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昆明市 2024 届高三“三诊一模”摸底诊断测试
数学参考答案及评分标准
一、单选题；二、多选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A D C A B B D AB AC BCD BCD
三. 填空题
13. （ , , 均可） 14. 15. 16.
17．解：（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，解得 .
又因为 ，
所以 . ………………………5分
（2）由（1）可知， ，因为 ，所以 ，
又因为 ，即 ，故 ，
所以 ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
解得 . ………………………10
分
18．解：（1）当 时， ，所以 ，
当 时， ，
所以 ，
数学参考答案及评分标准·第1页（共5页）
学科网（北京）股份有限公司所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
即 . ……………………6分
（2）由题意， ，则 ，
记数列 的前 项和为 ，
所以 . …………………12分
19．解：（1）证明：因为 ， 是 的中点，所以 ，
在 中， ， ，所以 ，
在 中， ， ，所以 ，得 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ，所以 平面 ，
由 平面 得 ，
又 ，所以 平面 ，
由 平面 得，平面 平面 ． ………………………………6
分
（2）存在点 满足条件，
以 为原点，建立空间直角坐标系 如图，
设 ，则 ， ， ，
， ， P z
设平面 的法向量为 ，
E
则 令 得 ， y
x
A B
所以平面 的一个法向量为 ，
F
C
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学科网（北京）股份有限公司易知平面 的一个法向量为 ，
由已知得 ，即 ，解得 ，即 ，
使平面 与平面 的夹角为 ，此时 ． …………12
所以存在点
分
20．解：（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件 ， “一次应答被采纳”为事件 ，
由题意 ， ， ，则
，
. ……6分
（2）依题意， ， ，
当 最大时，有
即 解得： ， ，
故当 最大时， . ……………………………12
分
21．解：（1）因为 与 互补，所以 与 关于 轴对称，
所以 轴，又因为直线 过 ，故 的方程为 .
设 在第一象限，因为 ，则 ，
设 为 的左焦点，则 ，故 ，即 ,
因为 在 上， ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的方程为 . ……………………………6分
（2）设 ， ，直线 ，
联立 得 ，
， ，
所以 ， …………………………9分
故 ，
所以 为定值 . …………………………12分
22．解：（1）函数 的定义域为 ，
.
①当 时，令 ，得 ，则当 时， ；当 时，
，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
②当 时，令 ，得 或 .
ⅰ）当 时，则当 或 时， ；当 时， ，所
以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
ⅱ）当 时，当 时， ，所以 在 上单调递增.
ⅲ）当 时，则当 或 时， ；当 时， ，所以
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学科网（北京）股份有限公司在 和 上单调递增，在 上单调递减.
……………………6分
（2）当 时，令 ，则 ， 时， ，则 ，故
，则 ，故当 时， .
所以当 时， ，解得 ，
由（1）可知，当 时， 在 上的极小值为 ，
由题，则有 ，解得 .
当 ，解得 ，
①当 时， ， ，符合题意；
②当 时， ， ，符合题
意.
综上，当 时， 恒成立. ………………………12
分
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