文档内容
试卷类型：A
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、
试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答
题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息
点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试
卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的
答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。
4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式 V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高
线性回归方程y =bx+a 中系数计算公式
其中x,y表示样本均值。
N是正整数，则an -bn =a-b (an-1+an-2b+…abn-2 +bn-1）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
第1页 | 共6页1. 设复数z满足1+iz =2，其中i为虚数单位，则z=
A．1+i B. 1-i C. 2+2i Ｄ．2-2i
2．已知集合A= x,y ∣x,y为实数，且x2 + y2 =1 ，B= x,y x,y为实数，且
y = x，则AÇB的元素个数为
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则c(a+2b)=
Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．0
4. 设函数 f x和gx分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
Ａ． f x+ gx 是偶函数 Ｂ． f x- gx 是奇函数
Ｃ． f x +gx是偶函数 Ｄ． f x -gx是奇函数
ì0£ x£ 2
ï
5. 在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 íy£2 给定。若M(x,y)为
ï
x£ 2y
î
uuuur uuur
D上的动点，点A的坐标为( 2,1)，则z =OM ON的最大值为
g
A．4 2 B．3 2 C．4 D．3
6.
甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要
再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
1 3 2 3
A． B． C． D．
2 5 3 4
7.
如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯
视图都是矩形，则该几何体的体积为
第2页 | 共6页A. 6 3 B. 9 3 C. 12 3 D. 18 3
8.设S是整数集Z的非空子集，如果a,bS,有abS ，则称S关于数的乘法是封闭
的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，T ÈU =Z,且a,b,cT,有
abcT;x,y,zV,有xyzV ，则下列结论恒成立的是
A. T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的
B. T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的
C. T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. T,V 中每一个关于乘法都是封闭的
16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(一）必做题（9-13题）
9. 不等式 x+1- x-3 ³0的解集是 .
7
æ 2ö
10. x x- 的展开式中，x4的系数是 （用数字作答）
ç ÷
è xø
11. 等差数列 a 前9项的和等于前4项的和.
n
a =1,a +a =0
若 1 k 4 ，则k=____________.
f(x)= x-3x2 +1
12. 函数 在x=____________处取得极小值。
13.
某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm
.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身
高为_____cm.
第3页 | 共6页（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为
ì 5
ìïx= 5cos ïx= t2
í (0£) 和í 4 (tR)，它们的交点坐标为___________.
ïîy =sin ï îy =t
15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点 p分别作圆的切线
和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，
∠BAC =∠APB, 则AB= 。
三．解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算
步骤。
（1） （本小题满分12分）
1
已知函数 f(x)=2sin( x- ),xR.
3 6
5
(1)求 f( )的值；
4
10 6
(2)设, 0, , f(3a+ )= , f(3+2)= ,求cos(+)的值.
2 2 13 5
17.
为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中
分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是
乙厂的5件产品的测量数据：
编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 175 180
第4页 | 共6页y 75 80 77 70 81
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用
上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等
品数的分布列极其均值（即数学期望）。
18.(本小题满分13分)
如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，
且∠DAB=60°，PA= PD= 2,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点.
(1) 证明：AD ^平面DEF;
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.
19.(本小题满分14分)
设圆C与两圆(x+ 5)2 + y2 =4,(x- 5)2 + y2 =4中的一个内切，另一个外切。
（1）求圆C的圆心轨迹L的方程;
3 5 4 5
（2）已知点M( , ),F( 5,0)，且P为L上动点，求 MP - FP 的最大值及此
5 5
时点P的坐标.
20.（本小题共14分）
nba
设b>0,数列a 满足a=b，a = n-1 (n³2)
n 1 n a +2n-2
n-1 .
（1）求数列a 的通项公式；
n
第5页 | 共6页bn+1
（2）证明：对于一切正整数n，a £ +1.
n 2n+1
21.（本小题满分14分）
1
在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:y = x2 实数p，q满足 p2 -4q³0，x，x
1 2
4 .
是方程x2 - px+q=0的两根，记(p,q)=max x , x 。
1 2
1
（1）过点A(p , p 2)(p ¹0)作L的切线教y轴于点B.
0 4 0 0
p
证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有(p,q)= 0 ;
2
（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0.
1 1
过M(a，b)作L的两条切线l ,l ，切点分别为E(p , p2),E¢(p , p 2)，l ,l 与y轴分
1 2 1 4 1 2 4 2 1 2
别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b)
p
XÛ P > P Û(a,b) = 1
1 2 2 ;
1
（3）设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥ (x+1)2-
4
5
}.当点(p,q)取遍D时，求(p,q)的最小值
4
（记为 ）和最大值（记为 ）.
min max
第6页 | 共6页
