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湖北省部分重点中学 2024 届高三第二次联考
高三数学试卷
试卷满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足 ，则 （ ）
A．3 B． C．7 D．13
3．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图
1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的
底面圆周长为 ，高为 ，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（ ）
A． B．32π C． D．
4．在平面直角坐标系中， ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
5．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．设A，B为任意两个事件，且 ， ，则下列选项必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 对任意 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．斜率为 的直线l经过双曲线 的左焦点 ，交双曲线两条渐近线于A，B两点，
为双曲线的右焦点且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列结论正确的是（ ）
A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B．若随机变量 ， 满足 ，则
C．若随机变量 ，且 ，则
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 ．依据 的独立性检验
，可判断X与Y有关）
10．下列命题正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．若 、 均为等比数列且公比相等，则 也是等比数列
B．若 为等比数列，其前n项和为 ，则 ， ， 成等比数列
C．若 为等比数列，其前n项和为 ，则 ， ， 成等比数列
D．若数列 的前n项和为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件
11．已知 ，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知四棱锥 ，底面ABCD是正方形， 平面ABCD， ，PC与底面ABCD所成角
的正切值为 ，点M为平面ABCD内一点，且 ，点N为平面PAB内一点，
，下列说法正确的是（ ）
A．存在入 使得直线PB与AM所成角为
B．不存在 使得平面 平面PBM
C．若 ，则以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥 各面的交线长为
D．三棱锥 外接球体积最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中 的系数为______．
14．与直线 和直线 都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为 的圆的方程为
______．
15．已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围为______．
学科网（北京）股份有限公司16．欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1
的两个正整数称为互质整数），例如： ， ，则 ______；若 ，则 的
最大值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）
在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，BC边的中线长为2．
（1）求角A；
（2）求边a的最小值．
18．（本题满分12分）
已知等比数列 的前n项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在
3项 ， ， （其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明
理由．
19．（本题满分12分）
如图，在三棱柱 中，底面是边长为6的等边三角形， ， ，D，E分别是
线段AC， 的中点，平面 平面 ．
（1）求证： 平面BDE；
（2）若点P为线段 上的中点，求平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值．
20．（本题满分12分）
学科网（北京）股份有限公司已知椭圆 的左焦点为 ，且过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 作一条斜率不为0的直线PQ交椭圆 于P、Q两点，D为椭圆的左顶点，若直线DP、DQ与直线
分别交于M、N两点，l与x轴的交点为R，则 是否为定值？若为定值，请求出该定值；
若不为定值，请说明理由．
21．（本题满分12分）
甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球
交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 ．
（1）求 的概率分布列并求 ；
（2）求证： 为等比数列，并求出 ．
22．（本题满分12分）
已知函数 ， ．
（1）当 时，求证： ；
（2）函数 有两个极值点 ，其中 ，求证： ．
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高三数学试卷参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B C B A D A B CD BD ABD BCD
13． 14． 15． 16．4；
17．解：（1）因为 ，
所以 ，
，
因为 ， ， ，所以 ，又 ，所以 ．
（2）因为BC边的中线长为2，所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，当且仅当 时取等号．
所以 ，
所以a的最小值为 ．
18．（1）由题意知：当 时， ①
当 时， ②
联立①②，解得 ， ．所以数列 的通项公式 ．
（2）由（1）知 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ．所以 ．
设数列 中存在3项 ， ， （其中m，k，p成等差数列）成等比数列．
则 ，所以 ，
即
又因为m，k，p成等差数列，所以
所以 化简得 所以
又 ，所以 与已知矛盾．
所以在数列 中不存在3项 ， ， 成等比数列．
19．（1）证明：连接 四边形 是菱形 ，
又D，E分别为AC， 的中点
，
又 为等边三角形，D为AC的中点
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面ABC
平面 ，又 平面 ，
又 ， ，BD， 平面BDE
平面BDE
学科网（北京）股份有限公司（2） ， ， 为等边三角形
D是AC的中点， 由（1）得 平面
以D为原点，DB，DA， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
， ， ， ，
， ，
设平面PBD的一个法向量为 ，
则 ，即
取 ，则 ．所以 是平面PBD的一个法向量
由（1）得 是平面BDE的一个法向量
即平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值为
20．解：（1）由题知，椭圆C的右焦点为 ，且过点 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ．又 ，所以 ，
所以C的标准方程为 ．
（2）设直线PQ的方程为 ，
由 ，得
所以 ， ，
直线DP的方程为 ，令 得，
同理可得
所以
故 为定值 。
21．解：（1） 可能取0，1，2，3
则 ；
；
；
学科网（北京）股份有限公司，
分布列为：
0 1 2 3
P
（3）由题可知
又
学科网（北京）股份有限公司22．解：（1） ，
则
令 ，则
在 上单调递减在 上单调递增．
， 在 上单调递增。
，即 时， 成立。
（2）
有两个极值点 ， ①
要证 成立，即证 成立。
令 ， ，即证 成立．
①式可化为 ，则
令 ， ， 在 上单调递增，在 上单调递减。
，要使 有两个零点，则
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，直线 与 交于
当 时，由（1）知
而 与 交于 ，则 ，
成立。
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