人教版7年级数学上册高清教材_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

® YIWU JIAOYU JIAOKESHU 义 SHUXUE 务 教 育 部 审 定 教 育 七年级 教 科 义务教育教科书 书 ︵ （五·四学制） 五 · 四 上册 学 制 ︶ 数学 七年级 上册 数 数学 学 七 年 级 上 册 绿色印刷产品 数学七年级上带标封面.indd 1 2013.5.30 10:03:44 AM义 务 教 育 教 科 书 （五·四学制） 数 学 七年级 上册 人民教育出版社 课程教材研究所 编著 中学数学课程教材研究开发中心 ·北 京·主 编：林 群 副 主 编：田载今 薛 彬 李海东 本册主编：薛 彬 主要编写人员：田载今 李海东 李龙才 薛 彬 刘金英 吴晓燕 雷晓莉 责任编辑：宋莉莉 美术编辑：王俊宏 封面设计：吕 王俊宏 插 图：王俊宏 文鲁工作室（封面） 义务教育教科书（五·四学制） 数学 七年级 上册 人民教育出版社 课程教材研究所 编著 中学数学课程教材研究开发中心 出 版 （北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 邮编：100081） 网 址 http://www.pep.com.cn 重 印 黑龙江出版集团 发 行 黑龙江省新华书店 印 刷 兰西县榆林实业有限责任公司 版 次 2013年6月第1版 印 次 2017年7月第5次印刷 开 本 787毫米×1092毫米 1/16 印 张 8.25 字 数 137千字 印 数 51513册 书 号 ISBN 978-7-107-26213-5 定 价 7.85元 版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究 如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：jcyifk.pep.com.cn 如发现印、装质量问题，影响阅读，请与当地新华书店或印厂联系调换。 厂址：兰西榆林开发区 电话：0455-7431818 邮编：151500 质量监督电话：0451-84632411本册导引 亲爱的同学，七年级的学习开始了。 你将要学习的这本书是我们根据 《义务教育数学课程标准 （２０１１年版）》 编写的教科书，这是你在六～九年级要学习的八册数学教科书中的第三册。 在生活中你会遇到很多实际问题，比如计算路程、选择购物方案、合理分 配任务等，“一元一次方程”将给你提供解决这些问题的一种数学工具。通过 分析问题中的数量关系，并利用其中的相等关系列出方程，实际问题就转化为 数学问题，从而通过数学问题来解决实际问题。这是解决问题的一种常用方 法，相信你一定能掌握。 在 “相交线与平行线”中，我们将对 “相交”“垂直”“平行”等有更深入 的了解。你会发现，生活中许多问题都可以用这些知识来分析与解决。通过 “平移”你会得到美丽的图案，许多好看的动画也是用它实现的。 面积为２ｄｍ２ 的正方形的边长是多少？体积为３ｄｍ３ 的正方体的棱长是多 少？解决这些问题，会遇到一个新朋友———无理数。它的到来使数扩充到新的 领域，“实数”会使我们对数的认识大开眼界。 如果将校园的建筑物用点来表示，在绘制校园的平面图时，你能用什么方 法确定各个建筑物的位置？“平面直角坐标系”可以帮助你。平面直角坐标系 是一种重要的数学工具，它不仅可以帮助我们确定地理位置，而且能成功地架 起数与形之间的桥梁。掌握了它，你会发现许多问题的解决变得直观而简明。 数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功。让我们一起 随着这本书，畅游神奇、美妙的数学世界吧！目 录 第十一章 一元一次方程 １１．１ 从算式到方程 ２ 阅读与思考 “方程”史话 ８ １１．２ 解一元一次方程 （一） ———合并同类项与移项 １０ 实验与探究 无限循环小数化分数 １６ １１．３ 解一元一次方程 （二） ———去括号与去分母 １７ １１．４ 一元一次方程与实际问题 ２４ 数学活动 ３３ 小结 ３４ 复习题１１ ３５ 第十二章 相交线与平行线 １２．１ 相交线 ３８ 观察与猜想 看图时的错觉 ４６ １２．２ 平行线及其判定 ４７ １２．３ 平行线的性质 ５４ 信息技术应用 探索两条直线的位置关系 ６２ １２．４ 平移 ６４ 数学活动 ６８ 小结 ７０ 复习题１２ ７１第十三章 实数 １３．１ 平方根 ７６ １３．２ 立方根 ８５ １３．３ 实数 ８９ 阅读与思考 为什么说槡２不是有理数 ９４ 数学活动 ９５ 小结 ９６ 复习题１３ ９７ 第十四章 平面直角坐标系 １４．１ 平面直角坐标系 １００ 阅读与思考 用经纬度表示地理位置 １０８ １４．２ 平面直角坐标系的简单应用 １０９ 数学活动 １１７ 小结 １１９ 复习题１４ １２０ 部分中英文词汇索引 １２３第十一章 一元一次方程 在小学，我们已经见过像２狓＝５０，３狓＋１＝ ４，５狓－７＝８这样的简单方程，其中字母狓表示 未知数． 方程是含有未知数的等式，它是应用广泛的 数学工具．研究许多问题时，人们经常用字母表示 其中的未知数，通过分析数量关系，列出方程表 示相等关系，然后解方程求出未知数． 怎样根据问题中的数量关系列方程？怎样解 方程？这是本章研究的主要问题． 通过学习本章中丰富多彩的问题，你将进一 步感受到方程的作用，并学习利用一元一次方程 解决问题的方法． 路程 狓 狓 时间＝ － ＝１ 速度 ６０ ７０ 路程／ｋｍ 速度／ （ｋｍ／ｈ） 时间／ｈ 狓 客车 狓 ７０ ７０ 狓 卡车 狓 ６０ ６０ 书书书１１．１ 从算式到方程 １１．１．１ 一元一次方程 问题 一辆客车和一辆卡车同时从Ａ地出发沿同一公路同方向行驶，客 车的行驶速度是７０ｋｍ／ｈ，卡车的行驶速度是６０ｋｍ／ｈ，客车比卡车早１ｈ经 过Ｂ地．Ａ，Ｂ两地间的路程是多少？ 你会用算术方法解决这个问题吗？列算式试试． 如果设Ａ，Ｂ两地相距狓ｋｍ，你能分别列式 表示客车和卡车从Ａ地到Ｂ地的行驶时间吗？ 路程 匀速运动中，时间＝ ．根据问题的条件， 速度 想一想，如何 客车和卡车从Ａ地到Ｂ地的行驶时间，可以分别 用式子表示两车的 行驶时间之间的 狓 狓 表示为 ｈ和 ｈ． 关系？ ７０ ６０ 狓 因为客车比卡车早１ｈ经过Ｂ地，所以 比 ７０ 狓 小１，即 ６０ 狓 狓 － ＝１． ① ６０ ７０ 我们已经知道，方程是含有未知数的等式． 等式①中的狓是未知数，这个等式是一个方程． 通过本章的学习，我们将能够从方程①解出 未知数的值狓＝４２０，从而求出Ａ，Ｂ两地间的路 程为４２０ｋｍ． 通常用狓，狔，狕等 字母表示未知数，法国 用算术方法解题时，列出的算式表示用算术 数学家笛卡儿是最早这 样做的人．我国古代用 方法解题的计算过程，其中只含有已知数；而方 “天 元、地 元、人 元、 程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中既 物元”等表示未知数． 含有已知数，又含有用字母表示的未知数．方程 ２ !"#$%#&#’()为我们解决许多问题带来方便．通过今后的学习，你会逐步认识：从算式到方 程是数学的进步．  对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个 相等关系？ 列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含 有未知数的等式———方程（ｅｑｕａｔｉｏｎ）． 例１ 根据下列问题，设未知数并列出方程： （１）用一根长２４ｃｍ的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？ （２）一台计算机已使用１７００ｈ，预计每月再使用１５０ｈ，经过多少月这台 计算机的使用时间达到规定的检修时间２４５０ｈ？ （３）某校女生占全体学生数的５２％，比男生多８０人，这个学校有多少 学生？ 解：（１）设正方形的边长为狓ｃｍ． 列方程 ４狓＝２４． （２）设狓月后这台计算机的使用时间达到 你能解释这些 ２４５０ｈ，那么在狓月里这台计算机使用了１５０狓ｈ． 方程中等号两边各 表示什么意思吗？ 列方程 体会列方程所依据 １７００＋１５０狓＝２４５０． 的相等关系． （３）设这个学校的学生数为狓，那么女生数为 ０．５２狓，男生数为（１－０．５２）狓． 列方程 ０．５２狓－（１－０．５２）狓＝８０． 上面各方程都只含有一个未知数 （元），未知数的次数都是１，等号两边都 是整式，这样的方程叫做一元一次方程 （ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｎｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ）． ３ !"#$%#&#’() 上面的分析过程可以表示如下： 设未知数 列方程 实际问题 → 一元一次方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数 学解决实际问题的一种方法． 列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以求出未知数． 可以发现，当狓＝６时，４狓的值是２４，这时方程４狓＝２４等号左右两边相 等．狓＝６叫做方程４狓＝２４的解．这就是说，方程４狓＝２４中未知数狓的值应是 ６．同样地，当狓＝５时，１７００＋１５０狓的值是２４５０，这时方程 １７００＋１５０狓＝２４５０ 等号左右两边相等．狓＝５叫做方程１７００＋１５０狓＝２４５０的解．这就是说，方程 １７００＋１５０狓＝２４５０ 中未知数狓的值应是５． 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方 程的解（ｓｏｌｕｔｉｏｎ）．  狓＝１０００和狓＝２０００中哪一个是方程０．５２狓－（１－０．５２）狓＝８０的解？ 根据下列问题，设未知数，列出方程： １．环形跑道一周长４００ｍ，沿跑道跑多少周，可以跑３０００ｍ？ ２．甲种铅笔每支０．３元，乙种铅笔每支０．６元，用９元钱买了两种铅笔共２０支， 两种铅笔各买了多少支？ ３．一个梯形的下底比上底多２ｃｍ，高是５ｃｍ，面积是４０ｃｍ２，求上底． ４．用买１０个大水杯的钱，可以买１５个小水杯，大水杯比小水杯的单价多５元， 两种水杯的单价各是多少元？ ４ !"#$%#&#’()１１．１．２ 等式的性质 我们可以直接看出像４狓＝２４，狓＋１＝３这样的简单方程的解，但是仅靠 观察来解比较复杂的方程是困难的．因此，我们还要讨论怎样解方程．方程是 含有未知数的等式，为了讨论解方程，我们先来看看等式有什么性质． 像犿＋狀＝狀＋犿，狓＋２狓＝３狓，３×３＋１＝５×２，３狓＋１＝５狔这样的式子， 都是等式．我们可以用犪＝犫表示一般的等式． 请看图１１．１１，由它你能发现什么规律？ 图１１．１１ 我们可以发现，如果在平衡的天平的两边都加 （或减）同样的量，天平还 保持平衡． 等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质． 等式的性质１ 等式两边加 （或减）同一个数 （或式子），结果仍相等． 如果犪＝犫，那么犪±犮＝犫±犮． 请看图１１．１２，由它你能发现什么规律？ ×3(cid:0) ÷3(cid:0) 图１１．１２ 等式的性质２ 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数，结果仍 相等． 如果犪＝犫，那么犪犮＝犫犮； 犪 犫 如果犪＝犫（犮≠０），那么 ＝ ． 犮 犮 ５ !"#$%#&#’()例２ 利用等式的性质解下列方程： １ （１）狓＋７＝２６； （２）－５狓＝２０； （３）－ 狓－５＝４． ３ 分析：要使方程狓＋７＝２６转化为狓＝犪（常数）的形式，需去掉方程左 边的７，利用等式的性质１，方程两边减７就得出狓的值．你可以类似地考虑另 两个方程如何转化为狓＝犪的形式． 解：（１）两边减７，得 狓＋７－７＝２６－７． 于是 狓＝１９． （２）两边除以－５，得 解以狓为未知数 －５狓 ２０ 的方程，就是把方程 ＝ ． －５ －５ 逐步转化为狓＝犪（常 于是 数）的形式，等式的 狓＝－４． 性质 是 转 化 的 重 要 （３）两边加５，得 依据． １ － 狓－５＋５＝４＋５． ３ 化简，得 １ － 狓＝９． ３ 两边乘－３，得 狓＝－２７． 一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能 否使方程的两边相等．例如， １ 将狓＝－２７代入方程－ 狓－５＝４的左边，得 ３ １ － ×（－２７）－５ ３ ＝９－５＝４． １ 方程的左右两边相等，所以狓＝－２７是方程－ 狓－５＝４的解． ３ ６ !"#$%#&#’()利用等式的性质解下列方程并检验： （１）狓－５＝６； （２）０．３狓＝４５； １ （３）５狓＋４＝０； （４）２－ 狓＝３． ４ 习题１１．１  １．列等式表示： （１）比犪大５的数等于８； （２）犫的三分之一等于９； 第１题是把文字语 （３）狓的２倍与１０的和等于１８； 言 “翻译”成等式． （４）狓的三分之一减狔的差等于６； （５）比犪的３倍大５的数等于犪的４倍； （６）比犫的一半小７的数等于犪与犫的和． ２．列等式表示： （１）加法交换律； （２）乘法交换律； （３）分配律； （４）加法结合律． ３．狓＝３，狓＝０，狓＝－２，各是下列哪个方程的解？ （１）５狓＋７＝７－２狓； （２）６狓－８＝８狓－４； （３）３狓－２＝４＋狓． x-4=29 ４．用等式的性质解下列方程： １ （１）狓－４＝２９； （２） 狓＋２＝６； ２ （３）３狓＋１＝４； （４）４狓－２＝２．  列方程（第５～１０题）． ４ ５．某校七年级１班共有学生４８人，其中女生人数比男生人数的 多３人，这个班有 ５ 男生多少人？ ６．把１４００元奖学金按照两种奖项奖给２２名学生，其中一等奖每人２００元，二等奖 每人５０元．获得一等奖的学生有多少人？ ７ !"#$%#&#’()７．今年上半年某镇居民人均可支配收入为５１０９元，比去年同期增长了８．３％，去年 同期这项收入为多少元？ ８．一辆汽车已行驶了１２０００ｋｍ，计划每月再行驶８００ｋｍ，几个 月后这辆汽车将行驶２０８００ｋｍ？ ９．圆环形状如图所示，它的面积是２００ｃｍ２，外沿大圆的半径 是１０ｃｍ，内沿小圆的半径是多少？ １０．七年级１班全体学生为地震灾区共捐款４２８元，七年级２ 班每个学生捐款１０元，七年级１班所捐款数比七年级２班 少２２元．两班学生人数相同，每班有多少学生？ （第９题）   １１．一个两位数个位上的数是１，十位上的数是狓．把１与狓对调，新两位数比原两 位数小１８，狓应是哪个方程的解？你能想出狓是几吗？   “方程”史话 我们研究许多数学问题时，可以发现其中的未知数不是孤立的，它们与一些已知数之 间有确定的联系，这种联系常常表现为一定的相等关系，把这种关系用数学形式写出来就 是含有未知数的等式，这种等式的数学专有名称是方程． 人们对方程的研究可以上溯到很早以前．公元８２０年左右，中亚细亚的数学家阿尔 花拉子米曾写过一本名叫 《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学 的发展产生了很大影响． 在很长时期内，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们．１７世 纪时，法国数学家笛卡儿最早提出用狓，狔，狕这样的字母表示未知数，把这些字母与普通 数字同样看待，用运算符号和等号将字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式．后来 经过不断的简化改进，方程逐渐演变成现在的表达形式，例如５狓＋７＝１６，狓２－４＝０， ３狓＋４狔＝５等． 中国人对方程的研究有悠久的历史．汉语中 “方程”一词最初源于讨论含多个未知数 的问题，著名中国古代数学著作 《九章算术》大约成书于公元前２００～前５０年，其中有 专门以 “方程”命名的一章，其中以一些实际应用问题为例，给出了列由几个方程组成的 方程组的解题方法．中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有 ８ !"#$%#&#’()使用专门的记法来表示未知数．按照这样的表示法，方程 组被排列成长方形的数字阵，这与现在代数学中的矩阵非 常接近．宋元时期，中国数学家创立了 “天元术”，用 “天元”表示未知数进而建立方程．这种方法的代表作是 数学家李冶写的 《测圆海镜》 （１２４８年），书中所说的 “立天元一”相当于现在的 “设未知数狓”．１８５９年，中国 清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将ｅｑｕａｔｉｏｎ （指含有未知数的等式）一词译为 “方程”，即将含有未知 李善兰 （１８１１—１８８２） 数的一个等式称为方程，而将含有未知数的多个等式的组 合称为方程组，至今一直这样沿用． 随着数学的研究范围不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越重要．从初等数学 中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂不断 地发展．但是，无论方程的类型如何变化，形形色色的方程都是含有未知数的等式，都表 达涉及未知数的相等关系；解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步化归为用已 知数表达的形式．这正是方程的本质所在． ９ !"#$%#&#’()１１．２ 解一元一次方程 （一） ———合并同类项与移项 我们已经知道，直接利用等式的基本性质可以解简单的方程，本节重点讨 论如何利用 “合并同类项”和 “移项”解一元一次方程． 约公元８２０年，中亚细亚数学家阿尔 花拉子米写了一本代数书，重点论 述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为 《对消与还原》．“对消”与 “还原” 是什么意思呢？我们先讨论下面的内容，然后再回答这个问题． 问题１ 某校三年共购买计算机１４０台，去年购买数量是前年的２倍，今 年购买数量又是去年的２倍．前年这个学校购买了多少台计算机？ 设前年购买计算机狓台．可以表示出：去年购买计算机２狓台，今年购买 计算机４狓台．根据问题中的相等关系：前年购买量＋去年购买量＋今年购买 量＝１４０台，列得方程 狓＋２狓＋４狓＝１４０． 把含有狓的项合并同类项，得 ７狓＝１４０． 下面的框图表示了解这个方程的流程： 狓＋２狓＋４狓＝１４０ 回顾本题列方程 的过程，可以发现： ↓合并同类项 “总量＝各部分量的 ７狓＝１４０ 和”是一个基本的相 等关系． ↓系数化为 １ 狓＝２０ 由上可知，前年这个学校购买了２０台计算机． １０ !"#$%#&#’() 书书书 上面解方程中 “合并同类项”起了什么作用？ 例１ 解下列方程： ５ （１）２狓－ 狓＝６－８； （２）７狓－２．５狓＋３狓－１．５狓＝－１５×４－６×３． ２ 解：（１）合并同类项，得 １ － 狓＝－２． ２ 系数化为１，得 狓＝４． （２）合并同类项，得 ６狓＝－７８． 系数化为１，得 狓＝－１３． 例２ 有一列数，按一定规律排列成１，－３，９，－２７，８１，－２４３，…．其 中某三个相邻数的和是－１７０１，这三个数各是多少？ 分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律：后面的数 是它前面的数与－３的乘积．如果三个相邻数中的第１个记为狓，则后两个数 分别是－３狓，９狓． 解：设所求三个数分别是狓，－３狓，９狓． 由三个数的和是－１７０１，得 狓－３狓＋９狓＝－１７０１． 合并同类项，得 知道三个数中 ７狓＝－１７０１． 的某个，就能知道 另两个吗？ 系数化为１，得 狓＝－２４３． 所以 －３狓＝７２９， ９狓＝－２１８７． 答：这三个数是－２４３，７２９，－２１８７． １１ !"#$%#&#’()１．解下列方程： 狓 ３狓 （１）５狓－２狓＝９； （２） ＋ ＝７； ２ ２ （３）－３狓＋０．５狓＝１０； （４）７狓－４．５狓＝２．５×３－５． ２．某工厂的产值连续增长，去年是前年的１．５倍，今年是去年的２倍，这三年的 总产值为５５０万元．前年的产值是多少？ 问题２ 把一些图书分给某班学生阅读，如 果每人分３本，则剩余２０本；如果每人分４本， 这批书的总数 则还缺２５本．这个班有多少学生？ 有几种表示法？它 们之间有什么关 设这个班有狓名学生． 系？本题哪个相等 每人分３本，共分出３狓本，加上剩余的２０ 关系可作为列方程 的依据呢？ 本，这批书共 （３狓＋２０）本． 每人分４本，需要４狓本，减去缺的２５本， 这批书共 （４狓－２５）本． 这批书的总数是一个定值，表示它的两个式 子应相等，根据这一相等关系列得方程 ３狓＋２０＝４狓－２５．  方程３狓＋２０＝４狓－２５的两边都有含狓的项（３狓与４狓）和不含字母的 常数项（２０与－２５），怎样才能使它向狓＝犪（常数）的形式转化呢？ 为了使方程的右边没有含狓的项，等号两边减４狓；为了使左边没有常数 项，等号两边减２０．利用等式的性质１，得 ３狓－４狓＝－２５－２０． 上面方程的变形，相当于把原方程左边的２０变为－２０移到右边，把右边 的４狓变为－４狓移到左边．把某项从等式一边移到另一边时有什么变化？ 像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项． １２ !"#$%#&#’()下面的框图表示了解这个方程的流程． ３狓＋２０＝４狓－２５  移项 ↓ ３狓－４狓＝－２５－２０  合并同类项 回顾本题列方程 ↓ 的过程，可以发现： －狓＝－４５ “表示同一个量的两个  系数化为１ 不同的式子相等”是 ↓ 一个基本的相等关系． 狓＝４５ 由上可知，这个班有４５名学生．  上面解方程中 “移项”起了什么作用？ 解方程时经常要 “合并同类项”和 “移项”，前面提到的古老的代数书中 的 “对消”和 “还原”，指的就是 “合并同类项”和 “移项”．早在一千多年 前，数学家阿尔 花拉子米就已经对 “合并同类项”和 “移项”非常重视了． 例３ 解下列方程： ３ （１）３狓＋７＝３２－２狓； （２）狓－３＝ 狓＋１． ２ 解：（１）移项，得 ３狓＋２狓＝３２－７． 合并同类项，得 ５狓＝２５． 系数化为１，得 狓＝５． （２）移项，得 ３ 狓－ 狓＝１＋３． ２ 合并同类项，得 １ － 狓＝４． ２ １３ !"#$%#&#’()系数化为１，得 狓＝－８． 例４ 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的 最大量还多２００ｔ；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少１００ｔ．新、 旧工艺的废水排量之比为２∶５，两种工艺的废水排量各是多少？ 分析：因为新、旧工艺的废水排量之比为２∶５，所以可设它们分别为２狓ｔ 和５狓ｔ，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程． 解：设新、旧工艺的废水排量分别为２狓ｔ 和５狓ｔ． 等号两边代表哪 个数量？ 根据废水排量与环保限制最大量之间的关 系，得 ５狓－２００＝２狓＋１００． 移项，得 ５狓－２狓＝１００＋２００． 合并同类项，得 ３狓＝３００． 系数化为１，得 狓＝１００． 所以 ２狓＝２００， ５狓＝５００． 答：新、旧工艺产生的废水排量分别为２００ｔ和５００ｔ． １．解下列方程： （１）６狓－７＝４狓－５； １ ３ （２） 狓－６＝ 狓． ２ ４ ２．王芳和李丽同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘８ｋｇ，李丽平均每小时采摘 ７ｋｇ．采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出０．２５ｋｇ给了李丽，这时两人的樱 桃一样多．她们采摘用了多少时间？ １４ !"#$%#&#’()习题１１．２  １．解下列方程： （１）２狓＋３狓＋４狓＝１８； （２）１３狓－１５狓＋狓＝－３； １ ２ ２ （３）２．５狔＋１０狔－６狔＝１５－２１．５； （４） 犫－ 犫＋犫＝ ×６－１． ２ ３ ３ ２．举例说明解方程时怎样 “移项”，你知道这样做的根据吗？ ３．解下列方程： （１）狓＋３狓＝－１６； （２）１６狔－２．５狔－７．５狔＝５； （３）３狓＋５＝４狓＋１； （４）９－３狔＝５狔＋５． ４．用方程解答下列问题： （１）狓的５倍与２的和等于狓的３倍与４的差，求狓； （２）狔与－５的积等于狔与５的和，求狔． ５．小新出生时父亲２８岁，现在父亲的年龄是小新年龄的３倍，求现在小新的年龄． ６．洗衣机厂今年计划生产洗衣机２５５００台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数 量比为１∶２∶１４，计划生产这三种洗衣机各多少台？ ７．用一根长６０ｍ的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的１．５倍，长和宽各应是 多少？  ８．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌节水的 灌溉方式．灌溉三块同样大的实验田，第一块用漫灌方式，第二块用喷灌方式， 第三块用滴灌方式．后两种方式用水量分别是漫灌的２５％和１５％． （１）设第一块实验田用水狓ｔ，则另两块实验田的用水量各如何表示？ （２）如果三块实验田共用水４２０ｔ，每块实验田各用水多少吨？ ９．某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产．它去年１０月生产再生纸２０５０ｔ， 这比它前年１０月再生纸产量的２倍还多１５０ｔ．它前年１０月生产再生纸多少吨？ １０．把一根长１００ｃｍ的木棍锯成两段，要使其中一段长比另一段长的２倍少５ｃｍ， 应该在木棍的哪个位置锯开？ １１．几个人共同种一批树苗，如果每人种１０棵，则剩下６棵树苗未种；如果每人种 １２棵，则缺６棵树苗．求参与种树的人数． １５ !"#$%#&#’()  １２．在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为３０？如果能， 这三个数分别是多少？ １３．一个两位数的个位上的数的３倍加１是十位上的数，个位上的数与十位上的数的 和等于９，这个两位数是多少？    无限循环小数化分数 １ １ 我们知道分数 写为小数形式即０．３·，反过来，无限循环小数０．３·写为分数形式即 ． ３ ３ 一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式吗？如果可以，应怎样写呢？ 先以无限循环小数０．７·为例进行讨论． 设０．７·＝狓，由０．７·＝０．７７７…可知，１０狓＝７．７７７…，所以１０狓－狓＝７．解方程，得狓＝ ７ ７ ．于是，得０．７·＝ ． ９ ９ 想一想：如何把像０．１·，０．２·，…，０．９·这样的无限循环小数化为分数形式？动手试一试． 再以无限循环小数０．７·３·为例，做进一步的讨论． 无限循环小数０．７·３·＝０．７３７３７３…，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如 下的做法． 设０．７·３·＝狓，由０．７·３·＝０．７３７３７３…可知，１００狓＝７３．７３７３…，所以１００狓－狓＝７３． ７３ ７３ 解方程，得狓＝ ．于是，得０．７·３·＝ ． ９９ ９９ 想一想：如何把像０．１·０·，０．１·２·，…，０．９·８·这样的无限循环小数化为分数形式？动手 试一试． 想一想：如何把无限循环小数０．７·３５·，０．８·２３１·化为分数形式？动手试一试，并总结 把无限循环小数化为分数形式的一般规律． １６ !"#$%#&#’()１１．３ 解一元一次方程 （二） ———去括号与去分母 当方程的形式较复杂时，解方程的步骤也相应更多些．本节重点讨论如何 利用 “去括号”和 “去分母”解一元一次方程． 问题１ 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量 减少２０００ｋＷ·ｈ （千瓦·时），全年用电１５万ｋＷ·ｈ．这个工厂去年上半年 每月平均用电是多少？ 设上半年每月平均用电狓ｋＷ·ｈ，则下半年每月平均用电 （狓－２０００）ｋＷ·ｈ； 上半年共用电６狓ｋＷ·ｈ，下半年共用电６（狓－２０００）ｋＷ·ｈ． 根据全年用电１５万ｋＷ·ｈ，列得方程 ６狓＋６（狓－２０００）＝１５００００． 如果去括号，就能简化方程的形式． １ｋＷ·ｈ的电量 即１ｋＷ的电器１ｈ的 下面的框图表示了解这个方程的流程． 用电量． ６狓＋６（狓－２０００）＝１５００００ ↓去括号 ６狓＋６狓－１２０００＝１５００００ ↓移项 ６狓＋６狓＝１５００００＋１２０００ ↓合并同类项 １２狓＝１６２０００  系数化为１ ↓ 狓＝１３５００ 由上可知，这个工厂去年上半年每月平均用电１３５００ｋＷ·ｈ．  本题还有其他列方程的方法吗？用其他方法列出的方程应怎样解？ １７ !"#$%#&#’()方程中有带括号的式子时，去括号是常用的化简步骤． 例１ 解下列方程： （１）２狓－（狓＋１０）＝５狓＋２（狓－１）； （２）３狓－７（狓－１）＝３－２（狓＋３）． 解：（１）去括号，得 ２狓－狓－１０＝５狓＋２狓－２． 移项，得 ２狓－狓－５狓－２狓＝－２＋１０． 合并同类项，得 －６狓＝８． 系数化为１，得 ４ 狓＝－ ． ３ （２）去括号，得 ３狓－７狓＋７＝３－２狓－６． 移项，得 ３狓－７狓＋２狓＝３－６－７． 合并同类项，得 －２狓＝－１０． 系数化为１，得 狓＝５． 例２ 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了２ｈ；从乙码头返回甲码 头逆流而行，用了２．５ｈ．已知水流的速度是３ｋｍ／ｈ，求船在静水中的平均 速度． 分析：一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，由此填空： 顺流速度 顺流时间 逆流速度 逆流时间． 解：设船在静水中的平均速度为狓ｋｍ／ｈ，则顺流速度为（狓＋３）ｋｍ／ｈ，逆 流速度为（狓－３）ｋｍ／ｈ． 根据往返路程相等，列得 ２（狓＋３）＝２．５（狓－３）． １８ !"#$%#&#’()去括号，得 ２狓＋６＝２．５狓－７．５． 移项及合并同类项，得 ０．５狓＝１３．５． 系数化为１，得 狓＝２７． 答：船在静水中的平均速度为２７ｋｍ／ｈ． 解下列方程： （１）２（狓＋３）＝５狓； （２）４狓＋３（２狓－３）＝１２－（狓＋４）； （ ） （ ） １ １ （３）６ 狓－４ ＋２狓＝７－ 狓－１ ； （４）２－３（狓＋１）＝１－２（１＋０．５狓）． ２ ３ 英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文 物———纸草书．这是古代埃及人用象形文字写 在一种用纸莎草压制成的草片上的著作，它于 公元前１７００年左右写成．这部书中记载了许多 有关数学的问题，下面的问题２就是书中一道 著名的求未知数的问题． 问题２ 一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加 起来总共是３３． 这个问题可以用现在的数学符号表示．设这个数是狓，根据题意得方程 ２ １ １ 狓＋ 狓＋ 狓＋狓＝３３． ３ ２ ７ 当时的埃及人如果采用了这种形式，它一定是 “最早”的方程． 这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，则可 以使解方程中的计算更简便些． 我们知道，等式两边乘同一个数，结果仍相等．这个方程中各分母的最小 公倍数是４２，方程两边乘４２，得 ２ １ １ ４２× 狓＋４２× 狓＋４２× 狓＋４２狓＝４２×３３， ３ ２ ７ １９ !"#$%#&#’()即 ２８狓＋２１狓＋６狓＋４２狓＝１３８６． 合并同类项，得 ９７狓＝１３８６． 系数化为１，得 １３８６ 狓＝ ． ９７ ３狓＋１ ３狓－２ ２狓＋３ 为更全面地讨论问题，我们再以方程 －２＝ － 为例，看 ２ １０ ５ 看解有分数系数的一元一次方程的步骤． 这个方程中各分母的最小公倍数是１０，方程两边乘１０，于是方程左边变为 （３狓＋１ ） ３狓＋１ １０× －２ ＝１０× －１０×２＝５（３狓＋１）－１０×２， ２ ２ 去了分母，方程右边变为什么？你具体算算． 下面的框图表示了解这个方程的流程． ３狓＋１ ３狓－２ ２狓＋３ －２＝ － ２ １０ ５  方程两边的每一 去分母 （方程两边乘  各分母的最小公倍数） 项都要乘１０． ↓ ５（３狓＋１）－１０×２＝（３狓－２）－２（２狓＋３）   去括号 ↓ １５狓＋５－２０＝３狓－２－４狓－６   移项 ↓ １５狓－３狓＋４狓＝－２－６－５＋２０   合并同类项 ↓ １６狓＝７   系数化为１ ↓ ７ 狓＝ １６ ２０ !"#$%#&#’() 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类 项、系数化为１等．通过这些步骤可以使以狓为未知数的方程逐步向着 狓＝犪的形式转化，这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等． 例３ 解下列方程： 狓＋１ ２－狓 狓－１ ２狓－１ （１） －１＝２＋ ； （２）３狓＋ ＝３－ ． ２ ４ ２ ３ 解：（１）去分母 （方程两边乘４），得 ２（狓＋１）－４＝８＋（２－狓）． 去括号，得 ２狓＋２－４＝８＋２－狓． 移项，得 ２狓＋狓＝８＋２－２＋４． 合并同类项，得 ３狓＝１２． 系数化为１，得 狓＝４． （２）去分母 （方程两边乘６），得 １８狓＋３（狓－１）＝１８－２（２狓－１）． 去括号，得 １８狓＋３狓－３＝１８－４狓＋２． 移项，得 １８狓＋３狓＋４狓＝１８＋２＋３． 合并同类项，得 ２５狓＝２３． 系数化为１，得 ２３ 狓＝ ． ２５ ２１ !"#$%#&#’()在本章第一个问题中，我们根据路程、速度和时间三者的关系，列出方程 狓 狓 － ＝１．现在你一定会解它了．去分母 （方程两边乘４２０），得７狓－６狓＝ ６０ ７０ ４２０，狓＝４２０．于是得出两地间的路程为４２０ｋｍ． 解下列方程： １９ ２１ 狓＋１ 狓 （１） 狓＝ （狓－２）； （２） －２＝ ； １００ １００ ２ ４ ５狓－１ ３狓＋１ ２－狓 ３狓＋２ ２狓－１ ２狓＋１ （３） ＝ － ； （４） －１＝ － ． ４ ２ ３ ２ ４ ５ 习题１１．３  １．解下列方程： （１）５犪＋（２－４犪）＝０； （２）２５犫－（犫－５）＝２９； （３）７狓＋２（３狓－３）＝２０； （４）８狔－３（３狔＋２）＝６． ２．解下列方程： （１）２（狓＋８）＝３（狓－１）； （２）８狓＝－２（狓＋４）； ２ （３）２狓－ （狓＋３）＝－狓＋３； （４）２（１０－０．５狔）＝－（１．５狔＋２）． ３ ３．解下列方程： ３狓＋５ ２狓－１ 狓－３ ３狓＋４ （１） ＝ ； （２） ＝ ； ２ ３ －５ １５ ３狔－１ ５狔－７ ５狔＋４ 狔－１ ５狔－５ （３） －１＝ ； （４） ＋ ＝２－ ． ４ ６ ３ ４ １２ ４．用方程解答下列问题： （１）狓与４之和的１．２倍等于狓与１４之差的３．６倍，求狓； （２）狔的３倍与１．５之和的二分之一等于狔与１之差的四分之一，求狔．  ５．张华和李明登一座山，张华每分登高１０ｍ，并且先出发３０ｍｉｎ（分），李明每分登高 １５ｍ，两人同时登上山顶．设张华登山用了狓ｍｉｎ，如何用含狓的式子表示李明登山 所用时间？试用方程求狓的值，由狓的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ ２２ !"#$%#&#’()６．两辆汽车从相距８４ｋｍ的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快 ２０ｋｍ／ｈ，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？ ７．在风速为２４ｋｍ／ｈ的条件下，一架飞机顺风从Ａ机场飞到Ｂ机场要用２．８ｈ，它 逆风飞行同样的航线要用３ｈ．求：（１）无风时这架飞机在这一航线的平均航速； （２）两机场之间的航程． ８．买两种布料共１３８ｍ，花了５４０元．其中蓝布料每米３元，黑布料每米５元，两种 布料各买了多少米？   ９．有一些相同的房间需要粉刷墙面．一天３名一级技工去粉刷８个房间，结果其中 有５０ｍ２ 墙面未来得及粉刷；同样时间内５名二级技工粉刷了１０个房间之外，还 多粉刷了另外的４０ｍ２ 墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷１０ｍ２ 墙面， 求每个房间需要粉刷的墙面面积． １０．王力骑自行车从Ａ地到Ｂ地，陈平骑自行车从Ｂ地到Ａ地，两人都沿同一公路匀 速前进，已知两人在上午８时同时出发，到上午１０时，两人还相距３６ｋｍ，到中 午１２时，两人又相距３６ｋｍ．求Ａ，Ｂ两地间的路程． １１．一列火车匀速行驶，经过一条长３００ｍ的隧道需要２０ｓ的时间．隧道的顶上有 一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是１０ｓ． （１）设火车的长度为狓ｍ，用含狓的式子表示：从车头经过灯下到车尾经过灯 下火车所走的路程和这段时间内火车的平均速度． （２）设火车的长度为狓ｍ，用含狓的式子表示：从车头进入隧道到车尾离开隧 道火车所走的路程和这段时间内火车的平均速度． （３）上述问题中火车的平均速度发生了变化吗？ （４）求这列火车的长度． ２３ !"#$%#&#’() 书书书１１．４ 一元一次方程与实际问题 从前面的讨论中已经可以看出，方程是分析和解决问题的一种很有用的数 学工具．本节我们重点讨论如何用一元一次方程解决实际问题． 例１ 某车间有２２名工人，每人每天可以生产１２００个螺柱或２０００个螺 母．１个螺柱需要配２个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排 生产螺柱和螺母的工人各多少名？ 分析：每天生产的螺母数量是螺柱数量的２倍时，它们刚好配套． 解：设应安排狓名工人生产螺柱，（２２－狓） 名工人生产螺母． 如果设狓名工人生 产螺母，怎样列方程？ 根据螺母数量应是螺柱数量的２倍，列出 方程 ２０００（２２－狓）＝２×１２００狓． 解方程，得 这类问题中配套 ５（２２－狓）＝６狓， 的物品之间具有一定 １１０－５狓＝６狓， 的数量关系，这可以 １１狓＝１１０， 作为列方程的依据． 狓＝１０． ２２－狓＝１２． 答：应安排１０名工人生产螺柱，１２名工人 生产螺母． 例２ 整理一批图书，由一个人做要４０ｈ完成．现计划由一部分人先做 ４ｈ，然后增加２人与他们一起做８ｈ，完成这项工作．假设这些人的工作效率 相同，具体应先安排多少人工作？ 分析：如果把总工作量设为１，则人均效率 （一个人１ｈ完成的工作量） １ ４狓 为 ，狓人先做４ｈ完成的工作量为 ，增加２人后再做８ｈ完成的工作量为 ４０ ４０ ８（狓＋２） ，这两个工作量之和应等于总工作量． ４０ ２４ !"#$%#&#’() 书书书解：设安排狓人先做４ｈ． 根据先后两个时段的工作量之和应等于总工 作量，列出方程 ４狓 ８（狓＋２） ＋ ＝１． ４０ ４０ 解方程，得 这类问题中常常 把总工作量看作１，并 ４狓＋８（狓＋２）＝４０， 利用 “工作量＝人均 ４狓＋８狓＋１６＝４０， 效率×人数×时间” １２狓＝２４， 的关系考虑问题． 狓＝２． 答：应安排２人先做４ｈ．  用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：  
          



x a 这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数，列方 程，解方程，检验所得结果，确定答案．正确分析问题中的相等关系是列 方程的基础． １．一套仪器由一个Ａ部件和三个Ｂ部件构成．用１ｍ３ 钢材可做４０个Ａ部件或 ２４０个Ｂ部件．现要用６ｍ３ 钢材制作这种仪器，应用多少钢材做Ａ部件，多少 钢材做Ｂ部件，恰好配成这种仪器多少套？ ２．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要１２天，由乙工程队单独铺设需要２４天． 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？ ２５ !"#$%#&#’()有些实际问题中，数量关系比较隐蔽，需要仔细分析才能列出方程．下面 我们进一步探究几个这样的问题．  销售中的盈亏 一商店在某一时间以每件６０元的价格卖出 两件衣服，其中一件盈利２５％，另一件亏损 ２５％，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或 ￥60 是不盈不亏？ 分析：两件衣服共卖了１２０（＝６０×２）元，是 盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时花了多少 钱．如果进价大于售价就亏损，反之就盈利． 先大体估算盈亏， 再通过准确计算检验 假设一件商品的进价是４０元，如果卖出后盈 你的判断． 利２５％，那么商品利润是４０×２５％元；如果卖出 后亏损２５％，商品利润是４０×（－２５％）元． 本问题中，设盈利２５％的那件衣服的进价是狓元，它的商品利润就是 ０．２５狓元．根据进价与利润的和等于售价，列出方程 狓＋０．２５狓＝６０． 由此得 狓＝４８． 类似地，可以设另一件衣服的进价为狔元，它的商品利润是－０．２５狔元， 列出方程 狔－０．２５狔＝６０． 由此得 狔＝８０． 两件衣服的进价是狓＋狔＝１２８元，而两件衣服的售价是６０＋６０＝１２０元， 进价大于售价，由此可知卖这两件衣服总共亏损８元． 列、解方程后得出的结论与你先前的估算一致吗？通过对本题的探究，你 对方程在实际问题中的应用有什么新的认识？ ２６ !"#$%#&#’() 球赛积分表问题 某次篮球联赛积分榜 队 名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 １４ １０ ４ ２４ 东方 １４ １０ ４ ２４ 光明 １４ ９ ５ ２３ 蓝天 １４ ９ ５ ２３ 雄鹰 １４ ７ ７ ２１ 远大 １４ ７ ７ ２１ 卫星 １４ ４ １０ １８ 钢铁 １４ ０ １４ １４ （１）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系； （２）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 分析：观察积分榜，从最下面一行数据可以 通过观察积分 看出：负一场积１分． 表，你能选择出其 设胜一场积狓分，从表中其他任何一行可以 中哪一行最能说明 列方程，求出狓的值．例如，从第一行得方程 负一场积几分吗？ １０狓＋１×４＝２４． 由此得 狓＝２． 用积分榜中其他行可以验证，得出结论：负一场积１分，胜一场积２分． （１）如果一个队胜犿场，则负（１４－犿）场，胜场积分为２犿，负场积分为 １４－犿，总积分为 ２犿＋（１４－犿）＝犿＋１４． （２）设一个队胜了狓场，则负了（１４－狓）场．如果这个队的胜场总积分等于 负场总积分，则得方程 ２狓＝１４－狓． 由此得 １４ 狓＝ ． ３ ２７ !"#$%#&#’()想一想，狓表示什么量？它可以是分数吗？由此 你能得出什么结论？ 解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符 这个问题说明：利 用方程不仅能求具体数 合实际．狓（所胜的场数）的值必须是整数，所以 值，而且可以进行推理 １４ 狓＝ 不符合实际，由此可以判定没有哪个队的胜 判断． ３ 场总积分等于负场总积分． 上面的问题说明，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否 正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义．  电话计费问题 下表中有两种移动电话计费方式． 月使用 主叫限定 主 叫 超 时 被叫 费／元 时间／ｍｉｎ 费／（元／ｍｉｎ） 方式一 ５８ １５０ ０．２５ 免费 方式二 ８８ ３５０ ０．１９ 免费 考虑下列问题： （１）设一个月内用移动电话主叫为狋ｍｉｎ （狋 是正整数）．根据上表，列表说明：当狋在不同时 月使用费固定收； 间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费． 主叫不超限定时间不再 （２）观察你的列表，你能从中发现如何根据 收费，主叫超时部分加 主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证 收超时费；被叫免费． 你的看法． 分析：（１）由上表可知，计费与主叫时间相关，计费时首先要看主叫是否 超过限定时间．因此，考虑狋的取值时，两个主叫限定时间１５０ｍｉｎ和３５０ｍｉｎ 是不同时间范围的划分点． 当狋在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下页表： ２８ !"#$%#&#’()主叫时间狋／ｍｉｎ 方式一计费／元 方式二计费／元 狋小于１５０ ５８ ８８ 狋＝１５０ ５８ ８８ 狋大于１５０且小于３５０ ５８＋０．２５（狋－１５０） ８８ 狋＝３５０ ５８＋０．２５（３５０－１５０）＝１０８ ８８ 狋大于３５０ ５８＋０．２５（狋－１５０） ８８＋０．１９（狋－３５０） （２）观察 （１）中的表，可以发现：主叫时间超出限定时间越长，计费越 多，并且随着主叫时间的变化，按哪种方式的计费少也会变化．下面比较不同 时间范围内方式一和方式二的计费情况． ①当狋小于或等于１５０时，按方式一的计费少． ②当狋从１５０增加到３５０时，按方式一的计费由５８元增加到１０８元，而 按方式二的计费一直是８８元．因此，当狋大于１５０并且小于３５０时，可能在某 主叫时间按方式一和方式二的计费相等．列方程 ５８＋０．２５（狋－１５０）＝８８， 解得 狋＝２７０． 因此，如果主叫时间恰是２７０ｍｉｎ，按两种方式的计费相等，都是８８元； 如果主叫时间大于１５０ｍｉｎ且小于２７０ｍｉｎ，按方式一的计费少于按方式二的 计费 （８８元）；如果主叫时间大于２７０ｍｉｎ且小于３５０ｍｉｎ，按方式一的计费 多于按方式二的计费 （８８元）． ③当狋＝３５０时，按方式二的计费少． 当狋大于３５０ ④当狋大于３５０时，可以看出，按方式一的 时，按方式一的计费 ５８＋０．２５（狋－１５０）可 计费为１０８元加上超过３５０ｍｉｎ部分的超时费 变形为１０８＋０．２５狋（－ （０．２５（狋－３５０）），按方式二的计费为８８元加上 ３５０）．对比按方式二 超过３５０ｍｉｎ部分的超时费 （０．１９（狋－３５０）），按 的计费，你能说明此 方式二的计费少． 时按哪种方式的计费 综合以上的分析，可以发现： 少吗？ 时，选择方案一省钱； 时，选择方案二省钱． 选一些具体数字，通过计算验证你的发现是否正确． ２９ !"#$%#&#’()１．某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少１０元，而它们的售后利润额 相同．其中，每个小书包的盈利率为３０％，每个大书包的盈利率为２０％，试求 两种书包的进价． ２．用Ａ４纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过２０时，每页收费０．１２元；复 印页数超过２０时，超过部分每页收费降为０．０９元．在某图书馆复印同样的文 件，不论复印多少页，每页收费０．１元．复印张数为多少时，两处的收费相同？ ３．下表是某校七～九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴 趣小组每次活动时间相同． 课外小组活动 文艺小组 科技小组 总时间／ｈ 活动次数 活动次数 七年级 １２．５ ４ ３ 八年级 １０．５ ３ ３ 九年级 ７ 请将九年级课外兴趣小组活动次数填入上表． 习题１１．４  １．结合本节内容体会例２后归纳的框图． ２．制作一张桌子要用一个桌面和４条桌腿，１ｍ３ 木材可制作２０个桌面，或者制作 ４００条桌腿，现有１２ｍ３ 木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？ ３．某车间每天能制作甲种零件５００只，或者制作乙种零件２５０只，甲、乙两种零件 各一只配成一套产品，现要在３０天内制作最多的成套产品，则甲、乙两种零件各 应制作多少天？ ４．某中学的学生自己动手整修操场，如果让七年级学生单独工作，需要７．５ｈ完成； 如果让八年级学生单独工作，需要５ｈ完成．如果让七、八年级学生一起工作１ｈ， 再由八年级学生单独完成剩余部分，共需多少时间完成？ ５．整理一批数据，由一人做需８０ｈ完成．现在计划先由一些人做２ｈ，再增加５人 ３０ !"#$%#&#’()３ 做８ｈ，完成这项工作的 ．怎样安排参与整理数据的具体人数？ ４  ６． （古代问题）某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和１０枚银币，但他干满７ 个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和２枚银币．这件衣服值多 少枚银币？ ７．用Ａ型和Ｂ型机器生产同样的产品，已知５台Ａ型机器一天的产品装满８箱后还 剩４个，７台Ｂ型机器一天的产品装满１１箱后还剩１个，每台Ａ型机器比Ｂ型机 器一天多生产１个产品，求每箱装多少个产品． ８．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据． 时间／ｍｉｎ ０ ５ １０ １５ ２０ ２５ 温度／℃ １０ ２５ ４０ ５５ ７０ ８５ （１）如果温度的变化是均匀的，２１ｍｉｎ时的温度是多少？ （２）什么时间的温度是３４℃？ ９．某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装２块大月饼和４块小月饼．制作 １块大月饼要用０．０５ｋｇ面粉，１块小月饼要用０．０２ｋｇ面粉．现共有面粉４５００ｋｇ， 制作两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼？ １０．小刚和小强从Ａ，Ｂ两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相 向匀速而行．出发后２ｈ两人相遇．相遇时小刚比小强多行进２４ｋｍ，相遇后 ０．５ｈ小刚到达Ｂ地．两人的行进速度分别是多少？相遇后经过多少时间小强到 达Ａ地？   １１．现对某商品降价２０％促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时 增加百分之几？ １２．甲组的４名工人３月份完成的总工作量比此月人均定额的４倍多２０件，乙组的５ 名工人３月份完成的总工作量比此月人均定额的６倍少２０件． （１）如果两组工人实际完成的此月人均工作量相等，那么此月人均定额是多 少件？ （２）如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多２件，那么此月人均定 额是多少件？ （３）如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的少２件，那么此月人均定 额是多少件？ ３１ !"#$%#&#’()１３． （古代问题）希腊数学家丢番图的墓碑上记载着： “他生命的六分之一是幸福的童年； 再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细 的胡须； 他结了婚，又度过了一生的七分之一； 再过五年，他有了儿子，感到很幸福； 可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半； 儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与 丢番图 （公元３～４世纪） 世长辞了．” 根据以上信息，请你算出： （１）丢番图的寿命； （２）丢番图开始当爸爸时的年龄； （３）儿子死时丢番图的年龄． ３２ !"#$%#&#’()   

统计资料表明，山水市去年居民的人均可支配收入为１１６６４元，与 前年相比增长８％，扣除价格因素，实际增长６．５％． 你理解资料中有关数据的含义吗？如果不明白，请通过查阅资料或请教 他人弄懂它们．根据上面的数据，你能用一元一次方程解决下面的问题吗？ （１）山水市前年居民的人均收入为多少元？ （２）在山水市，如果去年售价为１０００元的商品的价格上涨率与居民 消费价格上涨率一致，那么该商品在前年的售价为多少元？ 继续收集一些数据，利用它们之间的关系再计算出一些新数据． 

用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验： （１）在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆 的支点； （２）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡； （３）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移 动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离； （４）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移 动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离； （５）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录． 根据记录你能发现什么规律？ 如图，在木杆右端挂一重物，支点左边挂狀个重物，并使左右平衡． 设木杆长为犾ｃｍ，支点在木杆中点处，支点到木杆左边挂重物处的距离 为狓ｃｍ，把狀，犾作为已知数，列出关于狓的一元一次方程． x l ３３ !"#$%#&#’()小 结 一、本章知识结构图                           x=a 二、回顾与思考 方程是一种重要的描述现实世界的数学模型．本章中，通过一些实际问题， 我们学习了最基本的方程———一元一次方程，为进一步学习方程打下了基础． 方程是含有未知数的等式，解方程就是求出方程中的未知数．解方程的过程 是使方程形式逐步化简，最终得出未知数的值 （如狓＝犪（已知数））．在此过程 中，化归的思想方法起了重要作用，而等式的性质及运算律是化归的根据． 利用方程解决实际问题，应认真分析其中的数量关系，关键是要找出相等 关系，由此设未知数、列方程，从而把实际问题转化为数学问题；然后通过解 方程获得数学结论；最后用数学结论解释实际问题．这是一个 “实际问题——— 数学问题———实际问题”的过程，今后，我们将在不断经历这一过程中，提高 应用数学解决实际问题的能力． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．举例说明方程与等式的关系以及一元一次方程的特征． ２．回顾解一元一次方程的一般步骤，结合例子体会：解关于狓的方程， 就是运用等式性质和运算律，根据方程的具体特点，通过灵活变形将方程逐步 化简，最后变为狓＝犪（已知数）而得解． ３．你能举例说明用字母表示数、列含字母的算式和列方程的区别和联 ３４ !"#$%#&#’()系吗？ ４．用方程解决实际问题，是把实际问题转化为数学问题 （方程）的过程， 其中要特别关注从实际问题中分析出关键性的相等关系．你能举例对此加以解 释吗？ ５．请收集一些重要问题 （例如气候、节能、经济等）的有关数据，经过 分析后编出可以利用一元一次方程解决的问题，并正确地表述问题及其解决 过程． 复习题１１  １．列方程表示下列语句所表示的相等关系： ２ （１）某地２０１１年９月６日的温差是１０℃，这天最高气温是狋℃，最低气温是 狋℃； ３ （２）七年级学生人数为狀，其中男生占４５％，女生有１１０人； （３）一种商品每件的进价为犪元，售价为进价的１．１倍，现每件又降价１０元，现 售价为每件２１０元； （４）在５天中，小华共植树６０棵，小明共植树狓（狓＜６０）棵，平均每天小华比小 明多种２棵树． ２．解下列方程： ４ １１ （１） －８狓＝３－ 狓； （２）０．５狓－０．７＝６．５－１．３狓； ３ ２ １ ２ １－２狓 ３狓＋１ （３） （３狓－６）＝ 狓－３； （４） ＝ －３． ６ ５ ３ ７ ３．当狓为何值时，下列各组中两个式子的值相等？ 狓－１ 狓＋３ （１）狓－ 和７－ ； ３ ５ ２ 狓－１ ３（狓－１） ８ （２） 狓＋ 和 － 狓． ５ ２ ２ ５ １ ４．在梯形面积公式犛＝ （犪＋犫）犺中， ２ （１）已知犛＝３０，犪＝６，犺＝４，求犫； （２）已知犛＝６０，犫＝４，犺＝１２，求犪； ５ （３）已知犛＝５０，犪＝６，犫＝ 犪，求犺． ３ ３５ !"#$%#&#’() ５． （我国古代问题）?跑得快的马每天走２４０里，跑得慢的马每天走１５０里．慢马先 走１２天，快马几天可以追上慢马？ ６．运动场的跑道一圈长４００ｍ．小健练习骑自行车，平均每分骑３５０ｍ；小康练习跑 步，平均每分跑２５０ｍ．两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇？ 又经过多少时间再次相遇？ ７．有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住６只鸽子，则剩余３只鸽子无鸽笼可住； 如果再飞来５只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住８只鸽子．原有多少只鸽 子和多少个鸽笼？ ８．父亲和女儿的年龄之和是９１，当父亲的年龄是女儿现在年龄的２倍的时候，女儿的 １ 年龄是父亲现在年龄的 ，求女儿现在的年龄． ３   ９．某电视台组织知识竞赛，共设２０道选择 参赛者 答对题数 答错题数 得分 题，各题分值相同，每题必答．右表记 Ａ ２０ ０ １００ 录了５个参赛者的得分情况． Ｂ １９ １ ９４ （１）参赛者Ｆ得７６分，他答对了几道题？ Ｃ １８ ２ ８８ （２）参赛者Ｇ说他得８０分，你认为可 Ｄ １４ ６ ６４ 能吗？为什么？ Ｅ １０ １０ ４０ １０．一家游泳馆每年６～８月出售夏季会员证，每张会员证８０元，只限本人使用，凭 证购入场券每张１元，不凭证购入场券每张３元．试讨论并回答： （１）什么情况下，购会员证与不购证付一样的钱？ （２）什么情况下，购会员证比不购证更合算？ （３）什么情况下，不购会员证比购证更合算？ １１． “丰收１号”油菜籽的平均每公顷产量为２４００ｋｇ，含油率为４０％．“丰收２号” 油菜籽比 “丰收１号”的平均每公顷产量提高了３００ｋｇ，含油率提高了１０个百 分点．某村去年种植 “丰收１号”油菜，今年改种 “丰收２号”油菜，虽然种植 面积比去年减少３ｈｍ２，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高３７５０ｋｇ．这个 村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？ ? 这道题选自我国元朝朱世杰所著的 《算学启蒙》（１２９９年）．原题是：“良马日行二百四十 里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．答曰：二十日．”题中的 “里” 是我国市制长度单位，１里＝５００ｍ． ３６ !"#$%#&#’()第十二章 相交线与平行线 同学们对两条直线相交、平行一定不陌生吧！ 纵横交错的道路，棋盘中的横线和竖线，操场上 的双杠，教室中的课桌面、黑板面相邻的两条边 与相对的两条边……都给我们以相交线或平行线 的形象．你能再举出一些相交线和平行线的实 例吗？ 第九章我们认识了几何图形，并学习了一些 基本的平面图形———直线、射线、线段和角．本章 将研究平面内不重合的两条直线的位置关系：相 交与平行．对于相交，我们要研究两条直线相交所 成的角的位置关系和数量关系；对于平行，我们 要借助于一条直线与另外两条直线相交所成的角， 研究平行线的判定和性质．在此基础上，再学习平 移的有关知识．本章我们还将学习通过简单的推理 得出数学结论的方法，培养言之有据的思考习惯． 书书书１２．１ 相交线 １２．１．１ 相交线 如图１２．１１，观察剪刀剪开布片过程中有关 角的变化．可以发现，握紧剪刀的把手时，随着两 个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相 应变小，直到剪开布片．如果把剪刀的构造看作两 条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的 角的问题． 图１２．１１  任意画两条相交的 直 线，形 成 四 个 角 C(cid:0) B(cid:0) （图１２．１２），∠１和∠２有怎样的位置关系？ 2(cid:0)O(cid:0) 1(cid:0) 3(cid:0) ∠１和∠３呢？ 4(cid:0) A(cid:0) D(cid:0) 分别量一下各个角的度数，∠１和∠２的度 图１２．１２ 数有什么关系？∠１和∠３呢？在图１２．１１剪刀 把手之间的角变化的过程中，这个关系还保持 吗？为什么？ ∠１和∠２有一条公共边犗犆，它们的另一边互为 反向延长线 （∠１和∠２互补），具有这种关系的两个 图１２．１２中 角，互为邻补角（ａｄｊａｃｅｎｔａｎｇｌｅｓｏｎａｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅ）． 还有没有其他的 邻补角与对顶角？ ∠１和∠３有一个公共顶点犗，并且∠１的两 边分别是∠３的两边的反向延长线，具有这种位置 关系的两个角，互为对顶角 （ｏｐｐｏｓｉｔｅａｎｇｌｅｓ）． 在图１２．１２中，∠１与∠２互补，∠３与∠２互 补，由 “同角的补角相等”，可以得出∠１＝∠３．类似 地，∠２＝∠４．这样，我们得到对顶角的性质： 对顶角相等． ３８ !"*$%+,-./0-上面推出 “对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面的形式： 因为 ∠１与∠２互补，∠３与∠２互补 （邻补角的定义）， 所以 ∠１＝∠３ （同角的补角相等）． 例１ 如图１２．１３，直线犪，犫相交，∠１＝４０°， b(cid:0) 求∠２，∠３，∠４的度数． 2(cid:0) 解：由邻补角的定义，得 1(cid:0) a(cid:0) 3(cid:0) 4(cid:0) ∠２＝１８０°－∠１＝１８０°－４０°＝１４０°； 由对顶角相等，得 图１２．１３ ∠３＝∠１＝４０°， ∠４＝∠２＝１４０°． 如图，取两根木条犪，犫，将它们钉在一起，并把它们想象成两 b 条直线，就得到一个相交线的模型．你能说出其中的一些邻补 α a 角与对顶角吗？两根木条所成的角中，如果∠α＝３５°，其他三 个角各等于多少度？如果∠α等于９０°，１１５°，犿°呢？ １２．１．２ 垂线 在相交线的模型（上面练习插图）中，固定木条犪，转动木条犫．当犫的位 置变化时，犪，犫所成的∠α也会发生变化．当 ∠α＝９０°时 （图１２．１４），我们 说犪与犫互相垂直 （ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ），记作犪⊥犫． A(cid:0) b A(cid:0) C(cid:0) α a C(cid:0) O(cid:0) D(cid:0) O(cid:0) b D(cid:0) B(cid:0) B(cid:0) 图１２．１４ 图１２．１５ 垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另 一条直线的垂线 （ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｌｉｎｅ），它们的交点叫做垂足 （ｆｏｏｔｏｆａｐｅｒ ｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ）．在图１２．１５中，犃犅⊥犆犇，垂足为犗． ３９ !"*$%+,-./0-根据两条直线垂直的定义可知，如果两条直 线相交所成的四个角中的任意一个角等于９０°， 那么这两条直线垂直．图１２．１５中，如果直线 反过来，如果 犃犅，犆犇相交于点犗，∠犃犗犆＝９０°，那么犃犅⊥ 犃犅⊥犆犇，那么 犆犇．这个推理过程可以写成下面的形式： ∠犃犗犆是多少度？ 因为 ∠犃犗犆＝９０°， 所以 犃犅⊥犆犇 （垂直的定义）． 日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常 见，说出图１２．１６中的一些互相垂直的木条．你 能再举出其他例子吗？ 图１２．１６  如图１２．１７． （１）用三角尺或量角器画已知直线犾的垂线，这样的垂线能画出几条？ （２）经过直线犾上一点犃画犾的垂线，这样的垂线能画出几条？ （３）经过直线犾外一点犅画犾的垂线，这样的垂线能画出几条？ B A l l 图１２．１７ ４０ !"*$%+,-./0-经过一点 （已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只 能画出一条垂线．即 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． １．当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？ ２．画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．如图，请你过点犘画 出射线犃犅或线段犃犅的垂线． P(cid:0) P(cid:0) B(cid:0) A(cid:0) B(cid:0) A(cid:0) P(cid:0) B(cid:0) A(cid:0) （１） （２） （３） （第２题）  如图１２．１８，在灌溉时，要把河中的水引 P 到农田犘处，如何挖渠能使渠道最短？ 图１２．１８  如图１２．１９，连接直线犾外一点犘与直 线犾上各点犗，犃，犃，犃，…，其中犘犗⊥犾 P １ ２ ３ （我们称犘犗为点犘到直线犾的垂线段）．比较 线段犘犗，犘犃，犘犃，犘犃，…的长短，这 １ ２ ３ 些线段中，哪一条最短？ … A4 A3 A2A1O l 图１２．１９ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． ４１ !"#$%&’()*+(现在，你知道水渠该怎么挖了吗？在图１２．１８中画出来．如果图中比例 尺为１∶１０００００，水渠大约要挖多长？ 如图，三角形犃犅犆中，∠犆＝９０°． A （１）分别指出点犃到直线犅犆，点犅到直线犃犆的距 离是哪些线段的长； （２）三条边犃犅，犃犆，犅犆中哪条边最长？为什么？ C B １２．１．３ 同位角、内错角、同旁内角 前面我们研究了一条直线与另一条直线相交 E 的情形，接下来，我们进一步研究一条直线与两 1 2 A B 条直线分别相交的情形． 3 4 如图１２．１１０，直线犃犅，犆犇与犈犉相交 6 5 D 8 C 7 （也可以说两条直线犃犅，犆犇被第三条直线犈犉 F 所截），构成八个角．我们看那些没有公共顶点的 图１２．１１０ 两个角的关系． 先看图中的∠１和∠５，这两个角分别在直线 ∠２和∠６是同 犃犅，犆犇的同一方 （上方），并且都在直线犈犉 位角吗？图中还有 没有其他的同位角？ 的同侧 （右侧），具有这种位置关系的一对角叫做 若有，标记出它们． 同位角 （ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｎｇｌｅｓ）． 再看∠３和∠５，这两个角都在直线犃犅，犆犇 之间，并且分别在直线犈犉两侧 （∠３在直线犈犉 图中还有没有 左侧，∠５在直线犈犉右侧），具有这种位置关系 其他的内错角与同 的一对角叫做内错角 （ａｌｔｅｒｎａｔｅｉｎｔｅｒｉｏｒａｎｇｌｅｓ）． 旁内角？若有，标 图中∠３和∠６也都在直线犃犅，犆犇之间，但它 记出它们． 们在直线犈犉的同一旁 （左侧），具有这种位置关 系的一对角叫做同旁内角 （ｉｎｔｅｒｉｏｒａｎｇｌｅｓｏｎｔｈｅ ｓａｍｅｓｉｄｅ）． ４２ !"#$%&’()*+( 书书书例２ 如图１２．１１１，直线犇犈，犅犆被直线 A 犃犅所截． D 4 E （１）∠１和∠２，∠１和∠３，∠１和∠４各是 2 3 什么位置关系的角？ 1 B C （２）如果∠１＝∠４，那么∠１和∠２相等吗？ 图１２．１１１ ∠１和∠３互补吗？为什么？ 答：（１）∠１和∠２是内错角，∠１和∠３是同旁内角，∠１和∠４是同位角． （２）如果∠１＝∠４，由对顶角相等，得∠２＝∠４，那么∠１＝∠２． 因为∠４和∠３互补，即∠４＋∠３＝１８０°，又因为∠１＝∠４，所以∠１＋ ∠３＝１８０°，即∠１和∠３互补． １．分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角． a b 7 a b 5 D A E 1 3 6 8 c 2 4 1 2 3 4 c B C （１） （２） （第１题） （第２题） ２．如图，∠犅与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线 被哪一条直线所截形成的？对∠犆进行同样的讨论． 习题１２．１  １．下列各图中，∠１和∠２是不是对顶角？ 1 1 1 2 2 1 2 2 （１） （２） （３） （４） （第１题） ４３ !"*$%+,-./0-２．如图，直线犃犅，犆犇，犈犉相交于点犗． （１）写出∠犃犗犆，∠犅犗犈的邻补角； （２）写出∠犇犗犃，∠犈犗犆的对顶角； （３）如果∠犃犗犆＝５０°，求∠犅犗犇，∠犆犗犅的度数． D B E C D A A O B F O C （第２题） （第３题） ３．找出图中互相垂直的线段，并用三角尺检验． ４．如图，在一张半透明的纸上画一条直线犾，在犾上任取一点犘，在犾外任取一点 犙，折出过点犘且与犾垂直的直线．这样的直线能折出几条？为什么？过点犙呢？ E C B O l P A D （第４题） （第５题） ５．如图，直线犃犅，犆犇相交于点犗，犈犗⊥犃犅，垂足为犗，∠犈犗犆＝３５°．求 ∠犃犗犇的度数． ６．如图，画犃犈⊥犅犆，犆犉⊥犃犇，垂足分别为犈，犉． A A D O B C B （第６题） （第７题） ７．如图，用量角器画∠犃犗犅的平分线犗犆，在犗犆上任取一点犘，比较点犘到犗犃， 犗犅的距离的大小．  ８．如图，直线犃犅，犆犇相交于点犗，犗犃平分∠犈犗犆． （１）若∠犈犗犆＝７０°，求∠犅犗犇的度数； （２）若∠犈犗犆∶∠犈犗犇＝２∶３，求∠犅犗犇的度数． ４４ !"*$%+,-./0-E D A O B C !"*$%+,-./0- °0 60° 90° 120° 30 ° 150° 18(cid:0)(cid:0)0°(cid:0) （第８题） （第９题） ９．图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？ １０．如图，这是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少 （比 例尺为１∶１５０）？ D C D C 起 1 1 3 跳 4 线 A 2 B 3 2 4 A B E （１） （２） （第１０题） （第１１题） １１．如图，∠１和∠２，∠３和∠４各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各 是什么位置关系的角？   １２．如图，犃犅⊥犾，犅犆⊥犾，犅为垂足，那么犃，犅，犆三点在同 A 一条直线上吗？ １３．直线犃犅，犆犇相交于点犗． C （１）犗犈，犗犉分别是∠犃犗犆，∠犅犗犇的平分线．画出这个 l B 图形． （第１２题） （２）射线犗犈，犗犉在同一条直线上吗？ （３）画∠犃犗犇的平分线犗犌．犗犈与犗犌有什么位置关系？ ４５ 看图时的错觉 观察以下图形，并回答所提的问题． １．图１中的线段犪与犫哪一条长？ b a a b b a 图１ ２．图２中的圆犃大还是圆犅大？ A B 图２ 图３ ３．图３中的四边形是正方形吗？ 你对自己的结论有把握吗？利用刻度尺和三角尺量一量、测一测，这时你的答案是什么？ 要对事物作出某种判断，总是基于对这个事物的观察、实验与思考，其中观察和实验 是作出判断的重要依据．所以，观察必须认真、仔细，不能粗枝大叶、马马虎虎．有时观 察得出的猜想不一定正确，还要借助于实验进行检验． 图４中的线犪与犫互相平行吗？如何检验？学习了后面的知识后，你的检验方法会更多． a b a a b b 图４ ４６ !"#$%&’()*+(１２．２ 平行线及其判定 １２．２．１ 平行线  如图１２．２１，分别将木条犪，犫与木条犮钉在一起，并把它们想象成 在同一平面内两端可以无限延伸的三条直线．转动犪，直线犪从在犮的左 侧与直线犫相交逐步变为在犮的右侧与犫相交．想象一下，在这个过程中， 有没有直线犪与直线犫不相交的位置呢？ c c c a a a b b b 图１２．２１ 可以发现，在木条转动过程中，存在直线犪 与犫不相交的情形，这时我们说直线犪与犫互相 在同一平面内， 平行 （ｐａｒａｌｌｅｌ），记作犪∥犫． 不重合的两条直线只 平行线在生活中是很常见的 （图１２．２２），你 有两种位置关系：相 还能举出其他一些例子吗？ 交和平行． 图１２．２２ ４７ !"#$%&’()*+( 书书书 在图１２．２１转动木条犪的过程中，有几个位 C 置使得直线犪与犫平行？如图１２．２３，过点犅画直 B 线犪的平行线，能画出几条？再过点犆画直线犪的 a 图１２．２３ 平行线，它和前面过点犅画出的直线平行吗？ 通过观察和画图，可以发现一个基本事实 （平行公理）： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 由平行公理，进一步可以得到如下结论： c(cid:0) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 b(cid:0) 也互相平行． 也就是说：如果犫∥犪，犮∥犪，那么犫∥犮（图１２．２４）． a(cid:0) 图１２．２４ 读下列语句，并画出图形： （１）点犘是直线犃犅外一点，直线犆犇经过点犘，且与直线犃犅平行； （２）直线犃犅，犆犇是相交直线，点犘是直线犃犅，犆犇外的一点，直线犈犉经过 点犘且与直线犃犅平行，与直线犆犇相交于点犈． １２．２．２ 平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直 线平行．但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接 根据定义来判断两条直线是否平行．那么，有没有其他判定方法呢？  E P C D 我们以前已学过用直尺和三角尺画平 H 行线（图１２．２５）．在这一过程中，三角尺 起着什么样的作用？ A B G F 图１２．２５ ４８ !"*$%+,-./0-简化图１２．２５得到图１２．２６．可以看出，画直线犃犅的平行线犆犇，实 际上就是过点犘画与∠２相等的∠１，而∠２和∠１正是直线犃犅，犆犇被直线 犈犉截得的同位角．这说明，如果同位角相等，那么犃犅∥犆犇． 一般地，有如下利用同位角判定两条直线平行的方法： 判定方法１ 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条 直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． E D H P A C D C F 1 E A B G 2 B F 图１２．２６ 图１２．２７ 如图１２．２７，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？  两条直线被第三条直线所截，同时得到同位 c 1 角、内错角和同旁内角．由同位角相等，可以判定 3 4 a 两条直线平行，那么能否利用内错角，或同旁内角 2 来判定两条直线平行呢？ b 如图１２．２８，如果∠２＝∠３，能得出犪∥犫吗？ 图１２．２８ 因为∠２＝∠３，而∠３＝∠１ （为什么？），所以∠１＝∠２，即同位角相等， 从而犪∥犫．这样，由判定方法１，可以得出利用内错角判定两条直线平行的 方法： 判定方法２ 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条 直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 利用同旁内角，有判定两条直线平行的第三种方法： 判定方法３ 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两 条直线平行． ４９ !"#$%&’()*+(简单说成：同旁内角互补，两直线平行．  遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的 （或已解决的）问题．这 一节中，我们是怎样利用 “同位角相等，两直线平行”得到 “内错角相 等，两直线平行”的？你能利用 “同位角相等，两直线平行”或 “内错角 相等，两直线平行”得到 “同旁内角互补，两直线平行”吗？ 例 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同 一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？ b c 分析：垂直总与直角联系在一起，进而用判断 两条直线平行的方法进行判定． 答：这两条直线平行．理由如下： 1 2 a 如图１２．２９． 图１２．２９ ∵ 犫⊥犪， ∴ ∠１＝９０°． 同理 ∠２＝９０°． 此处符号 “∵” 表示 “因为”，符号 ∴ ∠１＝∠２． “∴”表示 “所以”． ∵ ∠１和∠２是同位角， ∴ 犫∥犮（同位角相等，两直线平行）． 你还能利用其他方法说明犫∥犮吗？ １．如图，犅犈是犃犅的延长线． （１）由∠犆犅犈＝∠犃可以判定哪两条直线平行？ D C 根据是什么？ （２）由∠犆犅犈＝∠犆可以判定哪两条直线平行？ 根据是什么？ A B E （第１题） ２．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图， 已经知道∠２是直角，那么再度量图中已标出的哪个 角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？ ５０ !"*$%+,-./0-1(cid:0) parallel 2(cid:0) 铁轨 5(cid:0) 3(cid:0) 4(cid:0) 枕木 （第２题） （第３题） ３．如图，这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分．其中的横格线互相平行 吗？你有多少种判别方法？ 习题１２．２  １．如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁犇犈，使犇犈∥犅犆．如果∠犃犅犆＝ ３１°，∠犃犇犈应为多少度？ A(cid:0) D C D(cid:0) E(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) A O(cid:0) B （第１题） （第２题） ２．如图，一个弯形管道犃犅犆犇的拐角∠犃犅犆＝１２０°， ∠犅犆犇＝６０°，这时说管道犃犅∥犆犇对吗？为什么？ ３．如图，这是两条道路互相垂直的交叉路口，你能画出 它的平面示意图吗？类似地，你能画出两条道路成 ７５°角的交叉路口的示意图吗？ ４．如图，直线犪，犫，犮被直线犾所截，量得∠１＝ （第３题） ∠２＝∠３． （１）从∠１＝∠２可以得出哪两条直线平行？根据是 l(cid:0) 什么？ 1(cid:0) （２）从∠１＝∠３可以得出哪两条直线平行？根据是 a(cid:0) 什么？ 2(cid:0) 3(cid:0) b(cid:0) （３）直线犪，犫，犮互相平行吗？根据是什么？ c(cid:0) （第４题） ５１ !"#$%&’()*+( 书书书５．如图，有一块方形玻璃，用什么方法可以检验它相对的两条边是否平行？ e(cid:0) 50°(cid:0) d(cid:0) 40°(cid:0) 40°(cid:0) c(cid:0) 40°(cid:0) b(cid:0) a(cid:0) （第５题） （第６题） ６．根据图中所给出的条件，找出互相平行的直线和互相垂直的直线．  ７．如图，犈是犃犅上一点，犉是犇犆上一点，犌是犅犆 A D 延长线上一点． （１）如果∠犅＝∠犇犆犌，可以判断哪两条直线平行？ E F 为什么？ （２）如果∠犇＝∠犇犆犌，可以判断哪两条直线平行？ B C G （第７题） 为什么？ （３）如果∠犇＋∠犇犉犈＝１８０°，可以判断哪两条直线平行？为什么？ ８．如图，这些图案中有一些平行条纹，请你设计一些类似图案，并把你的设计与同 学们交流一下． （第８题） ９．借助直尺、三角尺和量角器，在图中找出互相平行 h(cid:0) 的直线和互相垂直的直线． g(cid:0) c(cid:0) f(cid:0) a(cid:0) e(cid:0) b(cid:0) d(cid:0) （第９题） ５２ !"#$%&’()*+(１０．如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得 ∠１＝９０°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由． 平安大街 二 1 环 路 5 2 长安街 4 3 （第１０题）   １１．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系：犃犅 犃犅， １ １ 犃犃 犃犅，犃犇 犆犇，犃犇 犅犆． １ １ １ １ １ 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下． c D1(cid:0)(cid:0) C(cid:0)1(cid:0) 2 A1(cid:0)(cid:0) B1(cid:0)(cid:0) 1 a D(cid:0) C(cid:0) b 3 A(cid:0) B(cid:0) （第１１题） （第１２题） １２．如图，当∠１＝∠３时，直线犪，犫平行吗？当∠２＋∠３＝１８０°时，直线犪，犫平行 吗？为什么？ ５３ !"*$%+,-./0-１２．３ 平行线的性质 １２．３．１ 平行线的性质 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直 线平行．反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角又各有什么 关系呢？这就是我们下面要学习的平行线的性质． 类似于研究平行线的判定，我们先来研究两条直线平行时，它们被第三条 直线截得的同位角的关系．  如图１２．３１，利用坐标纸上的直线，或者用直 尺和三角尺画两条平行线犪∥犫，然后，画一条截线 d c 犮与这两条平行线相交，度量所形成的八个角的度 2 1 数，把结果填入下表： a 3 4 角 ∠１ ∠２ ∠３ ∠４ 6 5 度数 b 7 8 角 ∠５ ∠６ ∠７ ∠８ 度数 图１２．３１ ∠１，∠２，…，∠８中，哪些是同位角？它们 的度数之间有什么关系？由此猜想两条平行线被第 三条直线截得的同位角有什么关系． 再任意画一条截线犱，同样度量并比较各对同 位角的度数，你的猜想还成立吗？ 一般地，平行线具有性质： 性质１ 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． ５４ !"#$%&’()*+( 上一节，我们利用 “同位角相等，两直线平行”推出了 “内错角相 等，两直线平行”．类似地，你能由性质１，推出两条平行线被第三条直线 截得的内错角之间的关系吗？ 如图１２．３２，直线犪∥犫，犮是截线．根据 c(cid:0) “两直线平行，同位角相等”，可得∠２＝∠３．而 3(cid:0) ∠３和∠１互为对顶角，所以∠３＝∠１．所以∠１ a(cid:0) 1(cid:0) ＝∠２．这样，我们就得到了平行线的另一个 2(cid:0) b(cid:0) 性质： 性质２ 两条平行线被第三条直线所截，内 图１２．３２ 错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 类似地，由 “两直线平行，同位角相等”，我们可以推出平行线关于同旁 内角的性质 （请你自己完成推理过程）： 性质３ 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 例１ 图１２．３３是一块梯形铁片的残余部分，量得∠犃＝１００°，∠犅＝１１５°， 梯形的另外两个角分别是多少度？ 解：因为梯形上、下两底犃犅与犇犆互相平行， D(cid:0) C(cid:0) 根据 “两直线平行，同旁内角互补”，可得∠犃与 ∠犇互补，∠犅与∠犆互补． 于是 A(cid:0) B(cid:0) ∠犇＝１８０°－∠犃＝１８０°－１００°＝８０°， 图１２．３３ ∠犆＝１８０°－∠犅＝１８０°－１１５°＝６５°． 所以梯形的另外两个角分别是８０°，６５°． ５５ !"*$%+,-./0-１．如图，直线犪∥犫，∠１＝５４°，∠２，∠３，∠４各是多少度？ a 1 A 2 b D E 4 B C 3 （第１题） （第２题） ２．如图，三角形犃犅犆中，犇是犃犅上一点，犈是犃犆上一点，∠犃犇犈＝６０°， ∠犅＝６０°，∠犃犈犇＝４０°． （１）犇犈和犅犆平行吗？为什么？ （２）∠犆是多少度？为什么？ １２．３．２ 命题、定理、证明 前面，我们学过一些对某一件事情作出判断的语句，例如： （１）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （２）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （３）对顶角相等； （４）等式两边加同一个数，结果仍是等式． 像这样判断一件事情的语句，叫做命题 （ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．命题由题设和结 论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 数学中的命题常可以写成 “如果……那么……”的形式，这时 “如果”后 接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．例如，上面命题 （１）中，“两条 直线都与第三条直线平行”是题设，“这两条直线也互相平行”是结论． 有些命题的题设和结论不明显，要经过分析 才能找出题设和结论，从而将它们写成 “如 果……那么……”的形式．例如，命题 “对顶角 请你将命题 （２） 相等”可以写成 “如果两个角是对顶角，那么这 （４）改写成 “如果…… 那么……”的形式． 两个角相等”． ５６ !"*$%+,-./0-上面所举出的命题都是正确的．就是说，如果题设成立，那么结论一定成 立，这样的命题叫做真命题．还有一些命题，如 “如果两个角互补，那么它们 是邻补角”“如果一个数能被２整除，那么它也能被４整除”等，这些命题中， 题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题． １．指出下列命题的题设和结论： （１）如果犃犅⊥犆犇，垂足为犗，那么∠犃犗犆＝９０°； （２）如果∠１＝∠２，∠２＝∠３，那么∠１＝∠３； （３）两直线平行，同位角相等． ２．举出学过的２～３个真命题． 在前面，我们学过的一些图形的性质，都是真命题．其中有些命题是基本 事实，如 “两点确定一条直线”“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行”等．还有一些命题，如 “对顶角相等” “内错角相等，两直线平行” 等，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理 （ｔｈｅｏｒｅｍ）． 定理也可以作为继续推理的依据． 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过 程叫做证明 （ｐｒｏｏｆ）．下面，我们以证明命题 “在同一平面内，如果一条直线垂直 于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明． 例２ 如图１２．３４，已知直线犫∥犮，犪⊥犫． 求证犪⊥犮． 证明：∵ 犪⊥犫（已知）， 证明中的每一步 推理都要有根据，不 ∴ ∠１＝９０°（垂直的定义）． 能 “想当然”．这些根 ∵ 犫∥犮（已知）， 据，可以是已知条件， ∴ ∠１＝∠２ （两直线平行，同位角相等）． 也可以是学过的定义、 ∴ ∠２＝∠１＝９０°（等量代换）． 基本事实、定理等． ∴ 犪⊥犮（垂直的定义）． 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子 （反 例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． ５７ !"*$%+,-./0-A(cid:0) b c 1(cid:0) O(cid:0) C(cid:0) 2(cid:0) 1 2 a B(cid:0) 图１２．３４ 图１２．３５ 例如，要判定命题 “相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例： 图１２．３５中，犗犆是∠犃犗犅的平分线，∠１＝∠２，但它们不是对顶角． １．在下面的括号内，填上推理的根据． A D 如图，∠犃＋∠犅＝１８０°，求证∠犆＋∠犇＝１８０°． 证明：∵ ∠犃＋∠犅＝１８０°， ∴ 犃犇∥犅犆（ ）． B C （第１题） ∴ ∠犆＋∠犇＝１８０°（ ）． ２．命题 “同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例． 习题１２．３  １．如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠犃是１３５°， 第二次的拐角∠犅是多少度？为什么？ D(cid:0) C(cid:0) B A A(cid:0) B(cid:0) （第１题） （第２题） ２．如图，在四边形犃犅犆犇中，如果犃犇∥犅犆，∠犃＝６０°，求∠犅的度数．不用度 量的方法，能否求得∠犇的度数？ ３．如图，平行线犃犅，犆犇被直线犃犈所截． （１）从∠１＝１１０°可以知道∠２是多少度？为什么？ ５８ !"#$%&’()*+(（２）从∠１＝１１０°可以知道∠３是多少度？为什么？ （３）从∠１＝１１０°可以知道∠４是多少度？为什么？ C(cid:0) c d A(cid:0) 2(cid:0) 4 E(cid:0) a 1(cid:0) 4(cid:0) 3(cid:0) 1 5 2 3 b B(cid:0) D(cid:0) （第３题） （第４题） ４．如图，犪∥犫，犮，犱是截线，∠１＝８０°，∠５＝７０°．∠２，∠３，∠４各是多少度？ 为什么？ ５．如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道，如果公路一侧铺设的管道与纵向连 通管道的角度为１２０°，那么，为了使管道对接，另一侧应以什么角度铺设纵向连 通管道？为什么？ C(cid:0) 120e " A(cid:0) B(cid:0) O(cid:0) D(cid:0) （第５题） （第６题） ６．在下面的括号内，填上推理的根据． 如图，犃犅和犆犇相交于点犗，∠犃＝∠犅．求证∠犆＝∠犇． 证明：∵ ∠犃＝∠犅， ∴ 犃犆∥犅犇（ ）． ∴ ∠犆＝∠犇（ ）．  ７．选择题． （１）如图 （１），由犃犅∥犆犇，可以得到 （ ）． （Ａ）∠１＝∠２ （Ｂ）∠２＝∠３ （Ｃ）∠１＝∠４ （Ｄ）∠３＝∠４ （２）如图 （２），如果犃犅∥犆犇∥犈犉，那么∠犅犃犆＋∠犃犆犈＋∠犆犈犉＝ （ ）． （Ａ）１８０° （Ｂ）２７０° （Ｃ）３６０° （Ｄ）５４０° ５９ !"#$%&’()*+(A D A B 2 1 C D 4 B 3 C E F （１） （２） （第７题） ８．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生 折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图， ∠１＝４５°，∠２＝１２２°，求图中其他角的度数． A 7 8 空 气 1 3 D 1 3 E 2 4 2 水 B F C 5 6 （第８题） （第９题） ９．如图，用式子表示下列句子： （１）因为∠１和∠２相等，根据 “内错角相等，两直线平行”，所以犃犅和犈犉 平行； （２）因为犇犈和犅犆平行，根据 “两直线平行，同 位角相等”，所以∠１＝∠犅，∠３＝∠犆． １０．如图，这是一个国际象棋棋盘的示意图，它共有 ８行８列，仿照它做出一张国际象棋的棋盘纸． 类似地，你还能做出一张中国象棋的棋盘纸吗？ １１．操场中的相交线与平行线． （第１０题） （１）举出操场中一些相交线、垂线、平行线的例子； （２）如果要你画出一个篮球场地，你怎样做才能保证相应的线垂直或平行呢？ 不妨在纸上试一试． １２．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． （１）两个锐角的和是锐角； （２）邻补角是互补的角； （３）同旁内角互补． １３．完成下面的证明． （１）如图 （１），犃犅∥犆犇，犆犅∥犇犈．求证∠犅＋∠犇＝１８０°． 证明：∵ 犃犅∥犆犇， ６０ !"*$%+,-./0-∴ ∠犅＝ （ ）． ∵ 犆犅∥犇犈， ∴ ∠犆＋∠犇＝１８０°（ ）． ∴ ∠犅＋∠犇＝１８０°． A B E A A′ D′ D C D 1 2 B C B′ C′ （１） （２） （第１３题） （２）如图 （２），∠犃犅犆＝∠犃′犅′犆′，犅犇，犅′犇′分别是∠犃犅犆，∠犃′犅′犆′的平 分线．求证∠１＝∠２． 证明：∵ 犅犇，犅′犇′分别是∠犃犅犆，∠犃′犅′犆′的平分线， １ ∴ ∠１＝ ∠犃犅犆，∠２＝ （ ）． ２ 又 ∠犃犅犆＝∠犃′犅′犆′， １ １ ∴ ∠犃犅犆＝ ∠犃′犅′犆′． ２ ２ ∴ ∠１＝∠２（ ）．   １４．如图，直线犇犈经过点犃，犇犈∥犅犆，∠犅＝４４°，∠犆＝５７°． A(cid:0) D(cid:0) E(cid:0) （１）∠犇犃犅等于多少度？为什么？ （２）∠犈犃犆等于多少度？为什么？ （３）∠犅犃犆等于多少度？ B(cid:0) C(cid:0) （通过这道题，你能说明为什么三角形的内角和是 （第１４题） １８０°吗？） １５．如图，潜望镜中的两面镜子是互相平 行放置的，光线经过镜子反射时， 1 ∠１＝∠２，∠３＝∠４，∠２和∠３有什 25 么关系？为什么进入潜望镜的光线和 3 离开潜望镜的光线是平行的？（提示： 6 4 分析这两条光线被哪条直线所截．） （第１５题） ６１ !"*$%+,-./0-  探索两条直线的位置关系 利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便、直观地探索两条直线的位置 关系．下面，我们以 《几何画板》软件为例说明． １探索邻补角、对顶角的关系 画两条相交直线犃犅，犆犇（图１），在它们所成的四个角中，哪些互为邻补角？哪些 互为对顶角？度量这四个角的度数，它们的大小有什么关系？拖动点犅或点犆，改变角 的大小，这个关系还保持吗？ DDEEBB 61.41° C B BEC 118.59° CEA 61.41° E AED 118.59° A D DEB BEC 180.00° 图１ ２探索垂线段的性质 如图２，犘犗⊥犾，点犃在直线犾上运动，度量并观察线段犘犗和犘犃的长度，你能发 现什么结论？ P PO 2.69cm PA 4.30cm A O l 图２ ３探索平行线的性质 如图３，过点犆画直线犃犅的平行线，度量所形成的八个角的度数，其中的同位角、 内错角、同旁内角有什么关系？拖动点犃、点犅或直线犆犃，这个关系还成立吗？ ６２ !"#$%&’()*+(FCE 56.96° F FCD 123.04° DCA 56.96° D C E ACE 123.04° CAB 56.96° G A B CAG 123.04° GAH 56.96° H HAB 123.04° 图３ 如图４，再任意画两条直线以及它们的截线，它们所形成的八个角的度数还存在上述 关系吗？拖动点犅或点犇，观察这些角的度数，什么时候直线犃犅和犆犇平行？ E(cid:0) D(cid:0) C(cid:0) C(cid:0) F(cid:0) G(cid:0) A(cid:0) B(cid:0) A(cid:0) B(cid:0) H(cid:0) 图４ 图５ 利用上面的规律，你能过点犆画直线犃犅的平行线吗 （图５）？你有几种方法？利用 软件的画角功能试一试． ６３ !"#$%&’()*+(１２．４ 平移 仔细观察下面一些美丽的图案 （图１２．４１），它们有什么共同的特点？能 否根据其中的一部分绘制出整个图案？ 图１２．４１  如何在一张半透明的纸上，画出一排形状和大小如图１２．４２的雪人呢？ 图１２．４２ 图１２．４３ 可以把半透明的纸盖在图１２．４２上，先描出一个雪人，然后按同一方向 陆续移动这张纸，再描出第二个、第三个…… （图１２．４３）．  如图１２．４４，在所画出的相邻两个 B(cid:0) B(cid:0)′ 雪人中，找出三组对应点 （例如，它们 A(cid:0)′ A(cid:0) 的鼻尖犃与犃′，帽顶犅与犅′，纽扣犆 与犆′），连接这些对应点，观察得出的 C(cid:0) C(cid:0)′ 线段，它们的位置、长短有什么关系？ 图１２．４４ ６４ !"*$%+,-./0-可以发现，犃犃′∥犅犅′∥犆犆′，并且犃犃′＝犅犅′＝犆犆′． 再画出一些连接其他对应点的线段，它们是否仍有前面的关系？  １．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新 图形与原图形的形状和大小完全相同． ２．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这 两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行 （或在同一条直线上）且 相等． 图形的这种移动，叫做平移 （ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ）． 图形平移的方向，不限于是水平的，如图１２．４５． 平移在我们日常生活中是很常见的，利用平移也可以制作很多美丽的图 案．你能举出生活中一些利用平移的例子吗？ B(cid:0)′ B(cid:0)′ A′(cid:0) A′(cid:0) C(cid:0)′ C′(cid:0) B(cid:0) B(cid:0) A(cid:0) A(cid:0) C(cid:0) C(cid:0) 图１２．４５ 例 如图１２．４６ （１），平移三角形犃犅犆，使点犃移动到点犃′，画出平移 后的三角形犃′犅′犆′． A(cid:0)′ A′(cid:0) l(cid:0) B(cid:0)′ A(cid:0) A(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) （１） （２） 图１２．４６ ６５ !"#$%&’()*+(分析：图形平移后的对应点有什么特征？作出点犅和点犆的对应点犅′， 犆′，能确定三角形犃′犅′犆′吗？ 解：如图１２．４６ （２），连接犃犃′，过点犅作犃犃′的平行线犾，在犾上截取 犅犅′＝犃犃′，则点犅′就是点犅的对应点． 类似地，你能作出点犆的对应点犆′，并进一步得到平移后的三角形 犃′犅′犆′吗？动手试一试． 习题１２．４  １．下列图案可以由什么图形平移形成？ （第１题） ２．如图，有一个由４个三角形组成的图形，通过平移，你能用它组成什么图案？试 一试，把你的图案与同学们交流一下． A(cid:0) C(cid:0) M(cid:0) B(cid:0) N(cid:0) （第２题） （第３题） ３．如图，在方格纸中平移三角形犃犅犆，使点犃移到点犕，点犅和点犆应移到什么 位置？再将点犃由点犕移到点犖，分别画出两次平移后的三角形．如果直接平移 三角形犃犅犆，使点犃移到点犖，它和我们前面得到的三角形位置相同吗？ ６６ !"#$%&’()*+( ４．如图，用平移方法说明怎样得出平行四边形的面积公式犛＝犪犺． a(cid:0) h(cid:0) h(cid:0) a(cid:0) （第４题） ５．许多美丽的图案都是用平移的方法绘制而成的．观察下面图案的绘制规律，你能 类似地设计一些图案吗？ （第５题）   ６．如图，在一块长为犪ｍ，宽为犫ｍ的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的 左边线向右平移１ｍ就是它的右边线．求这块草地的绿地面积． b a （第６题） ６７ !"*$%+,-./0-   


  

学习了平行线后，李强、张明、王玲三位同学分别想出了过一点画一 条直线的平行线的新的方法，他们分别是这样做的： 李强 b b b P P P 2 P 2 c a a a 1 a 1 过点P作直线b 作∠2=∠1 则c//a （１） （２） （３） （４） 张明 l l P S S b P P P a R R a a a 作P ⊥a 作l⊥a，取RS=P 连接PS，则b//a （１） （２） （３） （４） 王玲是通过折纸做的 P(cid:0) P(cid:0) P(cid:0) P(cid:0) a(cid:0) a(cid:0) a(cid:0) a(cid:0) （１） （２） （３） （４） 你还有其他方法吗？动手试一试，与同学们交流一下． ６８ !"*$%+,-./0-




利用平移，可以设计非常美丽的图案，例如图１中每一匹马都可以由 正方形上的平移得到，如图２所示． 图１ 图２ 类似地，你还能用平移设计一些图案吗？ ６９ !"*$%+,-./0-小 结 一、本章知识结构图 
    

      二、回顾与思考 本章我们学习了平面内不重合的两条直线的位置关系———相交与平行．当 两条直线只有一个公共点时，这两条直线相交．在相交线的学习中，我们研究 了两条直线相交所形成的邻补角和对顶角的位置和数量关系，这也是相交线的 性质．垂直是相交的特殊情形，它在实际生产和社会生活中具有广泛的应用． 当两条直线没有公共点时，这两条直线平行．借助两条直线被第三条直线所截形成 的同位角、内错角和同旁内角，我们研究了平行线的判定与性质． “图形的判定”讨论的是确定某种图形需要什么条件．例如，两条直线与第 三条直线相交，具备 “同位角相等”，就有 “两直线平行”．“图形的性质”讨论 的是这类图形有怎样的共同特性．例如，两条直线只要平行，它们被第三条直 线所截时，就一定有同位角相等． 学习本章时，要注意观察实物、模型和图形，通过观察、测量、实验、归 纳、对比、类比等来寻找图形中的位置关系和数量关系，从而发现图形的性质． 同时，还要注意体会通过 “推理”获得数学结论的方法，培养言之有据的习惯 和有条理地思考、表达的能力． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． ７０ !"*$%+,-./0-１．下面是本章学到的一些数学名词，你能用自己的语言描述它们吗？你能 分别画一个图形表示它们吗？ 对顶角、邻补角、垂直、平行、同位角、内错角、同旁内角、平移． ２．两条直线相交形成四个角，它们具有怎样的位置关系和数量关系？ ３．什么是点到直线的距离？你会度量吗？请举例说明． ４．怎样判定两条直线是否平行？平行线有什么性质？对比平行线的性质和 直线平行的判定方法，它们有什么异同？ ５．什么是命题？如何判断一个命题是真命题还是假命题？请结合具体例子 说明． ６．图形平移时，连接各对应点的线段有什么关系？你能利用平移设计一些 图案吗？ 复习题１２  １．判断题 （正确的画，错误的画×）． （１）犪，犫，犮是直线，若犪∥犫，犫∥犮，则犪∥犮； （ ） （２）犪，犫，犮是直线，若犪⊥犫，犫⊥犮，则犪⊥犮． （ ） ２．如图，两条直线犪，犫相交． （１）如果∠１＝６０°，求∠２，∠３，∠４的度数； （２）如果２∠３＝３∠１，求∠２，∠３，∠４的度数． C a(cid:0) F 3(cid:0) 2 4(cid:0) 1(cid:0) A 1 B 2(cid:0) 3 O 4 E b(cid:0) D （第２题） （第３题） ３．如图，直线犃犅⊥犆犇，垂足为犗，直线犈犉经过点犗，∠１＝２６°，求∠２，∠３， ∠４的度数． ４．根据下列语句画出图形： （１）过线段犃犅的中点犆，画犆犇⊥犃犅； （２）点犘到直线犃犅的距离是３ｃｍ，过点犘画直线犃犅的垂线犘犆； （３）过三角形犃犅犆内的一点犘，分别画犃犅，犅犆，犆犃的平行线． ７１ !"#$%&’()*+(５．如图，某人骑自行车自犃沿正东方向前进，至犅处后，行驶方向改为东偏南 １５°，行驶到犆处仍按正东方向行驶，画出继续行驶的路线． A B 15e C （第５题） ６．如图，∠１＝３０°，∠犅＝６０°，犃犅⊥犃犆． （１）∠犇犃犅＋∠犅等于多少度？ （２）犃犇与犅犆平行吗？犃犅与犆犇平行吗？ c A D 1 a 3 2 4 1 B C b 7 6 8 5 （第６题） （第７题） ７．如图，平行线犪，犫被直线犮所截，知道∠１～∠８中一个角的度数，能否求出其 他角的度数？如果能，用其中一个角表示出其他各角．  ８．选择题． （１）如图 （１），点犈在犃犆的延长线上，下列条件中能判断犃犅∥犆犇的是 （ ）． （Ａ）∠３＝∠４ （Ｂ）∠１＝∠２ （Ｃ）∠犇＝∠犇犆犈 （Ｄ）∠犇＋∠犃犆犇＝１８０° （２）如图 （２），∠１＋∠２＝１８０°，∠３＝１０８°，则∠４＝ （ ）． （Ａ）７２° （Ｂ）８０° （Ｃ）８２° （Ｄ）１０８° c d B D 1 3 1 3 a 2 A 4 4 C E b 2 （１） （２） （第８题） ７２ !"#$%&’()*+(９．图中所示为一组护网的示意图，它可看成由两组平行线组成，你能通过检验一些 角的大小来判断其中的线段是否平行吗？说出你的理由． B(cid:0) P(cid:0) A(cid:0) O(cid:0) （第９题） （第１０题） １０．如图，∠犃犗犅内有一点犘： （１）过点犘画犘犆∥犗犅交犗犃于点犆，画犘犇∥犗犃交犗犅于点犇； （２）写出图中互补的角； （３）写出图中相等的角． １１．如图，利用平移可以画出一些立体图形．在 方格纸上写出你的名字或你的校名，用类似 MMMMMMMMMMMMMMMM AAAAAAAAAAAAAAAA TTTTTTTTTT (cid:0)(cid:0)(cid:0) T (cid:0) T (cid:0) T (cid:0) T (cid:0) T (cid:0) T (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) HHHHHHHHHHHHHHHH (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) 的方法画出它的立体图．变换不同的长度和 方向多试几次，你认为哪一种更具艺术效果？ （第１１题） １２．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题．如果是假命题， 举出一个反例． （１）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； （２）内错角相等； （３）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． １３．完成下面的证明． （１）如图 （１），点犇，犈，犉分别是三角形犃犅犆的边犅犆，犆犃，犃犅上的点， 犇犈∥犅犃，犇犉∥犆犃．求证∠犉犇犈＝∠犃． 证明：∵ 犇犈∥犅犃， ∴ ∠犉犇犈＝ （ ）． ∵ 犇犉∥犆犃， ∴ ∠犃＝ （ ）． ∴ ∠犉犇犈＝∠犃． ７３ !"*$%+,-./0-A A E C D O F B D C B （１） （２） （第１３题） （２）如图 （２），犃犅和犆犇相交于点犗，∠犆＝∠犆犗犃，∠犇＝∠犅犗犇．求证 犃犆∥犅犇． 证明：∵ ∠犆＝∠犆犗犃，∠犇＝∠犅犗犇， 又 ∠犆犗犃＝∠犅犗犇（ ）， ∴ ∠犆＝ ． ∴ 犃犆∥犅犇（ ）．   １４．如图，这是一套住房的平面图，图中有许多相交线和平行线．量量你家的住房， 选择适当的比例尺，画出它的平面图．你能自己设计一个户型吗？ 阳 台 D R 厨 房 卫 生 卧 室 M C 间 B N 卧 客 厅 室 A P S 阳 台 （第１４题） （第１５题） １５．一个台球桌的桌面如图所示，一个球在桌面上的点犃滚向桌边犘犙，碰着犘犙 上的点犅后便反弹而滚向桌边犚犛，碰着犚犛上的点犆便反弹而滚向点犇．如果 犘犙∥犚犛，犃犅，犅犆，犆犇都是直线，且∠犃犅犆的平分线犅犖垂直于犘犙， ∠犅犆犇的平分线犆犕垂直于犚犛，那么，球经过两次反弹后所滚的路径犆犇是 否平行于原来的路径犃犅？ ７４ !"*$%+,-./0-第十三章 实数 同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入地 面附近轨道的速度在什么范围内吗？这时它的速 度要大于第一宇宙速度狏（单位：ｍ／ｓ），而小于第 １ 二宇宙速度狏（单位：ｍ／ｓ）．狏，狏 的大小满足 ２ １ ２ 狏 ２ ＝犵犚，狏 ２ ＝２犵犚，其中犵是物理中的一个常数 １ ２ （重力加速度），犵≈ ９．８ ｍ／ｓ ２ ，犚是地球半径， 犚 ６．４×１０ ｍ．怎样求狏，狏 呢？这就要用到平 ≈ ６ １ ２ 方根的概念． 随着对于数的认识的不断深入，人们发现， 边长为１的正方形的对角线的长不是有理数，这就 需要引入一种新的数———无理数．实际上，计算第 一、第二宇宙速度等也要用到无理数．本章将首先 学习平方根与立方根；在此基础上引入无理数， 把数的范围扩充到实数；然后类比有理数，引入 实数在数轴上的表示和实数的运算，并用这些知 识解决一些实际问题． 书书书１３．１ 平方根 问题 学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出 一块面积为２５ｄｍ２ 的正方形画布，画上自己的得意 之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 你一定会算出边长应取５ｄｍ．说一说，你是怎 样算出来的？ 因为５２＝２５，所以这个正方形画布的边长应取 ５ｄｍ． 填表： ４ 正方形的面积／ｄｍ２ １ ９ １６ ３６ ２５ 正方形的边长／ｄｍ 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题． 一般地，如果一个正数狓的平方等于犪，即狓２＝犪，那么这个正数狓叫做 犪的算术平方根 （ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｓｑｕａｒｅｒｏｏｔ）．犪的算术平方根记为槡犪，读作 “根 号犪”，犪叫做被开方数 （ｒａｄｉｃａｎｄ）． 规定：０的算术平方根是０． 例１ 求下列各数的算术平方根： ４９ （１）１００； （２） ； （３）０．０００１． ６４ 解：（１）因为１０２＝１００，所以１００的算术平方根是１０，即槡１００＝１０； 烄７烌２ ４９ ４９ ７ 槡 ４９ ７ （２）因为 ＝ ，所以 的算术平方根是 ，即 ＝ ； 烆８烎 ６４ ６４ ８ ６４ ８ （３）因为０．０１２＝０．０００１，所以０．０００１的算术平方根是０．０１，即 槡０．０００１＝０．０１． 从例１可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大．这个结论对 所有正数都成立． ７６ !"#$%&’１．求下列各数的算术平方根： （１）０．００２５； （２）８１； （３）３２． ２．求下列各式的值： 槡９ （１）槡１； （２） ； （３）槡２２． ２５  能否用两个面积为１ｄｍ２ 的小正方形拼成一个面积为２ｄｍ２ 的大正 方形？ 图１３．１１ 如图１３．１１，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的４个直角三角 形拼在一起，就得到一个面积为２ｄｍ２ 的大正方形．你知道这个大正方形的边 长是多少吗？ 设大正方形的边长为狓ｄｍ，则 狓２＝２． 小正方形的对 角线的长是多少呢？ 由算术平方根的意义可知 狓＝槡２， 所以大正方形的边长是槡２ｄｍ．  槡２有多大呢？ ７７ !"#$%&’因为１２＝１，２２＝４， 所以１＜槡２＜２； 因为１．４２＝１．９６，１．５２＝２．２５， 所以１．４＜槡２＜１．５； 因为１．４１２＝１．９８８１，１．４２２＝２．０１６４， 所以１．４１＜槡２＜１．４２； 因为１．４１４２＝１．９９９３９６，１．４１５２＝２．００２２２５， 所以１．４１４＜槡２＜１．４１５ …… 如此进行下去，可以得到槡２的更精确的近似 无限不循环小 数是指小数位数无 值．事实上，槡２＝１．４１４２１３５６２３７３…，它是一 限，且小数部分不 个无限不循环小数． 循环的小数．你以 实际上，许多正有理数的算术平方根 （例如 前见过这种数吗？ 槡３，槡５，槡７等）都是无限不循环小数． 大多数计算器都有 槡 键，用它可以求出一 个正有理数的算术平方根 （或其近似值）． 例２ 用计算器求下列各式的值： （１）槡３１３６； （２）槡２ （精确到０．００１）． 解：（１）依次按键 槡 ３１３６ ＝ ， 显示：５６． 不同品牌的计算 器，按键顺序有所不同． ∴ 槡３１３６＝５６． （２）依次按键 槡 ２ ＝ ， 计算器上显示的 显示：１．４１４２１３５６２． １．４１４２１３５６２是槡２的近 ∴ 槡２≈１．４１４． 似值． ７８ !"#$%&’下面我们来看引言中提出的问题： 由狏２＝犵犚，狏２＝２犵犚，得狏 ＝槡犵犚，狏 ＝槡２犵犚，其中犵≈９．８， １ ２ １ ２ 犚≈６．４×１０６． 用计算器求狏 和狏 （用科学记数法把结果写成犪×１０狀 的形式，其中犪 １ ２ 保留小数点后一位），得 狏≈槡９．８×６．４×１０６≈７．９×１０３ ， １ 狏≈槡２×９．８×６．４×１０６≈１．１×１０４． ２ 因此，第一宇宙速度狏 大约是７．９×１０３ｍ／ｓ，第二宇宙速度狏 大约是 １ ２ １．１×１０４ｍ／ｓ．  （１）利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中， 你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？ … 槡０．０６２５ 槡０．６２５ 槡６．２５ 槡６２．５ 槡６２５ 槡６２５０ 槡６２５００ … … … （２）用计算器计算槡３ （精确到０．００１），并利用你在 （１）中发现的规 律说出槡０．０３，槡３００，槡３００００的近似值，你能根据槡３的值说出槡３０是多 少吗？ 在生活中，我们经常遇到估计一个数的大小的问题．请看下面的例子． 例３ 小丽想用一块面积为４００ｃｍ２ 的 正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积 为３００ｃｍ２ 的长方形纸片，使它的长宽之 比为３∶２．她不知能否裁得出来，正在发 愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块 面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你 同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁 出符合要求的纸片吗？ ７９ !"#$%&’解：设长方形纸片的长为３狓ｃｍ，宽为２狓ｃｍ． 根据边长与面积的关系得 ３狓·２狓＝３００， ６狓２＝３００， 狓２＝５０， 狓＝槡５０． 因此长方形纸片的长为３槡５０ｃｍ． ３槡５０就是３×槡５０． 因为５０＞４９，所以槡５０＞７． 由上可知３槡５０＞２１，即长方形纸片的长应该大于２１ｃｍ． 因为槡４００＝２０，所以正方形纸片的边长只有２０ｃｍ．这样，长方形纸片的 长将大于正方形纸片的边长． 答：不能同意小明的说法．小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长 方形纸片． １．用计算器求下列各式的值： （１）槡１３６９； （２）槡１０１．２０３６； （３）槡５（精确到０．０１）． ２．比较下列各组数的大小： （１）槡８与槡１０； （２）槡６５与８； 槡５－１ 槡５－１ （３） 与０．５； （４） 与１． ２ ２  如果一个数的平方等于９，这个数是多少？ 从前面我们知道，这个数可以是３．除了３以外，还有没有别的数的平方 也等于９呢？ 由于（－３） ２＝９，这个数也可以是－３． 因此，如果一个数的平方等于９，那么这个数是３或－３． ８０ !"#$%&’填表： ４ 狓２ １ １６ ３６ ４９ ２５ 狓 一般地，如果一个数的平方等于犪，那么这 个数叫做犪的平方根（ｓｑｕａｒｅｒｏｏｔ）或二次方根． 这就是说，如果狓２＝犪，那么狓叫做犪的平方根． 几千年前，古埃 及人就已经知道了平 例如，３和－３是９的平方根，简记为±３是 方根． ９的平方根． 求一个数犪的平方根的运算，叫做开平方 （ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｏｆｓｑｕａｒｅｒｏｏｔ）． 我们看到，±３的平方等于９，９的平方根是±３，所以平方与开平方互为 逆运算 （图１３．１２）．根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根． 平方 开平方 +1 +1 1 1 -1 -1 +2 +2 4 4 -2 -2 +3 +3 9 9 -3 -3 图１３．１２ 例４ 求下列各数的平方根： ９ （１）１００； （２） ； （３）０．２５． １６ 解：（１）因为（±１０） ２＝１００，所以１００的平方根是±１０； 烄 ３烌２ ９ ９ ３ （２）因为 ± ＝ ，所以 的平方根是± ； 烆 ４烎 １６ １６ ４ （３）因为（±０．５） ２＝０．２５，所以０．２５的平方根是±０．５．  正数的平方根有什么特点？０的平方根是多少？负数有平方根吗？ 我们发现，正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是 这个数的算术平方根． ８１ !"#$%&’因为０２＝０，并且任何一个不为０的数的平方都不等于０，所以０的平方 根是０． 正数的平方是正数，０的平方是０，负数的平方也是正数，即在我们所认 识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根．  正数有两个平方根，它们互为相反数； ０的平方根是０； 负数没有平方根． 我们知道，正数犪的算术平方根可以用槡犪表 符号槡犪只有 示；正数犪的负的平方根，可以用符号 “－槡犪” 当犪≥０时有意义， 表示，故正数犪的平方根可以用符号 “±槡犪”表 犪＜０时无意义．你 知道为什么吗？ 示，读作 “正、负根号犪”．例如，±槡９＝±３， ±槡２５＝±５． 例５ 求下列各式的值： ４９ 知道一个数的 槡 （１）槡３６；（２）－槡０．８１；（３）± ． ９ 算术平方根，就可 以立即写出它的负 解：（１）因为６２＝３６，所以槡３６＝６； 的平方根．为什么？ （２）因为０．９２＝０．８１，所以－槡０．８１＝－０．９； 烄７烌２ ４９ 槡 ４９ ７ （３）因为 ＝ ，所以± ＝± ． 烆３烎 ９ ９ ３ １．判断下列说法是否正确： （１）０的平方根是０； （２）１的平方根是１； （３）－１的平方根是－１； （４）０．０１是０．１的一个平方根． ８２ !"#$%&’２．填表： ３ ３ 狓 ８ －８ － ５ ５ 狓２ １６ ０．３６ ３．计算下列各式的值： 槡６４ （１）槡９； （２）－槡０．４９； （３）± ． ８１ ４．平方根概念的起源与几何中的正方形有关．如果一个正方形的面积为犃，那么 这个正方形的边长是多少？ 习题１３．１  １．求下列各数的算术平方根： ２５ （１）８１； （２） ； （３）０．０４； （４）１０２． ６４ ２．下列各式是否有意义？为什么？ 槡１ （１）－槡３； （２）槡－３； （３）槡（－３）２； （４） ． １０２ ３．求下列各数的平方根： ４ １ （１）４９； （２） ； （３） ； （４）０．００１６． ２５ １０６ ４．判断下列说法是否正确： （１）５是２５的算术平方根； ５ ２５ （２） 是 的一个平方根； ６ ３６ （３）（－４）２ 的平方根是－４； （４）０的平方根与算术平方根都是０． ５．用计算器计算下列各式的值 （精确到０．０１）： 槡８ （１）槡８６７； （２）槡０．４６２５４； （３）－ ； （４）±槡２４０２． ２５ ６．估计与槡４０最接近的两个整数是多少． ８３ !"#$%&’ 书书书 ７．根据下表回答下列问题： 狓 １６ １６．１ １６．２ １６．３ １６．４ １６．５ １６．６ １６．７ １６．８ １６．９ １７ 狓２ ２５６ ２５９．２１２６２．４４２６５．６９２６８．９６２７２．２５２７５．５６２７８．８９２８２．２４２８５．６１ ２８９ （１）２６８．９６的平方根是多少？ （２）槡２８５．６≈ ． （３）槡２７０在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ !"#$%&’ m 021 ８．求下列各式中狓的值： （１）狓２＝２５； （２）狓２－８１＝０； （３）２５狓２＝３６． ９．物体自由下落的高度犺（单位：ｍ）与下落时间狋（单位： ｓ）的关系是犺＝４．９狋２．如图，有一个物体从１２０ｍ高的建 筑物上自由落下，到达地面需要多长时间 （结果取整数）？ １０．一个正方形的面积扩大为原来的４倍，它的边长变为原 来的多少倍？面积扩大为原来的９倍呢？狀倍呢？ （第９题）   １１． （１）求槡２２，槡（－３）２，槡５２，槡（－６）２，槡７２，槡０２ 的值．对于任意数犪，槡犪２ 等于多少？ （２）求（ 槡４ ） ２，（ 槡９ ） ２，（ 槡２５ ） ２，（ 槡３６ ） ２，（ 槡４９ ） ２，（ 槡０ ） ２ 的值．对于任意非 负数犪，（ 槡犪 ） ２等于多少？ １２．任意找一个正数，比如１２３４，利用计算器对它进行开平方，再对得到的算术平 方根进行开平方……如此进行下去，你有什么发现？ ８４１３．２ 立方根 问题 要制作一种容积为２７ｍ３ 的正方体 形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？ 设这种包装箱的棱长为狓ｍ，则 狓３＝２７． 这就是要求一个数，使它的立方等于２７． 因为３３＝２７，所以狓＝３． 因此这种包装箱的棱长应为３ｍ． 一般地，如果一个数的立方等于犪，那么这个数叫做犪的立方根 （ｃｕｂｅ ｒｏｏｔ）或三次方根．这就是说，如果狓３＝犪，那么狓叫做犪的立方根． 在上面的问题中，由于３３＝２７，所以３是２７的立方根． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方 （ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｏｆｃｕｂｅｒｏｏｔ）．正如开 平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．我们可以根据这种 关系求一个数的立方根．  根据立方根的意义填空．你能发现正数、０和负数的立方根各有什么 特点吗？ 因为２３＝８，所以８的立方根是 （ ）； 因为 （ ） ３＝０．０６４，所以０．０６４的立方根是 （ ）； 因为 （ ） ３＝０，所以０的立方根是 （ ）； 因为 （ ） ３＝－８，所以－８的立方根是 （ ）； ８ ８ 因为 （ ） ３＝－ ，所以－ 的立方根是 （ ）． ２７ ２７ ８５ !"#$%&’你能说说数的  平方根与数的立方 正数的立方根是正数， 根有什么不同吗？ 负数的立方根是负数， ０的立方根是０． 类似于平方根，一个数犪的立方根，用符号 “３槡犪”表示，读作 “三次根号犪”，其中犪是被开 算术平方根的符号 方数，３是根指数 （ｒａｄｉｃａｌｅｘｐｏｎｅｎｔ）．例如，３槡８ 槡犪，实际上省略了槡２犪中 表示８的立方根，３槡８＝２；槡３－８表示－８的立方 的根指数２．因此，槡犪 根，槡３－８＝－２．３槡犪中的根指数３不能省略． 也可读作 “二次根号犪”．  因为槡３－８＝ ，－３槡８＝ ，所以槡３－８ －３槡８； 因为槡３－２７＝ ，－槡３２７＝ ，所以槡３－２７ －槡３２７． 一般地， ３槡－犪＝－３槡犪． 例 求下列各式的值： ３１ ３ ２７ 槡 槡 （１）槡３６４； （２）－ ； （３） － ． ８ ６４ 解：（１）槡３６４＝４； ３１ １ 槡 （２）－ ＝－ ； ８ ２ ３ ２７ ３ 槡 （３） － ＝－ ． ６４ ４ 实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数．例如３槡２，３槡３等都是无 限不循环小数．我们可以用有理数近似地表示它们． 一些计算器设有 ３槡 键，用它可以求出一个数的立方根 （或其近似值）． ８６ !"#$%&’例如，用计算器求槡３１８４５，可以按照下面的步骤进行： 依次按键 ３槡 １８４５ ＝ ，显示：１２．２６４９４０８１． 这样就得到槡３１８４５的近似值１２．２６４９４０８１． 有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根．例如用这种计算器求 槡３１８４５，可以依次按键 ２ｎｄＦ ３槡 １８４５ ＝ ，显示：１２．２６４９４０８１．  用计算器计算…，槡３０．０００２１６，槡３０．２１６，槡３２１６，槡３２１６０００，…，你 能发现什么规律？用计算器计算槡３１００ （精确到０．００１），并利用你发现的 规律求槡３０．１，槡３０．０００１，槡３１０００００的近似值． １．求下列各式的值： 槡３６４ （１）槡３１０００； （２）槡３－０．００１； （３）槡３－１； （４）－ ． ２７ ２．用计算器求下列各式的值： （１）槡３１７２８； （２）槡３１５６２５； （３）±槡３２１９７． ３．比较３，４，槡３５０的大小． ４．立方根概念的起源与几何中的正方体有关．如果一个正方体的体积为犞，这个 正方体的棱长为多少？ 习题１３．２  １．判断下列说法是否正确： （１）２是８的立方根； （２）±４是６４的立方根； １ １ （３）－ 是－ 的立方根； ３ ２７ （４）（－４）３ 的立方根是－４． ８７ !"#$%&’２．下列各式是否有意义？为什么？ 槡３ １ （１）－３槡３； （２）槡３－３； （３）槡３（－３）３； （４） ． １０３ ３．求下列各式的值： 槡３ ８ 槡３ ３７ 槡３７ （１）－槡３０．０２７； （２） － ； （３） １－ ； （４） －１． ２７ ６４ ８ ４．用计算器计算下列各式的值 （精确到０．００１）： 槡３８ （１）槡３８６８； （２）槡３０．４２６２５４； （３）－ ； （４）±槡３２４０２． ２５  ５．求下列各式中狓的值： ３ （１）狓３＝０．００８； （２）狓３－３＝ ； （３）（狓－１）３＝６４． ８ ６．一个正方体的体积扩大为原来的８倍，它的棱长变为原来 的多少倍？扩大为原来的２７倍呢？狀倍呢？ ７．如图，要生产一种容积为５０Ｌ的圆柱形热水器，使它的 高等于底面直径的２倍，这种容器的底面直径应取多少分 米 （用计算器计算，结果保留小数点后一位）？ ８．比较下列各组数的大小： ３ （１）３槡９与２．５； （２）３槡３与 ． ２ （第７题）   ９． （１）求槡３２３，槡３（－２）３，槡３（－３）３，槡３４３，槡３０３ 的值．对于任意数犪，槡３犪３ 等于 多少？ （２）求（ ３槡８ ） ３，（ 槡３－８ ） ３，（ 槡３２７ ） ３，（ 槡３－２７ ） ３，（ ３槡０ ） ３ 的值．对于任意数犪， （ 槡３犪 ） ３等于多少？ １０．任意找一个数，比如１２３４，利用计算器对它进行开立方，再对得到的立方根进 行开立方……如此进行下去，你有什么发现？ ８８ !"#$%&’１３．３ 实数  我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数的形式，你 有什么发现？ ５ ３ ２７ １１ ９ ，－ ， ， ， ． ２ ５ ４ ９ １１ 我们发现，上面的分数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 ５ ３ ２７ １１ ９ · ·· ＝２．５，－ ＝－０．６， ＝６．７５， ＝１．２， ＝０．８１． ２ ５ ４ ９ １１ 事实上，如果把整数看成小数点后是０的小数 （例如，将３看成３．０）， 那么任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，任 何有限小数或无限循环小数也都是有理数． 通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环 小数，无限不循环小数又叫做无理数 （ｉｒｒａｔｉｏｎａｌｎｕｍｂｅｒ）．例如槡２，－槡５， ３槡２，３槡３等都是无理数，π＝３．１４１５９２６５…也是无理数． 像有理数一样，无理数也有正负之分．例如，槡２，３槡３，π是正无理数， －槡２，－３槡３，－π是负无理数． 有理数和无理数统称实数 （ｒｅａｌｎｕｍｂｅｒ）．这样，我们学过的数可以这样分类： 正有理数 烄 烌 有理数 烅０ 烍 有限小数或无限循环小数 烄 负有理数 实数 烆 烎 烅 正无理数 烄 烌 烆无理数 无限不循环小数 烅 烍 负无理数 烆 烎 由于非０有理数和无理数都有正负之分，实数也有正负之分，所以实数还 可以按大小分类如下： 正实数 烄 实数 烅０ 烆负实数 ８９ !"#$%&’我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示．无理数是否也可以用 数轴上的点表示出来呢？  如图１３．３１，直径为１个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周， 圆上的一点由原点到达点犗′，点犗′对应的数是多少？ O(cid:0) 1(cid:0) 2(cid:0) 3(cid:0)O(cid:0)′ 4(cid:0) 图１３．３１ 从图中可以看出，犗犗′的长是这个圆的周长π，所以点犗′对应的数是π． 这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来． 又如，以单位长度为边长画一个正方形 （图１３．３２），以原点为圆心，正 方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示 槡２，与负半轴的交点就 表示－槡２．（为什么？） 2 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 图１３．３２ 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来． 当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表 示一个实数．与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点 表示的实数总比左边的点表示的实数大． 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数．  （１）槡２的相反数是 ，－π的相反数是 ，０的相反数 是 ； （２）｜槡２｜＝ ，｜－π｜＝ ，｜０｜＝ ． ９０ !"#$%&’数犪的相反数是－犪，这里犪表示任意一个实数． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；０的 绝对值是０．即设犪表示一个实数，则 烄犪，当犪＞０时； ｜犪｜＝烅０，当犪＝０时； 烆－犪，当犪＜０时． 例１ （１）分别写出－槡６，π－３．１４的相反数； （２）指出－槡５，１－３槡３分别是什么数的相反数； （３）求槡３－６４的绝对值； （４）已知一个数的绝对值是槡３，求这个数． 解：（１）因为 －（－槡６）＝槡６，－（π－３．１４）＝３．１４－π， 所以，－槡６，π－３．１４的相反数分别为槡６，３．１４－π． （２）因为 －（槡５）＝－槡５，－（３槡３－１）＝１－３槡３， 所以，－槡５，１－３槡３分别是槡５，３槡３－１的相反数． （３）因为 槡３－６４＝－槡３６４＝－４， 所以 槡３－６４ ＝｜－４｜＝４． （４）因为 ｜槡３｜＝槡３，｜－槡３｜＝槡３， 所以绝对值为槡３的数是槡３或－槡３． 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除 （除 数不为０）、乘方运算，而且正数及０可以进行开 随着数的进一步 扩充，负数将可以进 平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算． 行开方运算，这是我 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算 们今后要学的． 性质等同样适用． ９１ !"#$%&’例２ 计算下列各式的值： （１）（ 槡３＋槡２ ）－槡２； （２）３槡３＋２槡３． 解：（１） （ 槡３＋槡２ ）－槡２ ＝槡３＋（ 槡２－槡２ ） （加法结合律） ＝槡３＋０＝槡３； （２） ３槡３＋２槡３ ＝（３＋２）槡３ （分配律） ＝５槡３． 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所 要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算． 例３ 计算（结果保留小数点后两位）： （１）槡５＋π； （２）槡３·槡２． 解：（１）槡５＋π≈２．２３６＋３．１４２≈５．３８； （２）槡３·槡２≈１．７３２×１．４１４≈２．４５． １．请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来： 槡２，－１．５，槡５，π，３． -2(cid:0)(cid:0)A(cid:0) 0(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) D(cid:0)E(cid:0) 4(cid:0) （第１题） ２．求下列各数的相反数与绝对值： π ２．５，－槡７，－ ，槡３－２，０． ２ ３．求下列各式中的实数狓： ２ （１）｜狓｜＝ ； （２）｜狓｜＝０； ３ （３）｜狓｜＝槡１０； （４）｜狓｜＝π． ４．计算： （１）２槡２－３槡２； （２） 槡２－槡３ ＋２槡２． ９２ !"#$%&’习题１３．３  １．判断下列说法是否正确： （１）无限小数都是无理数； （２）无理数都是无限小数； （３）带根号的数都是无理数； （４）所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数； （５）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数． ２．把下列各数分别填在相应的集合中： ２２ π ，３．１４１５９２６５， 槡７， －８， ３槡２，０．６，０， 槡３６， ． ７ ３ … … 有理数集合 无理数集合 ３．求下列各数的绝对值： 槡２ ３槡－８，槡１７，－ ，槡３－１．７，１．４－槡２． ３ ４．用计算器计算 （结果保留小数点后两位）： （１）槡５－槡３＋０．１４５； （２）３槡６－π－槡２． ５．计算： （１）３槡２＋２槡２； （２）３槡３－ －３槡３ ．  ６．比较下列各组数的大小： 槡５－２ 槡２ 槡３ （１）π，３．１４６； （２）槡３，１．７３２； （３）槡５－３， ； （４） ， ． ２ ２ ３ ７． （１）有没有最小的正整数？有没有最小的整数？ （２）有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？ （３）有没有最小的正实数？有没有最小的实数？ ８．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让 这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时 间狋（单位：ｓ）与细线的长度犾（单位：ｍ）之间 满足关系狋＝２π 槡犾 ．当细线的长度为０．５ｍ时，小 （第８题） １０ ９３ !"#$%&’重物来回摆动一次所用的时间是多少 （结果保留小数点后一位）？   ９．已知数０．１０１００１０００１００００１…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个１之间 依次多一个０．这个数是有理数还是无理数？为什么？   为什么说槡２不是有理数 公元前６世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点， 即 “万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比 （分数） 表示．后来，当这一学派中的希帕索斯 （Ｈｉｐｐａｓｕｓ）发现 边长为１的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比 表示，即槡２不是有理数时，毕达哥拉斯学派感到惊恐不安． 由此，引发了第一次数学危机． 随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认 毕达哥拉斯 （Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ， 槡２不是有理数，并给出了证明．下面给出槡２不是有理数的 约公元前５８０—约前５００）， 证明方法． 古希腊数学家，毕达哥拉 斯学派的主要代表人物． 假设槡２是有理数，那么存在两个互质的正整数狆，狇，使得 狆 槡２＝ ， 狇 于是 狆＝槡２狇． 两边平方得 狆２＝２狇２． 由２狇２ 是偶数，可得狆２ 是偶数．而只有偶数的平方才是偶数，所以狆也是偶数． 因此可设狆＝２狊，代入上式，得４狊２＝２狇２，即 狇２＝２狊２． 所以狇也是偶数．这样，狆和狇都是偶数，不互质，这与假设狆，狇互质矛盾． 这个矛盾说明，槡２不能写成分数的形式，即槡２不是有理数．实际上，槡２是无限不循 环小数． 用类似的方法，你能证明３槡２不是有理数吗？ 事实上，无理数只是一种命名，并非 “无理”，而是实际存在的不能写成分数形式的 数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映． ９４ !"#$%&’ 书书书   

１．制作一个表面积为１２ｄｍ２ 的正方体纸盒． （１）这个正方体的棱长是多少？ （２）做出这个正方体纸盒． ２．制作一个底面半径为１０ｃｍ，高为２０ｃｍ的圆柱形纸盒． （１）圆柱的侧面展开图是什么形状？ （２）这个侧面展开图各边的长分别是多少？ （３）做出这个圆柱形纸盒． 

据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访 问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有 一道智力题：一个数是５９３１９，希望求它的立方 根．华罗庚脱口而出：３９．邻座的乘客十分惊奇， 忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的 吗？请按照下面的问题试一试： 华罗庚 （１９１０—１９８５） （１）由１０３＝１０００，１００３＝１００００００，你能 确定槡３５９３１９是几位数吗？ （２）由５９３１９的个位上的数是９，你能确定 槡３５９３１９的个位上的数是几吗？ （３）如果划去５９３１９后面的三位３１９得到 数５９，而 ３３＝２７，４３＝６４，由此你能确定 槡３５９３１９的十位上的数是几吗？ 已知１９６８３，１１０５９２都是整数的立方，按 照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ ９５ !"#$%&’小 结 一、本章知识结构图       



 二、回顾与思考 本章我们学习了平方根和立方根，并通过开平方、开立方运算认识了一些 不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围由有理数扩充到实 数．随着数的扩充，数的运算也有了新的发展．在实数范围内，不仅能进行加、 减、乘、除四则运算，而且对０和任意正数能进行开平方运算，对任意实数能 进行开立方运算． 本章中，我们通过类比有理数及其运算，引入了实数的相反数、绝对值等 概念，以及实数的运算和运算律，学习时应注意体会类比这种研究方法的作 用．实数与数轴上的点是一一对应的，因此，我们可以利用数轴将 “数”与 “形”联系起来，这对理解实数的有关概念及运算很有帮助． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．数的概念是怎样从正整数逐步发展到实数的？随着数的不断扩充，数的 运算有什么发展？加法与乘法的运算律始终保持不变吗？ ２．回顾平方根与立方根的概念．乘方运算与开方运算有什么关系？ ３．无理数和有理数的区别是什么？ ４．实数由哪些数组成？实数与数轴上的点有什么关系？ ９６ !"#$%&’复习题１３  １．求下列各数的算术平方根及平方根： ４ （１）６４； （２）０．２５； （３） ； ９ （ ） ４ （４）５６； （５） － ２； （６）１０４． １３ ２．求下列各数的立方根： １ （１）－ ； （２）－０．００８； ６４ ２７ （３） ； （４）３６． ８ ３．求下列各式的值： 槡４９ （１）－ ； （２）槡３－１； ２５ （３）槡０．１６； （４）槡３０．０２７． ４．下列各数分别界于哪两个相邻的整数之间？ （１）槡２８； （２）槡３８； （３）槡３９９． ５．用计算器求下列各式的值 （精确到０．００１）： （１）－槡９４．３； （２）槡３０．４３； （３）槡５５２２５； （４）槡３３４０１２２２４． ６．０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０的平方根及立方根中，哪些是有理数？哪些 是无理数？ ７．比较下列各组数的大小： （１）｜－１．５｜，１．５ ·； （２）１．４１４，槡２； ２ （３） ，０．６６６６７． ３ ８．计算下列各式的值： （ ） １ （１）槡２ （ 槡２＋２ ） ； （２）槡３槡３＋ ． 槡３  ９．已知（狓－１）２＝４，求狓的值． １０．已知｜狓｜＜２π，狓是整数，求狓的值，并在数轴上表示求得的数． ９７ !"#$%&’１１．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离狊（单位：ｋｍ）可用公式狊２＝１６．８８犺 来估计，其中犺（单位：ｍ）是眼睛离海平面的高度．如果一个人站在岸边观察， 当眼睛离海平面的高度是１．５ｍ时，能看到多远 （精确到０．０１ｋｍ）？如果登上一 个观望台，当眼睛离海平面的高度是３５ｍ时，能看到多远 （精确到０．０１ｋｍ）？ １２．一个圆与一个正方形的面积都是２πｃｍ２，它们中哪一个的周长比较大？你能从 中得到什么启示？ １３．要生产一种容积为５００Ｌ的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米 （结果保 ４ 留小数点后两位）？（球的体积公式是犞＝ π犚３，其中犚是球的半径．） ３   １４．填空： （１）一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身， 这个数是 ；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 ． （２）一个数的立方等于它本身，这个数是 ；一个数的立方根等于它本身， 这个数是 ． ９８ !"#$%&’第十四章 平面直角坐标系 在中华人民共和国成立６０周年的庆典活动中， 天安门广场上出现了壮观的背景图案，你知道它 是怎么组成的吗？ 原来，广场上有许多同学，每人都按图案设 计的要求，按排号、列号站在一个确定的位置．随 着指挥员的信号，他们举起不同颜色的花束，整 个方阵就组成了壮观的背景图案． 类似于用 “第几排第几列”来确定位置，在 数学中可以通过建立坐标系，用有顺序的两个数 来刻画平面内点的位置． 本章中，我们将学习平面直角坐标系等有关 知识，由此建立图形与数量间的联系．这将为几何 问题和代数问题的相互转化打下基础． 书书书１４．１ 平面直角坐标系 １４．１．１ 有序数对 我们都有去影剧院看电影的经历．你一定知 道，影剧院对观众席的所有座位都按 “几排几号” 编号，以便确定每一个座位在影剧院中的位置．这 样，观众就能根据入场券上的 “排数”和 “号数” 准确地 “对号入座”． 这种办法在日常生活中是常用的．比如，当发 现一本书上某页有一处印刷错误时，你可以怎样告 诉其他同学这一处的位置呢？又如，假设根据教室 平面图 （图１４．１１）写出如下通知，你知道哪些 同学参加讨论吗？ “请以下座位的同学今天放学后参加数学问题 讨论： （１，５），（２，４），（４，２），（３，３），（５，６）．” （２，４）和（４， ２）在同一位置吗？ 77 66 55 44 33 22 11 11 22 33 44 55 66   图１４．１１ １００ !"($%)*+,-./ 怎样确定教室里座位的位置？排数和列数的先后顺序对位置有影响 吗？假设我们约定 “列数在前，排数在后”，请你在图１４．１１上标出被邀 请参加讨论的同学的座位． 上面的问题都是通过像 “９排７号”“第１列第５排”这样含有两个数的 表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，例如前边 的表示 “排数”，后边的表示 “号数”．我们把这种有顺序的两个数犪与犫组成 的数对，叫做有序数对 （ｏｒｄｅｒｅｄｐａｉｒ），记作 （犪，犫）． 利用有序数对，可以准确地表示出一个位置．生活中利用有序数对表示位 置的情况是很常见的，如人们常用经纬度来表示地球上的地点等．你能再举出 一些例子吗？ 如图，甲处表示２街与５巷的十字路口，乙处表示５街与２巷的十字路口．如果用 （２，５）表示甲处的位置，那么 “（２，５）→ （３，５）→ （４，５）→ （５，５）→ （５，４）→ （５，３）→ （５，２）”表示从甲处到乙处的一种路线．请你用这种形式 写出几种从甲处到乙处的路线． 6(cid:0)巷 5(cid:0)巷 甲 4(cid:0)巷 3(cid:0)巷 2(cid:0)巷 乙 1(cid:0)巷 1(cid:0)街 2(cid:0)街 3(cid:0)街 4(cid:0)街 5(cid:0)街 6(cid:0)街 １４．１．２ 平面直角坐标系 图１４．１２是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点 都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．例如，点犃在数轴 上的坐标为－４，点犅在数轴上的坐标为２．反过来，知道数轴上一个点的坐 标，这个点在数轴上的位置也就确定了．例如，数轴上坐标为５的点是点犆． １０１ !"($%)*+,-./A(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) -5(cid:0)(cid:0) -4(cid:0)(cid:0) -3(cid:0)(cid:0) -2(cid:0)(cid:0) -1(cid:0)(cid:0) 0(cid:0) 1(cid:0) 2(cid:0) 3(cid:0) 4(cid:0) 5(cid:0) 图１４．１２  类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平 面内的点的位置呢 （例如图１４．１３中犃，犅，犆，犇各点）？ y y轴 N 4 A A(3,4) 3 2 C C 原点1 x轴 M -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 D D B B -4 图１４．１３ 图１４．１４ 如图１４．１４，我们可以在平面内画两条互相 垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系 （ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍ）．水平的数轴称 为狓轴 （狓ａｘｉｓ）或横轴，习惯上取向右为正方 向；竖直的数轴称为狔轴 （狔ａｘｉｓ）或纵轴，取 向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角 坐标系的原点． 法国数学家笛卡儿（Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ， １５９６—１６５０），最早引入坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用 系，用代数方法研究几何图形． 一个有序数对来表示了．例如，如图１４．１４，由 点犃分别向狓轴和狔轴作垂线，垂足犕在狓轴上的坐标是３，垂足犖在狔轴 上的坐标是４，我们说点犃的横坐标是３，纵坐标是４，有序数对 （３，４）就 叫做点犃的坐标 （ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ），记作犃（３，４）．类似地，请你写出点犅，犆， 犇的坐标：犅（ ， ），犆（ ， ），犇（ ， ）． １０２ !"($%)*+,-./ 原点犗的坐标是什么？狓轴和狔轴上的点的坐标有什么特点？ 可以看出，原点犗的坐标为 （０，０）；狓轴上的点的纵坐标为０，例如（１，０）， （－１，０），…；狔轴上的点的横坐标为０，例如 （０，１），（０，－１），…． 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， Ⅳ四个部分 （图１４．１５），每个部分称为象限 （ｑｕａｄｒａｎｔ），分别叫做第一象 限、第二象限、第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限． y y 5 5 A(4,5) 第二象限 第一象限 4 4 Ⅱ Ⅰ 3 3 2 2 1 1 -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x -1 -1 -2 -2 Ⅲ Ⅳ -3 -3 第三象限 -4 第四象限 -4 -5 -5 图１４．１５ 图１４．１６ 例 在平面直角坐标系（图１４．１６）中描出下列各点： 犃（４，５），犅（－２，３），犆（－４，－１），犇（２．５，－２），犈（０，－４）． 解：如图１４．１６，先在狓轴上找出表示４的点，再在狔轴上找出表示５的 点，过这两个点分别作狓轴和狔轴的垂线，垂线的交点就是点犃． 类似地，请你在图１４．１６上描出点犅，犆，犇，犈． 我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的．我们还可以得出：对于坐标 平面内任意一点犕，都有唯一的一对有序实数 （狓，狔）（即点犕的坐标）和 它对应；反过来，对于任意一对有序实数 （狓，狔），在坐标平面内都有唯一的 一点犕 （即坐标为 （狓，狔）的点）和它对应．也就是说，坐标平面内的点与 有序实数对是一一对应的． １０３ !"($%)*+,-./ 如图１４．１７，正方形犃犅犆犇的边长为６， D C 如果以点犃为原点，犃犅所在直线为狓轴，建 立平面直角坐标系，那么狔轴是哪条线？写出 正方形的顶点犃，犅，犆，犇的坐标． 请另建立一个平面直角坐标系，这时正方 形的顶点犃，犅，犆，犇的坐标又分别是什么？ A(O) B x 与同学们交流一下． 图 １ ４．１７ １．写出图中点犃，犅，犆，犇，犈，犉的坐标． y 5 E B 4 3 2 1 F -6 -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 7 x -1 -2 A -3 D -4 C （第１，２题） ２．在图中描出下列各点： 犔（－５，－３），犕（４，０），犖（－６，２），犘（５，－３．５），犙（０，５），犚（６，２）． 习题１４．１  １．如图，写出表示下列各点的有序数对： 犃（ ， ）；犅（５，２）；犆（ ， ）；犇（ ， ）；犈（ ， ）；犉（ ， ）； 犌（ ， ）；犎 （ ， ）；犐（ ， ）． １０４ !"($%)*+,-./9 I 8 7 G F 6 H 5 E 4 3 A C D 2 B 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （第１题） ２．根据点所在的位置，用 “＋”“－”填表． 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 在第一象限 ＋ ＋ 在第二象限 在第三象限 在第四象限 ３．如图，写出其中标有字母的各点的坐标，并指出它们的横坐标和纵坐标． y 5 A 4 C 3 2 B 1 D -6 -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 7 x H -1 -2 F G -3 E -4 -5 （第３题） ４．在平面直角坐标系中，描出下列各点： 点犃在狔轴上，位于原点上方，距离原点２个单位长度； 点犅在狓轴上，位于原点右侧，距离原点１个单位长度； 点犆在狓轴上方，狔轴右侧，距离每条坐标轴都是２个单位长度； 点犇在狓轴上，位于原点右侧，距离原点３个单位长度； １０５ !"#$%&’()*+, 书书书点犈在狓轴上方，狔轴右侧，距离狓轴２个单位长度，距离狔轴４个单位长度． 依次连接这些点，你能得到什么图形？ ５．如图，在所给的坐标系中描出下列各点： 犃（－４，－４），犅（－２，－２），犆（３，３），犇（５，５），犈（－３，－３），犉（０，０）． 这些点有什么关系？你能再找出一些类似的点吗？ y(cid:0) 5(cid:0) 4(cid:0) G 3(cid:0) 2(cid:0) 1(cid:0) E A F -5(cid:0)(cid:0)-4(cid:0)(cid:0)-3(cid:0)(cid:0)-2(cid:0)(cid:0)-1(cid:0)(cid:0)O(cid:0) 1 2(cid:0) 3 4 (cid:0)5 (cid:0)x(cid:0) -1(cid:0)(cid:0) D -2(cid:0)(cid:0) -3(cid:0)(cid:0) B C -4(cid:0)(cid:0) （第５题） （第６题） ６．如图，建立平面直角坐标系，使点犅，犆的坐标分别为（０，０）和（４，０），写出点 犃，犇，犈，犉，犌的坐标，并指出它们所在的象限．  ７．在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来． （１）（－５，０），（－４，３），（－３，０），（－２，３），（－１，０），（－５，０）； （２）（２，１），（６，１），（６，３），（７，３），（４，６），（１，３），（２，３），（２，１）． 观察得到的图形，你觉得它们像什么？求出所得到图形的面积． ８．建立一个平面直角坐标系，描出点犃（－２，４），犅（３，４），画直线犃犅．若点犆为 直线犃犅上的任意一点，则点犆的纵坐标是什么？想一想： （１）如果一些点在平行于狓轴的直线上，那么这些点的纵坐标有什么特点？ （２）如果一些点在平行于狔轴的直线上，那么 这些点的横坐标有什么特点？ 北 y/m ９．李强同学家在学校以东１０００ｍ再往北１５００ｍ 处，张明同学家在学校以西２０００ｍ 再往南 500 ５００ｍ处，王玲同学家在学校以南１５００ｍ处． O 500 x/m 如图，在坐标系 （规定一个单位长度代表１ｍ 学校 长）中画出这三位同学家的位置，并用坐标表 示出来． （第９题） １０６ !"($%)*+,-./１０．在平面直角坐标系中选择一些横、纵坐标满足下面条件的点，标出它们的位置， 看看它们在第几象限或哪条坐标轴上： （１）点犘（狓，狔）的坐标满足狓狔＞０； （２）点犘（狓，狔）的坐标满足狓狔＜０； （３）点犘（狓，狔）的坐标满足狓狔＝０． １１．图中正方形 （实线）四条边上横坐标、纵坐标都为整数的点有几个？写出它们的 坐标． y 3 2 1 -3 -2 -1O 1 2 3 x -1 -2 -3 （第１１题）   １２．设计一个容易用它的顶点坐标描绘出来的图形，把这些坐标告诉你的同学，看看 他能否画出你所设计的图形． １３．如图，右图是由左图平移后得到的图形，找几对特殊的对应点，分别写出它们的 坐标，你能发现什么规律吗？ y 7 6 5 4 3 2 1 -6-5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 7 x -1 -2 （第１３题） １４．已知点犗（０，０），犅（１，２），点犃在坐标轴上，且犛 ＝２，求满足条件 三角形犗犃犅 的点犃的坐标． １０７ !"($%)*+,-./  用经纬度表示地理位置 怎样表示地理位置呢？通过地球上的经度和纬度， 人们可以确定一个地点在地球上的位置． 不管在地球仪上、还是在各种地图上都布满了细线 网，这就是经线和纬线．地图上水平方向的线是纬线， 它们用度 （°）来表示地理纬度．赤道上所有的点是０纬 度，北极对应北纬９０°，南极对应南纬９０°．北京位于北 纬３９．９°，但仅用纬度确定北京的位置还是不够的，还需 要第二个坐标———经度． 地图上竖直方向的线是经线，它们也用度 （°）来表 示地理经度．经过英国格林尼治 （Ｇｒｅｅｎｗｉｃｈ）天文台的 经线是初始经线 （０经度）．它东面的所有点有东经度值 （从０°到１８０°），西面的点有西经度值．例如北京位于东经 １１６．４°，再加上北京位于北纬３９．９°，就能确定北京在地 球上的位置了． 由于地球可近似地看作一个球体，所以经线和纬线 在地球表面构成一个坐标网．经线沿东西方向分布，纬 线沿南北方向分布．指明一点的经度和纬度，就可以确 定这一点在地球上的位置． 东 经 以下是某气象台发布的一次热带风暴的风暴中心位 110 120 130 140 150 置的一些信息： 40 ９月２５日１６时：北纬１７．９°，东经１１９．４°． ９月２７日１１时：北纬２１．４°，东经１１８．６°． 北30 右图是利用经纬度画出的地图的一部分，你能在它 纬 上面找到这次热带风暴的风暴中心在上述两个时刻的位 20 置吗？ 10 １０８ !"#$%&’()*+,１４．２ 平面直角坐标系的简单应用 １４．２．１ 用坐标表示地理位置  不管是出差办事，还是出去旅游， 人们都愿意带上一幅地图，它给人们 出行带来了很大方便．如图１４．２１， 这是北京市地图的一部分，你知道怎 样用坐标表示地理位置吗？ 图１４．２１  根据以下条件画一幅示意图，标出学校和小刚家、小强家、小敏家的 位置． 小刚家：出校门向东走１５００ｍ，再向北走２０００ｍ． 小强家：出校门向西走２０００ｍ，再向北走３５００ｍ，最后向东走 ５００ｍ． 小敏家：出校门向南走１０００ｍ，再向东走３０００ｍ，最后向南走 ７５０ｍ． 如图１４．２２，选学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为狓轴、狔 轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表１ｍ长．依题目所给条 件，点 （１５００，２０００）就是小刚家的位置． 类似地，请你在图１４．２２上画出小强家、小敏家的位置，并标明它们 的坐标． １０９ !"($%)*+,-./y/m 选取学校所在 位置为原点，并以 小刚家 正东、正北方向为 (1 500,2 000) 狓轴、狔轴正方向 有什么优点？ 学校 O 500 x/m 图１４．２２  利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下： （１）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定狓轴、狔轴 的正方向； （２）根据具体问题确定单位长度； （３）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 我们知道，通过建立平面直角坐标系，可以用坐标表示平面内点的位置． 还有其他方法吗？  北 如图１４．２３，一艘船在犃处遇险后 向相距３５ｎｍｉｌｅ位于犅处的救生船报 B 警，如何用方向和距离描述救生船相对 于遇险船的位置？救生船接到报警后准 60° A 备前往救援，如何用方向和距离描述遇 险船相对于救生船的位置？ 图１４．２３ 由图１４．２３可知，救生船在遇险船北偏东６０°的方向上，与遇险船的距离 是３５ｎｍｉｌｅ，用北偏东６０°，３５ｎｍｉｌｅ就可以确定救生船相对于遇险船的位置． １１０ !"($%)*+,-./反过来，用南偏西６０°，３５ｎｍｉｌｅ就可以确定遇险船相对于救生船的位置． 一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示地理位置．此外，还可以 用方向和距离表示平面内物体的位置． !"($%)*+,-./ (cid:0)52 １．长方形零件如图 （单位：ｍｍ），建立适当的坐标系，用坐标表示孔心的位置． 货轮 北 50° 15(cid:0) 灯塔 （第１题） （第２题） ２．如图，货轮与灯塔相距４０ｎｍｉｌｅ，如何用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位 置？反过来，如何用方向和距离描述货轮相对于灯塔的位置？ １４．２．２ 用坐标表示平移 在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，图形上点的位置发生了变 化，坐标也发生了变化．  如图１４．２４，将点犃（－２，－３）向 右平移５个单位长度，得到点犃，在图上 y １ 4 标出这个点，并写出它的坐标．观察坐标 3 的变化，你能从中发现什么规律吗？把点 2 1 犃向上平移４个单位长度呢？把点犃向左 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x 或向下平移呢？ -1 再找几个点，对它们进行平移，观察 -2 -3 它们的坐标是否按你发现的规律变化． A(- 2 , - 3) 图１４．２４ １１１一般地，在平面直角坐标系中，将点 （狓，狔）向右 （或左）平移犪个单 位长度，可以得到对应点 （狓＋犪，狔） （或 （狓－犪，狔））；将点（狓，狔）向上 （或下）平移犫个单位长度，可以得到对应点 （狓，狔＋犫）（或（狓，狔－犫））．  如图１４．２５，正方形犃犅犆犇四个顶点的坐标分别是犃（－２，４）， 犅（－２，３），犆（－１，３），犇（－１，４），将正方形犃犅犆犇向下平移７个单 位长度，再向右平移８个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点犈， 犉，犌，犎，它们的坐标分别是什么？如果直接平移正方形犃犅犆犇，使点 犃移到点犈，它和我们前面得到的正方形位置相同吗？ y(cid:0) y 5(cid:0) 5 D(cid:0) D A(cid:0) 4(cid:0) A 4 3(cid:0) 3 B(cid:0) C(cid:0) B C 2(cid:0) 2 1(cid:0) 1 -6(cid:0)(cid:0)-5(cid:0)(cid:0)-4(cid:0)(cid:0)-3(cid:0)(cid:0)-2(cid:0) -1(cid:0)(cid:0)O(cid:0) 1 2 3 4 5 6 7 x(cid:0) -6 -5-4-3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 7 x -1(cid:0)(cid:0) -1 -2(cid:0)(cid:0) -2 -3(cid:0)(cid:0) -3 E H -4(cid:0)(cid:0) -4 F G -5(cid:0)(cid:0) -5 图１４．２５ 图１４．２６ 可求出点犈，犉，犌，犎的坐标分别是 （６，－３），（６，－４），（７，－４）， （７，－３）．如果直接平移正方形犃犅犆犇，使点犃移到点犈，它和我们前面得 到的正方形位置相同 （图１４．２６）． 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过 将原来的图形作一次平移得到． 对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反 过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎 样的平移． 例 如图１４．２７ （１），三角形犃犅犆三个顶点的坐标分别是犃（４，３）， 犅（３，１），犆（１，２）． （１）将三角形犃犅犆三个顶点的横坐标都减去６，纵坐标不变，分别得到 １１２ !"($%)*+,-./点犃，犅，犆，依次连接犃，犅，犆 各点，所得三角形犃犅犆 与三角形 １ １ １ １ １ １ １ １ １ 犃犅犆的大小、形状和位置有什么关系？ （２）将三角形犃犅犆三个顶点的纵坐标都减去５，横坐标不变，分别得到 点犃，犅，犆，依次连接犃，犅，犆 各点，所得三角形犃犅犆 与三角形 ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ 犃犅犆的大小、形状和位置有什么关系？ y(cid:0) y(cid:0) 4(cid:0) 4(cid:0) 3(cid:0) A(cid:0) A 1 (cid:0) (cid:0) 3(cid:0) A(cid:0) 2(cid:0) C(cid:0) C 1 (cid:0) (cid:0) 2(cid:0) C(cid:0) 1(cid:0) B(cid:0) B 1 (cid:0) (cid:0) 1(cid:0) B(cid:0) -4(cid:0)(cid:0)-3(cid:0)(cid:0)-2(cid:0)(cid:0)-1(cid:0)(cid:0)O(cid:0) 1 2(cid:0) 3 4(cid:0) x(cid:0)(cid:0) -5(cid:0)(cid:0)-4(cid:0)(cid:0)-3(cid:0)(cid:0)-2(cid:0)(cid:0)-1(cid:0)(cid:0)O(cid:0) 1 2(cid:0) 3 4(cid:0) (cid:0)x(cid:0) -1(cid:0)(cid:0) -1(cid:0)(cid:0) -2(cid:0)(cid:0) -2(cid:0)(cid:0) A 2 (cid:0) (cid:0) -3(cid:0)(cid:0) -3(cid:0)(cid:0) C 2 (cid:0) (cid:0) -4(cid:0)(cid:0) -4(cid:0)(cid:0) B(cid:0) 2(cid:0) （１） （２） 图１４．２７ 解：如图１４．２７ （２），所得三角形犃犅犆 与三角形犃犅犆的大小、形状 １ １ １ 完全相同，三角形犃犅犆 可以看作将三角形犃犅犆向左平移６个单位长度得 １ １ １ 到．类似地，三角形犃犅犆 与三角形犃犅犆的大小、形状完全相同，它可以 ２ ２ ２ 看作将三角形犃犅犆向下平移５个单位长度得到．  （１）如果将这个问题中的 “横坐标都减去６”“纵坐标都减去５”相应 地变为 “横坐标都加３”“纵坐标都加２”，分别能得出什么结论？画出得 到的图形． （２）如果将三角形犃犅犆三个顶点的横坐标都减去６，同时纵坐标都 减去５，能得到什么结论？画出得到的图形． 一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加 （或 减去）一个正数犪，相应的新图形就是把原图形向右 （或向左）平移犪个单位 长度；如果把它各个点的纵坐标都加 （或减去）一个正数犪，相应的新图形就 是把原图形向上 （或向下）平移犪个单位长度． １１３ !"($%)*+,-./如图，将平行四边形犃犅犆犇向左平移２个单位长 y 4 度，然后再向上平移３个单位长度，可以得到平 3 行四边形犃′犅′犆′犇′，画出平移后的图形，并指出其 2 D 各个顶点的坐标． 1 C -3 -2 -1O 1 2 3 4 x -1 A-2 B -3 习题１４．２  １．如图，三辆汽车犘，犙，犚保持编队行驶，分别写出它们的坐标．当汽车犘行驶 到犘′位置时，汽车犙，犚行驶到了什么位置？分别写出这三辆汽车新位置的 坐标． y y 4 3 B P′ 2 1 Q P -3 -2 -1O 1 2 3 4 x O 1 x -1 R A -2 -3 （第１题） （第２题） ２．如图，机械手要将一个工件从图中犃处移动到犅处，但是这个工件不能碰到图中 的红色障碍，试用坐标写出一条机械手在移动中可能要走过的路线． ３．如图，长方形犃犅犆犇四个顶点分别是犃（－３，２），犅（－３，－２），犆（３，－２）， 犇（３，２）．将长方形向左平移２个单位长度，各个顶点的坐标变为什么？将它向上 平移３个单位长度呢？分别画出平移后的图形． １１４ !"($%)*+,-./y y 5 (-1,4) 4 4 3 3 A 2 D 2 1 1 (1,1) -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 x -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 x -1 -1 (-4,-1) B -2 C -2 -3 -3 （第３题） （第４题） ４．选择题．如图，将三角形向右平移２个单位长度，再向上平移３个单位长度，则平 移后三个顶点的坐标是 （ ）． （Ａ）（２，２），（３，４），（１，７） （Ｂ）（－２，２），（４，３），（１，７） （Ｃ）（－２，２），（３，４），（１，７） （Ｄ）（２，－２），（３，３），（１，７） ５．如图，这是一所学校的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示 教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆的位置．类似地，你能用坐标表示你自 己学校各主要建筑物的位置吗？ 比例尺： 北 1:10 000 图书馆 北 A 校门 国旗杆 教学楼 40° 实验楼 B （第５题） （第６题） ６．如图，在一次活动中，位于犃处的１班准备前往相距５ｋｍ的犅处与２班会合， 如何用方向和距离描述２班相对于１班的位置？反过来，如何用方向和距离描述 １班相对于２班的位置？  ７．制作动画片时，经常要用到图形的平移．如图，小鸭子从犃到犅， 7 6 5 再到犆，到犇，这几个过程中，分别进行了怎样的平移？ 4 3 B C ８．如图，三角形犃犅犆中任意一点犘（狓，狔）经平移后对应点为 2 A D ０ ０ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 犘（狓＋５，狔＋３），将三角形犃犅犆作同样的平移得到三角形 １ ０ ０ 犃犅犆．求犃，犅，犆 的坐标． （第７题） １ １ １ １ １ １ １１５ !"($%)*+,-./y 6 y 5 A P (x +5, y +3) 4 4 1 0 0 A(-2, 3) 3 3 2 B 2 P(x , y ) 1 0 0 1 C(2, 0) -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 x -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 7x -1 -1 B(-4,-1) -2 -2 （第８题） （第９题） ９．如图，三角形犃犗犅中，犃，犅两点的坐标分别为 （２，４），（６，２），求三角形犃犗犅的面积．（提示：三 角形犃犗犅的面积可以看作一个长方形的面积减去一些 y 小三角形的面积．） 3 A B １０． 如图，长方形 犃犅犆犇 四个顶点的坐标分别是 2 D C 犃（２，２槡２），犅（５，２槡２），犆（５，槡２），犇（２，槡２）． 1 将这个长方形向下平移２槡２个单位长度，得到长方形 O 1 2 3 4 5 6 x 犃′犅′犆′犇′．求长方形犃′犅′犆′犇′四个顶点的坐标． （第１０题）   １１．如图，三角形犆犗犅是由三角形犃犗犅经过某种变换后得到的图形，观察点犃与 点犆的坐标之间的关系．三角形犃犗犅内任意一点犕的坐标为 （狓，狔），点犕经 过这种变换后得到点犖，点犖的坐标是什么？ 北 y 4 A 3 2 M 1 狮虎山 B -2 -1O 1 2 3 4 5 6 x -1 猴山 -2 N -3 C （第１１题） （第１２题） １２．如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图，如果这个坐标系 分别以正东、正北方向为狓轴、狔轴的正方向，并且猴山和狮虎山的坐标分别是 （２，１）和 （８，２）．你能在此图上标出熊猫馆 （６，６）的位置吗？ １１６ !"($%)*+,-./   

近年来，园林部门为了对古树名木进行系 统养护，建立了相关的地理信息系统，其中重 要的一条就是要确定这些树的位置． 如下图，某小区有树龄百年以上的古松树４棵 （Ｓ，Ｓ，Ｓ，Ｓ），古槐树６棵 （Ｈ ，Ｈ ，Ｈ ， １ ２ ３ ４ １ ２ ３ Ｈ ，Ｈ ，Ｈ ）．为了加强对古树的保护，园林部门 ４ ５ ６ 将４棵古松树的位置用坐标表示为Ｓ（３，９）， １ Ｓ（５，１０），Ｓ（１１，６），Ｓ（１２，１１）． ２ ３ ４ 类似地，你能在下图中把６棵古槐树的位 置也用坐标表示出来吗？ S4 S2 S 1 H6 H 4 H 1 H 3 S3 H 2 H 5 请以小组的形式完成下面的活动： （１）收集一些当地古树名木的资料，特别是有关它们具体位置的记 载，并为它们编号； （２）建立适当的平面直角坐标系，为上述树木绘制一幅平面分布图； （３）你也可以收集一些校园或自己家附近有代表性的建筑，绘制出相 关的平面分布图． １１７ !"($%)*+,-./

春天到了，七 （２）班组织同学到人民公园春游，张明、李华对着景 区示意图 （图１）如下描述牡丹园的位置 （图中小正方形的边长代表 １００ｍ长）． 张明：“牡丹园的坐标是 （３００，３００）．” 李华：“牡丹园在中心广场东北方向约４２０ｍ处．” 北 音乐台 牡丹园 湖心亭 西门 中心广场 东门 望春亭 游乐园 南门 图１ 实际上，他们所说的位置都是正确的．你知道张明同学是如何在景区 示意图上建立坐标系的吗？你理解李华同学所说的 “东北方向约４２０ｍ 处”的含义吗？ 用他们的方法，你能描述公园内其他景点的位置吗？与同学们交流 一下． １１８ !"#$%&’()*+, 书书书小 结 一、本章知识结构图       

 
 P x, y 二、回顾与思考 本章我们通过具体实例学习了平面直角坐标系等知识，应用坐标方法解决 了一些简单问题． 建立平面直角坐标系后，对于坐标平面内任意一点犕，都有唯一的一对有 序实数 （狓，狔）和它对应；反过来，对于任意一对有序实数 （狓，狔），在坐标 平面内都有唯一的点犕和它对应．这样，我们就可以数形结合地研究问题． 坐标方法有广泛的应用．例如，我们可以利用坐标描述一些地点的分布情况； 还可以通过直角坐标系中对应点的坐标之间的关系，研究图形平移等问题．这种用 数和运算来研究几何问题的方法是非常重要的，今后我们将不断地看到它的应用． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．在日常生活中，我们可以用有序数对来描述物体的位置．以教室中座位 位置为例，说明有序数对 （狓，狔）和 （狔，狓）是否相同以及为什么． ２．平面直角坐标系由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成．请你举例说 明如何建立平面直角坐标系，在直角坐标平面内描出点犘（２，４）和原点的位 置，并指出点犘和原点的横坐标和纵坐标． 平面直角坐标系的两条坐标轴将平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，这四 个部分依次称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限．请你在直角坐标 平面内描出点犃（２，１），犅（－２，１），犆（－２，－１），犇（２，－１）的位置，并 说明它们所在的象限． ３．平面直角坐标系具有广泛的应用，请你举例说明它的应用． １１９ !"($%)*+,-./复习题１４  １．指出下列各点的横坐标和纵坐标，并指出各点所在的象限． 犃（２，３），犅（－２，３），犆（－２，－３），犇（２，－３）． ２．如图，写出八边形各顶点的坐标． y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 （第２题） ３．在同一平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来． （１）（２，０），（４，０），（２，２），（２，０）； （２）（０，２），（０，４），（－２，２），（０，２）； （３）（－４，０），（－２，－２），（－２，０），（－４，０）； （４）（０，－２），（２，－２），（０，－４），（０，－２）． 观察所得的图形，你觉得它像什么？ ４．图中标明了李明家附近的一些地方． y/m 300 200 100 -300 -200 -100O 100 200 300 400x/m -100 -200 （第４题） １２０ !"($%)*+,-./（１）写出书店和邮局的坐标； （２）某星期日早晨，李明同学从家里出发，沿 （－１００，２００），（１００，０），（２００， １００），（２００，－２００），（－１００，－２００），（０，－１００）的路线转了一下，又回 到家里，写出他路上经过的地方； （３）连接他在 （２）中经过的地点，你能得到什么图形？ ５．如图，红色图形可以由蓝色图形经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？ y y 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 -6 -5-4-3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 x -6 -5-4-3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 x -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 -6 -6 （１） （２） （第５题）  ６． （１）坐标 （狓，３）中的狓取－３，－２，－１，０，１，２，３所表示的点是否在一条 直线上？这条直线与狓轴有什么关系？ （２）坐标 （３，狔）中的狔取－３，－２，－１，０，１，２，３所表示的点是否在一条 直线上？这条直线与狓轴有什么关系？ ７．图中显示了１０名学生平均每周用于阅读课外 用 于 书的时间和用于看电视的时间 （单位：ｈ）． 阅 读 （１）用有序数对表示图中各点． 的 时 （２）图中有一个点位于方格的对角线上， 间 这表示什么意思？ 5 （３）图中方格纸的对角线的左上方的点有 什么共同的特点？它右下方的点呢？ （４）估计一下你每周用于阅读课外书的时 间和用于看电视的时间，在图上描出 用于看电视的时间 5 来，这个点位于什么位置？ （第７题） １２１ !"($%)*+,-./８．某村过去是一个缺水的村庄，由于兴修水利，现在家家户户都用上了自来水．据 村委会主任徐伯伯讲，以前全村４００多户人家只有五口水井：第一口在村委会的 院子里，第二口在村委会北偏东３０°方向２０００ｍ处，第三口在村委会正西方向 １５００ｍ处，第四口在村委会东南方向１０００ｍ处，第五口在村委会正南方向９００ｍ 处．请你根据徐伯伯的话，和同学们一起讨论，画图表示这个村庄五口水井的位置． ９．如图，平行四边形犃犅犆犗四个顶点的坐 y 标分别是犃（槡３，槡３），犅（３槡３，槡３）， 2 犆（２槡３，０），犗（０，０）．将这个平行四边 A B 形向左平移槡３个单位长度，得到平行四 1 边形犃′犅′犆′犗′．求平行四边形犃′犅′犆′犗′ O 1 2 3 C 4 5 6 x 四个顶点的坐标． （第９题）   １０．建立平面直角坐标系，并描出下列各点： 犃（１，１），犅（５，１），犆（３，３），犇（－３，３），犈（１，－２），犉（１，４），犌（３，２）， 犎（３，－２），犐（－１，－１），犑（－１，１）． 连接犃犅，犆犇，犈犉，犌犎，犐犑，找出它们中点的坐标，将上述中点的横坐标和 纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们之间 有什么关系？写出你的发现，并与其他同学进行交流． １１．如图，三角形犘犙犚是三角形犃犅犆经过 y 某种变换后得到的图形，分别写出点犃 4 与点犘，点犅与点犙，点犆与点犚的坐 3 A 2 C 标，并观察它们之间的关系．三角形 M 1 犃犅犆内任意一点犕的坐标为 （狓，狔）， B -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x 点犕经过这种变换后得到点犖，点犖 -1 的坐标是什么？ N -2 R P -3 （第１１题） １２２ !"($%)*+,-./部分中英文词汇索引 中文 英文 页码 方程 ｅｑｕａｔｉｏｎ ３ 一元一次方程 ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｎｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ ３ 解 ｓｏｌｕｔｉｏｎ ４ 邻补角 ａｄｊａｃｅｎｔａｎｇｌｅｓｏｎａｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅ ３８ 对顶角 ｏｐｐｏｓｉｔｅａｎｇｌｅｓ ３８ 垂直 ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ ３９ 垂线 ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｌｉｎｅ ３９ 垂足 ｆｏｏｔｏｆａｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ ３９ 同位角 ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｎｇｌｅｓ ４２ 内错角 ａｌｔｅｒｎａｔｅｉｎｔｅｒｉｏｒａｎｇｌｅｓ ４２ 同旁内角 ｉｎｔｅｒｉｏｒａｎｇｌｅｓｏｎｔｈｅｓａｍｅｓｉｄｅ ４２ 平行 ｐａｒａｌｌｅｌ ４７ 命题 ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ５６ 定理 ｔｈｅｏｒｅｍ ５７ 证明 ｐｒｏｏｆ ５７ 平移 ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ６５ 算术平方根 ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｓｑｕａｒｅｒｏｏｔ ７６ 被开方数 ｒａｄｉｃａｎｄ ７６ 平方根 ｓｑｕａｒｅｒｏｏｔ ８１ 开平方 ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｏｆｓｑｕａｒｅｒｏｏｔ ８１ 立方根 ｃｕｂｅｒｏｏｔ ８５ 开立方 ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｏｆｃｕｂｅｒｏｏｔ ８５ 根指数 ｒａｄｉｃａｌｅｘｐｏｎｅｎｔ ８６ 无理数 ｉｒｒａｔｉｏｎａｌｎｕｍｂｅｒ ８９ 实数 ｒｅａｌｎｕｍｂｅｒ ８９ １２３ 012345678有序数对 ｏｒｄｅｒｅｄｐａｉｒ １０１ 平面直角坐标系 ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍ １０２ 狓轴 狓ａｘｉｓ １０２ 狔轴 狔ａｘｉｓ １０２ 坐标 ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ １０２ 象限 ｑｕａｄｒａｎｔ １０３ １２４ 012345678后 记 本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发 中心依据教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的，经国家基础 教育课程教材专家工作委员会2013年审查通过。 本册教科书集中反映了基础教育教科书研究与实验的成果，凝聚了参与课 改实验的教育专家、学科专家、教研人员以及一线教师的集体智慧。 我们感谢 所有对教科书的编写、出版提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友，感谢整 体设计艺术指导吕敬人等。 本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、 画作）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持。 对此，我们表示衷心的感 谢！但仍有部分作者未能取得联系，恳请入选作品的作者与我们联系，以便支 付稿酬。 我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝 贵意见，并将这些意见和建议及时反馈给我们。 让我们携起手来，共同完成义 务教育教材建设工作！ 联系方式 电 话：010-58758322 电子邮箱：jcfk@pep.com.cn 人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 2013年5月® YIWU JIAOYU JIAOKESHU 义 SHUXUE 务 教 育 部 审 定 教 育 七年级 教 科 义务教育教科书 书 ︵ （五·四学制） 五 · 四 上册 学 制 ︶ 数学 七年级 上册 数 数学 学 七 年 级 上 册 绿色印刷产品 数学七年级上带标封面.indd 1 2013.5.30 10:03:44 AM