文档内容
绵阳南山中学实验学校高 2024 届一月月考试题
理科数学
注意事项:
1.答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上.
2.做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再填涂其它答案标号.
3.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】 的元素用 来表示，再利用集合间的基本关系选择正确答案.
【详解】因为 ，所以
．
故选：A.
2. 复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 的性质、复数的除法运算可得答案.
第1页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，
所以 的虚部为 .
故选：C.
3. 某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型
结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取 的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽
取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）
A. 400，32 B. 400，36 C. 480，32 D. 480，36
【答案】A
【解析】
【分析】根据图（1）及分层抽样可得样本容量及抽取的四居室户主人数，再结合图（2）可得抽取的户主
对四居室满意的人数.
【详解】由图（1）得该小区户主总人数为 人，
所以样本容量为 人，其中四居室户主有 人，
由图（2）得抽取的户主中对四居室满意的有 人，
故选：A.
4. 如图，在 中， ，则 （ ）
A. 9 B. 18 C. 6 D. 12
第2页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】由 可得 ，则 ，
代入化简即可得出答案.
【详解】由 可得： ，
所以 ，所以 ，
，
因为 ，
所以 .
故选：D.
5. 的展开式中 的系数为 ，则实数 （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项式的展开式公式展开，再与前面的项相乘求解即可.
【详解】 的展开式的通项公式为 ，
所以 ．
令 ，解得 ，
．令 ，解得 ．
由题意，可知 ，
第3页/共27页
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
故选：D．
6. 已知圆 和圆 ，其中 ，则使得两圆相交的一个充
分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得两圆相交的充要条件，求得 的取值范围，再由选项即可得到结果.
【详解】因为圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径为 ，且 ，
使得两圆相交的充要条件为 ，且 ，
解得 ，由选项可得 ，
所以其一个充分不必要条件可以是 .
故选：B
7. 已知椭圆M： ，点 在其上，直线l交椭圆于A，B两点， 的重
心是坐标原点，则直线l的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 代入椭圆方程求出 ，设 ，利用点差法得到
，结合 的重心是坐标原点，得到 ，求出直线l的
第4页/共27页
学科网（北京）股份有限公司斜率.
【详解】将 代入椭圆方程得， ，
令 ，则 ，解得 ，即 ，
设 ，则 ， ，
故 ，
又 ，两式相减得， ，
变形得到 ，即 ，
故 ， ，解得 .
故选：B
8. 已知函数 的部分图象如图所示，将 的图象向右平移
个单位长度，得到函数 ，若 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第5页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】先根据图象求解出 的解析式，然后根据图象的平移变换求解出 的解析式，由已知条件
分析出 的图象关于直线 对称，即可根据 求解出 的值.
【详解】法一：由图可知， ，图象过点 ， ，
， .
的图象过点 ，
，
， ，
， ，
由 ，得 的图象关于直线 对称，
所以 ，
，
，又 ，
所以 ，
第6页/共27页
学科网（北京）股份有限公司故选： .
法二： ，
故 图象对称轴可表示为 ，
的图象的一条对称轴为 ，
当 时，可知 的左侧 图象离 最近的对称轴为 ，
故 的最小值为 ，
故选： .
【点睛】方法点睛：根据正、余弦型函数 （ ）的对称轴、
对称中心求解参数的方法：
（1）已知正、余弦型函数的对称轴 ，则必有 ，由此求解出参数；
（2）已知正、余弦型函数 的对称中心 ，则必有 ，由此求解出参数.
9. 定义在 上的偶函数 ，记 ， ， ，则（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由偶函数的性质求出 的值，即可得 的解析式，进而可得 在 上的
单调性，再根据对数函数的性质即可得解．
【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数，
所以 ，即 ，解得 ，
第7页/共27页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
当 时， 为增函数，
因为 ，
， ，
,
所以 ，
所以 ，即 .
故选：B.
10. 第33届夏季奥运会预计在2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增电子竞技
和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个表演项目．现有三个场地 ， ， 分别承担竞赛项目与表演项目比
赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能 ， 两地承办，且各自承办其中一项.5个表演项目分别由 ， ，
三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
.
A 150种 B. 300种 C. 720种 D. 1008种
【答案】B
【解析】
【分析】根据组合数与排列数的计数方法，结合分类分步两个基本原理求解即可得的答案.
【详解】首先电子竞技和冲浪两个项目仅能 两地举办，且各自承办其中一项有 种安排；
再次5个表演项目分别由 三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目则有
种，
故总数为 种不同的安排方法.
故选：B.
11. 已知定义在 上的函数 是奇函数，且满足 ， ，数列 满足 ，且
第8页/共27页
学科网（北京）股份有限公司， 为 的前 项和， ，则 （ ）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】通过函数的奇偶性以及关系式，推出函数的周期，数列 满足 ，且 ，求出
数列的通项公式，然后求解 即可．
【详解】 函数 是奇函数
，
，
是以3为周期的周期函数.
数列 满足 ，且 ，
，且 ， ，
两式相减可得 ，从而得 ，
， ，
（1） .
故选： .
【点睛】本题考查数列与函数相结合，函数的周期性以及数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计
算能力．
第9页/共27页
学科网（北京）股份有限公司12. 已知双曲线 的右顶点、右焦点分别为A， ，过点A的直线 与 的一
条渐近线交于点 ，直线 与 的一个交点为B，若 ，且 ，则 的离心
率为( )
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量数量积等式推出l⊥x轴，求出点Q坐标，进而得点B坐标，再代入双曲线方程求解即得.
【详解】由已知得 ，设 ，
由 ，得 ，
所以 轴，即 ，
不妨设点 在第一象限，则 .
设 ，由 ，得 ，
，
，即 ，
点 在双曲线上，
，
整理得 ， ，
解得 ，或 (负值舍去).故选C.
故选：C
第10页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】求解双曲线离心率的问题，根据条件建立关于a，b，c的齐次式，结合b2=c2-a2转化为a，c的齐
次式，再转化为关于e的方程，解之即可得e.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若实数 满足约束条件 则 的最大值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】依题意可画出可行域，并根据目标函数的几何意义求出其最大值为 .
【详解】根据题意，画出可行域如下图中阴影部分所示：
易知目标函数 可化为 ，若要求目标函数 的最大值，
即求出 在 轴上的最大截距即可，
易知当 （图中虚线所示）平移到过点 时，截距最大，
显然 ，则 ，所以 的最大值为 .
故答案为：4
14. 已知角 均在第一象限， 终边上有一点 ，且 ，则
________.
【答案】
【解析】
【分析】根据终边上点 的坐标可得 ，然后再利用余弦两角和公式，从而求解.
第11页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【详解】根据终边上点 的坐标可得 ，得：
化简得：
所以： .
故答案为： .
15. 下列四个命题中为真命题的是_________.（写出所有真命题的序号）
①若随机变量 服从二项分布 ，则其方差 ；
②若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ；
③已知一组数据 的方差是3，则 的方差也是3；
④对具有线性相关关系的变量 ，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为 ，则实
数 的值是4；
【答案】①③
【解析】
【分析】对于①，利用二项分布的方差公式分析判断，对于②，利用正态分布的性质分析判断，对于③，
利用方差的性质分析判断，对于④，将样本中心点代入回归方程求解判断.
【详解】对于①，因为随机变量 服从二项分布 ，所以 ，所以①正确，
对于②，因为随机变量 服从正态分布 ，且 ，所以
，
所以 ，
第12页/共27页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以②错误，
对于③，因为数据 的方差是3，所以由方差的性质可知 的
方差不变，也是3，所以③正确，
对于④，因为线性回归方程为 ，样本点的中心为 ，所以 ，解得
，所以④错误，
故答案为：①③
16. 已知曲线C，直线 ,点 ， ，以曲线C上任意一点M为圆心、MF为半径的圆
与直线l相切，过点 的直线与曲线C交于A，B两点，则 的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先由动点的轨迹得出曲线轨迹方程，通过选设直线方程与抛物线方程联立得出韦达定理，接着验
证过定点 的两直线的斜率之和为零，得出两直线关于 轴对称，从而将求 的正切值转化为求
的正切值，再结合表达式运用基本不等式，函数单调性即得.
【详解】
如图，依题意，曲线C上任意一点M到定点 的距离等于点 到定直线 的距离，故点M的
轨迹是抛物线，其轨迹方程为： .
设直线AB的方程为 ，由 消去 得： ，不妨设 ，
第13页/共27页
学科网（北京）股份有限公司，则必有 且 ， ，分别记直线 的斜率为 ，则
，
所以 ．（两直线的斜率之和为0．则两直线关于x轴对称）
设 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，（利用基本不等式求出 的范围）
则 ， 不 妨 设 记 ， 则
，因 在 上为减函数且恒为正数，故 在
上为增函数，则有 故 的最大值为 ．
故答案为： .
三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每
第14页/共27页
学科网（北京）股份有限公司个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知数列 的前n项和为 ， ，且 ．
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）已知等差数列 满足 ，其前9项和为63．令 ，设数列 的前n项和为 ，求证：
．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，再结合当 时， 求出即可；
（2）用基本量法求出 ，利用裂项相消法求出 ，适当放缩即可证明.
【小问1详解】
证明： ，
数列 是以1为首项， 为公差的等差数列
可得
当 时，
当 时，也满足上式，
第15页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
证明：
18. 杭州第19届亚运会后，多所高校掀起了体育运动的热潮．为了深入了解学生在“艺术体操”活动中的参
与情况，随机选取了10所高校进行研究，得到数据绘制成如下的折线图：
（1）若“艺术体操”参与人数超过35人的学校可以作为“基地校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记
可作为“基地校”的学校个数为 ，求 的分布列和数学期望；
第16页/共27页
学科网（北京）股份有限公司（2）现有一个“艺术体操”集训班，对“支撑、手倒立、手翻”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了
多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在
集训测试中，某同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为 ，每个动作及每轮测试互不影响．如果
该同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到8次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【答案】（1）分布列见解析， ；
（2）23轮.
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.
（2）先求得一轮测试该同学“优秀”的概率，然后根据二项分布的知识列不等式，从而求得正确答案.
【小问1详解】
参加“艺术体操”人数在35人以上的学校共5所， 所有可能取值为0，1，2，3，
则 ，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
P
所以 ；
【小问2详解】
由已知该同学在一轮测试中为“优秀”的概率为 ，
第17页/共27页
学科网（北京）股份有限公司则该同学在n轮测试中获“优秀”次数X服从二项分布，即满足 ，
由 ，
所以理论上至少要进行23轮测试．
19. 在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 为其外接圆的圆心， ，
．
（1）求 的大小；
（2）若 ，求边长 的最值．
【答案】19.
20. 最大值: ；最小值：
【解析】
【分析】（1）结合题意对分别对 ， 进行化简，从而求解.
（2）根据正弦定理并结合（1）中的结果，求解得出最值.
【小问1详解】
延长 交外接圆于点 ，如下图所示
则
所以： ，
由 ，
第18页/共27页
学科网（北京）股份有限公司得： ，
解之得： ，因为： ，所以： .
故答案为：
【小问2详解】
在 中，由正弦定理得 ，
所以： ，
因为： ，所以： ，
所以： ，
所以：边长 的最大值为 ，最小值为 .
故答案为：最大值： ；最小值： .
20. 已知函数 ， .
（1）若 的最大值是0，求 的值；
（2）若对于定义域内任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；
第19页/共27页
学科网（北京）股份有限公司（2） ；
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性求出函数最大值，最大值为0进而求出参数 的值.
（ 2 ） 根 据 题 意 分 离 参 数 ， 得 恒 成 立 ， 求 出
最小值即可求出 的取值范围.
【小问1详解】
由题 定义域为 ，
，
若 ，则 在 上单调递增，无最大值，
若 ， ，
时， ，函数 在 上单调递增，
时， ，函数 在 上单调递减，
所以 时， 取得最大值 .
【小问2详解】
对于定义域内任意 ， 恒成立，
即 恒成立，
设 ，
第20页/共27页
学科网（北京）股份有限公司则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
，
所以 在 上有唯一零点 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
所以由 得 ，
所以 ，
当 时， ， ，则 在 上单调减，
当 时， ， ，则 在 上单调增，
所以 ，
恒成立，
即 的最小值，则 ，
所以 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：第一问利用导数研究函数单调性，根据单调性求出函数最值，根据最大值为0进而求
第21页/共27页
学科网（北京）股份有限公司出参数 的值；第二问根据题意首先分离参数，利用导数解决恒成立问题，其中利用函数同构式，是解题
关键.
21. 已知抛物线 ，其焦点为 ，定点 ，过 的直线 与抛物线 相交于 ，
两点，当 的斜率为1时， 的面积为2.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线在 ， 点处的切线分别为 ， ，且 ， 相交于点 ，求 距离的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出 的方程，联立方程，求出 两点的坐标，再根据 的面积即可得解；
（2）设 ， ， ，切点 ，再根据导数的几何意义分 ，
和 三种情况讨论求出切线方程，即可得切线分别为 ， ，进而可求得点 的轨迹方程，从而可得
出答案.
【小问1详解】
过 且斜率为1的直线为： ，
代入拋物线方程可知 ，解得 或 ，
则不妨令点M，N分别为 ， ，
第22页/共27页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，∴ ， ，
∴抛物线方程为： ；
【小问2详解】
设 ， ， ，切点 ，
由题意可知：对于抛物线，当 时， ； ， ； 时， ，
显然 时， ； 时， ，
若 ，则 点处的切线为 ，即 ，
∵ ，∴ ，即 ，
同理，若 ， 点处的切线为 ，
时， ，则在顶点处的切线为 ，符合上述表达式，
∴ 点处的切线为 ； 点处的切线为 ，
在这两条切线上，∴ ，
则 的直线方程为 ，
∵ 在 上，∴ ，即 在定直线 上，
∴ 长的最小值即为点 到直线 的距离，
此时 .
第23页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线 的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
22. 在直角坐标系 中，点 的坐标是 ，曲线 的参数坐标方程 （ 为参数，
）．以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线 的极坐标方程为
， 与 交于 ， 两点．
（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？
（2）过点 作垂直于 的直线 交 于 ， 两点，求 的值．
【答案】（1） ，焦点为 ，顶点为 的抛物线（顶点除外）.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线 的直角坐标方程；
第24页/共27页
学科网（北京）股份有限公司（2）将曲线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义求出
、同理得到 ，即可得解.
【小问1详解】
因为曲线 的极坐标方程为 ，
所以 ，又 ，所以 ，则 ，
所以 ，即 ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以曲线 的直角坐标方程为 ，
曲线 可以由抛物线 向下平移 个单位得到，
的
所以曲线 为焦点为 ，顶点为 抛物线（顶点除外）.
【小问2详解】
将 代入 得 ，
设 ， 对应的参数分别为 ， ， ，
所以 ，
过点 作垂直于 的直线 的参数方程为 （ 为参数， ），
将 代入 得 ，
第25页/共27页
学科网（北京）股份有限公司设 ， 对应的参数分别为 ， ， ，
所以 ，
所以 .
23. 已知函数
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）对于任意的正实数 ，且 ，若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，分类讨论，即可求解；
（2）根据题意，化简得到 ，结合基本不等式求得 的最大值 ，再由绝对值
的三角不等式求得 ，列出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：当 时，不等式 ，即为不等式为 ，
当 时，可得 ，解得 ，所以 ；
当 时，可得 成立，所以 ；
当 时，可得的 ，解得 ，所以 ．
第26页/共27页
学科网（北京）股份有限公司综上得不等式 的解集为 ．
【小问2详解】
解：因为 为正实数，且 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，所以 的最大值 ，
又因为 ，当 时取到等号，
要使 恒成立，只需 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围为
第27页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
