文档内容
2008年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学试题及答案
第Ⅰ卷（共60分）
参考公式：
锥体的体积公式： ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
球的表面积公式： ，其中 是球的半径．
如果事件 互斥，那么 ．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．满足 ，且 的集合 的个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设 的共轭复数是 ，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的图象是（ ）
y y y y
x x x x
π O π π O π π O π π O π
2 2 2 2 2 2 2 2
A． B． C． D．
4．给出命题：若函数 是幂函数，则函数 的图象不过第四象限．在它的
逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．设函数 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
2
可得该几何体的表面积是（ ）
A． B．
3
2 2
第1页 | 共15页
俯视图 正(主)视图侧(左)视图C． D．
7．不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
8 ． 已 知 为 的 三 个 内 角 的 对 边 ， 向 量
． 若 ， 且 ， 则 角
的大小分别为（ ）
A． B． C． D．
9．从某项综合能力测试中抽取 100人的成绩，统计如表，则这 100人成绩的标准差为
（ ）
分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
A． B． C．3 D．
10．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
11．若圆 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 和 轴相切，则该圆的标
准方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数 的图象如图所示，则 满足的关系
是（ ）
y
A． B．
x
O
C． D．
1
第2页 | 共15页第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知圆 ．以圆 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个
焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．
开始
14．执行右边的程序框图，若 ，
输入p
则输出的 ．
15．已知 ， n 1，S 0
? 否
则 的
是
值等于 ．
1
S S 输出
2n
16．设 满足约束条件 结束
nn1
则 的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．（本小题满分12分）
已知函数 （ ， ）为偶函数，且函数
图象的两相邻对称轴间的距离为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）将函数 的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象，求
的单调递减区间．
18．（本小题满分12分）
现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 通晓日语， 通晓俄语，
通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
第3页 | 共15页（Ⅰ）求 被选中的概率；
（Ⅱ）求 和 不全被选中的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是等边
三角形，已知 ， ．
P
（Ⅰ）设 是 上的一点，证明：平面 平面 ；
M
（Ⅱ）求四棱锥 的体积．
D C
A
B
20．（本小题满分12分）
将数列 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数 构成的数列为 ， ． 为数列 的
前 项和，且满足 ．
（Ⅰ）证明数列 成等差数列，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比
为同一个正数．当 时，求上表中第 行所有项的和．
第4页 | 共15页21．（本小题满分12分）
设函数 ，已知 和 为 的极值点．
（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）讨论 的单调性；
（Ⅲ）设 ，试比较 与 的大小．
22．（本小题满分14分）
已知曲线 所围成的封闭图形的面积为 ，曲线 的内切圆半
径为 ．记 为以曲线 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设 是过椭圆 中心的任意弦， 是线段 的垂直平分线． 是 上异于椭圆
中心的点．
（1）若 （ 为坐标原点），当点 在椭圆 上运动时，求点 的轨迹方
程；
（2）若 是 与椭圆 的交点，求 的面积的最小值．
2008年普通高等学校招生全国统一考试答案
1．B 解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合 中必含有 ,
则 或 .选B.
2．D 解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设 ，由
第5页 | 共15页得 选D.
3．A 解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。 是偶函
数，
可排除B、D，由 的值域可以确定.选A.
4．C 解析：本小题主要考查四种命题的真假。易知原命题是真命题,则其逆否命题也是
真命题,
而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 真命题
有一个。选C.
5．A 解析：本小题主要考查分段函数问题。正确利用分段函数来进行分段求值。
选A.
6．D 解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由
一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为 选
D。
7．D解析：本小题主要考查分式不等式的解法。易知 排除B;由 符合可排除C;
由 排除A, 故选D。也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解。
8．C 解析：本小题主要考查解三角形问题。
，
.选C. 本题在求角B时,也可用验证法.
9．B 解析：本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。
选B.
10．C 解 析 主 要 考 查 三 角 函 数 变 换 与 求 值 。
第6页 | 共15页，
选C.
11．B 解析：本小题主要考查圆与直线相切问题。
设圆心为 由已知得 选B.
12．A 解析：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。
由图易得 取特殊点
.选A.
二、填空题
13． 解 析 ： 本 小 题 主 要 考 查 圆 、 双 曲 线 的 性 质 。 圆
得圆 与坐标轴的交点分别为
则 所以双曲线的标准方程为
14． 解析：本小题主要考查程序框图。
，因此输出
15．2008 解析：本小题主要考查对数函数问题。
16．11 解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个
顶点
分别为 验证知在点 时取得最大值11.
第7页 | 共15页三、解答题
17．解：（Ⅰ）
．
因为 为偶函数，
所以对 ， 恒成立，
因此 ．
即 ，
整理得 ．
因为 ，且 ，
所以 ．
又因为 ，
故 ．
所以 ．
由题意得 ，所以 ．
故 ．
因此 ．
（Ⅱ）将 的图象向右平移 个单位后，得到 的图象，
第8页 | 共15页所以 ．
当 （ ），
即 （ ）时， 单调递减，
因此 的单调递减区间为 （ ）．
18．解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基
本事件空间
{ ， ，
， ， ，
， ， ，
}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生
是等可能的．
用 表示“ 恰被选中”这一事件，则
{ ，
}
事件 由6个基本事件组成，
因而 ．
（Ⅱ）用 表示“ 不全被选中”这一事件，则其对立事件 表示“ 全被选中”
这一事件，
由于 { }，事件 有3个基本事件组成，
所以 ，由对立事件的概率公式得 ．
19．（Ⅰ）证明：在 中，
由于 ， ， ，
所以 ． P
故 ．
又平面 平面 ，平面 平面 ， M
D C
O
A
第9页 | 共15页 B平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
故平面 平面 ．
（Ⅱ）解：过 作 交 于 ，
由于平面 平面 ，
所以 平面 ．
因此 为四棱锥 的高，
又 是边长为4的等边三角形．
因此 ．
在底面四边形 中， ， ，
所以四边形 是梯形，在 中，斜边 边上的高为 ，
此即为梯形 的高，
所以四边形 的面积为 ．
故 ．
20．（Ⅰ）证明：由已知，当 时， ，
又 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
又 ．
所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列．
由上可知 ，
第10页 | 共15页即 ．
所以当 时， ．
因此
（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为 ，且 ．
因为 ，
所以表中第1行至第12行共含有数列 的前78项，
故 在表中第13行第三列，
因此 ．
又 ，
所以 ．
记表中第 行所有项的和为 ，
则 ．
21．解：（Ⅰ）因为
，
又 和 为 的极值点，所以 ，
因此
解方程组得 ， ．
（Ⅱ）因为 ， ，
所以 ，
第11页 | 共15页令 ，解得 ， ， ．
因为当 时， ；
当 时， ．
所以 在 和 上是单调递增的；
在 和 上是单调递减的．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知 ，
故 ，
令 ，
则 ．
令 ，得 ，
因为 时， ，
所以 在 上单调递减．
故 时， ；
因为 时， ，
所以 在 上单调递增．
故 时， ．
所以对任意 ，恒有 ，又 ，
因此 ，
故对任意 ，恒有 ．
22．解：（Ⅰ）由题意得
又 ，
第12页 | 共15页解得 ， ．
因此所求椭圆的标准方程为 ．
（Ⅱ）（1）假设 所在的直线斜率存在且不为零，设 所在直线方程为 ，
．
解方程组 得 ， ，
所以 ．
设 ，由题意知 ，
所以 ，即 ，
因为 是 的垂直平分线，
所以直线 的方程为 ，
即 ，
因此 ，
又 ，
所以 ，
故 ．
又当 或不存在时，上式仍然成立．
综上所述， 的轨迹方程为 ．
第13页 | 共15页（2）当 存在且 时，由（1）得 ， ，
由 解得 ， ，
所以 ， ， ．
解法一：由于
，
当且仅当 时等号成立，即 时等号成立，此时 面积的最小
值是 ．
当 ， ．
当 不存在时， ．
综上所述， 的面积的最小值为 ．
解法二：因为 ，
又 ， ，
第14页 | 共15页当且仅当 时等号成立，即 时等号成立，
此时 面积的最小值是 ．
当 ， ．
当 不存在时， ．
综上所述， 的面积的最小值为 ．
第15页 | 共15页
