本题满分11分)
设某种元件的使用寿命T的分布函数为
[1-厂3)”, 1)0,
F(i) = <{ e
〔0, 其他，
其中0,m为参数且大于零.
(1) 求概率 P {T>t}与 P {T>s + t | T>s},其中 s>0,z>0；
(2) 任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为«,，如，•••,£”.若巾已知，求。的最大似然估计值初
■3^-一
2020年全国硕士研究生招生考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com7.设 A,B为〃阶实矩阵.下列结论不成立的是
/A AB\ (A O \
A.r = 2r(A). B. r = 2r(A).
\O AT/ \0 ATA/
/A BA \ / A O \
C. r( I = 2r(A). D. r - 2r(A).
\o aat/ AT/
8. 设A,B为随机事件，且0 < P(B) < 1,下列命题中为假命题的是
A.若 P(A | B) > P(A)，则 P(A I B) > P(A).
旧 P(A | B) = P(A),则 P(A | B) = P(A).
C. 若 P(A | B) > P(A | 万)，则 P(A | B) > P(A).
D. 若 F(A | A U B) > P” | A U B),则 P(A) > P(B).
9. 设(Xz，*)，•“，(X,,Y,)为来自总体NS”?港，心p)的简单随机样本.令。=的一捋云=
+ gx,,V = 土£匕稀=云一史则
A.0不是。的无偏估计,。房)=直*.
n
b3是0的无偏估计,D(0)=配土通.
C3是。的无偏估计,踞)=云+七2啊如
D3不是0的无偏估计,D(0) = / 十词二汹询
10.设X, ,Xz，…,Xk是来自总体N(/z,4)的简单随机样本,考虑假设检验问题:10,Hi平> lO.e(z)表示
会力X,,则兴=
标准正态分布函数.若该检验问题的拒绝域为W = 其中云= 11. 5时，该检验犯第
10 .=1
二类错误的概率为
A. B. 1-0(0. 5). C. 1-0(1. 5). D.1 — @(2).
二、填空题：11〜16小题,每小题5分，共30分.
11 r ——=
Jo J2 +2J- + 2 --------------■
\x = 2e, + z + l, v I
12. 设函数y = y&)由参数方程 ，确定，则H =_________
I = 4(z— De1 ' *-°
13. 欧拉方程xly+xy'-\y = 0满足条件火1) = 1,/(1) = 2的解为> =.
14. 设 2为空间区域｛(x,y,z) | F +4/ <4,00,有p{ 招一产2俱&}<
么2~~
L疽 D.
10,设随机变量X〜N(0,1),在X=z条件下随机变量y〜NG, 1)，则X与丫的相关系数为
A. 土・ B. 3~. C•尊. D•萼.
二、填空题：11〜16小题,每小题5分，共30分.
11.函数= x2 +2J在点(0,1)的最大方向导数为・
以£'柴血=一.
13. 当o时，^2 +y <扇川恒成立，则k的取值范围是.
14. 已知级数£ 的收敛域为(a, +8),则^, =.
15. 已知矩阵A和E-A可逆，其中E为单位矩阵.若矩阵B满足［E— (E —AL= A,则B — A =.
16. 设A,B,C为随机事件，且A与B互不相容,A与C互不相容,B与C相互独5Z,P(A) = P(B) = P(C) = ,
则 P(B U C | A U B U C) =.
三、解答题：17-22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)
设函数y(z)是微分方程y+-~j^y = 2+去满足条件了⑴=3的解，求曲线、=火工)的渐 荷曲
近线.
2022年全国硕士研究生招生考试数学一试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com18.（本题满分12分）
已知平面区域D= ｛（z,少|y —2＜工＜ 计算/第季&心.
19. （本题满分12分）
已知E为曲面4/+J+Z2 = l（H＞0,yN0,z20）的上侧工为2的边界曲线，其正向与2的正法向量满足
右手法则,计算曲线积分
I = J （yz2 — cos z）dr + 2xz2 dy + （.2xyz + zsin z）dz.
20. （本题满分12分）
设函数f（H）在（一 8,十8）内具有2阶连续导数.证明:fS） ＞ 0的充分必要条件是:对不同的实数a,们
，（啰） ＜沽£（工）位.
21. （本题满分12分）
3 3
已知二次型，（工1 ,了2，毛）= SS ijXiXj, .
＞=1 ；=1
（1） 写出八rg,工3）对应的矩阵；
（2） 求正交变换x =伽将/Xe，五，冯）化为标准形；
（3） 求，（工\ ,x2，工3） = 0的解.
22. （本题满分12分）
设K ,…,X,为来自均值为9的指数分布总体的简单随机样本，匕，％ ,…,匕为来自均值为29的指数分布
总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中0（。＞0）是未知参数.利用样本X】，X2，…,X”,匕，*，…，匕,求
。的最大似然估计量并求。房）.
2022年全国硕士研究生招生考试数学一试题
考研电子版网站：www.pdf2book.com8. 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E( | X —政|)=
A. —. B. -4-. C. —. D. 1.
e Z e
9. 设X】,X2,・・・,Xn为来自总体N3，j)的简单随机样本，匕，丫2,…，匕为来自总体Ng喝)的简单随机样本,
且两样本相互独立，记云=+£>“亍=土以,8? = 土£;(X,—灯，岛=土尚(匕一V,则
A.慧〜F(〃,m). B. ^•〜F(〃一1 — 1).
02 岛
〜F(n,m). D. 〜F(〃 — 1，？n—1).
02 »
10. 设X】，X2为来自总体的简单随机样本，其中狐7> 0)是未知参数.若a = a\Xl-X2\^Ja的无偏估
计，则& =
A.辱. B.卒. CM. D.福.
L1 乙
二、填空题：11〜16小题，每小题5分，共30分.
11. 当►。时，函数f(工)=az + fee? + ln(l +工)与g(z) = e> — cos x是等价无穷小，则
ab =.
12. 曲面z = z + 2y + ln(l +/ +寸)在点(0,0,0)处的切平面方程为.
13. 设/(x)是周期为2的周期函数，且fCx) = 1 — x.x £ 若/*&)=萼+ 2a”cos gc,
乙 ”=i
贝.
n=l
14.设连续函数 /Xz)满足：_f(z + 2) —，(z) = z,j /(x)dLr = 0,则j f(x)dx =
r
—1 ■ 0 1
0 ,。 -1 1 1
15.已知向量Oi = 2 = ,0)经过点(1,2),该曲线上任一点P(.x,y'j到v轴的距离等于该点处的切
线在y轴上的截距.
(1) 求 y(G；
(2) 求函数/(x) = 在(0, +oo)上的最大值.
2023年全国硕士研究生招生考试数学一试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com18.（本题满分12分）
求函数 f（.JC9y） = （.y — j^yCy — x3）的极值.
19.（本题满分12分）
设空间有界区域0由柱面/ + J = 1与平面z = 0和z + z= l围成为Q边界面的外侧，计算曲面积分
'=0 2xzdydz + xzcos ydzdx + 3jizsin xdxdy.
20.（本题满分12分）
设函数/（x）在［—a,a］上具有2阶连续导数.证明:
(1)若 /(0) =0,则存在 £€ (-a,a),使得 /'(E) = #L/Xa)+y(—a)];
（2）若/&）在（-a,a）内取得极值,则存在（-a，a），使得
I f（7）IN》I f（a）—f（—a） |.
21 .（本题满分12分）
已知二次型
/（xi ,x2 ,x3） = xf + 2话 + 2x| + 2x\x2 — 2xi x3,
g（:y】，:y2，，3）=云 +展 +X +232丁3・
（1） 求可逆变换X = Py将/'（11，工2，工3）化成g（y，了2，了3）；
（2） 是否存在正交变换x = Qy将/（11,Z2,Z3）化成g（yi ,'2,）3）?
22.（本题满分12分）
设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
'£（/+，），廿+丁<1,
f（.x,y）= < 加
.0, 其他
（1） 求X与Y的协方差；
（2） X与Y是否相互独立？
（3） 求2=/+野的概率密度.
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