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2019年中考数学真题分类训练——专题六：一次函数
一、选择题
1.（2019衢州）如图，正方形 的边长为4，点 是 的中点，点 从点 出发，沿
移动至终点 ，设 点经过的路径长为 ， 的面积为 ，则下列图象能大致反
映 与 函数关系的是
A. B.
C. D.
【答案】C
2.（2019聊城）某快递公司每天上午9：00-10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙
仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，
那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为
A.9：15 B.9：20 C.9：25 D.9：30
【答案】B3.（2019杭州）已知一次函数y=ax+b和y=bx+a（a≠b），函数y和y的图象可能是
1 2 1 2
A. B.
C. D.
【答案】A
4.（2019邵阳）一次函数y=kx+b的图象l如图所示，将直线l向下平移若干个单位后得直线l，l的
1 1 1 1 1 2 2
函数表达式为y=kx+b.下列说法中错误的是
2 2 2
A.k=k B.bb D.当x=5时，y>y
1 2 1 2
【答案】B
5.（2019绍兴）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于
A.–1 B.0 C.3 D.4
【答案】C
6.（2019杭州）已知一次函数 和 ，函数 和 的图象可能是A. B. C. D.
【答案】A
7.（2019梧州）直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是
A.y=3x+3 B.y=3x-2 C.y=3x+2 D.y=3x-1
【答案】D
8.（2019临沂）下列关于一次函数 的说法，错误的是
A.图象经过第一、二、四象限 B. 随 的增大而减小
C.图象与 轴交于点 D.当 时，
【答案】D
9.（2019苏州）若一次函数 （ 为常数，且 ）的图象经过点 ， ，则不
等式 的解集为
A. B. C. D.
【答案】D
10.（2019绍兴）若三点 ， ， 在同一直线上，则 的值等于
A.-1 B.0 C.3 D.4
【答案】C
11.（2019扬州）若点P在一次函数 的图象上，则点P一定不在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
二、填空题
12.（2019杭州）某函数满足当自变量x=1时，函数值y=0，当自变量x=0时，函数值y=1，写出一个满足条件的函数表达式__________.
【答案】y=–x+1.
13.（2019江西）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），
点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA=1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为__________.
【答案】（2，0）或（2-2 ，0）或（2+2 ，0）
14.（2019金华）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十
里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两
图象交点P的坐标是__________.
【答案】（32，4800）
15.（2019杭州）某函数满足当自变量 时，函数值 ；当自变量 时，函数值 ，写出
一个满足条件的函数表达式__________.
【答案】 或 或 等.
16.（2019 鄂州）在平面直角坐标系中，点P（x，y）到直线Ax+By+C=0 的距离公式为：d=
0 0
，则点P（3，-3）到直线 的距离为__________.
【答案】
17.（2019郴州）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：
日期 1 2 3 4
数量（瓶） 120 125 130 135
观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为__________瓶.
【答案】15018.（2019潍坊）当直线 经过第二、三、四象限时，则 的取值范围是__________.
【答案】
19.（2019 烟台）如图，直线y=x+2 与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式
x+2≤ax+c的解为__________.
【答案】x<1
20.（2019无锡）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx-b>0的解集为
__________.
【答案】x<2
22.（2019天津）直线 与 轴交点坐标为__________.
【答案】
三、解答题
23.（2019天津）甲、乙两个批发店销售同一种苹果.在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6
元/kg.在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其
中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50 kg部分的价格为5元/kg.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 .
（1）根据题意填表：
一次购买数量/kg 30 50 150 …
甲批发店花费/元 300 …
乙批发店花费/元 350 …
（2）设在甲批发店花费 元，在乙批发店花费 元，分别求 ， 关于 的函数解析式；
（3）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买
苹果的数量为__________kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店
购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购
买数量多.
解：（1）当x=30时， ， ，
当x=150时， ， ，
故答案为：180，900，210，850.
（2） .
当 时， ；
当 时， ，即 .
（3）①∵ ∴6x ，
∴当 时，即6x=5x+100，
∴x=100，
故答案为：100.②∵x=120 ，
∴ ； ，
∴乙批发店购买花费少，
故答案为：乙.
③∵当x=50时乙批发店的花费是：350 ，
∵一次购买苹果花费了360元，∴x 50，
∴当 时，6x=360，∴x=60，
∴当 时，5x+100=360,∴x=52，
∴甲批发店购买数量多.
故答案为：甲.
24.（2019南京）已知一次函数 （k为常数，k≠0）和 .
（1）当k=﹣2时，若 > ，求x的取值范围；
（2）当x<1时， > .结合图象，直接写出k的取值范围.
解：（1）当 时， ，
根据题意，得 ，解得 .
（2）当x=1时，y=x−3=−2，
把（1，−2）代入y=kx+2得k+2=−2，解得k=−4，
1
当−4≤k<0时，y>y；
1 2
当0y.
1 2
∴k的取值范围是： 且 .
25.（2019乐山）如图，已知过点B（1，0）的直线l与直线l：y=2x+4相交于点P（-1，a）.
1 2
（1）求直线l的解析式；
1
（2）求四边形PAOC的面积.解：（1）∵点P（-1，a）在直线l：y=2x+4上，
2
∴2×（-1）+4=a，即a=2，
则P的坐标为（-1，2），
设直线l的解析式为：y=kx+b（k≠0），
1
那么 ，
解得 .
∴l的解析式为：y=-x+1.
1
（2）∵直线l与y轴相交于点C，
1
∴C的坐标为（0，1），
又∵直线l与x轴相交于点A，
2
∴A点的坐标为（-2，0），则AB=3，
而S =S -S ，
四边形PAOC △PAB △BOC
∴S = .
四边形PAOC
26.（2019天门）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，
若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折.设一次购买量为x千克，付款金额为y元.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？
解：（1）根据题意，得①当0≤x≤5时，y=20x；
②当x>5，y=20×0.8（x-5）+20×5=16x+20.
（2）把x=30代入y=16x+20，
∴y=16×30+20=500；∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元.
27.（2019台州）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人从二楼
同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度 （单位：m）与下行时间 （单位：s）
之间具有函数关系 ，乙离一楼地面的高度 （单位：m）与下行时间 （单位：s）的函数
关系如图2所示.
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面.
解：（1）设 关于 的函数解析式是 ，
，解得， ，
即 关于 的函数解析式是 .
（2）当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ，
∵ ，∴甲先到达地面.
28.（2019常德）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两
种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.
解：（1）设y =kx，根据题意得5k=100，解得k=20，∴y =20x；
甲 1 1 1 甲
设y =kx+100，根据题意得：20k+100=300，解得k=10，∴y =10x+100.
乙 2 2 2 乙
（2）①y y ，即20x>10x+100，解得x>10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算.
甲 乙
29.（2019山西）某游泳馆推出了两种收费方式.
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30
元.
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y（元），选择方式二的总费用为y
1 2
（元）.
（1）请分别写出y，y与x之间的函数表达式.
1 2
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.
解：（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y=30x+200，方式二的费用为：y=40x.
1 2
（2）由y20时，
当x>20时，选择方式一比方式二省钱.
30.（2019北京）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+1（k≠0）与直线x=k，直线y=-k分别交
于点A，B，直线x=k与直线y=-k交于点C.
（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W.
①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围.
解：（1）令x=0，y=1，
∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）.
（2）由题意，A（k，k2+1），B（ ，-k），C（k，-k），
①当k=2时，A（2，5），B（- ，-2），C（2，-2），
在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，-1），（1，0），（1，-1），（1，1），（1，2）；
②直线AB的解析式为y=kx+1，
当x=k+1时，y=-k+1，则有k2+2k=0，
∴k=-2，
当0>k≥-1时，W内没有整数点，
∴当0>k≥-1或k=-2时W内没有整数点.
31.（2019湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，
出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走
回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为 （分），图1中线段 和折
线 分别表示甲、乙离开小区的路程 （米）与甲步行时间 （分）的函数关系的图象；图2表
示甲、乙两人之间的距离 （米）与甲步行时间 （分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中
所给信息，解答下列问题：
（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
（3）在图2中，画出当 时 关于 的函数的大致图象.（温馨提示：请画在答题卷相对应的图
上）解：（1）由题意，得：甲步行的速度是 （米/分），
∴乙出发时甲离开小区的路程是 （米）.
（2）设直线 的解析式为: ，
∵直线 过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为: ，
∴当 时， ，
∴乙骑自行车的速度是 （米/分）.
∵乙骑自行车的时间为 （分），
∴乙骑自行车的路程为 （米）.
当 时，甲走过的路程是 （米），
∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是 （米）.
（3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），
乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分），
当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如图所示.32.（2019绍兴）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路
程x（千米）的函数图象.
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程.当0≤x≤150时，求1千瓦
时的电量汽车能行驶的路程.
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电
量.
解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米.
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为： （千米）；
（2）当150≤x≤200时，设y关于x的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
把点（150，35），（200，10）代入表达式，
得 ，
∴ ，
∴y=–0.5x+110，
当x=180时，y=–0.5×180+110=20.答：当150≤x≤200时，函数表达式为y=–0.5x+110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为
20千瓦时.
33.（2019宁波）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草
甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处
发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出
发，沿该公路步行25分钟后到达塔林.离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示.
（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式.
（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间.
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草
甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不
变）
解：（1）由题意得，可设函数表达式为：y=kx+b（k≠0），
把（20，0），（38，2700）代入y=kx+b，得 ，解得 ，
∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y=150x–3000（20≤x≤38）；
（2）把y=1500代入y=150x–3000，解得x=30，
30–20=10（分），
∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；
（3）设小聪坐上了第n班车，
则30–25+10（n–1）≥40，解得n≥4.5，
∴小聪坐上了第5班车，
等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150=8（分），步行所需时间：1200÷（1500÷25）=20（分），
20–（8+5）=7（分），
∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟.
34.（2019温州）如图，在平面直角坐标系中，直线y x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形
AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE.动点P在AO上从点A向终点
O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q向终点Q匀速运动，它们同时到达终点.
1 2
（1）求点B的坐标和OE的长.
（2）设点Q为（m，n），当 tan∠EOF时，求点Q的坐标.
2 2
（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合.
①延长AD交直线BC于点Q，当点Q在线段QQ上时，设QQ=s，AP=t，求s关于t的函数表达式.
3 2 3 3
②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长.
解：（1）令y=0，则 x+4=0，
∴x=8，
∴B（8，0），
∵C（0，4），
∴OC=4，OB=8，
在Rt△BOC中，BC 4 ，
又∵E为BC中点，∴OE BC=2 ；
（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，
∵E是BC的中点，
∴M是OC的中点，
∴EM OB=4，OE BC=2 ，
在正方形OADC中，CD=OC=4，
∵∠CDN=∠NEM，∠CND=∠MNE
∴△CDN∽△MEN，
∴ 1，
∴CN=MN=1，
∴EN ，
∵S EN•OF ON•EM，
△ONE
∴OF ，
由勾股定理得：EF ，∴tan∠EOF ，
∴ ，
∵n m+4，
∴m=6，n=1，
∴Q（6，1）；
2
（3）①∵动点P、Q同时作匀速直线运动，
∴s关于t成一次函数关系，设s=kt+b，
∵当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，
∴t=2时，CD=4，DQ=2，
3
∴s=QC 2 ，
3
∵Q（–4，6），Q（6，1），
3 2
∴t=4时，s 5 ，
将 或 代入得 ，解得： ，
∴s ；
②（i）当PQ∥OE时，如图2，∠QPB=∠EOB=∠OBE，
作QH⊥x轴于点H，则PH=BH PB，Rt△ABQ中，AQ=6，AB=4+8=12，
3 3
∴BQ 6 ，
3
∵BQ=6 s=6 7 t，
∵cos∠QBH ，
∴ ，
∴BH=14–3t，
∴PB=2BH=28–6t，
∴t+28–6t=12，解得t ；
（ii）当PQ∥OF时，如图3，过点Q作QG⊥AQ于点G，过点P作PH⊥GQ于点H，
3
由△QQG∽△CBO得：QG：QG：QQ=1：2： ，
3 3 3∵QQ=s ，
3
∴QG t–1，GQ=3t–2，
3
∴PH=AG=AQ–QG=6–（ t–1）=7 t，
3 3
∴QH=QG–AP=3t–2–t=2t–2，
∵∠HPQ=∠CDN，
∴tan∠HPQ=tan∠CDN ，
∴2t–2 ，
解得t ，
（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行，
综上，当PQ与△OEF的一边平行时，AP的长为 或 .
