文档内容
2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文）
本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效
.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项.
1．已知全集U=R,集合P=｛x︱x2≤1｝,那么
A．(-∞, -1] B．[1, +∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
i-2
2．复数 =
1+2i
4 3 4 3
A．i B．-i C．- - i D．- + i
5 5 5 5
3．如果log x log y 0,那么
1 1
2 2
A．y< x<1 B．x< y<1
C．1< xb>0)的离心率为 ，右焦点为（2 2,0），斜率为I的直线
a2 b2 3
l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.
（I）求椭圆G的方程；
（II）求DPAB的面积.
20．（本小题共13分）
若数列A :a ,a ,×××,a (n³2)满足 a -a =1(k =1,2,×××,n-1)，则称A 为E数列，记
n 1 2 n k+1 k n
S(A )=a +a +×××+a .
n 1 2 n
（Ⅰ）写出一个E数列A 满足a =a =0；
5 1 3
（Ⅱ）若a =12，n=2000，证明：E数列A 是递增数列的充要条件是a =2011；
1 n n
（Ⅲ）在a =4的E数列A 中，求使得SA =0成立得n的最小值.
1 n n
第4页 | 共9页参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）D （2）A （3）D （4）D
（5）B （6）C （7）B （8）A
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
5 2
（9） （10）2
3
1
（11）1 （12）2 2n-1 -
2
（13）（0，1） （14）6 6，7，8，
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
p
解：（Ⅰ）因为 f(x) = 4cosxsin(x+ )-1
6
3 1
= 4cosx( sinx+ cosx)-1
2 2
= 3sin2x+2cos2 x-1
= 3sin2x+cos2x
p
= 2sin(2x+ )
6
所以 f(x)的最小正周期为p
p p p p 2p
（Ⅱ）因为- x ,所以- 2x+ .
6 4 6 6 3
p p p
于是，当2x+ = ,即x = 时， f(x)取得最大值2；
6 2 6
p p p
当2x+ = - ,即x = - 时, f(x)取得最小值—1．
6 6 6
（16）（共13分）
解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
8+8+9+10 35
x = = ;
4 4
方差为
1 35 35 35 11
s2 = [(8- )2 +(9- )2 +(10- )2]= .
4 4 4 4 16
第5页 | 共9页（Ⅱ）记甲组四名同学为A ，A ，A ，A ，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙
1 2 3 4
组四名同学为B ，B ，B ，B ，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组
1 2 3 4
中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：
（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），
1 1 1 2 1 3 1 4
（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），
2 1 2 2 2 3 2 4
（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），
3 1 2 2 3 3 1 4
（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），
4 1 4 2 4 3 4 4
用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A
4 1
，B ），（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），故所求概率为P(C) = = .
1 4 2 4 3 2 4 2
16 4
（17）（共14分）
证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE//PC。
又因为DE平面BCP，
所以DE//平面BCP。
（Ⅱ）因为D，E，F，G分别为
AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。
所以四边形DEFG为平行四边形，
又因为PC⊥AB，
所以DE⊥DG，
所以四边形DEFG为矩形。
（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：
连接DF，EG，设Q为EG的中点
1
由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG= EG.
2
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。
与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，
1
且QM=QN= EG，
2
所以Q为满足条件的点.
（18）（共13分）
解：（Ⅰ） f (x) =(x-k +1)e3.
令 f
x
=0，得x = k -1．
f(x)与 f (x)的情况如下：
x （-,k -k ） k -1 （(k -1,+)
f (x) —— 0 +
第6页 | 共9页f(x) ↗ -ek-1 ↗
所以， f(x)的单调递减区间是（-,k -1）；单调递增区间是(k -1,+)
（Ⅱ）当k -10，即k 1时，函数 f(x)在[0，1]上单调递增，
所以 f （x）在区间[0，1]上的最小值为 f(0) = -k;
当0 k -11,即1 k 2时，
由（Ⅰ）知 f(x)在[0,k -1]上单调递减，在(k -1,1]上单调递增，所以 f(x)在区间[0，1]
上的最小值为 f(k -1) = -ek-1；
当k -1³t,即k = 2时，函数 f(x)在[0，1]上单调递减，
所以 f(x)在区间[0，1]上的最小值为 f(1) =(1-k)e.
（19）（共14分）
c 6
解：（Ⅰ）由已知得c = 2 2, = .
a 3
解得a = 2 3.
又b2 = a2 -c2 = 4.
x2 y2
所以椭圆G的方程为 + =1.
12 4
（Ⅱ）设直线l的方程为y = x+m.
ìy = x+m
ï
由íx2 y2 得
ï + =1
î12 4
4x2 +6mx+3m2 -12=0.
设A、B的坐标分别为(x ,y ),(x ,y )(x x ),AB中点为E(x ,y )，
1 1 2 2 1 2 0 0
x + x 3m
则x = 1 2 = - ,
0 2 4
m
y = x +m =
0 0 4
第7页 | 共9页因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB.
m
2-
4
所以PE的斜率k = = -1.
3m
-3+
4
解得m=2。
此时方程①为4x2 +12x =0.
解得x = -3,x =0.
1 2
所以y = -1,y = 2.
1 2
所以|AB|=3 2.
|-3-2+2| 3 2
此时，点P（—3，2）到直线AB：x- y+2=0的距离d = = ,
2 2
1 9
所以△PAB的面积S= | AB|×d = .
2 2
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E数列A .
5
（答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—
1，
—2，0，±1，0，—1，0都是满足条件的E的数列A ）
5
（Ⅱ）必要性：因为E数列A 是递增数列，
5
所以a -a =1(k =1,2, ,1999)．
k+1 k
所以A 是首项为12，公差为1的等差数列．
5
所以a =12+（2000—1）×1=2011．
2000
充分性，由于a —a ≤1，
2000 1000
a —a ≤1
2000 1000
……
a —a ≤1
2 1
所以a —a≤19999，即a ≤a +1999．
2000 t 2000 1
又因为a =12，a =2011,
1 2000
所以a =a +1999．
2000 1
故a -a =1>0(k =1,2, ,1999),即A 是递增数列．
n+1 n n
综上，结论得证.
（Ⅲ）对首项为4的E数列A ，由于
k
a ³ a -1=3,
2 1
a ³ a -1³ 2,
3 2
第8页 | 共9页……
a ³ a -1³ -3.
5 7
……
所以a +a + +a >0(k = 2,3, ,8)
1 2 k
所以对任意的首项为4的E数列A ，若S(A ) =0,
m m
则必有n³9.
又a = 4的E数列A :4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4满足S(A ) =0,
1 1 1
所以n是最小值是9.
第9页 | 共9页
