文档内容
2017年湖北省黄石市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数是有理数的是（ ）
A．﹣ B． C． D．
π
2．（3分）地球绕太阳公转的速度约为110000km/h，则110000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.11×106 B．1.1×105 C．0.11×105 D．1.1×106
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a0＝0 B．a3+a2＝a5 C．a2•a﹣1＝a D． + ＝
5．（3分）如图，该几何体主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下表是某位男子马拉松长跑运动员近6次的比赛成绩（单位：分钟）
第几次 1 2 3 4 5 6
比赛成绩 145 147 140 129 136 125
则这组成绩的中位数和平均数分别为（ ）
A．137、138 B．138、137 C．138、138 D．137、139
第1页（共21页）7．（3分）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝ ，则
∠CDE+∠ACD＝（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
8．（3分）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对下列结论： ab＞0， abc＞0，
① ② ③
＜1，其中错误的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．（3分）如图，已知 O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝
2，则 O的半径长⊙为（ ）
⊙
A． B． C． D．
10．（3分）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE＝∠ABE+∠CBD，AC＝1，则
BD必定满足（ ）
第2页（共21页）A．BD＜2 B．BD＝2
C．BD＞2 D．以上情况均有可能
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：x2y﹣4y＝ ．
12．（3分）分式方程 ＝ ﹣2的解为 ．
13．（3分）如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6 ，则该扇形的弧长为
． π
14．（3分）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在
该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100
米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为 米．
（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
15．（3分）甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则
a+b＝9的概率为 ．
16．（3分）观察下列等式：
＝1﹣ ＝
+ ＝1﹣ + ﹣ ＝
+ + ＝1﹣ + ﹣ + ﹣ ＝
…
请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数） ．（写出最简计算结果即
第3页（共21页）可）
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
17．（7分）计算：（﹣2）3+ +10+|﹣3+ |．
18．（7分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a＝2sin60°﹣tan45°．
19．（7分）已知关于x的不等式组 恰好有两个整数解，求实数a的取值范
围．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2）若该方程的两实根x 、x 满足x +2x ＝9，求m的值．
1 2 1 2
21．（8分）如图， O是△ABC的外接圆，BC为 O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE
并延长交 O于⊙D点，连接BD并延长至F，⊙使得BD＝DF，连接CF、BE．
（1）求证⊙：DB＝DE；
（2）求证：直线CF为 O的切线．
⊙
22．（8分）随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车，对环保有着非常
积极的意义，某市有关部门对本市的某一型号的若干辆汽车，进行了一项油耗抽样实验：
即在同一条件下，被抽样的该型号汽车，在油耗1L的情况下，所行驶的路程（单位：km）进
行统计分析，结果如图所示：
第4页（共21页）（注：记A为12～12.5，B为12.5～13，C为13～13.5，D为13.5～14，E为14～14.5）
请依据统计结果回答以下问题：
（1）试求进行该试验的车辆数；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该市有这种型号的汽车约900辆（不考虑其他因素），请利用上述统计数据初步预
测，该市约有多少辆该型号的汽车，在耗油1L的情况下可以行驶13km以上？
23．（8分）小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情
进行统计分析后得出如下规律：
该蔬菜的销售单价P（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足关系：P＝9﹣x；
①该蔬菜的平均成本y（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足二次函数关系y＝
②ax2+bx+10．
已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L（单位：元/千克）最大？
最大平均利润是多少？（注：平均利润＝销售单价﹣平均成本）
24．（9分）在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打
印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 ：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩
形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP＝BC，如图所示．
（1）如图 ，求证：BA＝BP；
①
第5页（共21页）（2）如图 ，点Q在DC上，且DQ＝CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，
②
求 的值；
（3）如图 ，已知AD＝1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接
BF，T为B③F的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM＝BN，请证明：
△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．
25．（10分）如图，直线l：y＝kx+b（k＜0）与函数y＝ （x＞0）的图象相交于A、C两点，与x轴
相交于T点，过A、C两点作x轴的垂线，垂足分别为B、D，过A、C两点作y轴的垂线，垂
足分别为E、F；直线AE与CD相交于点P，连接DE．设A、C两点的坐标分别为（a， ）、
（c， ），其中a＞c＞0．
（1）如图 ，求证：∠EDP＝∠ACP；
（2）如图①，若A、D、E、C四点在同一圆周上，求k的值；
（3）如图②，已知c＝1，且点P在直线BF上，试问：在线段AT上是否存在点M，使得
OM⊥AM？③如存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共21页）2017年湖北省黄石市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】利用有理数的定义判断即可．
【解答】解：有理数为﹣ ，无理数为 ， ， ，
π
故选：A．
【点评】此题考查了实数，熟练掌握有理数与无理数的定义是解本题的关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将110000用科学记数法表示为：1.1×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
4．【分析】根据整式的运算法则以及分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）a0＝1（a≠0），故A错误；
（B）a2与a3不是同类项，故B错误；
（D）原式＝ ，故D错误；
故选：C．
第7页（共21页）【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
5．【分析】根据三棱柱的特点并结合选项作出正确的判断即可．
【解答】解：三棱柱的主视图为矩形，
∵正对着的有一条棱，
∴矩形的中间应该有一条实线，
故选：B．
【点评】考查了简单几何体的三视图的知识，解题的关键是了解中间的棱是实线还是虚线，
难度不大．
6．【分析】根据中位数的定义和平均数的求法计算即可，中位数是将一组数据按照从小到大
（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据
的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：把这组数据按从大到小的顺序排列是：125，129，136，140，145，147，
故这组数据的中位数是：（136+140）÷2＝138；
平均数＝（125+129+136+140+145+147）÷6＝137．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数的定义和平均数的求法，解题的关键是牢记定义，此题比较简
单，易于掌握．
7．【分析】根据直角三角形的性质得到BC＝2DE＝ ，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝
90°，根据三角函数的定义得到∠A＝60°，求得∠ACD＝∠B＝30°，得到∠DCE＝60°，于是
得到结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，
∴BC＝2DE＝ ，
∵AB＝2，AC＝1，
∴AC2+BC2＝12+（ ）2＝4＝22＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠A＝ ＝ ，
∴∠A＝60°，
∴∠ACD＝∠B＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∵DE＝CE，
第8页（共21页）∴∠CDE＝60°，
∴∠CDE+∠ACD＝90°，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握勾
股定理的逆定理是解题的关键．
8．【分析】根据抛物线的开口方向，判断a的符号，对称轴在y轴的右侧判断b的符号，抛物
线和y轴的交点坐标判断c的符号，以及抛物线与x轴的交点个数判断b2﹣4ac的符号．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∴ab＜0，故 错误；
∵抛物线和y①轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴abc＞0，故 正确；
∵抛物线与x轴②有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴ ＜1，故 正确；
③
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的
关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
9．【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再
由AD＝AB可得出△ABD是等边三角形，则DE＝ AD，∠ODE＝ ∠ADB＝30°，根据锐
角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵ O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，
∴⊙∠BAD＝60°．
∵AD＝AB＝2，
∴△ABD是等边三角形．
第9页（共21页）∴DE＝ AD＝1，∠ODE＝ ∠ADB＝30°，
∴OD＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关
键．
10．【分析】据∠DBE＝∠ABE+∠CBD，且△BED的内角和为180°，得出∠AED+∠CDE＝
180°，判定AE∥CD，由AE＝CD，推出四边形AEDC为平行四边形推出DE＝AC．则BC＝
CD＝DE＝1，推出BD＜BC+CD＝2．
【解答】证明：∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，同理∠CBD＝∠CDB
∵∠ABC＝2∠DBE，
∴∠ABE+∠CBD＝∠DBE，
∵∠ABE＝∠AEB，∠CBD＝∠CDB，
∴∠AEB+∠CDB＝∠DBE，
∴∠AED+∠CDE＝180°，
∴AE∥CD，
∵AE＝CD，
∴四边形AEDC为平行四边形．
∴DE＝AC＝AB＝BC．
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝CD＝1，
在△BCD中，∵BD＜BC+CD，
∴BD＜2．
故选：A．
第10页（共21页）【点评】本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判
定定理．解题时注意，同旁内角互补，两直线平行．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x﹣2）（x+2）．
故答案为：y（x﹣2）（x+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式
是解题关键．
12．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝3﹣4x+4，
解得：x＝ ，
经检验x＝ 是分式方程的解，
故答案为：x＝
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．【分析】首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式S扇形 ＝ lR
（其中l为扇形的弧长），求得扇形的弧长．
【解答】解：设扇形的半径是R，则 ＝6 ，
π
解得：r＝6，
设扇形的弧长是l，则 lr＝6 ，即3l＝6 ，
π π
解得：l＝2 ．
故答案是：π2 ．
π
第11页（共21页）【点评】本题考查了扇形面积和弧长的计算，熟练掌握扇形的面积公式和弧长的公式是解
题的关键．
14．【分析】设AB＝x米，由∠ACB＝45°得BC＝AB＝x、BD＝BC+CD＝x+100，根据tan∠ADB
＝ 可得关于x的方程，解之可得答案．
【解答】解：设AB＝x米，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝x米，
则BD＝BC+CD＝x+100（米），
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝30°，
∴tan∠ADB＝ ＝ ，即 ＝ ，
解得：x＝50+50 ≈137，
即建筑物AB的高度约为137米
故答案为：137．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思
想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．
15．【分析】利用列表法即可解决问题．
【解答】解：甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，所有可能的结果是：
满足a+b＝9的有4种可能，
∴a+b＝9的概率为 ＝ ，
故答案为 ．
【点评】本题考查的是古典型概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
第12页（共21页）其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
16．【分析】根据上述各式的规律即可求出第n个式子的计算结果．
【解答】解：n＝1时，结果为： ＝ ；
n＝2时，结果为： ＝ ；
n＝3时，结果为：
所以第n个式子的结果为：
故答案为：
【点评】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据已给出的式子找出规律，本题属于基
础题型．
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
17．【分析】原式利用乘方的意义，算术平方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义化
简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣8+4+1+3﹣ ＝﹣ ．
【点评】此题考查了实数的运算，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根
据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可．
【解答】解：原式＝[ ﹣ ]•（a﹣1）
＝ •（a﹣1）
＝
当a＝2sin60°﹣tan45°＝2× ﹣1＝ ﹣1时，
原式＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关
键，也考查了特殊锐角的三角函数值．
第13页（共21页）19．【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可
以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
【解答】解：解5x+1＞3（x﹣1）得：x＞﹣2，
解 x≤8﹣ x+2a得：x≤4+a．
则不等式组的解集是：﹣2＜x≤4+a．
不等式组只有两个整数解，是﹣1和0．
根据题意得：0≤4+a＜1．
解得：﹣4≤a＜﹣3．
【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：
同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝16+4m2＞0，由此可证出该方程
有两个不等的实根；
（2）根据根与系数的关系可得x +x ＝4 、x •x ＝﹣m2 ，结合x +2x ＝9 ，可求出x 、
1 2 1 2 1 2 1
x 的值，将其代入 中即可求出m的值①． ② ③
2
【解答】（1）证明：②∵在方程x2﹣4x﹣m2＝0中，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）＝16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x 、x ，
1 2
∴x +x ＝4 ，x •x ＝﹣m2 ．
1 2 1 2
∵x 1 +2x 2 ＝①9 ， ②
∴联立 ③解之，得：x
1
＝﹣1，x
2
＝5，
∴x
1
•x 2①＝﹣③5＝﹣m2，
解得：m＝± ．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0
时，方程有两个不相等的实数根”；（2）联立x +x ＝4 、x +2x ＝9 ，求出x 、x 的值．
1 2 1 2 1 2
21．【分析】（1）欲证明DB＝DE，只要证明∠DBE＝∠①DEB； ③
（2）欲证明直线CF为 O的切线，只要证明BC⊥CF即可；
【解答】（1）证明：∵⊙E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，
∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC，
第14页（共21页）∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE．
（2）连接CD．
∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴ ＝ ，
∴BD＝CD，
∵BD＝DF，
∴CD＝DB＝DF，
∴∠DBC＝∠DCB，∠F＝∠DCF，
∴2∠DBC+2∠F＝180°，
∴∠DBC+∠F＝90°，
∴∠BCF＝90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是 O的切线．
⊙
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的
判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考
常考题型．
22．【分析】（1）根据C所占的百分比以及频数，即可得到进行该试验的车辆数；
（2）根据B的百分比，计算得到B的频数，进而得到D的频数，据此补全频数分布直方图；
（3）根据C，D，E所占的百分比之和乘上该市这种型号的汽车的总数，即可得到结果．
【解答】解：（1）进行该试验的车辆数为：9÷30%＝30（辆），
（2）B：20%×30＝6（辆），
D：30﹣2﹣6﹣9﹣4＝9（辆），
第15页（共21页）补全频数分布直方图如下：
（3）900× ＝660（辆），
答：该市约有660辆该型号的汽车，在耗油1L的情况下可以行驶13km以上．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图以及扇形统计图的运用，解题时注意：通过扇形
统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单
位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
23．【分析】（1）将x＝4、y＝2和x＝6、y＝1代入y＝ax2+bx+10，求得a、b即可；
（2）根据“平均利润＝销售价﹣平均成本”列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函
数的性质求解可得．
【解答】解：（1）将x＝4、y＝2和x＝6、y＝1代入y＝ax2+bx+10，
得： ，
解得： ，
∴y＝ x2﹣3x+10；
（2）根据题意，知L＝P﹣y＝9﹣x﹣（ x2﹣3x+10）＝﹣ （x﹣4）2+3，
∴当x＝4时，L取得最大值，最大值为3，
答：4月份的平均利润L最大，最大平均利润是3元/千克．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和二次函
数的性质是解题的关键．
24．【分析】（1）如图 中，设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝ a．通过计算得出AB＝BP＝
a，由此即可证明；①
第16页（共21页）（2）如图 中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最
小．设AD②＝BC＝QD＝a，则AB＝CD＝ a，可得CQ＝CQ′＝ a﹣a，由CQ′∥AB，
推出 ＝ ＝ ＝ ；
（3）如图 中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．由S△MNT ＝ •TH•CK+ •TH•BK＝
③
HT•（KC+KB）＝ HT•BC＝ HT，利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图 中，设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝ a．
①
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
∵PC＝AD＝BC＝a，
∴PB＝ ＝ a，
∴BA＝BP．
（2）解：如图 中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周
长最小． ②
设AD＝BC＝QD＝a，则AB＝CD＝ a，
∴CQ＝CQ′＝ a﹣a，
∵CQ′∥AB，
第17页（共21页）∴ ＝ ＝ ＝ ．
（3）证明：如图 中，设MN交AF于H．由（2）可知CF＝PD＝PM，
③
∴PF＝AB，AN＝FM，可得△FMH≌△ANH，
∴HM＝HN，AH＝HF，连接TH交BC于K，
由（2）可知，AD＝BC＝1，AB＝CD＝ ，DP＝CF＝ ﹣1，
∵S△MNT ＝ •TH•CK+ •TH•BK＝ HT•（KC+KB）＝ HT•BC＝ HT，
∵TH∥AB∥FM，TF＝TB，
∴HM＝HN，
∴HT＝ （FM+BN），
∵BN＝PM，
∴HT＝ （FM+PM）＝ PF＝ •（1+ ﹣1）＝ ，
∴S△MNT ＝ HT＝ ＝定值．
解法二：延长MT交AB的延长线于点O．只要证明△MFT≌△OBT，可得NO＝PF＝ ．
根据△MNT的面积等于△MNO面积的一半即可解决问题；
【点评】本题考查相似形综合题、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、梯形
的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，
构造梯形的中位线解决问题，属于中考压轴题．
25．【分析】（1）由P、E、D的坐标可表示出PA、EP、PC和DP的长，可证明△EPD∽△CPA，
利用相似三角形的性质可证得结论；
（2）连接AD、EC，可证明△AEC≌△CDA，可得CD＝AE，把A、C坐标代入直线l解析式，
可求得k的值；
第18页（共21页）（3）假设在线段AT上存在点M，使得OM⊥AM，连接OM、OA，可表示出C、F、P、B的坐
标，利用直线BF的解析式可求得a的值，可求得A点坐标，可求得T点坐标，在△OAT中，
利用等积法可求得OM的长，在RtOMT中可求得MT的长，作MN⊥x轴，同理可求得MN
的长，则可求得ON的长，可判断N在线段BT上，满足条件，从而可知存在满足条件的M
点．
【解答】（1）证明：
由题意可知P（c， ），E（0， ），D（c，0），
∴PA＝a﹣c，EP＝c，PC＝ ﹣ ＝ ，DP＝ ，
∴ ＝ ＝ ，且∠EPD＝∠APC，
∴△EPD∽△CPA，
∴∠EDP＝∠ACP；
（2）解：如图1，连接AD、EC，
由（1）可知DE∥AC，
∴∠DEC+∠ECA＝180°，
∵A、D、E、C四点在同圆周上，
∴∠DEC+∠DAC＝180°，
∴∠ECA＝∠DAC，
在△AEC和△CDA中
∴△AEC≌△CDA（AAS），
第19页（共21页）∴CD＝AE，即a＝ ，可得ac＝4，
∵A、C在直线l上，
∴ ，解得k＝ ＝﹣ ＝﹣1；
（3）假设在线段AT上存在点M，使OM⊥AM，连接OM、OA，作MN⊥x轴于点N，如图2，
∵c＝1，
∴C（1，4），F（0，4），P（1， ），B（a，0），
设直线BF的解析式为y＝k′x+4，由题意可得 ，解得a＝2，
∴A（2，2），
∴AP为△DCT的中位线，
∴T（3，0），
∴AT＝ ＝
∵S△OAT ＝ OT•AB＝ AT•OM，
∴OM＝ ＝ ＝ ，
第20页（共21页）在Rt△OMT中，MT＝ ＝ ＝ ，
同理可求得MN＝ ＝ ，
在Rt△OMN中，ON＝ ＝ ＝ ，
∵2＜ ＜3，
∴点M在线段AT上，
即在线段AT上存在点M，使得OM⊥AM，M点的坐标为（ ， ）．
【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及相似三角形的判定和性质、全等三角形的判
定和性质、圆的性质、勾股定理、等积法等知识．在（1）中证得△EPD∽△CPA是解题的关
键，在（2）中构造全等三角形，求得ac＝4是解题的关键，在（3）中求得A点坐标，再分别
求得OM和ON的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度
适中．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/9/18 19:56:33；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第21页（共21页）
