精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题（解析版）_2025年6月_宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

石嘴山市第一中学 2024-2025 学年第二学期高二 6 月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知数列 满足 ， ，则 （ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得到数列 的周期为4，应用周期性求项. 【详解】由题设 ， ， ， ， ， 所以数列 的周期为4，且 ， 所以 . 故选：C 2. 已知等比数列 的公比为正数，且 ， ，则 （ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列 的公比为 （ ），则由已知条件列方程组可求出 【详解】设等比数列 的公比为 （ ）， 由题意得 ，且 ，即 ， ， 第1页/共22页 学科网（北京）股份有限公司因 为，所以 ， ， 故选：D 3. 要安排6名学生到5个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少有1名志愿者，则不 同的安排方法共有（ ） A. 720种 B. 1800种 C. 3600种 D. 1200种 【答案】B 【解析】 【分析】将6名学生分成5组，再安排到5个乡村，利用分步乘法原理列式求解. 【详解】依题意，将6名学生分成5组有 种方法，再把分成的5组安排到5个乡村有 种方法， 所以不同的安排方法共有 种. 故选：B 4. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的单调性与导数的关系可得 对任意的 恒成立，结合参变量分离法可求 出实数 的取值范围. 【详解】因为 ，则 ， 因为函数 在 上单调递增，则 对任意的 恒成立， 则 对任意的 恒成立，则 . 故选：C. 5. 随机变量 的分布列如表，则方差 （ ） 第2页/共22页 学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出 的值，可求出 的值，再利用方差公式可求得 的值. 【详解】由分布列的性质可得 ，解得 ，所以 ， 故 . 故选：C. 6. 已知定义在 上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数 ，利用 判断出 在 上递增，由此化简不等式 并求得不等式的解集. 【详解】令 ，有 ，得函数 在 上单调递增，又由不等式 可化为 ，有 ， ， . 故选：B 第3页/共22页 学科网（北京）股份有限公司7. 若函数 在 上有最大值无最小值，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：函数 在 上有最大值无最小值，则极大值在 之间，一阶 导函数有根在 ，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f′（x）＝3ax2+4x+1，x （1，2）． a＝0时，f′（x）＝4x+1＞0，函∈ 数f（x）在x （1，2）内单调递增，无极值，舍去． a≠0时，△＝16﹣12a． ∈ 由△≤0，解得 ，此时f′（x）≥0，函数f（x）在x （1，2）内单调递增，无极值，舍去． ∈ 由△＞0，解得a （a≠0），由f′（x）＝0，解得x ，x ． 1 2 当 时，x＜0，x＜0，因此f′（x）≥0，函数f（x）在x （1，2）内单调递增，无极值，舍去． 1 2 ∈ 当a＜0时，x＞0，x＜0，∵函数f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值， 1 2 ∴必然有f′（x）＝0，∴1 2，a＜0． 1 解得： a ． 综上可得： a ． 故选：C． 点睛：极值转化为最值的性质： 1、若 上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为 的最小值； 第4页/共22页 学科网（北京）股份有限公司2、若 上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为 的最大值； 8. 如图所示，在棱长为1的正方体 中，点 分别是棱 的中点， 是侧面 内一点，若 平面 ，则线段 长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行的条件构造面面平行从而得到 点的轨迹，在根据平面几何知识求出 的范围. 【详解】如图，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，显然 ，且 ， 所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ,所以 平面 ，因为 ， 平面 ， 平面 ,所以 平面 ，又因为 ，所以平面 平面 ， 因为 平面 ，所以 平面 ，点 在侧面 上，所以点 位于线段 上， 因为 ， ，所以当点 位于 点时， 最大， 第5页/共22页 学科网（北京）股份有限公司当点 位于 的中点 时， 最小， 此时 ， 所以 ，所以线段 长度的取值范围是 . 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量 和 满足 ，且 ，则 B. 若随机变量 ， ，则 C. 若随机变量 ，则 D. 在含有 件次品的 件产品中任取 件，取到的次品数为 ，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用方差的性质可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B选项；利用二项分布的期望 公式可判断C选项；利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，随机变量 和 满足 ，且 ，则 ， A错； 对于B选项，随机变量 ， ， 第6页/共22页 学科网（北京）股份有限公司则 ，B对； 对于C选项，因为随机变量 ，则 ，C对； 对于D选项，在含有 件次品的 件产品中任取 件，取到的次品数为 ， 所以 ，D错. 故选：BC. 10. 已知函数 ，则（ ） A. 函数 关于点 对称 B. 过点 作函数 的切线切线方程为 C. 函数 有2个极值点 D. 存在无数多个a值，使得方程 有两个不同的解 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的对称中心所满足条件检验即可判断 A，由过点切线的求法，求出切线判断B，利用导 数判断函数的单调性即可得出极值点个数判断C，转化为 有两个零点 后，利用导数分析函数的图象大致变化规律，确定 的取值个数，判断D. 【详解】因为 ， 所以函数 关于点 对称，故A正确； 设切点为 ，由 ，切线斜率为 ， 所以切线方程为 ，代入点 ， 第7页/共22页 学科网（北京）股份有限公司可得 ，又 ，化简可得 ， 解得 或 ，所以切线方程为 ， ，故B错误； 由 可知，当 或 时， ，当 时， ，所 以 在 和 上单调递增，在 上单调递减， 所以函数有极值点 ，故C正确； 令 ，原问题转化为存在无数多个a值，使 有两个不同根， ，当 时， 恒成立，函数 单调递增，故 至多 一解，当 时，设 的两根为 ，则 或 时， ， 当 时， ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 处取极大值，在 处取极小值，所以 有两个解时，极大值或极小值为0，即 或 ， 因为 ，所以 ，当 时，解得 ，此时 ； 同理若 ，解得 ， 综上，存在 使得方程 有两个不同的解，不存在无数个 ，方程 有两个解，故 D错误. 故选：AC 第8页/共22页 学科网（北京）股份有限公司11. 计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的 亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行 列时，设第 列像素点的亮度为 ，则该图像对比度计算公式为 ，该计算结 果的大小代表图像对比度的强弱． 已知某像素点规模为1行 列的图像第 列像素点的亮度 ，现对该图像进行 调整，有2种调整方案： ① ；② ，则（ ）． A. 使用方案①调整，当 ， 时，调整后的对比度比原对比度更强 B. 使用方案②调整，当 时，调整后的对比度是原对比度的 C. 使用方案①调整，当 时， D. 使用方案②调整，当 ， 时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象对比度公式，以及对数运算公式，结合选项，即可判断. 【详解】使用方案①调整：当 ， 时 ，又 则 ， ， ， 又 ，故 ，所以调整后的对比度比原对比度更强，A正确； ， ， 当 ，即 且 ，又 ，可得 ，C正确； 第9页/共22页 学科网（北京）股份有限公司使用方案②调整：当 时 ， 对比度公式为非线性变换 ， 所以调整后的对比度不一定是原对比度的 ， 例如： 时， ， ， 此时 ，即 B错误； ，而 ，则 ，故 ， 又 ，则 ， ， 所以 ， 所以 ， 设 ， ， 则 ， 所以函数 在 上单调递减， 所以 ，即若 ，则 ， 第10页/共22页 学科网（北京）股份有限公司又 ， 所以 所以 ， 所以 ， 又 ， ，所以 ，D正确． 故答案为：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数 的值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由 及对数函数的性质，可得到 的取值范围，进而得到 的取值范围，从而 得到 的取值范围，即可求得函数 的值域. 【详解】因为 ，所以 ， ， 所以 ，即 的值域为 ． 故答案为： . 13. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、 第11页/共22页 学科网（北京）股份有限公司香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在 鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数. 【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅， 所以，不同的下锅顺序种数为 种. 故答案为： . 14. 一质点落在三棱锥 的顶点 处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记 事件 表示“该质点移动 次后落在顶点 ”， 为 的对立事件，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析某次在点 则下次在或不在点 ，某次不在点 ，则下次在或不在 的概率，再按照分步 乘法计算 、 、 ，进而利用概率的乘法公式得 、 ，最后利 用贝叶斯公式计算即可. 【详解】我们将 三个点看作为一个整体， 如果某次在点 ，则下次一定不在点 的概率为 ； 如果某次不在点 ，则下次在 与不在 的概率分别为 、 ， 因 ， ， 第12页/共22页 学科网（北京）股份有限公司则 ， 因 ， ， 则 ， 则根据贝叶斯公式可得 ． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式 （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式的第5项的系数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和为 计算可得； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【小问1详解】 对于二项式 ，则展开式中所有二项式系数的和为 ； 【小问2详解】 因为二项式 展开式的通项为 （ 且 ）， 第13页/共22页 学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以展开式的第5项的系数为 . 16. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列 联表： 超声波检查结果 正常 不正常 合计 组别 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值； （2）根据小概率值 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附 ， 0.005 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出 ,然后与小概率值 对应的临界值 比较,即可判 断. 【小问1详解】 根据表格可知，检查结果不正常的 人中有 人患病，所以 的估计值为 ； 第14页/共22页 学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】 零假设为 ：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得， ， 根据小概率值 的 独立性检验，我们推断 不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关， 该推断犯错误的概率不超过 . 的 17. 如图，该几何体由两个相同 正四棱台组合而成 （1）证明： . （2）已知M，N，O分别是棱 ， ， 的中点，过点M，N，O的平面截该几何体所得的截面是 边长为2的正六边形，求棱 的长度. （3）已知 ，该几何体的体积 ，平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求棱 的 长度. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据P，E，G，Q四点共面，四边形 为菱形，即可得出 ； 第15页/共22页 学科网（北京）股份有限公司（2）根据正六边形边长计算求解得出 ； （3）建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，再应用二面角余弦计算得出 ，最后结合四棱台体积公式计算求解. 【小问1详解】 如图，分别延长两个正四棱台的侧棱，得到正四棱锥 及正四棱锥 ， 所以 . 连接 ， ，记 ，连接 ， . 在正四棱锥 及正四棱锥 中， 平面 ， 平面 ， 所以直线 与 是同一条直线. 因为 ，所以P，E，G，Q四点共面，所以四边形 为菱形，所以 . 【小问2详解】 解：连接 ， . 因为过点M，N，O的平面截该几何体所得的截面是边长为2的正六边形， 所以 ， . 故 . 【小问3详解】 解：记正方形 的中心为 ，连接 ， . 以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 第16页/共22页 学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ， ， ， 所以 ， . 记平面 的法向量为 ， 则 即 取 ，则 . 同理可得平面 的一个法向量为 . ， 解得 ， 所以正四棱锥 的体积 . 因为该几何体的体积为 ，所以正四棱台 的体积 ， 则正四棱锥 的体积 . 第17页/共22页 学科网（北京）股份有限公司.设 ，则 . 因为 ，所以 ，所以 ， 则 ，解得 . 18. 己知 是函数 的导函数， 是 的零点，若在 上， 恒成立，则称 是 上的“好函数”. （1）若函数 是 上的“好函数”，求整数 的值. . （2）已知函数 （i）讨论 的零点个数； （ii）已知 是 的零点，证明： 是 上的“好函数”. 【答案】（1） . （2）（i）答案见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将问题转换为 在 上恒成立，即 在 上恒成立，故只需由 函数单调性即可得解； （2）（i）将问题转换为 在 上的零点个数，求导分类讨论函数单调性，结合零点存 在定理即可求解；（ii）当 时，只需证明 ，当 ，只需证明 ， 结合两种情形即可得证. 【小问1详解】 易知 在 上单调递增，且 ，则 是 唯一的零点. 第18页/共22页 学科网（北京）股份有限公司因为 是 上 “的好函数”，且 ， 所以 在 上恒成立，即 . 因为 在 上单调递增，且 ， 所以整数 . 【小问2详解】 （i）因为 ，且 ，所以 的零点个数等价于函数 在 上的零点个数. 当 时， 没有零点. 当 时， ，令 ，则 ， 所以当 时， 单调递减，当 时， 单调递增. 又 ，所以当 时， ，此时 没有零点； 当 时， ，此时 有一个零点； 当 时， ，又 ， 所以结合 的单调性可知， 在 和 上各恰有一个零点， 即 在 上存在一个零点 ，在 上存在一个零点 . 综上，当 时， 没有零点；当 时， 有一个零点；当 时， 有两个零点. （ii）证明：①若 ，由（i）可知， 在 上没有零点，且 ， 则 在 上单调递增， ，且 . 第19页/共22页 学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 . 设函数 ，则 ，当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增，故 . 故当 时， . 在 ②若 ，由（i）可知， 上存在一个零点 ， 即 在 上存在唯一的极大值点 ，故当 时， . 由（i）可知， ，且 ， 则当 时， . 又因为 ，且 在 上单调递增， 所以 存在唯一的零点 ，且满足 . 设函数 ， 则 . 由上可知， 在 上单调递减，且 ， 则 ，此时 . 综上，由①②可知，当 时， ，故 是 上的“好函数”. 19. 对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后 从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如 的“交替和”是 的“交替和”是5. 第20页/共22页 学科网（北京）股份有限公司（1）求集合 的所有非空子集的交替和的总和； （2）已知集合 ，求集合 所有非空子集的元素和的总和； （3）已知集合 ，其中 求集合 所有非空子集的交替和的总 和. 【答案】（1）12； （2）672； （3） . 【解析】 【分析】（1）先求出集合 的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替 和”的和； （2）根据题意计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和； （3）将集合 的所有非空子集分类，并将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合 的“交替和”的和，再加上单元素集 的“交替和”即可. 【小问1详解】 集合 的非空子集有 ， 根据题意，集合 的交替和分别为 ， 集合 的交替和为 ， 集合 的交替和为 ， 集合 的交替和为 ， 集合 的交替和为 ， 所以，集合 的所有非空子集的交替和的总和为 . 【小问2详解】 第21页/共22页 学科网（北京）股份有限公司集合 的所有非空子集中，考虑数字1在子集中出现的情况， 相当于从剩下的5个元素中选取若干个元素与1组成子集，那么1出现的次数为 次. 同理，每个元素出现的次数为 次， 所以，集合 所有非空子集的元素和的总和为 . 【小问3详解】 集合 ，其非空子集有 个， 将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集 ，有1个，其“交替和”为3； 第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有 个； 第三类，不含元素3的非空集合，有 个， 将第二类中的集合 与第三类中的集合 （集合 中的元素去掉元素3构成的新集合）配对， 则集合 与集合 的“交替和”的和始终为3， 如取 ，则 ，集合 与集合 的“交替和”的和为 ， 这样的配对共有 组，因此集合 的所有非空子集的“交替和”的总和为 . 第22页/共22页 学科网（北京）股份有限公司