文档内容
2025 年滁州市高二教学质量监测
数 学
注意事项：
1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，务必擦净后再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷
上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为 ， ,
所以 .
故选：C.
2. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【详解】
在复平面内对应 点为 ，在第二象限.
的
故选：B.
3. 圆 上的点到直线 距离的最小值是（ ）A. B. 1 C. D.
【答案】A
【详解】已知圆的标准方程为： ，则其圆心 ,半径 .
直线方程为 ，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为：
.
因为 ，那么圆与直线相离.
因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即：
故选:A
4. 已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度后关于 轴对称，则 的
最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意得将 向右平移 个单位后
得 ，且关于 轴对称，
所以 ， ，得 ， ，
又因为 ，所以当 时， 有最小值 .
故选：A.
5. 设直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【详解】当 时，直线 的方程为 ，此时直线 的倾斜角 ；
当 时，直线 的斜率为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以结合正切函数的图象可得： .
综上可得：直线 的倾斜角 的取值范围是 .
故选：C.
6. 设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【详解】 ，
，
又椭圆 ，
则 ，.
故选：D.
7. 已知空间三点 ，则 的面积为（ ）
A. B. C. 7 D.
【答案】B
【详解】由空间三点 可得：
；
；
，
所以 是等边三角形，
所以 的面积为 .
故选：B.
8. 为正实数，且 ，当 取最小值时， 的展开式中各项系数的和为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由 可得： .
因为 为正实数，
所以由基本不等式可得：，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以当 取最小值时， .
令 ，得 ，
所以当 取最小值时， 的展开式中各项系数的和为 .
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若某中学的女生体重 （单位：kg）与身高 （单位：cm）具有线性相关关系．根据一组样本数据
，用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下列结论中正确的是（
）
A. 与 具有负线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心
C. 若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加0.75kg
D. 若该中学某女生身高为160cm，则可断定其体重必为44.29kg
【答案】BC
【详解】因为回归直线方程为 ，所以 与 具有正线性相关关系，故A错误；
又回归直线必过样本点的中心 ，故B正确；
因 为回归直线方程 中 ，所以若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加0.75kg，故C正确；
当 时， ，所以若该中学某女生身高为160cm，则其体重约为
44.29kg，故D错误.
故选：BC.
10. 数列 满足 ，且 ，数列 的前 项和为 ，从 的前
项中任取两项，它们的和为奇数的概率为 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【详解】 ， ， ，
又 ，所以数列 是首项为3，公差为1的等差数列.，
即 ， ，
对于选项A： ，故A正确；
对于选项B： 所以
，故B正确；
对于选项C： ，故C正确；
对于选项D：显然 为奇数时， 为奇数， 为偶数时， 为偶数，
因此要满足两项之和为奇数，则取奇偶各一个，
所以 ，故D正确.故选：ABD.
11. 如图，三棱锥 平面 ， ， 为 的中点，点 为
三棱锥 外接球球心，则（ ）
A. 当 时，
B. 当 时，二面角 大小为
C. 当异面直线 与 所成角为 时，
D. 当点 到平面 的距离为 时，
【答案】ACD
【详解】
对于A，连接 ， 平面 ， 平面 ，
，即 ，又 ，所以 ，
则 ， 为 的中点，所以 ，故A正确；
对于B，设 中点为 ，连接 ，
平面 ， 平面 ，
，又 ， ， ，
又 为 中点，所以 ，
又 ，所以 ， ，
平面 平面 ， 就是二面角 的平面角，
，即二面角 的为 ，故B错误；
对于C，设 中点为 ，连接 ， ，
设 时， ，
中， ， ，
，
，
解得 ，即 ，故C正确；
对于D，设 的外心为 ，过 作平面 的垂线，球心 在垂线上，又 平面 ，所以 ，
又 ，所以 在 的垂直平分线上，则 ，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ______．
【答案】
【详解】由指数幂与对数的运算法则，可得
.
故答案为： .
13. 某校的5名团员利用周日到市养老院参加义务劳动．已知5名团员中有3位女生，2位男生，活动结束
后5名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有______种．（用数字作答）
【答案】
【详解】根据题意，先将三名女生全排列，有 种不同的排法，
从三名女生的4个空隙中，选择2个插入男生，有 种不同的排法，
由分步计数原理得，共有 种不同的排法.
故答案为： .
14. 不等式 对任意 恒成立，则实数 的最小值为______．
【答案】 ##0.5
【详解】由 ，得
由题意知，不等式 对任意 恒成立.令 ，则 ，所以 是单调增函数.
设 是过点 与 相切的直线，设切点为 ，
则切线斜率 ，
由题意，得 ， 恒成立.
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 .
所以 .即实数 的最小值为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，且 ．
（1）求A；
（2）若 ，则 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）6
【小问1详解】
由正弦定理得 ，其中 ，
故 ，
因为 ，所以 ，故 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故 ，解得 ；
【小问2详解】
由三角形面积公式得 ，
故 ，
由余弦定理得 ，
解得 ，
故 ，解得 ，
故 ，周长为6.
16. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 的最小值为2，求实数 的值．
【答案】（1）答案见解析（2） 或
【小问1详解】
由题意得 的定义为 ，且 ，
当 时， 恒成立，此时 在 上单调递减；
当 时，令 ，则 或 ，
当 时，则 ，当 时， ，此时 在 上单调递减；
当 时，当 时， ，当 时， ，
此时 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在上单调递增，在 上单调递减；
【小问2详解】
由（1）可得当 时， 为减函数则无最小值，所以 ，
当 时，即 时， 取得极小值也是最小值 ，
所以 ，解得 或 ，
故函数 的最小值为 ，实数 的值为 或 .
17. 某同学在做投篮训练，已知该生每次投中的概率为 ，投不中的概率为 ．为提高该生训练的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为
最终得分．
（1）若投篮2次，最终得分为 ，求随机变量 分的布列和期望；
（2）设最终得分为 的概率为 ，证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式．
【答案】（1）分布列见详解；
（2）证明见详解；
【小问1详解】
由题意可知：最终得分为 的可能取值为2，3，4，
则 ， ， ，
可得随机变量 的分布列为
2 3 4
期望为 .
【小问2详解】
由题意可知： ， ，且 ，
因为 ，且 ，
可知数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，当 时，则 ， ， ， ，
相加可得 ，
则 ，
且 时， 符合上式，所以 .
18. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，
是线段 上的动点．
（1）证明： ；
（2）若 是线段 的中点，求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）设直线 与平面 所成角为 ，求 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【小问1详解】因为 底面 平面 ，所以
又 平面 ,
所以 平面 .
又因为 平面 ，所以 .
【小问2详解】
因为 底面 平面 ，所以 ，
如图，以 为原点， 为 轴正方向，建立空间直角坐标系，
∵ ，
∴ ， ， ， .
所以 ， ， ， ， ，
∵ 是线段 的中点，∴ ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，取 ，则 ， ，
所以 为平面 的一个法向量.
设平面 的法向量为 ,，即 ，取 ，则 ， ，
所以 为平面 的一个法向量.
所以 .
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
【小问3详解】
由（2）知 ， , ，
所以 , ， ， ，
若点 与 重合，则平面 即为平面 ，则 为平面 的一个法向量.
则 ，
若点 与 重合，则平面 即为平面 ,则 为平面 的一个法向量.
则
若点 与点 均不重合，
由 与 共线，设 ，且 .则 .
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，
取 ，则 ，
所以 ，（ ）是平面 的一个法向量.
因为
所以
.
令 ，则 ， .
，
因为 ，所以 .综上， .
19. 在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ，垂足为 ．点 在线段 上，且满足
．当点 在圆上运动时，记点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的标准方程．
（2）过点 的直线 交曲线 于 两点，过点 与 垂直的直线交曲线 于 ， 两点，其中
在 轴上方， ， 分别为 ， 的中点．
（ⅰ）证明：直线 过定点；
（ⅱ）求 面积的最大值．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【小问1详解】
解：设点 是所求曲线 上的一点，且 ，
由 轴于 ，则 ，因为 ，可得 ，
因为点 是圆 上任意一点，则 ，即 ，
即曲线 的标准方程为 .
【小问2详解】解：（i）当直线 的斜率存在且不为 时，设直线 方程为 ，且 ，
联立方程组 ，整理得 ，
可得 ，则 ，
所以点 的坐标为 ，
因为直线 与直线 垂直，所以直线 的方程为 ，
设 ，
联立方程组 ，整理得 ，
可得 ，则 ，
所以点 的坐标为 ，
则直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，令 ，解得 ，所以直线 过定点 ；
当直线 的斜率不存在时，直线 方程为 ，可得 ，则 ，
直线 的方程为 ，可得 ，则 ，直线 过定点 ，
综上可得，直线 过定点 .
（ii）由（i）知，直线 过定点 ，且 ，
可得 ，则
，
令 ，则 ，则 ，
令 在 上为单调递增函数，当 时， ，
即 时， 面积取得最大值，最大值为 .
