文档内容
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120
分钟．第I卷1至2页，第II卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第 I 卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．并在规定位
置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式S =4πR2
4
P(A+B)= P(A)+P(B) 球的体积公式V = πR3
3
如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A B)= P(A) P(B)
g g
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
i3(i+1)
1．i是虚数单位， =（ ）
i-1
A．-1 B．1 C．-i D．i
ìx- y≥0，
ï
2．设变量x，y 满足约束条件íx+ y≤1，则目标函数z =5x+ y的最大值为（ ）
ï
x+2y≥1.
î
A．2 B．3 C．4 D．5
æ pö
3．设函数 f(x)=sin ç 2x- ÷ ，xÎR，则 f(x)是（ ）
è 2ø
A．最小正周期为p的奇函数 B．最小正周期为p的偶函数
p p
C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
2 2
4．设a，b是两条直线，a，b是两个平面，则a^b的一个充分条件是（ ）
A．a^a，b∥b，a^b B．a^a，b^b，a∥b
第1页 | 共5页C．aÌa，b^b，a∥b D．aÌa，b∥b，a^b
x2 y2
5．设椭圆 + =1(m>1)上一点P到其左焦点的距离为 3，到右焦点的距离为 1，
m2 m2 -1
则P到右准线的距离为（ ）
1 2 7
A．6 B．2 C． D．
2 7
6．设集合S = x x-2 >3 ，T = x a< x-1
1
7．设函数 f(x)= (0≤x<1)的反函数为 f -1(x)，则（ ）
1- x
A． f -1(x)在其定义域上是增函数且最大值为1
B． f -1(x)在其定义域上是减函数且最小值为0
C． f -1(x)在其定义域上是减函数且最大值为1
D． f -1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0
ì-x+1，x<0，
8．已知函数 f(x)=í 则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是（ ）
îx-1，x≥0，
A． x -1≤x≤ 2-1 B． x x≤1
C． x x≤ 2-1 D． x - 2-1≤x≤ 2-1
9．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间 0，+∞ 上是增函数．令
æ 2pö æ 5pö æ 5pö
a= f ç sin ÷，b= f ç cos ÷，c= f ç tan ÷ ，则（ ）
è 7 ø è 7 ø è 7 ø
A．b1，若仅有一个常数c使得对于任意的xÎa，2a ，都有 yÎéa，a2ù满足方程
ë û
log x+log y =c，这时a的取值的集合为 ．
a a
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
æ pö 2 æp 3pö
已知cos ç x- ÷ = ，xÎ ç ， ÷．
è 4ø 10 è2 4 ø
（Ⅰ）求sinx 的值；
æ pö
（Ⅱ）求sin ç 2x+ ÷的值．
è 3ø
18．（本小题满分12分）
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甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 p，且乙投球2次
2
1
均未命中的概率为 ．
16
（Ⅰ）求乙投球的命中率 p；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为x，求x的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，
PD=2 2 ，∠PAB=60o．
P
（Ⅰ）证明AD^ 平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC 与AD所成的角的大小；
A
D
（Ⅲ）求二面角P-BD-A的大小．
B
C
20．（本小题满分12分）
a
已知函数 f(x)= x+ +b(x¹0) ，其中a，bÎR ．
x
（Ⅰ）若曲线 y = f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为 y =3x+1，求函数 f(x)的解析
式；
（Ⅱ）讨论函数 f(x)的单调性；
é1 ù é1 ù
（Ⅲ）若对于任意的aÎ ，2 ，不等式 f(x)≤10 在 ，1 上恒成立，求b的取值范围．
ê ú ê ú
ë2 û ë4 û
21．（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F(-3，0)，一条渐近线的方程是 5x-2y =0．
1
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以k(k ¹0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N ，且线段MN
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的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求k的取值范围．
2
22．（本小题满分14分）
在 数 列 a 与 b 中 ， a =1， b =4， 数 列 a 的 前 n项 和 S 满 足
n n 1 1 n n
nS -(n+3)S =0，2a 为b 与b 的等比中项，nÎN*．
n+1 n n+1 n n+1
（Ⅰ）求a ，b 的值；
2 2
（Ⅱ）求数列
a
与
b
的通项公式；
n n
（Ⅲ）设T =(-1)a 1b +(-1)a 2b +… +(-1)a nb，nÎN* ，证明T <2n2，n≥3．
n 1 2 n n
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