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2023 年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷
一、选择题
1. 代数式 的意义可以是（ ）
A. 与x的和 B. 与x的差 C. 与x的积 D. 与x的商
【答案】C
【解析】
【分析】根据代数式赋予实际意义即可解答．
【详解】解： 的意义可以是 与x的积．
故选C．
【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键．
2. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西 的方向，则淇淇家位于西柏坡
的（ ）
A. 南偏西 方向 B. 南偏东 方向
C. 北偏西 方向 D. 北偏东 方向
【答案】D
【解析】
【分析】根据方向角的定义可得答案．
【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西 的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东 方向．
故选D．
【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键．
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学科网（北京）股份有限公司3. 化简 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可．
【详解】解： ，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键．
4. 1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花
色可能性最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率计算公式分别求出四种花色的概率即可得到答案．
【详解】解： 一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1张，红桃牌有3张，梅花
∵
牌有1张，方片牌有2张，
∴抽到 的花色是黑桃的概率为 ，抽到的花色是红桃的概率为 ，抽到的花色是梅花的概率为 ，抽到
的花色是方片的概率为 ，
∴抽到的花色可能性最大的是红桃，
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学科网（北京）股份有限公司故选B．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，正确求出每种花色的概率是解题的关键．
5. 四边形 的边长如图所示，对角线 的长度随四边形形状的改变而变化．当 为等腰三角
形时，对角线 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形三边关系求得 ，再利用等腰三角形的定义即可求解．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，即 ，
当 时， 为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若 时， 为等腰三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6. 若k为任意整数，则 的值总能（ ）
A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除
【答案】B
【解析】
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：
，
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学科网（北京）股份有限公司能被3整除，
∴ 的值总能被3整除，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为 通过因式分解，可以把多
项式分解成若干个整式乘积的形式．
7. 若 ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把 代入计算即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
8. 综合实践课上，嘉嘉画出 ，利用尺规作图找一点C，使得四边形 为平行四边形．图1~
图3是其作图过程．
（1）作 的垂直平分线交 （2）连接 ，在 的延长线 （3）连接 ， ，则四边形
于点O； 上截取 ； 即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断．
【详解】解：根据图1，得出 的中点 ，图2，得出 ，
可知使得对角线互相平分，从而得出四边形 为平行四边形，
判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．
9. 如图，点 是 的八等分点．若 ，四边形 的周长分别为a，b，则下列正确的
是( )
A. B. C. D. a，b大小无法比较
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 连 接 ， 依 题 意 得 ， ， 的 周 长 为
， 四 边 形 的 周 长 为 ， 故
，根据 的三边关系即可得解．
【详解】连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵点 是 的八等分点，即
∴ ，
∴
又∵ 的周长为 ，
四边形 的周长为 ，
∴
在 中有
∴
故选A．
【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的
关键．
10. 光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于 ．下列正
确的是（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. 是一个12位数 D. 是一个13位数
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本
题的关键．
11. 如图，在 中， ，点M是斜边 的中点，以 为边作正方形 ，若
，则 （ ）
A. B. C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的面积可求得 的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边 的长，利用勾股定
理求得 的长，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ 中，点M是斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一
半”是解题的关键．
12. 如图1，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如
图2，平台上至还需再放这样的正方体（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】利用左视图和主视图画出草图，进而得出答案．
【详解】解：由题意画出草图，如图，
平台上至还需再放这样的正方体2个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三视图，正确掌握观察角度是解题关键．
13. 在 和 中， ．已知 ，则
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】过A作 于点D，过 作 于点 ，求得 ，分两种情况讨论，
利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作 于点D，过 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
当 在点D的两侧， 在点 的两侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 在点D的两侧， 在点 的同侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
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学科网（北京）股份有限公司综上， 的值为 或 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
14. 如图是一种轨道示意图，其中 和 均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且
．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移
动，其路线分别为 和 ．若移动时间为x，两个机器人之
间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为 ，之后同时到达点A，C，
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学科网（北京）股份有限公司两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿 和 移动时，此时两个
机器人之间的距离是直径 ，当机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离越
来越大．
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是 ，
两个人机器人速度相同，
∵
同时到达点A，C，
∴分别
两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
∴
当两个机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离是直径 ，保持
不变，
当机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．
15. 如图，直线 ，菱形 和等边 在 ， 之间，点A，F分别在 ， 上，点B，D，
E，G在同一直线上：若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，由平角的定义求得 ，由外角定理求得，
，根据平行性质，得 ，进而求得
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学科网（北京）股份有限公司．
【详解】如图，∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等
边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键．
的
16. 已知二次函数 和 （m是常数） 图象与x轴都有两个交点，且这四个交点
中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可．
【详解】解：令 ，则 和 ，
解得 或 或 或 ，
不妨设 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 和 关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
∴ 与原点关于点 对称，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∵抛物线 的对称轴为 ，抛物线 的对称轴为 ，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
二、填空题
17. 如图，已知点 ，反比例函数 图像的一支与线段 有交点，写出一个符合
条件的k的数值：_________．
【答案】4（答案不唯一，满足 均可）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先分别求得反比例函数 图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定
符合条件k的值即可．
【详解】解：当反比例函数 图像过 时， ；
当反比例函数 图像过 时， ；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为4（答案不唯一，满足 均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
18. 根据下表中的数据，写出a的值为_______．b的值为_______．
x
结果 2 n
代数式
7 b
a 1
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】把 代入得 ，可求得a的值；把 分别代入 和 ，据此求解
即可．
【详解】解：当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解，
∴ ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键．
19. 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直
线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直
线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1） ______度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为______（结果保留根号）．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可求解；
（2）表问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线 l的距离转化为求
，再根据正六边形的特征及利用勾股定理及三角函数，分别求出 即可求解．
【详解】解：（1）作图如下：
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学科网（北京）股份有限公司根据中间正六边形的一边与直线l平行及多边形外角和，得 ，
，
故答案为： ；
（2）取中间正六边形的中心为 ，作如下图形，
由题意得： ， , ，
四边形 为矩形，
，
，
，
，
在 中， ，
由图1知 ，
由正六边形的结构特征知： ，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含 度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质，
解直角三角形，解题的关键是掌握正六边形的结构特征．
三、解答题
的
20. 某磁性飞镖游戏 靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，
计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分
3 1
（分）
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．
的
（1）求珍珍第一局 得分；
（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】（1）珍珍第一局的得分为6分；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）根据题意列一元一次方程即可求解.
【小问1详解】
解：由题意得 (分)，
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学科网（北京）股份有限公司答：珍珍第一局的得分为6分；
【小问2详解】
解：由题意得 ，
解得： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程，再求解．
21. 现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示 ．某同学分别用6张卡片拼出
了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为 ．
（1）请用含a的式子分别表示 ；当 时，求 的值；
（2）比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】（1） ， ，当 时，
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到 ， ，将 代入用 a表示
的等式中求值即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．
【小问1详解】
解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 时， ；
【小问2详解】
，理由如下：
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解
题的关键．
22. 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，调意度
从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5
分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份
问卷中的客户所评分数绘制的统计图．
（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评
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学科网（北京）股份有限公司分数的平均数大于 分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？
【答案】（1）中位数为 分，平均数为 分，不需要整改
（2）监督人员抽取的问卷所评分数为5分，中位数发生了变化，由 分变成4分
【解析】
【分析】（1）先求出客户所评分数的中位数、平均数，再根据中位数、平均数确定是否需要整改即可；
（2）根据“重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于 3.55分”列出不等式，继而求出监督人员抽取
的问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可得解．
【小问1详解】
解：由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数据是4分；
∴客户所评分数的中位数为： (分)
由统计图可知，客户所评分数的平均数为： (分)
∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，
∴该部门不需要整改．
【小问2详解】
设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有：
解得：
∵调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档，
∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分，
∵ ，
∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分，
即加入这个数据之后，中位数是4分．
∴与（1）相比，中位数发生了变化，由 分变成4分．
【点睛】本题考查条形统计图，中位数和加权平均数，一元一次不等式的应用等知识，掌握求中位数和加
权平均数的方法和根据不等量关系列不等式是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司23. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点 处将沙包（看成点）抛出，并运
动路线为抛物线 的一部分，淇淇恰在点 处接住，然后跳起将沙包回传，其运
动路线为抛物线 的一部分．
（1）写出 的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方 的高度上，且到点A水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，求符合条件
的n的整数值．
【答案】（1） 的最高点坐标为 ， ， ；
（2）符合条件的n的整数值为4和5．
【解析】
【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点 在抛物线上，利用待定系数法即可求得 a的值；
令 ，即可求得c的值；
（2）求得点A的坐标范围为 ，求得n的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 ，
∴ 的最高点坐标为 ，
∵点 在抛物线 上，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得： ，
∴抛物线 的解析式为 ，令 ，则 ；
【小问2详解】
解：∵到点A水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为 ，
当经过 时， ，
解得 ；
当经过 时， ，
解得 ；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解
题的关键．
24. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以 为直径的半圆 ， ，如图1和图2所
示， 为水面截线， 为台面截线， ．
计算：在图1中，已知 ，作 于点 ．
（1）求 的长．
操作：将图1中的水面沿 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当 时停止滚动，如图
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学科网（北京）股份有限公司2．其中，半圆的中点为 ， 与半圆的切点为 ，连接 交 于点 ．
探究：在图2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段 与 的长度，并比较大小．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ， ， ．
【解析】
【分析】（1）连接 ，利用垂径定理计算即可；
（2）由切线的性质证明 进而得到 ，利用锐角三角函数求 ，再与（1）中 相
减即可；
（3）由半圆的中点为 得到 ，得到 分别求出线段 与 的长度，再相减
比较即可．
【详解】解：（1）连接 ，
∵ 为圆心， 于点 ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴在 中，
．
（2）∵ 与半圆的切点为 ，
∴
∵
∴ 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴操作后水面高度下降高度为：
．
（3）∵ 于点 ，
∴ ，
∵半圆的中点为 ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性
质构造直角三角形是解题关键．
25. 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点 移动到点 称为一次甲方式：
从点 移动到点 称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点 ；若都按乙方式，最终移动
到点 ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点 ．
（1）设直线 经过上例中的点 ，求 的解析式；并直接写出将 向上平移9个单位长度得到的直线
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学科网（北京）股份有限公司的解析式；
（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点 ．其中，按甲
方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示 ；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为 ，在图中直接画出 的图象；
的
（3）在（1）和（2）中 直线 上分别有一个动点 ，横坐标依次为 ，若A，B，C三点
始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
【答案】（1） 的解析式为 ； 的解析式为 ；
（2）① ；② 的解析式为 ，图象见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可求出 的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线
的解析式；
（2）①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为 ，再得出点 按照
乙方式移动 次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；
②由①的结果可得直线 的解析式，进而可画出函数图象；
（3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线 的解析式，再把点C的坐标
代入整理即可得出结果．
【小问1详解】
设 的解析式为 ，把 、 代入，得
，解得： ，
∴ 的解析式为 ；
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学科网（北京）股份有限公司将 向上平移9个单位长度得到的直线 的解析式为 ；
【小问2详解】
①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了 次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为 ；
∴点 按照乙方式移动 次后得到的点的横坐标为 ，纵坐标为
，
∴ ；
②由于 ，
∴直线 的解析式为 ；
函数图象如图所示：
【小问3详解】
∵点 的横坐标依次为 ，且分别在直线 上，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把A、B两点坐标代入，得
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学科网（北京）股份有限公司，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵A，B，C三点始终在一条直线上，
∴ ，
整理得： ；
即a，b，c之间的关系式为： ．
【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、
熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．
26. 如图1和图2，平面上，四边形 中， ，点
在 边上，且 ．将线段 绕点 顺时针旋转 到 的平分线
所在直线交折线 于点 ，设点 在该折线上运动的路径长为 ，连接 ．
（1）若点 在 上，求证： ；
（2）如图2．连接 ．
求 的度数，并直接写出当 时， 的值；
①
若点 到 的距离为 ，求 的值；
②
（3）当 时，请直接写出点 到直线 的距离．（用含 的式子表示）．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）见解析 （2） ， ；
① ② 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到 ， ，然后证明出
，即可得到 ；
（2） 首先根据勾股定理得到 ，然后利用勾股定理的逆定理即可求出
①
；首先画出图形，然后证明出 ，利用相似三角形的性质求出 ，
，然后证明出 ，利用相似三角形的性质得到 ，进而求解即可；
②当 点在 上时， ， ，分别求得 ，根据正切的定义即可求解；②
当 在 上时，则 ，过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 的延长线于
点 ，证明 ，得出 ， ，进而求得 ，证明
，即可求解；
（3）如图所示，过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，则四边形 是
矩形，证明 ，根据相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
将线段 绕点 顺时针旋转 到 ，
∵
∴
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学科网（北京）股份有限公司的平分线 所在直线交折线 于点 ，
∵
∴
又
∵
∴
；
∴
【小问2详解】
， ，
①∵
∴
，
∵
，
∴
∴
；
∴
如图所示，当 时，
平分
∵
∴
∴
∴
∴
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学科网（北京）股份有限公司，
∵
∴
，
∴
∴
，
∵
∴
，即
∴
解得
∴
．
∴
如图所示，当 点在 上时， ，
②
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴
∴ ；
如图所示，当 在 上时，则 ，过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交
的延长线于点 ，
∵ ，
，
∴
∴
∴
即
∴ ， ，
∴
∵
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴
∴
解得：
∴ ，
综上所述， 的值为
或 ；
【小问3详解】
解： 当 时，
∵
∴ 在 上，
如图所示，过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，
， ，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
又 ，
∴ ，
又∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴
∵ ， ，设 ，
即
∴ ，
∴
整理得
即点 到直线 的距离为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，求正切值，熟练
掌握以上知识且分类讨论是解题的关键．
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