文档内容
2024 届新高考基地学校第三次大联考
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位
置上，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解分式不等式求解集合N，然后利用交集运算求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 或 ，
所以 或 ，又 ，
所以 .
故选：B
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数除法法则计算出 ，进而求出共轭复数.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，
故 .
故选：A
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用 ，结合两角和的余弦即可求解.
【详解】 ,
则 .
故选：A
4. 已知直线 与曲线 相切，则实数k的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先设切点为 ，利用导数的几何意义得到 ，从而得到直线方程为 ，
再将切点代入直线求解即可.
【详解】设切点为 ， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线方程为 .
又因为 在直线 上，所以 ，解得 .
所以 .
故选：C
5. 已知 是 的边 上的高，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，表达出 ，根据垂直关系得到方程，求出
，进而得到答案.
【详解】设 ，
则 ，
由 得 ，
解得 ，
故
故选：B
6. 设点 ，抛物线 上的点P到y轴的距离为d．若 的最小值为2，则 （
）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】结合抛物线的定义即可求解.
【详解】抛物线 ，则焦点 ，准线 ，
最小时，即 最小，根据抛物线 定的义， ，
所以只需求 的最小值即可，当 为线段 与抛物线交点时，
最小，且最小值为 ，
解得 .
故选：D
7. 已知 是等差数列，且 ， ，则 （ ）
A. 15 B. 26 C. 28 D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】设出公差为 ，进而裂项相消法求和得到 ，从而得到方
程，求出公差，进而求出答案.
【详解】设公差为 ，则 ，
则 ，
所以
，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，解得 ，
故 .
故选：C
8. 若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为 ， ，侧面积为S，则（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等体积法即得.
【详解】设小球半径为R，因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切，所以四棱台的体积等于以球心为
顶点，以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之和，其高都是球的半径R，且棱台
的高是2R，
则四棱台的体积为 ，
得 ，即 ，
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在四棱锥 中，底面 是菱形，P在底面上的射影E在线段 上，则（ ）
A. B.
C. 平面 D. ⊥平面
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，由线面垂直得到线线垂直，结合勾股定理求出 ；B选项，由于 与 不一
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学科网（北京）股份有限公司定相等，故 不一定相等；C选项，由线线垂直得到线面垂直；D选项，连接 ，若 不重合，
与 不垂直，故 与 不垂直，D错误.
【详解】A选项，由题意得 ⊥平面 ，底面 是菱形，
连接 与 交于点 ，则 ， ⊥ ，
因为 ，故 ，
又 ，故 ，A正确；
B选项，因为 ⊥平面 ，所以 ，
由于 与 不一定相等，故 不一定相等，B错误；
C选项，因为底面 是菱形，所以 ，
又 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，C正确；
D选项，连接 ，若 不重合，此时 中， 为斜边，
故 与 不垂直，
故 与 不垂直，故此时 与平面 不垂直，D错误.
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学科网（北京）股份有限公司故选：AC
10. 设矩形的长是宽的2倍，以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线W经过另外两个顶点，则W的离心率的
可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】分两种情况，作出图形，得到 或 ，代入双曲线方程，得到关于 的齐次
式，求出离心率.
【详解】（1）如图1，矩形 中， ，且 为两个焦点，
设 为 中点，如图以 为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系，可设双曲线方程为
，
则 ，
设 ，将 代入双曲线 中得，
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学科网（北京）股份有限公司，变形得 ，
将 代入 中得， ，
方程两边同时除以 得 ，解得 ，
当 时，解得 ，负值舍去，
当 时，解得 舍去，负值也舍去；
（2）如图2，矩形 中， ，且 ，
设 为 中点，如图以 为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系，可设双曲线方程为
，
则 ，将其代入双曲线 中得，
，整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司将 代入 中得， ，
方程两边同时除以 得 ，解得 ，
当 得， ，负值舍去，
当 得， 舍去，负值舍去，
综上，离心率的可能取值为 或 .
故选：AD
11. 在生物科学和信息科学中，经常用到“S型”函数： ，其导函数为 ，则（ ）
A. 有极值点 B. 点 是曲线 的对称中心
C. 是偶函数 D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】A，求导，结合导数求单调性；B，讨论 即可；C，结合奇偶性的定义讨论即可；
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学科网（北京）股份有限公司D，分 ， ， 讨论即可.
【详解】由函数 ，求导得： ，
， ，函数 是单调增函数，没有极值点，A错误；
因为 ，
所以 ，
所以点 是曲线 的对称中心，B正确；
，定义域为 ，
，C正确；
函数 是单调增函数，又 ，
当则 时， ，则 ， ，
则 时， ，则 ， ，
则 时， ，则 ， ，
则D错误.
故选：BC
12. 某工厂对生产的产品进行质量检测，检测包括两轮，每轮检测有A和B两种结果．第一轮是对所有生
产产品进行检测，检测结果为B的产品定等级为乙；检测结果为A的产品需进行第二轮检测．在第二轮检
测中，检测结果为B的产品定等级为乙；检测结果为A的产品定等级为甲．在每轮检测中，甲等品检测结
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学科网（北京）股份有限公司果为A的概率是0.95，乙等品检测结果为A的概率是0.05．已知该厂生产的产品中甲等品的占比为 ，
则（ ）
A. 已知一件产品是乙等品，检测后定等级为甲的概率是0.0025
B. 已知一件产品是甲等品，检测后定等级为乙的概率是0.0025
C. 从检测后的产品中随机抽取一件，检测结果是甲等品的概率为0.8125
D. 已知一件产品检测结果是甲等品，该产品检测前是乙等品的概率大于0.001
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A选项：要使检测后定等级为甲，则两轮检测结果都为A，用概率乘法公式计算即可;
对于B选项：要使检测后定等级为乙，则可能为第一轮检测结果为B，或第一轮检测为A，但第二轮检测
结果为B，用概率加法公式计算即可;
对于C选项：利用该厂生产的产品中甲等品的占比为 ，计算即可;
对于D选项: 记该产品检测前是乙等品为事件 ，记该产品检测结果是甲等品为事件 ，利用条件概率公
式计算即可.
【详解】结合题意可得：
①若一件产品是甲等品，要使检测后定为等级甲，则两轮检测结果都为A，即检测后定等级为甲的概率
；
②若一件产品是甲等品，要使检测后定为等级乙，则可能为第一轮检测结果为B，或第一轮检测为A，但
第二轮检测结果为B,
即检测后定等级为乙的概率为 ，
③若一件产品是乙等品，要使检测后定为等级甲，则两轮检测结果都为A，即检测后定等级为甲的概率
；
④若一件产品是乙等品，要使检测后定为等级乙，则可能为第一轮检测结果为B，或第一轮检测为A，但
第二轮检测结果为B,
即检测后定等级为乙的概率为 .
综上所述：
对于A选项：已知一件产品是乙等品，检测后定等级为甲的概率是0.0025，故A选项正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B选项：已知一件产品是甲等品，检测后定等级为乙的概率是0.0975，故B选项错误；
对于C选项: 因为该厂生产的产品中甲等品的占比为 ，所以从检测后的产品中随机抽取一件，要使检
测结果是甲等品的概率为 ，故C选项正确；
对于D选项: 记该产品检测前是乙等品为事件 ，记该产品检测结果是甲等品为事件 ,
则 , ,
则 ，故D选项错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有______个．
【答案】
【解析】
【分析】先分类，再分步，结合排列组合知识，利用计数原理求解即得.
【详解】若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数可分为 类：
第一类，五位数的各个数位上的数字是 个 ， 个 组成，
则由首位不为 可知， 在首位，其余各位为 ，即 ，仅有 种方法；
第二类，五位数的各个数位上的数字是 个 ， 个 ， 个 组成，
则由首位不为 可知， 或 在首位，选 个放在首位，另 个则从其它 个位选 个位放上，其余各位为 ，
共有 种方法；
第三类，五位数的各个数位上的数字是 个 ， 个 组成，
则由首位不为 可知， 在首位，在其它 个位中选 个位为 ，其余各位为 ，共有 种方法；
所以由分类计数原理可得共有 个这样的五位数.
故答案为： .
14. 已知圆C的半径为5，圆心C在第一象限，且直线 与x轴截圆C所得弦长都为6，则圆心C
的横坐标为______．
【答案】8
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】设圆心坐标，利用几何法由直线与圆相交弦长及半径可得圆心至直线的距离，再由点到直线的距
离公式待定圆心坐标即可.
【详解】设圆心坐标为 ，圆心C在第一象限，则
如图，圆 与 及 轴相交弦长都为 ，则半弦长为 ，
又已知圆的半径为 ，则圆心 到 轴的距离为 ，则 ，
由 ，得 ；
且圆 到 的距离也为 ，
则圆心 到 的距离 ，
解得 （舍），或 ，即圆心的横坐标为 .
故答案为： .
15. 写出同时满足下列条件①②③的一个函数 ______．
① 是二次函数；② 是奇函数；③ 在 上是减函数．
【答案】
【解析】
【分析】写一个满足条件的即可.
【详解】因为 是二次函数，所以令 ， ，
令 ，
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学科网（北京）股份有限公司，故满足条件②；
令 在 上是减函数，满足条件③，
故答案为：
16. 把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象．若 的图象关于原
点对称，则 的最小值为______；若曲线 上存在唯一一点 ， ，满足点A
关于原点的对称点B也在曲线 上，则 的取值范围是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①由函数图像平移和三角函数的对称性可解；
②由题意点 与点 都在函数图像上，可得 ，由
于 只有一解，即 只有一解，从而得解.
【详解】函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到函数 的图象，则 ，
若 的图象关于原点对称，则 ，
所以 ，则 的最小值为 ；
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学科网（北京）股份有限公司又点 关于原点的对称点 ，
由题意 ，
可得 ，
即 ，
所以 ，
由题意只有唯一一个 使得上式成立，
所以 ，且 只有一解，
由 ，则 ，
可得 ，解得 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等比数列 的公比 ，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求 的前 项和 ．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）应用等比数列的性质及基本量运算即可；
（2）应用分组求和及等差等比公式求和即可.
【小问1详解】
由 ，得 ，解得 或 ，
当 时， ，则 ，
则 ，因 ，不合舍去；
为
当 时， ，则 ，得 ；
则
【小问2详解】
由 ，
则
18. 某超市准备在今年店庆日举行抽奖活动，凡购物金额超过m元的顾客参加一次抽奖．抽奖规则如下：
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学科网（北京）股份有限公司从装有大小、形状完全相同的4个黑球2个红球的盒子中随机取2个小球，若2个小球都为红色，则获100
元奖金；若2个小球为1红1黑，则获30元奖金；若2个小球都为黑色，则获10元奖金．
（1）记参加抽奖的一名顾客获得奖金为X元，求X的概率分布列和数学期望；
（2）该超市去年店庆日共有3000名顾客购物，统计购物金额得到如下的频率分布直方图．若今年抽奖活
动总奖金预设为12000元，依据去年店庆日的数据，给出合理的m的值，并说明理由．
【答案】18. 答案见解析.
19. ，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）先确定随机变量 的可能取值，在求出对应的概率就可以列出分布列，再根据数学期望公
式求期望；
（2）先计算可抽奖的顾客的人数，再用去年的频率估计概率，确定 的值，使得购物金额超过 的人数
与可抽奖的人数一致即可.
【小问1详解】
由题意： 的值可能为：10，30，100，
且 ， ， .
所以 的分布列为：
10 30 100
所以： .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司今年预设奖金12000元，故参与抽奖的人数可以为： （人）.
所以可以参与抽奖的概率为 .
因为 ，所以 .
19. 记 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ．
（1）求 ；
（2）若D是边 上一点， ，且 ，求 的面积，
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理化角为边，结合 得 ，再由余弦定理求 ；
（2）根据题意由 得 ，则在 中，由 与角 可得 。从而由（1） 比例关系
得其他，进而由面积公式得解.
【小问1详解】
由 ，得 ，
将 代入得， ，
化简得 ，即 ，
则 ；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
由（1）知 ，则 ，
则在 中，由 ，解得 ，
所以 ，解得 ，则 ，
故 的面积 .
20. 如图，在直三棱柱 中， ， ，两个质点分别从点 和点
同时出发，均以每秒 个单位长度的速度分别向点 ， 作直线移动.如图，点 , 分别是两质点
移动 秒后到达的位置．
（1）证明： 平面 ；
（2）当三棱锥 的体积最大时，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见详解
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）作辅助线构造平行四边形，由线线平行证明线面平行；
（2）通过转换顶点表示三棱锥的体积确定体积最大时 的值，然后求平面 的法向量，根据直线
与平面 所成角的正弦值等于直线 的方向向量与平面 法向量夹角余弦值的绝对值，
求解即可.
【小问1详解】
证明：分别过 , 作平行于 的直线交 于 ，交 于 ,连接 ,
因为 , 两点运动速度相同，所以 ,
因为 ，所以 ,
又因为 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ,
又因为 平面 , 平面 ，
所以 平面 ；
【小问2详解】
过 作 的垂线，垂足为 ,过 作 的垂线，垂足为 ，
由题意可得 ， ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 最大，此时 , 分别为 ， 的中点，
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ,
设平面 的法向量为 ，
所以 ，得 ，
令 ，则 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
21. 已知函数 ．
（1）若 在 上单调递减，求a的取值范围；
（2）若 的最小值为3，求a．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）转化为 在 上恒成立，构造 ， ，求导得到其单调
性和最值情况，求出答案；
（2）先由 ，得到 ，求导后，再令 ，求导结合隐零点得到 的单
调性，从而得到 的最小值，得到方程，求出 的值，舍去不合要求的解.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
，
由题意得 在 上恒成立，即 ，
即 在 上恒成立，
令 ， ，
，令 得 ，
令 得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值， ，
故 ，a的取值范围是 .
【小问2详解】
的定义域为 ，
其中 ，
因为 的最小值为3，所以 ，解得 ，
，
当 时，设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 在 上递增，
因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，
当 时， ，即 ， 在 上单调递减，
当 时， ，即 ， 在上单调递增，
故 ，
所以 ，又 ，
所以 ，解得 或 ，
解得 或 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 （舍去），
综上， .
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区
间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替
换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
22. 已知椭圆 的离心率为 ，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于
A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时， 面积为 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求C的方程；
（2）当M异于O点时，记直线 与y轴交于点N，求 周长的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出各点坐标，表示出面积后，结合面积与离心率计算即可得；
（2）要求 的周长，则需把各边长一一算出，即需把 、 算出，设出直线方程与椭圆方程联立
得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出 、 ，可得 各边边长，结合基本不等式即可
求得最值.
【小问1详解】
当M与原点O重合时，可设 ，则有 、 ，
且 ，即有 ,
则 ，
即 ，又 ，故 ，则 ，
即有 ，由离心率为 ，即 ，
则 ，故 ，即有 ，
解得 ，故 ，即C的方程为 ；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
设直线 方程为 ，令 ，有 ，即 ，
设点 、 ，则 ，
联立直线与椭圆方程： ，消去 有 ，
，即 ，
有 ， ，
为 ，
令 ，故 ，
由 ，故 ，
其中 ，即 ，
则
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学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 时等号成立，
故 周长的最小值为 .
【点睛】本题考查了椭圆的方程，在求解直线与椭圆的位置关系问题时，常用方法是设而不求，借助韦达
定理等手段，将多变量问题转变为单变量问题，再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.
第26页/共26页
学科网（北京）股份有限公司
