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2019年中考数学真题分类训练——专题八：二次函数
一、选择题
1．（2019山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的
抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-
抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB
的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴
建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为
A．y= x2 B．y=- x2 C．y= x2 D．y=- x2
【答案】B
2．（2019舟山）小飞研究二次函数y=–（x–m）2–m+1（m为常数）性质时，有如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点A（x，y）与点B（x，y）在函数图象上，若x2m，则y|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx与
1
一次函数y=ax+b的大致图象不可能是
2
A． B．C． D．
【答案】D
9．（2019遂宁）二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线 ，下列结论不正确的是
A．
B．当 时，顶点的坐标为
C．当 时，
D．当 时，y随x的增大而增大
【答案】C
10．（2019绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线 经过变换后得到抛物线
，则这个变换可以是
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位【答案】B
11．（2019济宁）将抛物线 向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到
的抛物线解析式是
A． B．
C． D．
【答案】D
12．（2019福建）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y）、C（3-m，n）、
1
D（ ，
y）、E（2，y），则y、y、y的大小关系是
2 3 1 2 3
A．yy>y B．2>y>y C．y>y>2 D．y>y>2
1 2 2 1 1 2 2 1
【答案】A
14．（2019河南）已知抛物线y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点，则n的值为
A．-2 B．-4 C．2 D．4
【答案】B
二、填空题
15．（2019广安）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为 ，由此可知该生此次实心球训练
的成绩为__________米．
【答案】10
16．（2019济宁）如图，抛物线 与直线 交于A（-1，P），B（3，q）两点，则
不等式 的解集是__________．
【答案】 或
17．（2019凉山州）当 时，直线 与抛物线 有交点，则a的取值范围是
_________．
【答案】
18．（2019安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象
相交
于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是__________．
【答案】a>1或a<-1
19．（2019哈尔滨）二次函数y=-（x-6）2+8的最大值是__________．
【答案】8
三、解答题20．（2019凉山州）已知二次函数 的图象与x轴交于 两点，且
，求a的值．
解： 的图象与x轴交于 两点，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 ．
21．（2019湖州）已知抛物线 与 轴有两个不同的交点．
（1）求 的取值范围；
（2）若抛物线 经过点 和点 ，试比较 与 的大小，并说明理由．
解：（1） ，
由题意，得 ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
（2） ，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线 ，又∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∵ ，∴ ．
22．（2019威海）在画二次函数 的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：
乙写错了常数项，列表如下：
通过上述信息，解决以下问题：
（1）求原二次函数 的表达式；
（2）对于二次函数 ，当 __________时， 的值随 的值增大而增大；
（3）若关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
解：（1）由甲同学的错误可知c=3，
由甲同学提供的数据，当x=-1时，y=6；当x=1时，y=2，
有 ，∴ ，∴a=1，由甲同学给的数据a=1，c=3是正确的；
由乙同学提供的数据，可知c=-1，
当x=-1时，y=-2；当x=1时，y=2，
有 ，∴ ，
∴a=1，b=2，∴y=x2+2x+3．
（2）y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1，∴抛物线开口向上，
∴当x≥-1时，y的值随x的值增大而增大．故答案为：≥-1．
（3）方程ax2+bx+c=k（a≠0）有两个不相等的实数根，
即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=4-4（3-k）>0，
∴k>2．
23．（2019宿迁）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件
利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少
1件．设销售单价增加 元，每天售出 件．
（1）请写出 与 之间的函数表达式；
（2）当 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利 元，当 为多少时 最大，最大值是多少？
解：（1）根据题意得， ．
（2）根据题意得， ，
解得： ， ，∵每件利润不能超过60元，
∴ ，
答：当 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元．
（3）根据题意得， ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， ，
答：当 为20时 最大，最大值是2400元．
24．（2019潍坊）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去
年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额
比去年增加了 ．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可
售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为
元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其
它费用忽略不计）
解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是 元，则去年的批发价为 元，
今年的批发销售总额为 万元，∴ ，
整理得 ，
解得 或 （不合题意，舍去），
故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
（2）设每千克的平均售价为 元，依题意
由（1）知平均批发价为24元，则有
，
整理得 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴当 元时， 取最大值，
即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元．
25．（2019南充）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢
笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．
（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50
支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不
少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？
解：（1）设钢笔、笔记本的单价分别为 、 元，根据题意可得，
解得： ．
答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元．
（2）设钢笔单价为 元，购买数量为b支，支付钢笔和笔记本总金额为W元，
①当30≤b≤50时，
，
w=b（-0.1b+13）+6（100-b） ，
∵当 时，W=720，当b=50时，W=700，
∴当30≤b≤50时，700≤W≤722.5．
②当50＜b≤60时，
a=8，
，
∵ ，
∴当30≤b≤60时，W的最小值为700元，
∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元．
26．（2019梧州）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100
件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件
（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利
润．
解：（1）由题意，y=（x-5）（100- ×5）=-10x2+210x-800，
故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800．
（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，
∴y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，
解得，x=8，x=13，
1 2
∵-10<0，抛物线的开口向下，
∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．
（3）∵每件文具利润不超过80%，
∴ ，得x≤9，
∴文具的销售单价为6≤x≤9，
由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，
∵对称轴为x=10.5，
∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，
∴当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280，
即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．
27．（2019云南）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本
为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y
（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．
解：（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），
根据题意得 ，解得 ，
∴y=-200x+1200，
当100），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，
该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，
求m的值．
解：（1）①依题意设y=kx+b，
则有 ，
解得 ，
所以y关于x的函数解析式为y=-2x+200．
②该商品进价是50-1000÷100=40，
设每周获得利润w=ax2+bx+c，则有 ，
解得 ，
∴w=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，
∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；
故答案为：40，70，1800；
（2）根据题意得，w=（x-40-m）（-2x+200）=-2x2+（280+2m）x-8000-200m，
∵对称轴x= ，
∴①当 <65时（舍），②当 ≥65时，x=65时，w求最大值1400，
解得：m=5．
30．（2019杭州）设二次函数y=（x﹣x）（x﹣x）（x，x是实数）．
1 2 1 2
（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x 时，y ．若甲求得的结果都正确，
你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x，x的代数式表示）．
1 2
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当00时，c>0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0≤b≤8，
∴–4≤x 0，
当–5≤x≤1时，函数有最小值 2b，
当–5 2时，函数有最大值1+3b，
当–2 1时，函数有最大值25–3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1+3b时，1+3b 2b=16，
∴b=6或b=–10，
∵4≤b≤8，
∴b=6；
当最大值25–3b时，25–3b 2b=16，
∴b=2或b=18，
∵2≤b≤4，
∴b=2；
综上所述b=2或b=6．33．（2019温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y x2+2x+6的图象交x轴于点A，B
（点A在点B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．
（2）把点B向上平移m个单位得点B．若点B向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B重合；
1 1 2
若点B向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B重合．已知m>0，n>0，求m，n的值．
1 3
解：（1）令y=0，则 ，
解得x=﹣2，x=6，
1 2
∴A（﹣2，0），B（6，0），
由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；
（2）由题意得，B（6，m），B（6﹣n，m），B（﹣n，m），
1 2 3
函数图象的对称轴为直线 ，
∵点B，B在二次函数图象上且纵坐标相同，
2 3
∴ ，
∴n=1，∴ ，
∴m，n的值分别为 ，1．
34．（2019宁波）如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
解：（1）把点P（﹣2，3）代入y=x2+ax+3中，
得3=（–2）2–2a+3，
解得a=2，
∴y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（﹣1，2）；
（2）①把x=2代入y=x²+2x+3，求得y=11，
当m=2时，n=11；
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|<2，
∴﹣2
