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曲靖一中 2024 届高三教学质量监测试卷（五）
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，且 ，则a的值为（ ）．
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】解二次方程化简集合 ，再由集合的包含关系求得 ，进而利用元素的互异性即可得解.
【详解】因为 且 ，
则集合A中必含元素0，1，所以 或 ，得 ，
根据集合中元素的互异性可知： ．
故选：B．
2. 已知 ，则 虚的部为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用复数运算法则化简式子求 ，根据 求出 即可知 的共轭复数，求出 的
虚部即可.
【详解】 ，所以 ， ， ，
所以 的虚部为13.
故选：C.
3. 已知 ，则 （ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】综合应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式即可解决.
【详解】由 ，即 ，
可得 ，由正切的倍角公式可得 ．
故选：D．
4. 已知F是双曲线 的左焦点， ，P是双曲线右支上的一动点，则 的最小
值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线定义得到 ，进而根据 ，即可求解
【详解】设双曲线的右焦点为 ，
由 可知 ， ，则 ，
因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知：
，
所以 ，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ， ， 三点共线时，达到最小值 ，
因为 ， ，所以 ，
即 的最小值为 ．
故选：C．
5. 根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃
饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为 和 ，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为
，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为 ，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周
一去食堂一楼的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可.
【详解】记小赵同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B，
则本题所求 ．
故选：A．
6. 过点 作圆 的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先求 以及切线长，再根据等面积法即可得结果.
【详解】圆 ，即 ，
易知 ，圆C的半径 ，所以切线长 ．
所以四边形 的面积为 ．
所以根据等面积法知： ，
所以 ．
故选：B．
7. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ， 成等差数列，则
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差中项性质并结合正弦定理及正弦函数两角和差公式，倍角公式即可求解.
【详解】因为 ，所以 ．
又因为 ， ， 成等差数列，则 ．
根据正弦定理可得： ，即 ，
展开得： ，
进一步得： ，
因为 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司又易知 为锐角，所以 ，则 ，故A正确.
故选：A．
8. 已知函数 及其导函数 的定义域均为R，及 ，若 ， 均为
偶函数，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. 的周期为2
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.
【详解】因为 是偶函数，则 ，即 关于 对称，
对 两边同时求导可得： ，
即 ，所以 关于 对称，
又因为 是偶函数可得 ，即 关于 对称．
从而得 的周期为4．所以 的周期也为4．
对于选项A，因为若 满足题意，则 也满足题意．故 的值不确定，所以A错；
对于选项B， 的周期为4，所以B错；
对于选项C， 的周期也为4，所以 ，所以C对；
对于选项D， 关于 对称，所以 ，所以D错．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知 ， 都是正数，且 ，则下列说法正确的是（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式可对A，C、D判断；利用基本不等式“1”的应用可对B判断；
【详解】对A： 可得 ，当且仅当 ，即 ， 时成立，故A
选项正确；
对B：由 ，得 ，
所以 ，故 ，
当且仅当 时成立，故B选项正确；
对C： ，由A知 ，所以 ，
仅当 ，即 ， 时成立，故C选项错误；
对D：由A知 ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时成立，故D选项正确．
故选：ABD．
10. 已知抛物线 ，O为坐标原点，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点，
设 ， ，抛物线C的准线与x轴的交点为G．则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. 当 时，直线l的斜率为
C. GF始终平分 D.
【答案】BC
【解析】
【分析】设直线l的方程为： ，联立直线与抛物线的方程通过韦达定理可判断A，通过弦长公式
可判断B，通过 可判断C，由三角形面积公式可判断D.
【详解】显然直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为： ，
联立直线与抛物线得 ，则 ，
所以 ，所以A选项错误；
又因为 ，可得 ，
即 ，所以 ，所以B选项正确；
即证 ，
即 ，
所以C选项正确；
由上述知： ，已知直线方程为： ，
则 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时成立，所以 ，所以D选项错误．
故选：BC．
11. 已知函数 ，如图， ， 是直线 与曲线 的两个交点，若
，则下列说法正确的是（ ）．
A. ， B. 在 上单调递增
C. 是 的一条对称轴 D. 是曲线 的一条切线
【答案】AD
【解析】
【分析】由函数的图象可确定 ， 的值，从而确定单调性和对称性，再通过求导得到切线方程.
【详解】设 ， ，则 ．
因为 ， ,
所以 ， ， ，
所以 ，即 ，即 ．
又因为 ，且 为下降零点，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
即 ， ，
故取 ．故 ．所以A选项正确；
当 ， ，显然不是单调增区间，所以B选项错误；
将 代入方程得 ，显然不是对称轴，
所以C选项错误；
令 得 或 ，
取点 得其中一条切线为 ，所以D选项正确．
故选:AD．
12. 远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其基础主体结构可以看做
是一个倒扣的正四棱台 ．如图所示，过 作底面 的垂线，垂足为G．记
， ， ，面 与面 所成角为 ，面 与面
所成角为x， ， ， ，则（ ）
A. 正四棱台 的体积为
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学科网（北京）股份有限公司B.
C.
.
D
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正四棱台的体积计算公式即可判断A选项；作出面 与面 的二面角 ，分别
写出 的表达式，即可判断B选项；根据 ， ， ， 均为直角三角
形．得到 ，即可判断C选项；作出面 与面 的二面角，通过
余弦定理即可判断D选项.
【详解】对于A，根据正四棱台体积计算公式：
，所以A正确；
对于B，过G点作BC边的垂线交BC于H点，
因为 ， 面 ， 面 ，所以 ，
又 面 ，
所以 面 ，所以 就为面 与面 所成角的二面角 ，
则 ， ，则 ．所以B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，因为 面 ， 面 ，
所以 ， ， ， 均为直角三角形．
所以 ,即 ．所以C正确；
对于D，过H点作 的垂线，交 于I，再在平面 内过I作 的垂线交BG于J．
易知此时面 与面 所成角的二面角就为 ．
设 ，则 ， ． ，
，
由余弦定理可知： ，
，
，
，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知向量 ， ，则 __________．
【答案】8
【解析】
【分析】利用向量数量积及平方差公式可得答案.
【详解】 ．
故答案为：8.
14. 已知等差数列 中， ， ．记 ，则数列 中的最小项
为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出数列的通项公式，求出 ，观察可得答案.
【详解】因为等差数列 ，所以公差 ，即 ．
由于 ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ．
故答案为：
15. 若函数 的图象在 内恰好有两条对称轴，则实数 的值可以是
__________（写出一个满足题意的 即可）．
【答案】 或 （只写一个即可）
【解析】
【分析】根据 求得 ，结合已知条件图象在 内恰好有两条对称轴，
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学科网（北京）股份有限公司求得关于 的不等式解出 范围，因 确定 的值.
【详解】因为 ，则 ，
因为需要包含两条相邻的对称轴，因为 在区间内，则有 ，
即 ，所以 或4．
故答案为： 或 （只写一个即可）
16. 已知函数 ，其中 且 ．若 存在两个极值点 ， ，则实数a的
取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数存在两个极值点，得出导函数存在两个不同的变号零点，研究导函数的零点，
即 ，令 ， ，分 和 两种情况讨论，根据
与 有两个交点，求出 过原点的切线，比较 过原点的切线的斜率与 斜率，得出关于两
斜率的不等式求解 即可.
【详解】对函数 求导得： ，
因为 存在两个极值点，所以 有两个不同的变号零点．
令 ，有 ，令 ， ，
所以 与 有两个交点；
当 时， ， ，
设过原点的直线与 的切点坐标为 ，
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学科网（北京）股份有限公司切线斜率为 ，
所以切线方程为： ，
将原点坐标带入切线方程得 ．
此时切线的斜率为： ，现在需要 有两个交点，
即 ，因为 ，有 ，所以 ，所以 ；
同理知当 时， ， ， 即 ，所以 ．
综上知： 的取值范围为 ．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知在 中， ， ， ．
（1）求 的外接圆半径R；
（2）求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据内角和求出 ，由正弦定理即可得结果；
（2）通过两角和与差的正弦公式可得 ，即得 ， ，最后根据 即可得结
果.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，所以 ．
又因为 ，所以根据正弦定理得： ，
所以 ．
【小问2详解】
因为 ，
展开可得： ，即 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ．
18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为梯形，且 ， ，
， 为 边上的一点，满足 ．
（1）求证：直线 面 ；
（2） 为线段 的中点，求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）连接 交 于 ，再连接 ，证明出 ，可得出 ，可证
明出 ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间
向量法可求得直线 与平面 所成角的余弦值.
【小问1详解】
证明：连接 交 于 ，再连接 ．
因为 ，则 ， ，则 ，
所以， ，
又因为 ，则 ，所以， ，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，因此， 平面 .
【小问2详解】
解：由题可得： 平面 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系
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学科网（北京）股份有限公司．
则 ， ， ， ，
因为 为线段 的中点，则 ，所以， ， ．
设面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，
又因为 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
则 ，
因此，直线 与平面 所成角的余弦值为 .
19. 某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．
（1）现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘
中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X的分布列，并求出X
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学科网（北京）股份有限公司的数学期望 ．
（2）现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有
条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，
设事件A为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当 时，事件A发生的概率最大，求
的值．
【答案】19. 分布列见解析，
20.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出每次捉到红鲤鱼的概率， ，根据二项分布的公式可以求出
分布列期望.
（2）根据已知条件求出 的表达式，求导判断函数的单调性，求出函数最值，结合 且
，比较 ， 大小确定 值.
【小问1详解】
由题可得： ， ， ， ，
可得：每次捉到红鲤鱼的概率为 ．
易知 ， ； ；
； ．
分布列如表所示：
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学科网（北京）股份有限公司X 0 1 2 3
所以 ．
【小问2详解】
每次捉鱼，捉到红鲤鱼的概率为 ，则捉到黑鲤鱼的概率为 ．
所以 ，其中 且 ，
令 ，则 ， 解得 或 ，
故在 上 ， 为增函数，在 上 ， 为减函数，
所以 ．
又因为 且 ，所以验证 ， ，
所以 ，所以 ，
综上所述：事件A发生的概率最大时 .
20. 已知数列 是公差为 的等差数列， 是 的前n项和， ．
（1）若 ，且 ，求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的首项为 ，满足 ，记数列 的前n项和为 ，求 ．
【答案】（1） ；
（2） .
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列通项列式，求出公差 即可求出通项公式.
（2）利用等差数列通项列式，求出 的关系，利用构造法求出数列 的通项，再借助分组求和即
得.
【小问1详解】
由数列 是等差数列， ，得 ，则
，
所以数列 的通项公式为： ．
【小问2详解】
因为数列 是等差数列，且满足 ，
则 ，
又 ，则化简得： ，于是 ，
由 ，得 ，因此数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，
则 ，即 ，所以 .
21. 已知抛物线 ，其顶点在坐标原点，直线 与抛物线交于M，N两点，且
．
（1）求抛物线O的方程．
（2）已知 ， ， ， 是抛物线O上的三个点，且任意两点连线斜率都存在．其
中 ， 均与 相切，请判断此时圆心 到直线 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定
值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）是定值，定值为
【解析】
【分析】（1）先由题意求得 的坐标，从而利用向量数量积的坐标表示求得 ，由此得解；
（2）充分利用 ，得到直线 与 的方程，利用与圆相切的性质同构出直线
的方程，从而得解.
【小问1详解】
因为 与抛物线相交，
联立 ，解得 ，则 ， ．
因为 ，所以 ，
所以 ，则抛物线的方程为 ．
【小问2详解】
由题易知直线 ， ， 斜率一定存在，
设 ， ， ，则 ，
则直线 的方程为： ，
即 ，即 ，
因为 的圆心为 ，半径为 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为直线 与圆 相切得： ，
平方化简得： ，
看成关于 ， 为变量的式子得： ，
同理得直线 与圆 相切，化简式子后得： ，
所以可以同构出直线 的方程为： ，
则所以圆心 到直线 的距离为：
，
此时圆心 到直线 的距离为定值，定值为 .
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是同构出直线 的方程，从而得解.
22. 已知函数 和 有相同的最大值.
（1）求a；
（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个
交点的横坐标成等比数列.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，得最大值，由最大值相等得参数值 ；
（2）设 ，由（1）确定 ，结合（1）中所得单调性，利用零点存在定理证明函数
存在两个零点，得 与 的图象有两个交点，同理得 与 也有两个交点，
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学科网（北京）股份有限公司于是为满足题意有两个交点重合，结合 可得出三个交战的横坐标之间的关系，从而证得结
论成立.
【小问1详解】
定义域是 ， 的定义域是 ，
因为 ，
当 时， , ,
, ,
则 在 上单调递减，在 单调递增，不存在最大值，
在 上单调递减，在 单调递增，也不存在最大值；
同理知当 时， 在 上单调递增，在 单调递减，
在 上单调递增，在 单调递减，
所以 有极大值 ，即 的最大值，
有极大值 ，即 的最大值，
所以 ，即 ；
【小问2详解】
由（1）知 ，
由于 时， ， 时， ，因此只有 才可能满足题意，
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学科网（北京）股份有限公司记 ，且 ，
由（1）得 在 上单调递增，在 单调递减，
且 ，
所以存在 ，使得 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
时， ， 递减， 时， ， 递增，
所以 ，
所以 ， 是增函数， 时， ，
，
又 ，所以存在 ，使得 ，
即此时 与 有两个交点，
其中一个交点在 内，另一个交点在 内，
同理 与 也有两个交点，
其中一个交点在 内，另一个交点在 内，
若 与 和 共有三个不同的交点，
则其中一个交点为两条曲线 和 的公共点，记其横坐标为 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
记 与 的三个交点的横坐标从左到右依次为 ，
且满足 ，
且 ，即 ，
又 ，且 ，
且 在 和 上分别单调，所以 ，即 ，
所以 为 的等比中项，
所以从左到右的三个交点的横坐标 成等比数列.
的
【点睛】本题考查用导数求函数 最值，用导数研究方程的根的问题，属于难题.对于方程的根的问题，难
点在于寻找两个方程的根之间的关系，首先第一步由零点存在定理证明存在两个零点（方程有两个根），
其次通过函数式关系 找到两个方程的根之间的关系，再根据等比数列的性质证明结论成立.
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学科网（北京）股份有限公司
