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澄宜六校联盟高三年级 10 月学情调研试卷
高三数学
命题人： 复核人：
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1. 已知 、 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质与函数的性质逐项判断即可得答案.
【详解】对于A，当 时，满足 ，但 ，故A不正确；
对于B，当 时，满足 ，但 ，故B不正确；
对于C，函数 在 上为减函数，若 ，则 ，故C正确；
对于D，当 时，满足 ，但 ，故D不正确.
故选：C.
2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A. 任意一个有理数，它的平方不是有理数
B. 任意一个无理数，它的平方不是有理数
C. 存在一个有理数，它的平方是有理数
D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数
【答案】B
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”为存在量词命题，
该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
3. 若集合 ， ， （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合 ，根据并集的定义计算.
【详解】由已知 ，
所以 ，
故选：B.
4. 如图函数图象的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ， ，结合函数奇偶性的定义判断奇偶性，再结合已知函数图
象根据函数的定义域与奇偶性逐项判断即可得结论.
【详解】设 ，其定义域为 ，
所以 ，故 是 上的奇函数；
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学科网（北京）股份有限公司设 ，其定义域为 ，
所以 ，故 是 上的奇函数；
由图可知原函数是 上的偶函数，从定义域上不符合的是C，D选项；
A选项是奇函数 与偶函数 相乘所得函数 为奇函数，故A不符合；
B选项是奇函数 与奇函数 相乘所得函数 为偶函数，故B符合
故选：B.
5. 已知实数 、 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本不等式“1”的代换求解最值即可.
【详解】因为实数 、 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时， 的最小值是 .
故选：A.
6. 若平面向量 ， ， ，两两的夹角相等，且 ，则 （ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，三向量两两夹角为0或 ，当夹角为0时，直接求得模，当夹角为 时，利用向量
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学科网（北京）股份有限公司求模公式即可求解．
【详解】因为 ， ， 两两的夹角相等，所以夹角为0或 ，
如果夹角为0，
因为 ，
所以得到 ，
如果夹角为 ， ，
所以 ，
综上， 或 .
故选：B．
7. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的形状是（
）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由余弦定理化简为 ，再按 等于0和不等于0分类讨论求解．
【详解】因为 ，由余弦定理得 ，
化简得 ，
若 ，即 ，此时 为直角三角形；
若 ，则 ，此时 为等腰三角形．
综上， 为等腰三角形或直角三角形．
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学科网（北京）股份有限公司故选：D．
8. 已知函数 ，若方程 有且仅有 个不同实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，则方程 转化为 的一元二次方程，解出这个 的一元二次
方程的解，画出 的图象，通过图象数形结合得到 的取值范围.
【详解】令 ，有 ，即 ，
解得 或 ，
作出 的图象，如图，
方程 有且仅有5个不同实数根，
则由图得 或 ，
解得 或 ，
则 .
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.）
的
9. 下列说法中，正确 是（ ）
A. 若向量 是与 同向的单位向量，则
B. 已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为
C. 向量 ， 能作为平面内所有向量的一组基底
D. 已知 ， ，则“ ， 夹角为锐角”是“ ”的必要不充分条件
【答案】AB
【解析】
【分析】根据同向的单位向量计算公式即可判断 A；利用投影向量计算公式即可判断B；根据基底向量的
判断方法即可判断C；求出向量夹角为锐角的充要条件即可判断D.
【详解】对于A， ，故A正确.
对于B， 在 上的投影向量为 ，故B正确；
对于C，因为 ，则 共线，则它们不能作为平面内所有向量的一组基底，故C错误；
对于D，若 ， 夹角为锐角，则 ，且不能同向共线，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 且 ，
则前者可以推出后者，后者无法推出前者，故“ ， 夹角为锐角”是“ ” 的充分不必要条件，故D错
误.
故选：AB．
10. 已知函数 ， ，其图象距离 轴最近的一条对称轴方程为 ，
最近的一个对称中心为 ，则（ ）
A.
B. 的图象上的所有点向左平移 个单位长度得到函数 的图象
C. 的图象在区间 内有 个对称中心
D. 若 在区间 上的最大值与最小值分别为 ，则 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意算出函数的最小正周期，运用周期公式求出 ，结合函数图象的对称性质求得
，即可判断 A 项的正误；根据函数图象的平移公式判断出 B 项的正误；根据 在区间
上刚好是一个周期，结合 ，可得 在该区间内有2个对称中心，从
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学科网（北京）股份有限公司而判断出C项的正误；根据 的位置，结合函数图象的对称性与三角恒等变换求出 的最大
值与最小值，即可判断出D项的正误．
【详解】由题意， 的最小正周期为 ，所以 ，解得 ，
根据 ，解得 ，
结合 ，令得 ，可知A项正确；
由 ，将 图象上的所有点向左平移 个单位长度，
可得 ，可知B项不正确；
根据 ，结合 可得 在区间 只有一个周期，
而 ，
所以 在 仅有两个零点，只有2个对称中心，可知C项正确；
由前面的分析，可得 图象的对称轴为 ，
由对称性可知：当 与 关于直线 对称时， 取得最小值，
由 得 ，此时 ．
当 为偶数时，最小值为 ，最大值为 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 为奇数时，最大值为 ，
最小值为 ，所以 最的小值为1．
当 或 时，
函数 在 上单调，此时 取得最大值，
，
当 或 时等号成立，所以 的取值范围为 ，可知D项正确．
故选：ACD．
11. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 是奇函数，且
，则（ ）
A. 是奇函数 B. 是增函数
C. 存在最小值 D. 当 时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：根据奇偶性的定义结合复合函数求导分析判断；对于 B：构建 ，利用
导数可得 ，进而分析判断；对于 C：根据奇偶性求 ， 的解析式，利用判断
的最小值；对于D：构建 ，利用导数证明不等式.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于选项A：因为函数 及其 的定义域均为 ，且 是奇函数，
则 ，求导可得 ，
所以函数 是偶函数，故A错误；
对于选项B：构造 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，则 ，
构造 ，则 ，
所以 是增函数，故B正确；
对于选项C：因为 ，
则 ，可得 ，
联立 ，解得 ，
构造 ，则 ，
因为 在 上单调递增，则 在 上单调递增，且 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
所以 有最小值 ，即 存在最小值，故C正确；
对于选项D：构造 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，可知 在 内单调递增，
则 ，所以当 时， ，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 计算 _________.
【答案】10
【解析】
【分析】根据对数运算法则、对数恒等式、指数运算法则化简运算即可得答案.
【详解】
.
故答案为：10.
13. 已知 ， ，则 ______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正切函数化成正弦函数除以余弦函数，结合正弦两角差公式化简求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
故答案为： .
14. 设函数 ，若 有两个极值点 ， ，且 ，则
的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数有两个极值点可得方程 在 上有两个不等实根 ， ，由此可得
韦 达 定 理 的 结 论 ， 将 表 示 为 关 于 的 函 数 的 形 式 ， 构 造 函 数
，利用导数求得 即可．
【详解】 定义域为 ， ，
有两个极值点 ， 等价于 在 上有两个不等实根 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ， ，
，
设 ，
则 ，
在 上单调递减， ，
即 ，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】思路点睛：本题考查了函数和导数综合解决双变量最值问题，根据已知极值点确定双变量等式关
系，再进行代换转化为单变量问题，构造新函数求导确定最值得结论即可.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 设命题 ，不等式 恒成立;命题 .
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 、 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）对 进行分类讨论，由此列不等式来求得 的取值范围.
（2）根据 真 假或 假 真，列不等式来求得 的取值范围.
【小问1详解】
对于命题 ，不等式 恒成立，
当 时， 恒成立.
当 时，则需 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
【小问2详解】
由 得 ，
所以 ，解得 .
若 真 假，则“ ”且“ 或 ”，则 .
若 假 真，则“ 或 ”且“ ”，则 .
综上所述， 的取值范围是 或 .
16. 设函数 .
（1）当 时，求函数 的最小值并求出对应的 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求 的取值集合.
【答案】（1）函数 的最小值为 ，此时
（2） 的取值集合为
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换可得 ，根据正弦型函数的性质，即可得出答案；
（2）根据正弦函数的图象性质解三角不等式即可得 的取值集合．
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
当 ，即 时，函数 取到最小值为 ，
即当 时，函数 的最小值为 ，此时 ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ，
所以 ，解得 ，
故 的取值集合为 .
17. 如图，等腰 中， ， 为 边的中点， 为 边上靠近点 三等分点，
为线段 上的一点，且 ，过点 的直线与边 分别交于点 ，已知 ，
.
（1）求 的值；
（2）若 ，且 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量共线定理以及向量的线性运算来建立等式关系，即可得出 的值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先根据三角形面积关系得出 与 的关系，再联立已知等式求解 和 的值，进而求出线段长度，然
后利用余弦定理求出 和 ，最后通过向量运算求出 的值．
【小问1详解】
因为 为 边的中点， 为 边上靠近点 三等分点，
所以 ，
又 ， ，所以 ，
因为 共线，又 ，
则 ，即 ；
【小问2详解】
由 ，得 ，
所以 ，又 ，
由（1）得 ，联立解得 ， 或 ， （舍），
所以 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以在 中，由余弦定理得 ，
因为 ， 为 边的中点，所以 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
，
所以 ．
18. 如图， 的内角 的对边分别为 ， ， 为边 上一点，且
， ．
（1）证明： ；
（2）求 的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
在
【分析】（1）由条件先求角 ，进而 中应用正弦定理即可证明；
（2）在 中应用正弦定理可得 ，进而结合 可得 的值，
再利用余弦定理可求 与 的关系，进而利用面积公式求解即可.
【小问1详解】
由 ， ，得 .
在 中，有 ，得
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学科网（北京）股份有限公司，即 .
【小问2详解】
在 中， ，所以 ，即 ，
又 .
于是 ，即 .
因为 ， ， ，
所以 ，
得 ，即 .
则 .
19. 已知函数 .
（1）若 ，求函数 在点 处的切线方程；
（2）设函数
(ⅰ)求函数 的单调区间；
(ⅱ)若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）(ⅰ)答案见解析；(ⅱ) .
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点 处的切线方程.
（2）(ⅰ)求导，分类讨论可得函数的单调区间；
(ⅱ)问题转化为 与 有两个交点.设 ， ，分析函数的单调性和极
值，作出函数的大致图象，数形结合，可求 的取值范围.
【小问1详解】
当 时， ，
由 ，可得 .
所以函数 在点 处的切线方程为： ，即 .
【小问2详解】
， .
(ⅰ)因为 ， .
当 即 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 即 时，由 ；由 .
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
(ⅱ)由 ， 可得 ， .
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学科网（北京）股份有限公司设 ， ，则 .
由 ；由 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
且当 时， ； ；当 时， ,
当 时， ;当 时， .
作出函数 的大致图象如下：
要使 有两个零点，需使 与 有两个交点，由图知 ，解得 .
所以当 时，函数 有两个零点.
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