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2008年普通高等学校招生全国统一考试
（广东卷）
数学(理科)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知0<a<2，复数z的实部为a，虚部为1，则 z 的取值范围是（ C ）
A．(1，5) B．(1，3) C．(1，5) D．(1，3)
1
2．记等差数列{a }的前n项和为S ，若a = ，S =20，则S =（ D ）
n n 1 2 4 6
A．16 B．24 C．36 D．48
3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知 一年级 二年级 三年级
在全校 女生 373 x y
学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用
男生 377 370 z
分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取
的学生人数为（ C ）
A．24 B．18 C．16 D．12 表1
ì2x+ y≤40，
ï
ïx+2y≤50，
4．若变量x，y满足í 则z =3x+2y的最大值是（ C ）
x≥0，
ï
ï îy≥0，
A．90 B．80 C．70 D．40
5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI 三边的中点）得到几何体
如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）
A A
H G
B C 侧视 B C B B B B
I
E D E D E E E E
F F A． B． C． D
图1 图2 ．
6．已知命题 p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命
题的是（ D ）
A．(Øp)Úq B． pÙq C．(Øp)Ù(Øq) D．(Øp)Ú(Øq)
7．设aÎR，若函数y =eax +3x，xÎR有大于零的极值点，则（ B ）
1 1
A．a>-3 B．a<-3 C．a>- D．a<-
3 3
第1页 | 共4页8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线
uuur uuur uuur
与CD交于点F ．若AC =a，BD=b，则AF =（ B ）
1 1 2 1 1 1 1 2
A． a+ b B． a+ b C． a+ b D． a+ b
4 2 3 3 2 4 3 3
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9~12题）
开始
9．阅读图3的程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a= ，i =
输入m，n
（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“¬”或“:=”）
10．已知(1+kx2)6（k是正整数）的展开式中，x8的系数小于120，
i =1
则k = ．
a=m´i
11．经过圆x2 +2x+ y2 =0的圆心C，且与直线x+ y =0垂直的直线
i =i+1
方程是 ．
n整除a?
12．已知函数 f(x)=(sinx-cosx)sinx，xÎR，则 f(x)的最小正周期是 ． 否
是
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题） 输出a，i
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C，C 的极坐标方程分别为rcosq=3，
1 2
结束
æ πö
r=4cosq ç r≥0，0≤q< ÷，则曲线C 与C 交点的极坐标为 ． 图3
è 2ø 1 2
1
14．（不等式选讲选做题）已知aÎR，若关于x的方程x2 +x+ a- + a =0有实根，
4
则a的取值范围是 ．
15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O
的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
已知函数 f(x)= Asin(x+j)(A>0，0<j<π)，xÎR的最大值是1，其图像经过点
æπ 1ö
M ç ， ÷．
è3 2ø
æ πö 3 12
（1）求 f(x)的解析式；（2）已知a，bÎ ç 0， ÷，且 f(a)= ， f(b)= ，求
è 2ø 5 13
第2页 | 共4页f(a-b)的值．
17．（本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品2
0件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1
件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为x．
（1）求x的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即x的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．
如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
18．（本小题满分14分）
x2 y2
设b>0，椭圆方程为 + =1，抛物线方程为x2 =8(y-b)．如图4所示，过点
2b2 b2
F(0，b+2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切
线经过椭圆的右焦点F ．
1
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得
△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出
这些点的坐标）．
19．（本小题满分14分）
ì 1
ï
，x<1
设kÎR，函数 f(x)=í1-x ，F(x)= f(x)-kx，xÎR，试讨论函数
ï
î- x-1，x≥1
F(x)的单调性．
第3页 | 共4页20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中
BD是圆的直径，ÐABD=60o，ÐBDC =45o，PD垂直底面ABCD，PD=2 2R，
P
PE DF
E，F分别是PB，CD上的点，且 = ，过点E作BC的平行线交PC于G．
EB FC E
G
（1）求BD与平面ABP所成角q的正弦值；
（2）证明：△EFG是直角三角形；
A D
PE 1
（3）当 = 时，求△EFG的面积． F
EB 2 B
C
图5
21．（本小题满分12分）
设 p，q为实数，a，b是方程x2 - px+q=0的两个实根，数列{x }满足x = p，
n 1
x = p2 -q，x = px -qx （n=3，4，…）．
2 n n-1 n-2
（1）证明：a+b= p，ab=q；
（2）求数列{x }的通项公式；
n
1
（3）若 p=1，q= ，求{x }的前n项和S ．
4 n n
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