江苏省扬州市高邮市2026届高三上学期10月学情调研测试数学Word版含解析_251101江苏省扬州市高邮市2026届高三上学期10月学情调研测试（全科）

2025-2026 学年度第一学期高三 10 月学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】对于集合 ，由于 ，解得 ，则 ， 对于集合 ，由于 ，即 ，则 ，所以 ； 故选：A 2. 已知角 的终边经过点 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】已知角 的终边经过点 ，若 ，则 ，解得 . 故选：D. 3. “ ”是“ ”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为 在定义域 上单调递增，由 可得 ， 因为 在定义域 上单调递增，由 可得 ，所以由 推不出 ，即充分性不成立； 由 推出 ，即必要性成立； 所以“ ”是“ ”成立的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知 ，则 的最小值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【详解】已知 ，则有 ， ， ， 当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为16. 故选：B 5. 函数 的单调递减区间是（ ） A. B. C. 和 D. 【答案】C 【详解】 的定义域为 ， 由题得 ， 令 ，得 ，因为 ， 所以函数的单调减区间为 和 ， 故选：C. 6. 高斯，著名 的数学家、文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数 称为高 斯函数，其中 表示不超过实数 的最大整数，如 ， ，若 ，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】由 ，可得 ，则 可化为： ， 令 得： ，再令 ， 由对勾函数的单调性知： 在 上单调递减，在 上单调递增， ， ， 所以 ， ，只需 . 故选：D 7. 已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B 【详解】已知 ， ， 则 ， ， 即 ， 则 ， 所以 . 故选：B． 8. 已知函数 的两条相邻对称轴间的距离为 ．现 将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的纵坐标变为原来的 2倍（横坐标不变），得到 函数 的图象，若关于 的方程 在区间 上恰有两个不同的实数解，则实数 的取 值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由题意得 ，根据 的两条相邻对称轴间的距离为 ，可得 的周期 ， 所以 ，可得 . 将函数 图象向右平移 个单位长度，可得 的图象， 的 再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），可得 的图象， 方程 在区间 上恰有两个不同的实数解， 可转化为 和 的图象在区间 上有且只有2个交点． 由 可得 根据函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ， ， 作出函数 的大致图象如下：结合图象，可得 ，即实数k的取值范围是 ． 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数 ， 满足等式 ，则下列式子可以成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【详解】实数 ， 满足等式 ， 即 在 处的函数值和 在 处的函数值相等， 做出 和 两个函数的图象， 当 时， ，此时C选项成立； 做出直线 ，此时 ，可得 ， ， 满足 ， 由图象知， 时，都有 ，由此知B选项成立； 作出直线 ，此时 ，可得 ， ，满足 ， 由图象知， 时，都有 ，由此知D选项成立. 故选：BCD. 10. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点 中心对称 C. D. 在区间 上单调递减 【答案】AD 【详解】函数 的最小正周期是 ， 函数图象 轴上及上方部分不变， 轴下方的部分翻折到上方，得函数 的图象， 则 的最小正周期是 ，A选项正确； 函数 的图象都在 轴上及 轴上方，不可能关于 轴上的点 中心对称，B选项 错误； ，正弦函数在 上单调递增， ，有 ，C选项错误； 时， ， 所以函数 在 上单调递增，且 在 上恒成立， 结合图像的翻折可知， 在区间 上单调递减，D选项正确. 故选：AD11. 已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ） A. 当 时， B. 当 时， C. 当关于 的方程 有两个不等实根时， D. 当 时，过原点与曲线 相切的直线有且只有1条 【答案】ABD 【详解】对于A， ， ，求导得 ， 当 时， ，函数 在 上单调递增， 所以当 时， ，A正确； 对于B， ， ，求导得 ， 当 时，令 ，解得： ， 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减， 所以 ，由于 ，则 ，所以 成 立，故B正确； 对于C，由关于 的方程 有两个不等实根，得 有两个不等实根， 整理得 ，则 ，即 ， 令函数 ，则 即为 ， 函数 在R上单调递增，则 ，即 ，由A选项知 ， ，函数 在 上单调递减， 在 上单调递增， ， 而 时， ， 时， ， 而 有两个根，必有 ，解得 ， 所以a的取值范围为 ，C不正确． 对于D，当 时, ，函数定义域为 ，求导得 ， 设切点坐标为 ，则在 处， 的切线方程为： ，则 ， 化简得 ，当 时， ，此方程无解； 当 时， ，此方程无解；当 时， ，满足要求， 因此方程 只有 这1个解，即过原点有且仅有一条直线与曲线 相切，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知 ，则 ______． 【答案】 【详解】由题可得：， 因 ，所以 ，则 ，即 ， 为 所以 ， 故答案为： 13. 已知集合 ， ，且 ，则 ______． 【答案】 【详解】解不等式 ，等价于 ，即 ， 解得 ，所以 ， 因为 ，所以不等式 解为 ， 则一元二次方程 的两根为 ， ， ，解得 ， ，解得 ， . 故答案为： . 14. 已知函数 和 的定义域均为 ，且 ， ，若是偶函数，则 ______． 【答案】8100 【详解】 是偶函数， ， ， ， ， ， ，将 换为 ， ， 将 和 这两个等式相加， 得 ， 将 换为 ，得 ， 则有 ， 得 ，将 换为 ，得 ， 的周期为4， ， ， ， ， ， ， 的周期为4， ，， ， ， ， ， 将 和 两个式子相加，得 ， . 故答案为：8100. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 ． （1）若函数 在 处取得极小值 ，求实数 ， 的值； （2）讨论函数 的单调性． 【答案】（1） ， ； （2）分类讨论，答案见解析. 【小问1详解】 函数 ， ， 由题意知 ， ， 即 ，解得 ， ． 此时， ，令 ，得 或 ，函数 在 和 上单调递增， 上单调递减， 所以 时， 取极小值． 所以 ， ． 【小问2详解】 ，令 ，得 ， ， 当 时， 时 ， 时 ， 所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 当 时，， 时 ， 时 ， 所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增； 综上：当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 当 时，函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增． 16. 如图，在四棱锥 中， ， ， ，点 在 上，且 ， ．（1）若点 在 上，且满足 ，求证： 平面 ； （2）若 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） ． 【小问1详解】 在线段 上取点 ，使得 ，连接 ， ， 因为 ，所以 ， ， 又 ， ， ，所以 ， ， 所以 ， ，所以四边形 为平行四边形， 故 ，而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 【小问2详解】 因为 ， ， ， ，故 ， ，所以，四边形 为平行四边形，故 ． 因为 平面 ， 而 ， 平面 ，故 ， ． 所以 ， ，又 ， 所以，以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， 则 ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则由 可得 ，取 ， 所以 ， ， 所以 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 17. 2025年春节假期，文旅市场火爆．文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01 亿人次，同比增长 ；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长 ．某景区的某网红饮品小店统计 了春节假期前7天的营业额 （单位：千元），得到 与 的数据如表所示：第 天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 7 9 11 13 16 18 17 （1）已知 与 有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； （2）如果某天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设 表示“达标”的数据组数，求 的分布列和数学期望． 参考公式：在线性回归方程 中， ， ． 参考数据： ， ． 【答案】（1） ， 千元 （2）分布列见解析，数学期望为 【小问1详解】 由题意可得： ， ， 则 ， ， 可知线性回归方程为 ， 当 时， ， 所以预测春节假期第8天的营业额为 千元．【小问2详解】 由题意可知 的所有可能取值为：2，3，4， 则 ， ， ， 所以 的分布列为 2 3 4 的数学期望为 ． 18. 定义在 上的函数 ． （1）当 时，求函数 的值域； （2）当 时，若 在 处取最大值． ①求 ； ② 关 于 的 方 程 在 区 间 上 有 两 解 ， ， 求 的值． 【答案】（1） （2）①2；② . 【小问1详解】 当 时， ，因为 ， ，所以 ， 所以函数 的值域为 ； 【小问2详解】 ①当 时， ，其中 ， ， 当 时，函数 取得最大值，此时 ， 所以 ； ②由题知 ， ，由①知 故方程 的两解满足： ，即 ， 且 ；又由①知 ， . 所以 ； 由 知 ， 所以 ； 所以 ． 19. 已知函数 ．（1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）记 的导函数为 ，若 为 上的单调函数，求 的取值范围； （3）若函数 ，求证：存在无数个 的值，使得 有两个极值点． 【答案】（1） ； （2） 或 ； （3）证明见解析. 【小问1详解】 由题知 ，所以切点为 ， 又由 ，得 ，则切线的斜率为0， 所以切线方程为： ； 【小问2详解】 由（1）知 ， 因为 为单调函数， 或 在 上恒成立， 所以 的取值范围为： 或 ； 【小问3详解】 函数 的定义域为 ，由 知 为奇函数， 故可以只考查 ，求导可得 ， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增， 又由 为奇函数可知 在 上单调递增，没有极值；令 ， 当 时， ，由（2）知，当 时， 在 上单调递减，即 在 上单调递减， 所以，当 时， ，可得 在 上单调递减， 因为 ， ，所以存在 ，使得 ， 且当 时， ， 在 上单调递增， 当 时， ， 在 上单调递减， 再由 为奇函数可知： 在 上单调递减， 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以，当 时，函数 有两个极值点 ， ，