2017年江苏省盐城市中考数学试卷（含解析版）_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_2017年全国中考数学160份

2017年江苏省盐城市中考数学试卷 一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1．﹣2的绝对值是（ ） 1 1 A．2 B．－2 C． D． 2 2 2．如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ） A．圆柱B．球 C．圆锥 D．棱锥 3．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．数据6，5，7.5，8.6，7，6的众数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．下列运算中，正确的是（ ） A．7a+a=7a2B．a2•a3=a6 C．a3÷a=a2D．（ab）2=ab2 1 6．如图，将函数y  (x2)2 1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象， 2 其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的 面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）1 1 A．y  (x2)2 2 B．y  (x2)2 7 2 2 1 1 C．y  (x2)2 5 D．y  (x2)2 4 2 2 二、填空题（每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上） 7．请写出一个无理数 ． 8．分解因式a2b﹣a的结果为 ． 9．2016年12月30日，盐城市区内环高架快速路网二期工程全程全线通车，至此 已通车的内环高架快速路里程达 57000 米，用科学记数法表示数 57000 为 ． 10．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 11．如图，是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝 色随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概 率是 ． 12．在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置， 则∠1= °．13．若方程x2﹣4x+1=0的两根是x ，x ，则x （1+x ）+x 的值为 ． 1 2 1 2 2 14．如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在 上，点D在上，若∠ACB=70°，则 ∠ADB= °．21教育网 15．如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC绕某点旋转到△A'B'C'的位置 则点B运动的最短路径长为 ． 6 16．如图，曲线l是由函数 y  在第一象限内的图象绕坐标原点 O逆时针旋转 x 45°得到的，过点A（4 2 ，4 2 ），B（2 2 ，2 2 ）的直线与曲线l相交于点M、 N，则△OMN的面积为 ．三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 1 17．（本题满分6分）计算: 4 ( )1 20170 2 3x1 x1 18．（本题满分6分）解不等式组： x4＜4x2 x3 5 19．（本题满分8分）先化简，再求值： (x2 )，其中x 3 3． x2 x2 20．为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽 同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”． （1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机 选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ； （2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选 “富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法 求小丽回答正确的概率． 21．“大美湿地，水韵盐城”．某校数学兴趣小组就“最想去的盐城市旅游景 点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点 下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求被调查的学生总人数；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的 度数； （3）若该校共有800名学生，请估计“最想去景点B“的学生人数． 22．如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于 点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由． 23．某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购 进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒， 该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为 60元/盒． （1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？ （2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？24．如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆 形纸片放置在三角板内部． （1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线 CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹） （2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止， 若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长． 25．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交 于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y 轴上，⊙F与y轴相交于另一点G． （1）求证：BC是⊙F的切线； （2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径； （3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．26．【探索发现】 如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且 面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形 的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三 角形面积的比值为 ．【拓展应用】 如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别 在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ． （用含a，h的代数式表示） 【灵活应用】 如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中 剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】 如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm， CD=60cm，且tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC 上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积． 1 27．如图，在平面直角坐标系中，直线y  x2与x轴交于点A，与y轴交于点 2 1 C，抛物线y   x2 bxc经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． 2（1）求抛物线的函数表达式； （2）点D为直线AC上方抛物线上一动点； ①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S ，△BCE的面 1 S 积为S ，求 1 的最大值； 2 S 2 ②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某 个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 2017 年江苏省盐城市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.【出处：21教育名师】 1．﹣2的绝对值是（ ） A．2 B．﹣2 C． D． 【考点】15：绝对值． 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 【解答】解：﹣2的绝对值是2， 即|﹣2|=2． 故选：A．2．如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ） A．圆柱B．球 C．圆锥 D．棱锥 【考点】U3：由三视图判断几何体． 【分析】根据三视图即可判断该几何体． 【解答】解：由于主视图与左视图是三角形， 俯视图是圆，故该几何体是圆锥， 故选（C） 3．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】P3：轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：D的图形沿中间线折叠，直线两旁的部分可重合， 故选：D． 4．数据6，5，7.5，8.6，7，6的众数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】W5：众数． 【分析】直接利用众数的定义分析得出答案． 【解答】解：∵数据6，5，7.5，8.6，7，6中，6出现次数最多， 故6是这组数据的众数． 故选：B．5．下列运算中，正确的是（ ） A．7a+a=7a2B．a2•a3=a6 C．a3÷a=a2D．（ab）2=ab2 【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法． 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、除法法则、积的乘方法则一一计 算即可判断． 【解答】解： A、错误、7a+a=8a． B、错误．a2•a3=a5． C、正确．a3÷a=a2． D、错误．（ab）2=a2b2 故选C． 6．如图，将函数y= （x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象， 其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的 面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ） A． B． C． D． 【考点】H6：二次函数图象与几何变换． 【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作 AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1 ），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移 规律即可求解． 【解答】 解：∵函数y= （x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n）， ∴m= （1﹣2）2+1=1 ，n= （4﹣2）2+1=3， ∴A（1，1 ），B（4，3）， 过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1 ）， ∴AC=4﹣1=3， ∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分）， ∴AC•AA′=3AA′=9， ∴AA′=3， 即将函数y= （x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的 图象， ∴新图象的函数表达式是y= （x﹣2）2+4． 故选D． 二、填空题（每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上）7．请写出一个无理数 ． 【考点】26：无理数． 【分析】根据无理数定义，随便找出一个无理数即可． 【解答】解： 是无理数． 故答案为： ． 8．分解因式a2b﹣a的结果为 a （ ab﹣ 1 ） ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】根据提公因式法分解即可． 【解答】解：a2b﹣a=a（ab﹣1）， 故答案为：a（ab﹣1）． 9．2016年12月30日，盐城市区内环高架快速路网二期工程全程全线通车，至此 已通车的内环高架快速路里程达 57000 米，用科学记数法表示数 57000 为 5.7 × 10 4 ． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确 定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移 动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将57000用科学记数法表示为：5.7×104． 故答案为：5.7×104． 10．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≥ 3 ． 【考点】72：二次根式有意义的条件． 【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解． 【解答】解：根据题意得x﹣3≥0， 解得x≥3． 故答案为：x≥3．11．如图，是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝 色随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概 率是 ． 【考点】X4：概率公式． 【分析】共有3种情况，上方的正六边形涂红色的情况只有1种，利用概率公式可 得答案． 【解答】解：上方的正六边形涂红色的概率是 ， 故答案为： ． 12．在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置， 则∠1= 12 0 °． 【考点】K8：三角形的外角性质；K7：三角形内角和定理． 【分析】根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°， 故答案为：120． 13．若方程x2﹣4x+1=0的两根是x ，x ，则x （1+x ）+x 的值为 5 ． 1 2 1 2 2【考点】AB：根与系数的关系． 【分析】先根据根与系数的关系得到x +x =4，x x =1，然后把x（1+x ）+x 展开得 1 2 1 2 1 2 2 到x +x +x x ，然后利用整体代入的方法计算即可． 1 2 1 2 【解答】解：根据题意得x +x =4，x x =1， 1 2 1 2 所以x （1+x ）+x =x +x x +x 1 2 2 1 1 2 2 =x +x +x x 1 2 1 2 =4+1 =5． 故答案为5． 14．如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在 上，点D在 上，若∠ACB=70°，则 ∠ADB= 11 0 °．2·1·c·n·j·y 【考点】M5：圆周角定理． 【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵点C在 上，点D在 上，若∠ACB=70°， ∴∠ADB+∠ACB=180°， ∴∠ADB=110°， 故答案为：110． 15．如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC绕某点旋转到△A'B'C'的位置 则点B运动的最短路径长为 π ．【考点】O4：轨迹；R2：旋转的性质． 【分析】如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P，点P即为旋转中心，观察 图象可知，旋转角为90°（逆时针旋转）时B运动的路径长最短 【解答】解：如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P，点P即为旋转中心， 观察图象可知，旋转角为90°（逆时针旋转）时B运动的路径长最短，PB= = ， ∴B运动的最短路径长为= = π， 故答案为 π． 16．如图，曲线l是由函数y= 在第一象限内的图象绕坐标原点 O逆时针旋转 45°得到的，过点A（﹣4 ，4 ），B（2 ，2 ）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为 8 ． 【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G5：反比例函数系数k的几何意义． 【分析】由题意A（﹣4 ，4 ），B（2 ，2 ），可知OA⊥OB，建立如图新的坐 标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据S =S △OMN △OBM ﹣S 计算即可． △OBN 【解答】解：∵A（﹣4 ，4 ），B（2 ，2 ）， ∴OA⊥OB， 建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴． 在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0）， ∴直线AB解析式为y′=﹣2x′+8， 由 ，解得 或 ， ∴M（1.6），N（3，2）， ∴S =S ﹣S = •4•6﹣ •4•2=8， △OMN △OBM △OBN故答案为8 三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17．计算： +（ ）﹣1﹣20170． 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂． 【分析】首先计算开方，乘方、然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的 值是多少即可． 【解答】解：原式=2+2﹣1=3． 18．解不等式组： ． 【考点】CB：解一元一次不等式组． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大 中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．2-1-c-n-j-y 【解答】解：解不等式3x﹣1≥x+1，得：x≥1， 解不等式x+4＜4x﹣2，得：x＞2， ∴不等式组的解集为x＞2． 19．先化简，再求值： ÷（x+2﹣ ），其中x=3+ ． 【考点】6D：分式的化简求值． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简 结果，把x的值代入计算即可求出值．【版权所有：21教育】 【解答】解：原式= ÷（ ﹣ ）= ÷ = • = ， 当x=3+ 时，原式= = = ． 20．为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽 同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句 唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．21教育名师原创作品 （1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机 选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ；21cnjy.com （2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选 “富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法 求小丽回答正确的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式． 【分析】（1）利用概率公式直接计算即可； （2）画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小丽回答 正确的概率． 【解答】解：（1）∵对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择， ∴若随机选择其中一个正确的概率= ， 故答案为： ； （2）画树形图得： 由树状图可知共有4种可能结果，其中正确的有1种， 所以小丽回答正确的概率= ． 21．“大美湿地，水韵盐城”．某校数学兴趣小组就“最想去的盐城市旅游景 点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点 下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求被调查的学生总人数； （2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的 度数； （3）若该校共有800名学生，请估计“最想去景点B“的学生人数．【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图． 【分析】（1）用最想去A景点的人数除以它所占的百分比即可得到被调查的学生 总人数； （2）先计算出最想去D景点的人数，再补全条形统计图，然后用360°乘以最想去 D景点的人数所占的百分比即可得到扇形统计图中表示“最想去景点 D”的扇形 圆心角的度数；【来源：21·世纪·教育·网】 （3）用800乘以样本中最想去A景点的人数所占的百分比即可． 【解答】解：（1）被调查的学生总人数为8÷20%=40（人）； （2）最想去D景点的人数为40﹣8﹣14﹣4﹣6=8（人）， 补全条形统计图为： 扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数为 ×360°=72°； （3）800× =280， 所以估计“最想去景点B“的学生人数为280人． 22．如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于 点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质；L9：菱形的判定． 【分析】（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB，结合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得 ∠EBD=∠FDB，即可知BE∥DF，根据AD∥BC即可得证； （2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°、 ∠EBD=∠ABE=30°，结合∠A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°，即EB=ED，即可得 证．21·cn·jy·com 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC、AD∥BC， ∴∠ABD=∠CDB， ∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC， ∴∠EBD= ∠ABD，∠FDB= ∠BDC， ∴∠EBD=∠FDB， ∴BE∥DF， 又∵AD∥BC， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， ∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°， ∴∠EDB=∠EBD=30°， ∴EB=ED， 又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形． 23．某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购 进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒， 该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为 60元/盒． （1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？ （2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用． 【分析】（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x ﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同， 即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据 2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元 二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价 为（x﹣11）元/盒，www-2-1-cnjy-com 根据题意得： = ， 解得：x=35， 经检验，x=35是原方程的解． 答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒． （2）设年增长率为m， 2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）． 根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100， 解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：年增长率为20%． 24．如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆 形纸片放置在三角板内部．21*cnjy*com（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线 CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹） （2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止， 若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长． 【考点】O4：轨迹；MC：切线的性质；N3：作图—复杂作图． 【分析】（1）作∠ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O， 作射线CO即可； （2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为 ，先求出△ABC的三 边长度，得出其周长，证四边形OEDO 、四边形O O HG、四边形OO IF均为矩形、 1 1 2 2 四边形 OECF 为正方形，得出∠OO O =60°=∠ABC、∠O OO =90°，从而知 1 2 1 2 △OO O ∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案． 1 2 【解答】解：（1）如图①所示，射线OC即为所求； （2）如图，圆心O的运动路径长为 ，过点O 作O D⊥BC、O F⊥AC、O G⊥AB，垂足分别为点D、F、G， 1 1 1 1 过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O B， 2 过点O 作O H⊥AB，O I⊥AC，垂足分别为点H、I， 2 2 2 在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°， ∴AC= = =9 ，AB=2BC=18，∠ABC=60°， ∴C =9+9 +18=27+9 ， △ABC ∵O D⊥BC、O G⊥AB， 1 1 ∴D、G为切点， ∴BD=BG， 在Rt△O BD和Rt△O BG中， 1 1 ∵ ， ∴△O BD≌△O BG（HL）， 1 1 ∴∠O BG=∠O BD=30°， 1 1 在Rt△O BD中，∠O DB=90°，∠O BD=30°， 1 1 1 ∴BD= = =2 ，∴OO =9﹣2﹣2 =7﹣2 ， 1 ∵O D=OE=2，O D⊥BC，OE⊥BC， 1 1 ∴O D∥OE，且O D=OE， 1 1 ∴四边形OEDO 为平行四边形， 1 ∵∠OED=90°， ∴四边形OEDO 为矩形， 1 同理四边形O O HG、四边形OO IF、四边形OECF为矩形， 1 2 2 又OE=OF， ∴四边形OECF为正方形， ∵∠O GH=∠CDO =90°，∠ABC=60°， 1 1 ∴∠GO D=120°， 1 又∵∠FO D=∠O O G=90°， 1 2 1 ∴∠OO O =360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC， 1 2 同理，∠O OO =90°， 1 2 ∴△OO O ∽△CBA， 1 2 ∴ = ，即 = ， ∴ =15+ ，即圆心O运动的路径长为15+ ． 25．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交 于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y 轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．21·世纪*教育网 （1）求证：BC是⊙F的切线； （2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径； （3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．【考点】MR：圆的综合题． 【分析】（1）连接 EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到 ∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结 论； （2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）作FR⊥AD于R，得到四边形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根据垂径 定理解答即可． 【解答】（1）证明：连接EF， ∵AE平分∠BAC， ∴∠FAE=∠CAE， ∵FA=FE， ∴∠FAE=∠FEA， ∴∠FEA=∠EAC， ∴FE∥AC， ∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线； （2）解：连接FD， 设⊙F的半径为r， 则r2=（r﹣1）2+22， 解得，r= ，即⊙F的半径为 ； （3）解：AG=AD+2CD．证明：作FR⊥AD于R， 则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°， ∴四边形RCEF是矩形， ∴EF=RC=RD+CD， ∵FR⊥AD， ∴AR=RD， ∴EF=RD+CD= AD+CD， ∴AG=2FE=AD+2CD． 26．【探索发现】 如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且 面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形 的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三 角形面积的比值为 ．【来源：21cnj*y.co*m】 【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别 在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ． （用含a，h的代数式表示） 【灵活应用】 如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中 剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】 如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm， CD=60cm，且tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC 上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积． 【考点】LO：四边形综合题． 【分析】【探索发现】：由中位线知EF= BC、ED= AB、由 = 可得； 【拓展应用】：由△APN∽△ABC知 = ，可得PN=a﹣ PQ，设PQ=x，由S 矩形 =PQ•PN═﹣ （x﹣ ）2+ ，据此可得； PQMN 【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知 AE=EH20 、 CD=DH=16 ， 分 别 证 △ AEF≌ △ HED 、 △ CDG≌ △ HDE 得 AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利 用【探索发现】结论解答即可； 【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH= BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两 端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得． 【解答】解：【探索发现】 ∵EF、ED为△ABC中位线， ∴ED∥AB，EF∥BC，EF= BC，ED= AB， 又∠B=90°， ∴四边形FEDB是矩形， 则 = = = ， 故答案为： ； 【拓展应用】 ∵PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴ = ，即 = ， ∴PN=a﹣ PQ， 设PQ=x， 则S =PQ•PN=x（a﹣ x）=﹣ x2+ax=﹣ （x﹣ ）2+ ， 矩形PQMN ∴当PQ= 时，S 最大值为 ， 矩形PQMN故答案为： ； 【灵活应用】 如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H， 取BF中点I，FG的中点K， 由题意知四边形ABCH是矩形， ∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16， ∴EH=20、DH=16， ∴AE=EH、CD=DH， 在△AEF和△HED中， ∵ ， ∴△AEF≌△HED（ASA）， ∴AF=DH=16， 同理△CDG≌△HDE， ∴CG=HE=20， ∴BI= =24， ∵BI=24＜32， ∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上， 过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为 ×BG•BF= ×（40+20）×（32+16）=720， 答：该矩形的面积为720； 【实际应用】 如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H， ∵tanB=tanC= ， ∴∠B=∠C， ∴EB=EC， ∵BC=108cm，且EH⊥BC， ∴BH=CH= BC=54cm， ∵tanB= = ， ∴EH= BH= ×54=72cm， 在Rt△BHE中，BE= =90cm， ∵AB=50cm， ∴AE=40cm， ∴BE的中点Q在线段AB上， ∵CD=60cm，∴ED=30cm， ∴CE的中点P在线段CD上， ∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上， 由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为 BC•EH=1944cm2， 答：该矩形的面积为1944cm2． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C， 抛物线y= x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D为直线AC上方抛物线上一动点； ①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S ，△BCE的面 1 积为S ，求 的最大值； 2 ②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某 个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 21*cnjy*com 【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据题意得到A（﹣4，0），C（0，2）代入y=﹣ x2+bx+c，于是得到结论； （2）①如图，令y=0，解方程得到x =﹣4，x =1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于 1 2 M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论； ②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB 的中点P，求得P（﹣ ，0），得到PA=PC=PB= ，过作x轴的平行线交y轴于R， 交AC的延线于G，情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二， ∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2）， ∵抛物线y=﹣ x2+bx+c经过A、C两点， ∴ ， ∴ ， ∴y=﹣ x2﹣ x+2； （2）①如图，令y=0， ∴﹣ x2﹣ x+2=0， ∴x =﹣4，x =1， 1 2 ∴B（1，0）， 过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N， ∴DM∥BN， ∴△DME∽△BNE，∴ = = ， 设D（a，=﹣ a2﹣ a+2）， ∴M（a， a+2）， ∵B（1.0）， ∴N（1， ）， ∴ = = （a+2）2+ ； ∴当a=2时， 的最大值是 ； ②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2）， ∴AC=2 ，BC= ，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P， ∴P（﹣ ，0）， ∴PA=PC=PB= ， ∴∠CPO=2∠BAC， ∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）= ， 过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG， ∴∠CDG=∠BAC， ∴tan∠CDG=tan∠BAC= ， 即 ， 令D（a，﹣ a2﹣ a+2）， ∴DR=﹣a，RC=﹣ a2﹣ a， ∴ ， ∴a =0（舍去），a =﹣2， 1 2 ∴x =﹣2， D 情况二，∴∠FDC=2∠BAC， ∴tan∠FDC= ， 设FC=4k， ∴DF=3k，DC=5k， ∵tan∠DGC= = ， ∴FG=6k， ∴CG=2k，DG=3 k，∴ ∴RC= k，RG= k，DR=3 k﹣ k= k， ∴ = = ， ∴a =0（舍去），a = ， 1 2 点D的横坐标为﹣2或﹣ ． 2017年7月1日