文档内容
学注重提高学生的思维能力、发展应用意识和创新意识并对学生进行合理、科学的评价，对课程
改革的有效实施和深入推进、促进中学数学教学质量的提高有十分积极的作用。
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，
共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效．满分150分．考
试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回．
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的．
第1页 | 共20页1．设集合 ，集合 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．如图，在复平面内，点 表示复数 ，则图中表示 的共轭复数的点是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
4．设 ，集合 是奇数集，集合 是偶数集．若命题 ， ，则（ ）
（A） ， （B） ，
（C） ， （D） ，
【答案】D
【解析】注意到“任意”的否定是“存在”，“属于”的否定是“不属于”，将 改为 ，将
改为 ，于是有 ： ， ，故选D.
【学科网考点定位】本题考查命题的含义以及全称命题的否定，注意：“任意”的否定是“存
第2页 | 共20页在”，“属于”的否定是“不属于”.
5．函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则 ， 的值分
别是（ ）
（A） （B） ，
（C） （D） ，
6．抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．函数 的图象大致是（ ）
第3页 | 共20页8．从 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为 ，共可得到 的不同值的
个数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通
电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，
它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
第4页 | 共20页10．设函数 （ ， 为自然对数的底数）．若曲线 上存在
使得 ，则 的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
第二部分 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘
出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．
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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．二项式 的展开式中，含 的项的系数是____________．（用数字作答）
【答案】10
第5页 | 共20页【解析】由二项展开式的通项公式知，含 的项是 ，所以系数为 ，故填
.
【学科网考点定位】本题考查求二项展开式的指定项系数，属于基础题.
12．在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ， ，则
____________．
13．设 ， ，则 的值是____________．
14．已知 是定义域为 的偶函数，当 ≥ 时， ，那么，不等式
的解集是____________．
第6页 | 共20页15．设 为平面 内的 个点，在平面 内的所有点中，若点 到 点的距
离之和最小，则称点 为 点的一个“中位点”．例如，线段 上的任意点都是端点
的中位点．则有下列命题：
①若 三个点共线， 在线段上，则 是 的中位点；
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
在等差数列 中， ，且 为 和 的等比中项，求数列 的首项、公差及
前 项和．
【答案】首项为4 ，公差为0 ，或首项为1，公差为3； 或 .
第7页 | 共20页17．(本小题满分12分)
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求向量 在 方向上的投影．
（Ⅱ）由 ， ，得 ，
第8页 | 共20页18．(本小题满分12分)
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 在 这 个整数中等可能随机产生．
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 的值为 的概率 （ ）；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 次后，统计记录了
输出 的值为 的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
第9页 | 共20页甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）
运行 输出 的 输出 的值 输出 的值 运行 输出 的值 输出 的值 输出 的值
次数 值 为 的频数 为 的频数 次数 为 的频数 为 的频数 为 的频数
为 的频数
… … … …
… … … …
当 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 的值为 的频
率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；
（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出 的值为2的次数 的分布列及数学期望．
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．
（Ⅲ）若重复运行3 次程序，输出 的值为2 的次数随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3．
，
第10页 | 共20页19．(本小题满分12分)
如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ，
， ， 分别是线段 ， 的中点， 是线段 的中点．
（Ⅰ）在平面 内，试作出过点 与平面 平行的直线 ，说明理由，并证明直线
平面 ；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 交 于点 ，交 于点 ，求二面角 的余弦值．
第11页 | 共20页所以 平面 ，则 ．
所以 平面 ，则 ．
故二面角 的平面角为∠AFE （设为 ）.
设 ，则由 ， ，有 ，AB = 2，AD =1.
第12页 | 共20页又P 为AD 的中点，所以M 为AB 的中点，且 ， ，
取 ，则 ，所以 .
设平面 的一个法向量为 ，则
第13页 | 共20页即
20．(本小题满分13分)
已知椭圆 ： 的两个焦点分别为 ， ，且椭圆 经过
点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是线段 上的点，且
，求点 的轨迹方程．
第14页 | 共20页第15页 | 共20页第16页 | 共20页错（整式、分式、根式运算中，在代入、变形、整理、化简诸环节出错）；公式出错（一元二次
不等式的解集公式、斜率公式、韦达定理等）；概念出错（求轨迹方程时，忘记检验纯粹性）.
21．(本小题满分14分)
第17页 | 共20页已知函数 ，其中 是实数．设 ， 为该函
数图象上的两点，且 ．
（Ⅰ）指出函数 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 的图象在点 ， 处的切线互相垂直，且 ，求 的最小值；
（Ⅲ）若函数 的图象在点 ， 处的切线重合，求 的取值范围．
当 时，函数 的图象在点 处的切线方程为
，即 .
第18页 | 共20页号成立的条件；第（Ⅲ）问不会分离变量，把所求问题转化为函数值域问题。
第19页 | 共20页第20页 | 共20页
