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2019年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，只
有一项是正确的）
1．（2分）﹣3的相反数是（ ）
1 1
A． B．- C．3 D．﹣3
3 3
x+1
2．（2分）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
x-3
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠3
3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．正方体 C．圆锥 D．球
4．（2分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD
5．（2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为
（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
6．（2分）下列各数中与2+√3的积是有理数的是（ ）
A．2+√3 B．2 C．√3 D．2-√3
7．（2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中
的n可以为（ ）
第1页（共31页）1 1
A．﹣2 B．- C．0 D．
2 2
8．（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关
注日益密切．某市一天中PM2.5的值y （ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y
1 2
表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则
y 与t的函数关系大致是（ ）
2
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）计算：a3÷a＝ ．
10．（2分）4的算术平方根是 ．
11．（2分）分解因式：ax2﹣4a＝ ．
12．（2分）如果∠ ＝35°，那么∠ 的余角等于 °．
13．（2分）如果a﹣αb﹣2＝0，那么α代数式1+2a﹣2b的值是 ．
14．（2分）平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是 ．
{x=1，
15．（2分）若 是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝ ．
y=2
16．（2分）如图，AB是 O的直径，C、D是 O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝
°． ⊙ ⊙
第2页（共31页）17．（2分）如图，半径为√3的 O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，
连接OC，则tan∠OCB＝ ⊙ ．
18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3√10，点P是AD的中点，点E在BC上，
CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则
MN＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，
解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）计算：
1
（1） 0+（ ）﹣1﹣（√3）2；
2
π
（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）．
{ x+1＞0，
20．（6分）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．
3x-8≤-x，
第3页（共31页）21．（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD
相交于点E．
（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是 ；
（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．
22．（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部
分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是 ，这组数据的众数为 元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．
23．（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别
放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的
袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率
是 ；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把
第4页（共31页）摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．
（不重叠无缝隙拼接）
24．（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个
零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？
25．（8分）如图，在 ▱OABC中，OA＝2√2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC的
k
中点，反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A、D．
x
（1）求k的值；
（2）求点D的坐标．
第5页（共31页）26．（10分）【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方
法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比
尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】
（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三
角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可
得等式：n2＝ ；
【运用】
（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪
成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多
可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．
当n＝4，m＝2时，如图4，y＝ ；当n＝5，m＝ 时，y＝9；
①对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得 y＝ （用含
②m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
第6页（共31页）27．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．
（1）b＝ ；
（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点
M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点
R，且S△PQB ＝2S△QRB ，求点P的坐标．
第7页（共31页）28．（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值
称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
半径为1的圆： ；
①如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；
②（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面
内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
①若点C在 M上运动， M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线
②上．对于 M⊙上任意点C，⊙都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．
⊙
第8页（共31页）2019 年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，只
有一项是正确的）
1．（2分）﹣3的相反数是（ ）
1 1
A． B．- C．3 D．﹣3
3 3
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．
【解答】解：（﹣3）+3＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题，比
较简单．
x+1
2．（2分）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
x-3
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠3
【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
x+1
【解答】解：∵代数式 有意义，
x-3
∴x﹣3≠0，
∴x≠3．
故选：D．
【点评】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的
条件．
3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．正方体 C．圆锥 D．球
【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何
第9页（共31页）体为圆锥．
【解答】解：该几何体是圆柱．
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别
根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来
考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．
4．（2分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD
【分析】由垂线段最短可解．
【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．
故选：B．
【点评】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本
的性质定理，属于简单题．
5．（2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为
（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
【分析】直接利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：2．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对
应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的
平方．
6．（2分）下列各数中与2+√3的积是有理数的是（ ）
A．2+√3 B．2 C．√3 D．2-√3
第10页（共31页）【分析】利用平方差公式可知与2+√3的积是有理数的为2-√3；
【解答】解：∵（2+√3）（2-√3）＝4﹣3＝1；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的混合运算；熟练掌握运算规律是解题的关键．
7．（2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中
的n可以为（ ）
1 1
A．﹣2 B．- C．0 D．
2 2
【分析】反例中的n满足n＜1，使n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．
【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，
所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个
命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假
命题，只需举出一个反例即可．
8．（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关
注日益密切．某市一天中PM2.5的值y （ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y
1 2
表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则
y 与t的函数关系大致是（ ）
2
A． B．
C． D．
第11页（共31页）【分析】根据极差的定义，分别从t＝0、0＜t≤10、10＜t≤20及20＜t≤24时，极差y
2
随t的变化而变化的情况，从而得出答案．
【解答】解：当t＝0时，极差y ＝85﹣85＝0，
2
当0＜t≤10时，极差y 随t的增大而增大，最大值为43；
2
当10＜t≤20时，极差y 随t的增大保持43不变；
2
当20＜t≤24时，极差y 随t的增大而增大，最大值为98；
2
故选：B．
【点评】本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）计算：a3÷a＝ a 2 ．
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：a3÷a＝a2．
故答案为：a2．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
10．（2分）4的算术平方根是 2 ．
【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出4的算术平方根是多少即可．
【解答】解：4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确： 被开方数a是非负数； 算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平
方根与①求一个数的平方互为逆运算②，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运
算来寻找．
11．（2分）分解因式：ax2﹣4a＝ a （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣4a，
＝a（x2﹣4），
＝a（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首
先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解
为止．
第12页（共31页）12．（2分）如果∠ ＝35°，那么∠ 的余角等于 5 5 °．
【分析】若两角互α余，则两角和为α90°，从而可知∠ 的余角为90°减去∠ ，从而可解．
【解答】解：∵∠ ＝35°， α α
∴∠ 的余角等于9α0°﹣35°＝55°
故答α案为：55．
【点评】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单．
13．（2分）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是 5 ．
【分析】将所求式子化简后再将已知条件中a﹣b＝2整体代入即可求值；
【解答】解：∵a﹣b﹣2＝0，
∴a﹣b＝2，
∴1+2a﹣2b＝1+2（a﹣b）＝1+4＝5；
故答案为5．
【点评】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．
14．（2分）平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是 5 ．
【分析】作PA⊥x轴于A，则PA＝4，OA＝3，再根据勾股定理求解．
【解答】解：作PA⊥x轴于A，则PA＝4，OA＝3．
则根据勾股定理，得OP＝5．
故答案为5．
【点评】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵
坐标的绝对值．
{x=1，
15．（2分）若 是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝ 1 ．
y=2
{x=1
【分析】把 代入二元一次方程ax+y＝3中即可求a的值．
y=2
{x=1
【解答】解：把 代入二元一次方程ax+y＝3中，
y=2
a+2＝3，解得a＝1．
故答案是：1．
【点评】本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．
16．（2分）如图，AB是 O的直径，C、D是 O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝
30 °． ⊙ ⊙
第13页（共31页）【分析】先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．
【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
1
∴∠CDB= ∠BOC＝30°．
2
故答案为30．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半．
17．（2分）如图，半径为√3的 O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，
⊙
√3
连接OC，则tan∠OCB＝ ．
5
1
【分析】根据切线长定理得出∠OBC＝∠OBA= ∠ABC＝30°，解直角三角形求得
2
BD，即可求得CD，然后解直角三角形OCD即可求得tan∠OCB的值．
【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，
∵ O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，
⊙ 1
∴∠OBC＝∠OBA= ∠ABC＝30°，
2
OD
∴tan∠OBC= ，
BD
OD √3
= = =
∴BD tan30° √3 3，
3
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，
第14页（共31页）OD √3
∴tan∠OCB= = ．
CD 5
√3
故答案为 ．
5
【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构
建直角三角形是解题的关键．
18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3√10，点P是AD的中点，点E在BC上，
CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则
15
MN＝ 6 或 ．
8
【分析】分两种情况： MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，则∠PFM＝
∠PFN＝90°，由矩形的①性质得出AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3√10，∠A＝∠C＝90°，
PF PD
得出AB＝CD=√10，BD=√AB2+AD2=10，证明△PDF∽△BDA，得出 = ，
AB BD
3
求出PF= ，证出CE＝2CD，由等腰三角形的性质得出MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，证
2
NF CE
出△PNF∽△DEC，得出 = =2，求出NF＝2PF＝3，即可得出答案；
PF CD
3
MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，由 得：PF= ，MF＝3，设MN＝PN
2
② ①
＝x，则FN＝3﹣x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：分两种情况：
第15页（共31页）MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图1所示：
①则∠PFM＝∠PFN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3√10，∠A＝∠C＝90°，
∴AB＝CD=√10，BD=√AB2+AD2=10，
∵点P是AD的中点，
1 3√10
∴PD= AD= ，
2 2
∵∠PDF＝∠BDA，
∴△PDF∽△BDA，
3√10
PF PD
∴ = ，即 PF 2 ，
AB BD =
√10 10
3
解得：PF= ，
2
∵CE＝2BE，
∴BC＝AD＝3BE，
∴BE＝CD，
∴CE＝2CD，
∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，
∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，
∵∠PFN＝∠C＝90°，
∴△PNF∽△DEC，
NF CE
∴ = = 2，
PF CD
∴MF＝NF＝2PF＝3，
∴MN＝2NF＝6；
MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图2所示：
② 3
由 得：PF= ，MF＝3，
2
①
设MN＝PN＝x，则FN＝3﹣x，
3
在Rt△PNF中，（ ）2+（3﹣x）2＝x2，
2
第16页（共31页）15 15
解得：x= ，即MN= ；
8 8
15
综上所述，MN的长为6或 ；
8
15
故答案为：6或 ．
8
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股
定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，
解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）计算：
1
（1） 0+（ ）﹣1﹣（√3）2；
2
π
（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）．
【分析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算
即可；
1
【解答】解：（1） 0+（ ）﹣1﹣（√3）2＝1+2﹣3＝0；
2
π
（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）＝x2﹣1﹣x2+x＝x﹣1；
【点评】本题考查实数的运算，整式的运算；熟练掌握零指数幂，负指数幂，多项式乘
以多项式（单项式）的运算法则是解题的关键．
{ x+1＞0，
20．（6分）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．
3x-8≤-x，
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
第17页（共31页）间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
解不等式3x﹣8≤﹣x，得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每
一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到”的原则是解答此题的关键．
21．（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD
相交于点E．
（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是 AC ′∥ BD ；
（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．
【分析】（1）根据AD＝C'B，ED＝EB，即可得到AE＝C'E，再根据三角形内角和定理，
即可得到∠EAC'＝∠EC'A＝∠EBD＝∠EDB，进而得出AC'∥BD；
（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB＝∠EBD，进而得出BE＝
DE．
【解答】解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，
故答案为：AC′∥BD；
（2）EB与ED相等．
由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
第18页（共31页）∴BE＝DE．
【点评】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属
于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
22．（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部
分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是 3 0 ，这组数据的众数为 1 0 元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．
【分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，由众数的定义即可得
出结果；
（2）由加权平均数公式即可得出结果；
（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元；
故答案为：30，10；
6×5+11×10+8×15+5×20
（2）这组数据的平均数为 =12（元）；
30
（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．
【点评】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信
息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均
数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．
23．（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别
第19页（共31页）放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的
袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率
2
是 ；
3
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把
摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．
（不重叠无缝隙拼接）
【分析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或
C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，
即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；
（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有 2种：A和
C，C和A，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．
【解答】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或
C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，
2
∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；
3
2
故答案为： ；
3
（2）画树状图为：
共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，
2 1
∴拼成的图形是轴对称图形的概率为 = ．
6 3
【点评】本题主要考查了概率公式，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有
第20页（共31页）可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出
所有可能的结果，通常采用树形图．
24．（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个
零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？
【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，根据关键语句“甲
做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可．
【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，
180 120
由题意得： = ，
x 30-x
解得：x＝18，
经检验：x＝18是原分式方程的解，
则30﹣18＝12（个）．
答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关
系，列出方程，注意检验．
25．（8分）如图，在 ▱OABC中，OA＝2√2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC的
k
中点，反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A、D．
x
（1）求k的值；
（2）求点D的坐标．
【分析】（1）根据已知条件求出A点坐标即可；
（2）四边形OABC是平行四边形OABC，则有AB⊥x轴，可知B的横纵标为2，D点的
横坐标为1，结合解析式即可求解；
【解答】解：（1）∵OA＝2√2，∠AOC＝45°，
∴A（2，2），
第21页（共31页）∴k＝4，
4
∴y= ；
x
（2）四边形OABC是平行四边形OABC，
∴AB⊥x轴，
∴B的横纵标为2，
∵点D是BC的中点，
∴D点的横坐标为1，
∴D（1，4）；
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质；利用平行四边形的性
质确定点B的横坐标是解题的关键．
26．（10分）【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方
法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比
尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】
（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三
角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可
得等式：n2＝ 1+3+5+7+ … + 2 n ﹣ 1 ． ；
【运用】
（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪
成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多
可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．
当n＝4，m＝2时，如图4，y＝ 6 ；当n＝5，m＝ 3 时，y＝9；
①对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝ n +2 （ m ﹣ 1 ）
②（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
第22页（共31页）【分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三
角形的面积之和列出方程并整理．
（2）由图可知n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，
5，7，…，2n﹣1．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．
（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加 2部分，
即可得出结论．
1 1
【解答】解：（1）有三个Rt△其面积分别为ab， ab和 c2．
2 2
1
直角梯形的面积为 （a+b）（a+b）．
2
1 1 1 1
由图形可知： （a+b）（a+b）= ab+ ab+ c2
2 2 2 2
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．
（2）n 行 n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为 n2，每层棋子分别为 1，3，5，
7，…，2n﹣1．
由图形可知：n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1．
故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1．
（3） 如图4，当n＝4，m＝2时，y＝6，
①
如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．
算法Ⅰ．y个三角形，共3y条边，其中n边形的每边都只使用一次，其他边都各使用
②两次，所以n边形内部共有 （3y﹣n）÷2条线段；算法Ⅱ．n边形内部有1个点时，其
内部共有n条线段，共分成n个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而
增加3条线段，所以n边形内部有m个点时，其内部共有 n+3（m﹣1）条线段，由
（3y﹣n）÷2＝n+3（m﹣1）化简得：y＝n+2（m﹣1）．
第23页（共31页）故答案为： 6，3； n+2（m﹣1）．
【点评】本①题考查了图②形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关
键．
27．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．
（1）b＝ 2 ；
（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点
M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点
R，且S△PQB ＝2S△QRB ，求点P的坐标．
【分析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值．
（2）求点B、C、D坐标，求直线BC、BD解析式．设点P横坐标为t，则能用t表示点
P、M、N、H的坐标，进而用含t的式子表示PM、MN、NH的长．以PM＝MN为等量
关系列得关于t的方程，求得t的值合理（满足P在第一象限），故存在满足条件的点
P，且求得点P坐标．
（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E，根据同角的余角相等易证∠EPQ＝
2√5 PQ 2√5
∠OBD，所以cos∠EPQ＝cos∠OBD= ，即在Rt△PQE中，cos∠EPQ= =
5 PE 5
PF 2√5 2√5 √5
；在Rt△PFR中，cos∠RPF= = ，进而得PQ= PE，PR= PF．设点P
PR 5 5 2
横坐标为t，可用t表示PE、PF，即得到用t表示PQ、PR．又由S△PQB ＝2S△QRB 易得
PQ＝2QR．要对点P位置进行分类讨论得到PQ与PR的关系，即列得关于t的方程．求
得t的值要注意是否符合各种情况下t的取值范围．
第24页（共31页）【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）
∴﹣1﹣b+3＝0
解得：b＝2
故答案为：2．
（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．
∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3
当x＝0时y＝3，
∴C（0，3）
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0
解得：x ＝﹣1，x ＝3
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3
∵点D为OC的中点，
3
∴D（0， ）
2
1 3
∴直线BD的解析式为y=- x+ ，
2 2
1 3
设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，- t+ ），H（t，0）
2 2
1 3 1 3 1
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（- x+ ）=- t+ ，NH=- t
2 2 2 2 2
3
+
2
∴MN＝NH
∵PM＝MN
1 3
∴﹣t2+3t=- t+
2 2
1
解得：t = ，t ＝3（舍去）
1 2 2
1 15
∴P（ ， ）
2 4
第25页（共31页）1 15
∴P的坐标为（ ， ），使得PM＝MN＝NH．
2 4
（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E
3
∵OB＝3，OD= ，∠BOD＝90°
2
3√5
∴BD=√OB2+OD2=
2
OB 3 2√5
= = =
∴cos∠OBD BD 3√5 5
2
∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F
∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°
∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°
2√5
∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD=
5
PQ 2√5
在Rt△PQE中，cos∠EPQ= =
PE 5
2√5
∴PQ= PE
5
PF 2√5
在Rt△PFR中，cos∠RPF= =
PR 5
PF √5
= =
∴PR 2√5 2 PF
5
1 1
∵S△PQB ＝2S△QRB ，S△PQB =
2
BQ•PQ，S△QRB =
2
BQ•QR
∴PQ＝2QR
设直线BD与抛物线交于点G
1 3 1
∵- x+ =- x2+2x+3，解得：x ＝3（即点B横坐标），x =-
2 2 1 2 2
1
∴点G横坐标为-
2
1 3
设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，- t+ ）
2 2
第26页（共31页）1 3 5 3
∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（- t+ ）|＝|﹣t2+ t+ |
2 2 2 2
1
若- ＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，
2
①
5 3
∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+ t+
2 2
∵PQ＝2QR
2
∴PQ= PR
3
2√5 2 √5
∴ PE = • PF，即6PE＝5PF
5 3 2
5 3
∴6（﹣t2+ t+ ）＝5（﹣t2+2t+3）
2 2
解得：t ＝2，t ＝3（舍去）
1 2
∴P（2，3）
1
若﹣1＜t＜- ，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，
2
②
此时，PQ＜QR，即S△PQB ＝2S△QRB 不成立．
若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，
③ 1 3 5 3
∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE=- t+ -（﹣t2+2t+3）＝t2- t-
2 2 2 2
∵PQ＝2QR
∴PQ＝2PR
2√5 √5
∴ PE＝2• PF，即2PE＝5PF
5 2
5 3
∴2（t2- t- ）＝5（t2﹣2t﹣3）
2 2
4
解得：t =- ，t ＝3（舍去）
1 3 2
4 13
∴P（- ，- ）
3 9
4 13
综上所述，点P坐标为（2，3）或（- ，- ）．
3 9
第27页（共31页）【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，
同角的余角相等，三角函数的应用．第（3）题解题过程容易受第（2）题影响而没有分
类讨论点P的位置，要通过图象发现每种情况下相同的和不同的解题思路．
28．（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值
称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
半径为1的圆： 2 ；
①
第28页（共31页）如图1，上方是半径为 1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： 1+√5
②；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面
内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
①若点C在 M上运动， M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线
②上．对于 M⊙上任意点C，⊙都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．
⊙
【分析】（1） 平面图形S的“宽距”的定义即可解决问题．
如图1，正方①形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是 O上一点，连接
②OP，PC，OC．求出PC的最大值即可解决问题． ⊙
（2） 如图2﹣1中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S 和S ，点C
1 2
所在的①区域的面积是S +S ．
1 2
如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．求出d＝5或8
②时，点M的坐标，即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可．
【解答】解：（1） 半径为1的圆的宽距离为2，
故答案为2． ①
如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是 O上一点，连接
②OP，PC，OC． ⊙
第29页（共31页）在Rt△ODC中，OC=√CD2+OD2=√12+22=√5
∴OP+OC≥PC，
∴PC≤1+√5，
∴这个“窗户形“的宽距为1+√5．
故答案为1+√5．
（2） 如图2﹣1中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S 和S （分别
1 2
以A、①B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C
所在的区域）．
8
∴点C所在的区域的面积为S +S = ﹣2√3．
1 2 3
π
如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．
②
∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，
∴当d＝5时．AM＝6，
第30页（共31页）∴AT=√AM2-MT2=4√2，此时M（4√2-1，2），
当d＝8时．AM＝7，
∴AT=√72-22=3√5，此时M（3√5-1，2），
∴满足条件的点M的横坐标的范围为4√2-1≤x≤3√5-1．
当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣3√5+1≤x≤﹣4√2+1．
【点评】本题属于圆综合题，考查了平面图形S的“宽距”的定义，正方形的判定和性
质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/9/20 12:59:33；用户：中考数学李老师；邮箱：orFmNt2hkpsWCg0q-Np7SU1xo-nI@weixin.jyeoo.com；学号：30027651
第31页（共31页）
