柳州市2026届新高三摸底考试数学答案及评分标准_2025年6月_250627广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高二下学期6月期末考试（全科）

柳州市2026届新高三摸底考试数学参考答案及评分标准
2025.6
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D B A A C D C B
二、多选题
9 10 11
选2个 选2个
选1个（A （AC或 选3个 选1个（A （AC或 选3个 选1个（B 选2个
或C或D） AD或 （ACD） 或C或D） AD或 （ACD） 或C） （BC）
CD） CD）
2分 4分 6分 2分 4分 6分 3分 6分
三、填空题
165
12.6 13. 3 14.
11
三、解答题
15.解析：(1)f'(x)=(ax+b)'ex+(ax+b)(ex)'=(ax+a+b)ex
f'0  =(a+b)e0=a+b=2
切线为2x-y+1=0，当x=0时，y=1,故f0  =1，即b=1，所以a=b=1.
(2)函数定义域为R,由 (1) 知，fx  =(x+1)ex
f′x  =(x+2)ex。
令f′x  >0，得 x>-2，令f′x  <0，得 x<-2
因此，fx  的单调递增区间为-2,+∞  ，单调递减区间为-∞,-2  ；
且在x=-2处取得极小值，极小值为f-2  =-e-2，无极大值.
16.解析：(1)以D为原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系。
设BC=2a，则D0,0,0  ，A2a,0,0  ，B2a,1,0  ，P0,0,2  ，Ma,1,0 

PB=2a,1,-2 

，AM =-a,1,0  。
 
1 2
因为PB⊥AM，所以PB⋅AM =0，即：-2a2+1=0⇒a2= ⇒a=
2 2
故 BC=2a= 2
2
(2)由(1)知 BC= 2，则M ,1,0
2
 ，

2
PM = ,1,-2
2


，AP=- 2,0,2 

，BP=- 2,-1,2  。
设平面APM的法向量n 1 =x 1 ,y 1 ,z 1  ，
- 2x +2z =0
   1 1
由n
1
⋅AP=0，n
1
⋅PM =0得：
2
x +y -2z =0
2 1 1 1
令x 1 = 2，则z 1 =1，y 1 =1，故n 1 = 2,1,1  。
设平面BPM的法向n 2 =x 2 ,y 2 ,z 2  ，
- 2x -y +2z =0
   2 2 2
由n
2
⋅BP=0，n
2
⋅PM =0 得：
2
x +y -2z =0
2 2 2 2
令z 2 =1，则x 2 =0，y 2 =2，故n 2 =0,2,1  。
·1·
{#{QQABLQYxwgoYgESACA7KQQFeCAuQkIEgJYoEhQAQKAQjyQNIFAA=}#}设二面角A-PM-B的平面角为θ
cosθ= n 1 ⋅n 2 = 3 = 3 5
n 1n 2 2× 5 10
55
综上，(1)BC= 2；(2)二面角A-PM-B的正弦值为 。
10
π
17.解析：(1)因为2b=c+2asinB-
6
 =c+ 3asinB-acosB
由正弦定理可得2sinB=sinC+ 3sinAsinB-sinAcosB，
且sinC=sinA+B  =sinAcosB+cosAsinB，
即2sinB= 3sinAsinB+cosAsinB，
因为B∈0,π 
π
，则sinB≠0，所以 3sinA+cosA=2，即sinA+
6
 =1
又因为A∈0,π 
π π 7π π π π
，则 <A+ < ，可得A+ = ，所以A= .
6 6 6 6 2 3
π
(2)因为AD为∠BAC的平分线，则∠BAD=∠CAD= ，
6
因为S =S +S ，
△ABC △BAD △CAD
1 1 1
所以 AB⋅AC⋅sin∠BAC= AB⋅AD⋅sin∠BAD+ AD⋅AC⋅sin∠CAD
2 2 2
设AD=t
1 3 1 1 1 1
即 bc× = ×c×t× + ×t×b× ，可得(b+c)t= 3bc，
2 2 2 2 2 2
在△BAC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=b+c  2-2bc-2bccos∠BAC，
即12=b+c  2-3bc
1 1 3 3
△ABC的面积S = bc⋅sin∠BAC= ×bc× = bc= 3，
△ABC 2 2 2 4
3bc 4 3
所以bc=4,所以b+c=2 6,t= = = 2,AD= 2
b+c 2 6
18.解析：(1)PB|A 1 
450 9
= 550 = 11 ，PB|A 2 
90 1
= = ，有关。 450 5
(2)表二：
身高
性别 低于 不低于 合计
170cm 170cm
女 25 15 40
男 25 35 60
合计 50 50 100
H ：假设该中学高二年级学生的性别与身高无关，
0
10025×35-25×15
χ2=
 2 25
= ≈4.167<6.635，
40×60×50×50 6
依据α=0.01的独立性检验，没有充分的证据说明H 不成立，
0
即该中学高二年级学生的性别与身高无关；
第一问的结论是有关，是利用全体数据得出的结论，数据更全面、更准确，而第二问是抽取的部分样本，
样本的抽取具有随机性，因此可能会得出错误的结论，为了提高准确的结论，应该增加样本量。
(3)10 个数据从小排到大的顺序为：159，160，164，165，166，168，171，172，174，176，10×0.7=7，因
171+172
此第 70 百分位数为 =171.5，
2
身高小于 171.5cm 的人共 7 人，其中男生有 3 人，女生 4 人，
X可以为 0，1，2，3，
PX=0 
C3 1
= 3 = ，PX=1
C3 35
7

C2C1 12
= 3 4 = ，PX=2
C3 35
7

C1C2 18
= 3 4 = ，PX=3
C3 35
7

C3 4
= 4 = ，
C3 35
7
·2·
{#{QQABLQYxwgoYgESACA7KQQFeCAuQkIEgJYoEhQAQKAQjyQNIFAA=}#}则X的分布列为：
X 0 1 2 3
1 12 18 4
P
35 35 35 35
EX 
12 18 4 12
=1× +2× +3× = 。
35 35 35 7
19.解析：(1)由已知，得线段AB是动圆的直径，故AC⊥BC
 
于是AC∙BC=0,即(4,y)∙(-x,y)=0,
化简得：y2=4x，即为点T(x,y)的轨迹E的方程.
(2)由题意，直线l ,l 的斜率存在且不为0，设直线l :y-2=k(x-3),P(x ,y),Q(x ,y )
1 2 1 1 1 1 1 2 2
y=kx+(2-3k)
联立：

,得：k2x2+(4k-6k2-4)x+(2-3k)2=0
y2=4x
6k2-4k+4 (2-3k)2
x +x = ,xx =
1 2 k2 1 2 k2
4
y +y =k(x +x )+(4-6k)=
1 2 1 2 k
3k2-2k+2 2 1
所以点M( , ),以- 代k得到N(3+2k+2k2,-2k)
k2 k k
2
+2k
k k
直线MN的斜率k = =
MN 3k2-2k+2 1-k-k2
-(3+2k+2k2)
k2
k
直线MN的方程为：y+2k= [x-(3+2k+2k2)]，当x=5时，y=0
1-k-k2
MN过定点（5,0）
1 2
（3）S = ×9× +2k
△AMN 2 k

1
=9× +k
k

1
=9(
k
 +k 
1
)≥9×2 
k
 ⋅k  =18
当且仅当k=±1时，△AMN面积的最小值为18.
·3·
{#{QQABLQYxwgoYgESACA7KQQFeCAuQkIEgJYoEhQAQKAQjyQNIFAA=}#}