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2022 年四川省成都市中考数学试题及答案数学
A卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题
目要求）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据相反数的求法求解即可．
【详解】解：任意一个实数a的相反数为-a
由 − 的相反数是 ；
故选A．
【点睛】本题主要考查相反数，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键．
2. 2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣
布，我国目前已建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网
络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解答：解：160万=1600000= ，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行
运算，即可一一判定．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. ，故该选项错误，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公
式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．
4. 如图，在 和 中，点 ， ， ， 在同一直线上， ，
，只添加一个条件，能判定 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．
【详解】A、 ，不能判断 ，选项不符合题意；
B、 ，利用SAS定理可以判断 ，选项符合题意；
C、 ，不能判断 ，选项不符合题意；
D、 ，不能判断 ，选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出
三角形全等的条件是解答本题的关键．
5. 在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香
成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据 众的
数是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 56 B. 60 C. 63 D. 72
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意，根据众数的性质分析即可得到答案．
【详解】根据题意，56，60，63，60，60，72这组数据的众数是：60
故选：B．
【点睛】本题考查了众数的知识；解题的关键是熟练掌握众数的定义： 众数是指在统计分
布上具有明显集中趋势点的数值，也就是一组数据中出现次数最多的数值．
6. 如图，正六边形 内接于⊙ ，若⊙ 的周长等于 ，则正六边形的边长为
（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的
性质，即可求得答案．
【详解】解：连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC 360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
学科网（北京）股份有限公司∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
7. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买
一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文
钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：
苦、甜果各有几个？设苦果有 个，甜果有 个，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设苦果有 个，甜果有 个，由题意可得，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是
解决本题的关键．
8. 如图，二次函数 的图像与 轴相交于 ， 两点，对称轴是直
线 ，下列说法正确的是（ ）
A. B. 当 时， 的值随 值的增大
而增大
C. 点 的坐标为 D.
学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即 ，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为 ，当 ， 随 的增大而减小；当 ， 随
的增大而增大，故当 时， 随 的增大而增大；当 ， 随 的增大而减小，
故该选项不符合题意；
C、根据二次函数 的图像与 轴相交于 ， 两点，对称轴是直线
，可得对称轴 ，解得 ，即 ，故该选项不符合题意；
D、根据 可知，当 时， ，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以
及抛物线与 轴交点 得到 是解决问题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5个小题）
9. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂的乘方可直接进行求解．
【详解】解： ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键．
10. 关于x的反比例函数 的图像位于第二、四象限，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质即可确定m-2的符号，从而求解．
【详解】根据题意得：m-2＜0，
解得：m＜2．
故答案为：m＜2．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝ （k≠0），（1）k＞0，反
比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
11. 如图， 和 是以点 为位似中心的位似图形．若 ，则
与 的周长比是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据位似图形的性质，得到 ，根据 得到相似比为
，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．
【详解】解： 和 是以点 为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
根据 与 的周长比等于相似比可得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性
质是解决问题的关键．
12. 分式方程 的解是_________．
【答案】
【解析】
【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利
用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最
学科网（北京）股份有限公司简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．
【详解】解：
解：化 为整式方程为：3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的
解法是关键．
13. 如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点 和 为圆心，以大于 的长
为半径作弧，两弧相交于点 和 ；②作直线 交边 于点 ．若 ，
， ，则 的长为_________．
【答案】7
【解析】
【分析】连接EC，依据垂直平分线的性质得 ．由已知易得
，在Rt△AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案．
【详解】解：由已知作图方法可得， 是线段 的垂直平分线，
连接EC，如图，
所以 ，
所以 ，
所以∠BEC=∠CEA=90°，
学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，
因此 的长为7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是
掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得 即可．
三、解答题（本大题共5个小题）
14. 计算： ．
（2）解不等式组： ．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）本题涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简4个
考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结
果．
（2）分别解出两个不等式的解集再求其公共解．
【详解】解：
（1）
=
=
=1．
（2）
不等式①的解集是x≥-1；
不等式②的解集是x＜2；
所以原不等式组的解集是-1≤x＜2．
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型，解决此
学科网（北京）股份有限公司类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式等考点
的运算．求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，
大大小小解不了．
15. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化
了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，
组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个
粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级 时长：（单位：分钟） 人数 所占百分比
4
20
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为_________，表中 的值为_________；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为 的学生人数；
（3）本次调查中，等级为 的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活
动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）50，
（2）200 （3）
【解析】
【分析】（1）利用概率计算公式先求出总人数，再求出等级为A的学生人数；
（2）利用概率计算公式先求出等级为B的学生所占的百分比，再求出等级为B的学生人数；
（3）记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，通过列出表格列出所有可能的结果，用恰
有一男一女的结果数除以总的结果数，即可得到恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【小问1详解】
学科网（北京）股份有限公司解：∵D组人数为8人，所占百分比为16%，
∴总人数为 人，
∴ ．
【小问2详解】
解：等级为B的学生所占的百分比为 ，
∴等级为B的学生人数为 人．
【小问3详解】
解：记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，列出表格如下：
∴一共有12种情况，其中恰有一男一女的有8种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，概率计算公式的熟练应用是解答本题的关键．
16. 2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张
角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角
时，顶部边缘 处离桌面的高度 的长为 ，此时用眼舒适度不太
理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角
时（点 是 的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘 处离
桌面的高度 的长．（结果精确到 ；参考数据： ， ，
）
【答案】约为
【解析】
【分析】在Rt△ACO中，根据正弦函数可求OA=20cm，在Rt△ 中，根据正弦函数
学科网（北京）股份有限公司求得 的值．
【详解】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，
∴OA= ，
在Rt△ 中， ， cm，
∴ cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
17. 如图，在 中， ，以 为直径作⊙ ，交 边于点 ，在
上取一点 ，使 ，连接 ，作射线 交 边于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 及 的长．
【答案】（1）见解析 （2）BF=5，
【解析】
【分析】（1）根据 中， ，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根
据 ，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；
（2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= AB，根据
，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据
，得到 ，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到
∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到 ，推出
，得到 ，根据∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到
学科网（北京）股份有限公司∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到 FDE∽ FBC，推出 ，得到 ．
△ △
【小问1详解】
解：∵ 中， ，
∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，
∵ ，
∴∠B=∠BCF，
∴∠A=∠ACF；
【小问2详解】
∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF
∴AF=CF，BF=CF，
∴AF=BF= AB，
∵ ，AC=8，
∴AB=10，
∴BF=5，
∵ ，
∴ ，
连接CD，∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，
∴∠FDE=∠B，
∴DE∥BC，
∴ FDE∽ FBC，
△ △
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关
键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的
判定和性质．
18. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数
的图象相交于 ， 两点．
（1）求反比例函数的表达式及点 的坐标；
（2）过点 作直线 ，交反比例函数图象于另一点 ，连接 ，当线段 被 轴
分成长度比为 的两部分时，求 的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美
筝形”．设 是第三象限内的反比例函数图象上一点， 是平面内一点，当四边形
是完美筝形时，求 ， 两点的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为 ，点 的坐标为
（2） 或
（3） ，
【解析】
【分析】(1)首先把点A的坐标代入 ，即可求得点A的坐标，再把点A的坐标
学科网（北京）股份有限公司代入 ，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B的坐标；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为 ，直线AC与y轴的交点为点D，
把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，可求得点D的坐标为 ，可求得AD、CD的
长，再分两种情况分别计算，即可分别求得；
(3)方法一：如图，过点 作 ，交 的另一支于点 ，过点 作 轴的平行
线，过点 作 轴的垂线，交于点 ，作 交于点 ，设 交于点 ，根
据 ，求得点 的坐标，进而求得 的解析式，设点D的坐标为(a，b)，
根据定义 以及 在直线 上，建立方程组，即可求得点 的坐标．
【小问1详解】
解：把点A的坐标代入 ，
得 ，解得a=1，
故点A的坐标为(1,4)，
把点A的坐标代入 ，
得k=4，
故反比例函数的表达式为 ，
，
得 ，
解得 ， ，
故点A的坐标为(1,4)，点 的坐标为 ；
【小问2详解】
解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为 ，直线AC与y轴的交点为点
D，
把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得
学科网（北京）股份有限公司，
解得 ，
故点D的坐标为 ，
，
，
如图：当AD:CD=1:2时，连接BC，
得 ，得 ，
得 ，
解得 或 (舍去)，
故 或 (舍去)，
故此时点C的坐标为(-2,-2)，
，
如图：当CD:AD=1:2时，连接BC，
学科网（北京）股份有限公司得 ，得 ，
得 ，
解得 或 (舍去)，
故 或 (舍去)，
故此时点C的坐标为 ，
，
综上，BC的长为 或 ；
【小问3详解】
解：如图，过点 作 ，交 的另一支于点 ，过点 作 轴的平行线，过点
作 轴的垂线，交于点 ，作 交于点 ，设 交于点 ，如图
∵
设 ， ，则
又
学科网（北京）股份有限公司即
解得 或 （舍去）
则点
设直线 的解析式为 ，将点 ，
解得
直线 的解析式为
设 ，根据题意， 的中点 在直线 上，则
∵
则
解得 或 （在直线 上，舍去）
．
综上所述， ．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函
数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用
分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键．
B卷
一、填空题（本大题共5个小题）
19. 已知 ，则代数式 的值为_________．
【答案】 ##3.5##3
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；
【详解】解：
＝
＝
＝
＝
＝ ．
，
移项得 ，
左边提取公因式得 ，
学科网（北京）股份有限公司两边同除以2得 ，
∴原式＝ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的两个实数根，
则这个直角三角形斜边的长是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意解一元二次方程 得到 或 ，再根据勾
股定理得到直角三角形斜边的长是 ．
【详解】解： 一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的两
个实数根，
由公式法解一元二次方程 可得 ，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关
键．
21. 如图，已知⊙ 是小正方形 的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中
取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方
形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a，
由正方形的性质可知∠AOB=90°，
，
由正方形的性质可得CD=CE=OC=a，
∴DE=2a，
S =S -S = ，
阴影 圆 小正方形
S = ，
大正方形
∴这个点取在阴影部分的概率是 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积
计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．
22. 距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度 （米）与
物体运动的时间 （秒）之间满足函数关系 ，其图像如图所示，物体运
动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设 表示0秒到 秒时
的值的“极差”（即0秒到 秒时 的最大值与最小值的差），则当 时， 的取值范
围是_________；当 时， 的取值范围是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，得-45+3m+n=0， ，确定m，n的值，从而确定
函数的解析式，根据定义计算确定即可．
【详解】根据题意，得-45+3m+n=0， ，
∴ ，
∴ ，
解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
∴ ，
∵对称轴为t= =1，a=-5＜0，
∴ 时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且 （米）；当t=0时，h最最小，且 （米）；
∴w= ，
∴w的取值范围是 ，
故答案为： ．
当 时， 的取值范围是
∵对称轴为t= =1，a=-5＜0，
∴ 时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且 （米）；当t=3时，h最最小，且 （米）；
∴w= ，w= ，
∴w的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新
定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．
23. 如图，在菱形 中，过点 作 交对角线 于点 ，连接 ，点
是线段 上一动点，作 关于直线 的对称点 ，点 是 上一动点，连接 ，
学科网（北京）股份有限公司．若 ， ，则 的最大值为_________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】延长DE，交AB于点H，确定点B关于直线DE的对称点F，由点B，D关于直线
AC对称可知QD=QB，求 最大，即求 最大，点Q，B， 共线时，
，根据“三角形两边之差小于第三边”可得 最大，当点
与点F重合时，得到最大值.连接BD，即可求出CO，EO，再说明 ，可
得DO，根据勾股定理求出DE，然后证明 ，可求BH，即可得出答案．
【详解】延长DE，交AB于点H，
∵ ，ED⊥CD，
∴DH⊥AB．
取FH=BH，
∴点P的对称点在EF上．
由点B，D关于直线AC对称，
∴QD=QB．
要求 最大，即求 最大，点Q，B， 共线时，
，根据“三角形两边之差小于第三边”可得 最大，当点
与点F重合时，得到最大值BF．
连接BD，与AC交于点O．
∵AE=14,CE=18，
∴AC=32，
∴CO=16，EO=2．
∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，
∴∠DEO=∠CDO．
学科网（北京）股份有限公司∵∠EOD=∠DOC，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
在Rt△DEO中， ．
∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】这是一道根据轴对称求线段差最大的问题，考查了菱形的性质，勾股定理，轴对
称的性质，相似三角形的性质和判定等，确定最大值是解题的关键．
二、解答题
24. 随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型
“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地
出发同向骑行，甲骑行的速度是 ，乙骑行的路程 与骑行的时间 之间的
关系如图所示．
学科网（北京）股份有限公司（1）直接写出当 和 时， 与 之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？
【答案】（1）当 时， ；当 时，
（2）0.5小时后
【解析】
【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据乙的路程大于甲的路程即可求解．
【小问1详解】
由函数图像可知，设 时， ，将 代入，得 ，则
，
当 时，设 ，将 ， 代入得
解得
【小问2详解】
由（1）可知 时，乙骑行的速度为 ，而甲的速度为 ，则甲在乙
前面，
当 时，乙骑行的速度为 ，甲的速度为 ，
设 小时后，乙骑行在甲的前面
则
解得
答：0.5小时后乙骑行在甲的前面
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，立即题意是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于 ，
学科网（北京）股份有限公司两点（点 在点 的左侧），点 关于 轴的对称点为 ．
（1）当 时，求 ， 两点的坐标；
（2）连接 ， ， ， ，若 的面积与 的面积相等，求 的值；
（3）试探究直线 是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明
理由．
【答案】（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为
（2） 或
（3）是，
【解析】
【分析】(1)解方程组 ，整理得到 ，解方程即可得到答案．
(2)分k＜0和k＞0，两种情形求解．
(3) 设直线A 的解析式为y=px+q，根据题意求得p，q的值，结合方程组的意义，确定与
y轴的交点即可．
【小问1详解】
根据题意，得 ，
整理得到 ，
解方程，得 ，
当x=-3时，y=-9；当x=1时，y= -1；
∵点 在点 的左侧，
∴点 的坐标为（-3，-9），点 的坐标为（1，-1）．
【小问2详解】
学科网（北京）股份有限公司∵A，B是抛物线 图像上的点，
设A（m， ），B（n， ），则 （-n， ），
当k＞0时，
根据题意，得 ，
整理得到 ，
∴m，n是 两的个根，
∴ ，
设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）
∴ ， ，
∴ = = ，
∴3= = ，
∴ ，
∵n≠0，
∴ ， ，
∴ ，
解得k= 或k= - (舍去)，
故k= ；
学科网（北京）股份有限公司当k＜0时，
根据题意，得 ，
整理得到 ，
∴m，n是 的两个根，
∴ ，
设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）
∴ ， ，
∴ = = ，
∴3= =- ，
∴- ，
∵n≠0，
∴ ， ，
∴ ，
解得k=- 或k= (舍去)，
故k=- ；
学科网（北京）股份有限公司综上所述，k的值为 或 ．
【小问3详解】
直线A 一定过定点（0，3）．理由如下：
∵A，B是抛物线 图像上的点，
∴设A（m， ），B（n， ），则 （-n， ），
根据题意，得 ，
整理得到 ，
∴m，n是 的两个根，
∴ ，
设直线A 的解析式为y=px+q，根据题意，得
，
解得 ，
∴直线A 的解析式为y=（n-m）x-mn，
∵mn=-3，
∴-mn=3，
∴直线A 的解析式为y=（n-m）x+3，
故直线A 一定过定点（0，3）．
【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题，待定系数法，一元二次方程根与系数
关系定理，对称性，熟练掌握抛物线与一次函数的交点，及其根与系数关系定理是解题的
关键．
26. 如图，在矩形 中， ，点 是 边上一动点（点 不与 ，
重合），连接 ，以 为边在直线 的右侧作矩形 ，使得矩形 矩
形 ， 交直线 于点 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）【尝试初探】在点 的运动过程中， 与 始终保持相似关系，请说明
理由．
（2）【深入探究】若 ，随着 点位置的变化， 点的位置随之发生变化，当 是
线段 中点时，求 的值．
（3）【拓展延伸】连接 ， ，当 是以 为腰的等腰三角形时，求
的值（用含 的代数式表示）．
【答案】（1）见解析 （2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求证；
（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
可得DE=4x-a，再根据△ABE∽△DEH，可得 或 ，即可求解；
（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可
求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH；
【小问2详解】
解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，
∴AD=4DH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，解得： 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
【小问3详解】
解：∵矩形 矩形 ， ，
∴EG=nBE，
如图，当FH=BH时，
∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH= ，
∴ ，
∵△ABE∽△DEH，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
如图，当FH=BF=nBE时，
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
∵△ABE∽△DEH，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾
股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾
股定理等知识是解题的关键．
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