福建省2019年中考数学真题试题_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_2019年全国中考数学206份

2019年福建省中考数学试题
一、选择题(每小题4分，共40分)
1.计算22+(－1)°的结果是( ).
A.5 B.4 C.3 D.2
2.北京故宫的占地面积约为720 000m2，将720 000用科学记数法表示为( ).
A.72×104 B.7.2×105 C.7.2×106 D. 0.72×106
3.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ).
A.等边三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.正方形
4.右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是( ).
A． B． C． D． 主视方向
5.已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).
A.12 B.10 C.8 D.6
6.如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断
错误的是( ).
数学成绩/分
100
A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定
90
B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好
■
80 ■ ■ ■
C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高 ■ ▲
▲
70 ▲ 甲
D.就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳 ■ 乙
60 ▲ ▲ ▲ 丙
7.下列运算正确的是( ). 班级平均分
A.a·a3= a3 B.(2a)3=6a3 0 1 2 3 4 5 次数
C. a6÷a3= a2 D.(a2)3－(－a3)2=0
8.《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少?”其大
意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个
字?已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是( ).
A. x+2x+4x=34 685 B. x+2x+3x=34 685
1 1
A
C. x+2x+2x=34 685 D. x+ x+ x=34 685
2 4
9.如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，
O P
且∠ACB＝55°，则∠APB等于( ).
A.55° B.70° C.110° D.125° B
C
(第9题)
110.若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y)、C(3－m,n)、D( , y)、E(2,y)，则y、y、y的
1 2 3 1 2 3
2
大小关系是( ).
A. y< y< y B. y < y< y C. y< y< y D. y< y< y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1
二、填空题(每小题4分，共24分)
11.因式分解：x2－9=__( x+3)( x－3)_____.
A C B
12.如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是－4和2，
-4 0 2
(第12题)
点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是__－1_____.
13.某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学
生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学
生有__1200_____人.
14.中在平面直角坐标系xOy中，□OABC的三个顶点O(0,0)、A(3,0) 、
E
B(4,2),则其第四个顶点是是__(1,2)_____.
D C
15.如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,
O
E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积
F A B
是__－1_____.(结果保留)
(第15题)
3
16.如图,菱形ABCD顶点A在例函数y= (x>0)的图象上，函数
x y
k
C
y= (k>3，x>0)的图象关于直线AC对称，且经过点B、D
x D
两点，若AB＝2，∠DAB＝30°，则k的值为_6+2 ______. B
3
A
三、解答题(共86分) O x
(第16题)
17. (本小题满分8分)
x y 5
解方程组：

2x y 4
x 3
解：

y 2
18. (本小题满分8分)
如图，点E、F分别是矩形ABCD的边 AB、CD上的一点，且DF＝BE.
求证：AF=CE.
D F C
解：（略）
A E B
219. (本小题满分8分)
2x1
先化简，再求值：(x－1)÷(x－ ),其中x = 2 +1
x
解：原式= x , 1+ 2
x1 2
20. (本小题满分8分)
如图，已知△ABC为和点A'.
(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC，S =4S ;
△A'B'C' △ABC
(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、
A'C'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'.
B'
C
B
A B A'
A C A' C'
(2)证明(略)
21. (本小题满分8分)
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED，点B、C的
对应点分别是E、D.
(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
(2)如图2，若=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.
D
D
E
C
C
E
F
B A B A
(图1)
(图2)
322.(本小题满分10分)
某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车
间，对该厂工业废水进行无害化处理. 但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的
处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理. 已知该车间处理废水，每天需固定成本
30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5
月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.
(1)求该车间的日废水处理量m；
(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超
过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.
37030 68
解：(1)∵处理废水35吨花费370，且 ＝ >8，∴m<35,
35 7
∴30+8m +12(35－m)＝370，m＝20
(2)设一天生产废水x吨,则
当0< x≤20时，8x+30≤10 x， 15≤x≤20
当x>20时，12(x－20)+160+30≤10x， 20<x≤25
综上所述，15≤x≤20
23.(本小题满分10分)
某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次
维修服务费为2000元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际
维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过机时购买的维修服务次数，超出部分每次维
修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费某公司计划购实1台该种机器，为决策在购买机器时应
同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下
表；
维修次数 8 9 10 11 12
频率(台数) 10 20 30 30 10
(1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；
(2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是
11次维修服务？
解：
(1)0.6
(2)购买10次时，
某台机器使用期内维修次数 8 9 10 11 12
该台机器维修费用 24000 24500 25000 30000 35000
此时这100台机器维修费用的平均数
1
y= (24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10)＝27300
1
100
购买11次时，
某台机器使用期内维修次数 8 9 10 11 12
该台机器维修费用 26000 26500 27000 27500 32500
此时这100台机器维修费用的平均数
1
y= (26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10)＝27500
2
100
所以，选择购买10次维修服务.
24. (本小题满分12分)
4如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.
(1)求证：∠BAC=2∠DAC；
(2)若AF＝10，BC＝4 ，求tan∠BAD的值. F
5
C
D
解：
(1)∵BD⊥AC，CD=CD，
E
∴∠BAC=2∠CBD=2∠CAD;
(2)∵DF=DC，
1 1 A B
∴∠BFC= ∠BDC= ∠BAC=∠FBC,
2 2
∴CB=CF,
又BD⊥AC，
F
∴AC是线段BF的中垂线，AB= AF=10, AC=10.
C
又BC＝4 ， D
5
E
设AE＝x, CE=10－x,
AB2－AE2=BC2－CE2, 100－x2=80－(10－x)2, x=6
∴AE=6,BE=8,CE=4,("1,2, ";"3,4,5";Rt△组合)
5
A H B
AECE 64
∴DE= = =3,
BE 8
作DH⊥AB，垂足为H，则
3 33 4 44
DH=BD·sin∠ABD=11× = , BH= BD·cos∠ABD=11× =
5 5 5 5
44 6
∴AH=10－ ＝
5 5
DH 33 11
∴tan∠BAD= = =
AH 6 2
25.已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点.
(1)若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式；
(2)设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于
直线y=－1,垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在 y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数 k，都有A、D、C三点共线.
y
解：(1) y=a(x－2)2, c=4a;
(2) y=kx+1－k= k(x－1)+1过定点(1,1),
且当k＝0时，直线l变为y=1平行x轴,与轴的交点为(0,1)
又△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点 (1,1)
B C
①c=1，顶点A(1,0)
抛物线的解析式: y= x2－2x+1. O A x
y  x2 2x1 y y = x2 2∙x + 1
②

y kx1k
C
x2－(2+k)x+k＝0,
B
5
O A x
y=-1
D1
x＝ (2+k± k2 4 )
2
1  k  k2 4 
x D ＝x B ＝ (2+k－ k2 4 ), y D =－1； D1 ,1
2  2 
 
1
y＝ (2+k2+k k2 4 ,
C
2
 k  k2 4 k(k  k2 4) 
C1 ,1 , A(1,0)
 2 2 
 
∴直线AD的斜率k = 2 =k  k2 4 ,
AD
k  k2 4 2
直线AC的斜率k =k  k2 4
AC
2
∴k = k , 点A、C、D三点共线.
AD AC
67