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2024-2025 学年芦山中学初升高入学考试摸底试卷
一、选择题（每小题5分，共40分）
1. 宇宙现在的年龄约为200亿年，200亿用科学记数法表示为（ ）
A. 0.2×1011 B. 2×1010 C. 200×108 D. 2×109
【答案】B
【解析】
【分析】由1亿等于 ，再结合科学记数法的表示方法求解即可
【详解】解：将200亿用科学记数法表示为：2×1010．
故选：B
【点睛】方法点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数幂的运算法则逐项分析即得.
【详解】A， ，故A错误；
B， ，故B错误；
C， ，故C正确；
D， ，故D错误.
故选：C．
3. 已知 ，那么锐角α的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】根据 结合锐角范围内正弦值随着角的增大而增大，得到 ，即可
求得答案.
【详解】解：∵ ，∴ ,
又在锐角范围内正弦值随着角的增大而增大，得 ，
∴ ，又α是锐角，则α的取值范围是 ，
故选：B.
4. 已知关于 的方程 的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用韦达定理可求另外一根为 ，从而可得正确的选项.
【详解】 ，故方程必有两个不同的根，
设另一个根为 ，则由韦达定理可知 ，故 ，
故选：C.
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理求值时注意检验判别式的符号，本题属于
容易题.
5. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（ ）A. 最高成绩是 环 B. 平均成绩是 环
C. 这组成绩的众数是 环 D. 这组成绩的方差是
【答案】D
【解析】
【分析】将甲队员 次成绩（环数）由小到大排列，可判断A选项；利用平均数公式可判断B选项；利
用众数的定义可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.
【详解】甲队员 次成绩（环数）由小到大排列依次为： 、 、 、 、 、 、 、
、 、 ，
对于A选项，甲的最高成绩是 环，A对；
对于B选项，甲的平均成绩为 环，B对；
对于C选项，这组成绩的众数是 环，C对；
对于D选项，这组成绩的方差是
，D错.
故选：D.
6. 若 满足 ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
的
【分析】由题意可得m，n是方程 两根，根据韦达定理即可求得答案.
【详解】由题意可得m，n满足 ,所以m，n是方程 的两根，由韦达定理可得 ，
故 ，
答案：A
7. 定义新运算 满足：
① ；② ；③ .
则关于 的方程 的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给定义化简 ，再解方程即可.
【详解】根据题中新定义得 ，
由 ，可得 ，解得 ，
所以关于 的方程 的解为 .
故选：B
8. 只有一个实数x使得等式 成立，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分 及 进行讨论，结合一元二次方程的性质计算即可得.
【详解】当 时，方程为 只有一个实根，符合题意；
当 时，若关于 的方程 只有一个实根，则 ，即 ；
综上可知， 的值为 或 ,
故选：D.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则不符
合这一结果的试验是（ ）
A. 抛一枚硬币，正面朝上的概率
B. 掷一枚正六面体的骰子，出现 点的概率
C. 转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率
D. 从装有 个红球和 个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
【答案】ABC
【解析】
【分析】由统计图可估计该事件发生的概率为 ，分别计算每个选项的概率即可得.
【详解】对A：掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，故此选项不符合题意；
对B：掷一枚正六面体的骰子，出现 点的概率为 ，故此选项不符合题意；
对C：转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为 ，故此选项不符合题意；
对D：从装有 个红球和 个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率 ，
故此选项符合题意.
故选：ABC.10. 如图，抛物线 的对称轴是直线 ，且与 轴、 轴分别交于 两点，其
中点 在点 的右侧，直线 经过 、 两点.下列选项正确的是（ ）
A. B. 抛物线与 轴的另一个交点在0与-1之间
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象，因为直线 经过点 ，点 在点 的右侧，所以当 时，
，可求出 的范围，判断选项 正确；根据二次函数的图象与 的交点关于对称轴对称，
可判断另一个交点的位置，从而可判断选项 ；根据对称轴为 ，可得 结合图象 时的图
象关系，建立不等式，可得 的范围，从而可判断选项 ;根据 的取值范围及 可判断选项
【详解】∵抛物线开口向下，∴ ，
∵ ，∴ ；∵直线 经过点 ，点 在点 的右侧，
∴ ，∴ ，故A正确；
∵抛物线 的对称轴是直线 ，
且与 轴交点 在点 的右侧，
∴与 轴另一个交点在点 的左侧，故B错误；
由图象可知，当 时， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故C正确；
∵ ， ， ，∴ ，故D正确；
故选：ACD.
11. 如图， 的内角 和外角 的平分线相交于点 ， 交 于点 ，过点 作
交 于点 ，交 于点 ，连接 ，下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据角平分线以及外角的性质即可求解 A，根据相似的判定，即可判定 B，由角相等可得
，进而可得 判定C，根据角平分线的性质可得 到三边距
离相等，进而利用内角和以及外角的性质即可求解D.，
【详解】对于A， 平分 ，所以 ，
因为 平分 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B，因为 与 有两个角是相等的，能得出相似，
但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故B错误.
对于C， 平分 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
同理 ，所以 ，故C正确.
对于D，过点 作 于 ， 于 ， 于 ，如图，因为 平分 ，所以 ，
因为 平分 ，所以 ，
所以 ，所以 平分 ，
设 如图，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 若化简 的结果为 ，则 的取值范围是___________.
【答案】 .
【解析】
【分析】根号下配方、去根号，根据去绝对值的结果判断即可.
【详解】 ，
.
故答案为： .13. 设点 和点 是直线 ，（ ）上的两个点，则 、 的大小关系为
______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用一次函数的增减性可得出 、 的大小关系.
【详解】当 时， ，对于函数 ， 随着 的增大而增大，
因为 ，则 .
故答案为： .
14. 如图，直线 与抛物线 交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当 PAB的
△
周长最小时，S =________．
PAB
△
【答案】
【解析】
【分析】联立直线与抛物线的方程可得 坐标，再作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴的交
于 ，此时 的周长最小，再点 到直线 的距离，结合 的长求解面积即可.
【详解】 ，解得， 或 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，，
作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴的交于 ，则此时 的周长最小，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
设直线 的函数解析式为 ，
，得 ，
直线 的函数解析式为 ，
当 时， ，
即点 的坐标为 ，
将 代入直线 中，得 ，
直线 与 轴的夹角是 ，
点 到直线 的距离是： ，的面积是： ，
故答案为： ．
四、解答题（共77分）
15. （1）计算：
（2）化简： .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据实数的混合运算法则求解即可，
（2）利用分式的运算法则求解.
【详解】（1）原式
（2）原式16. 如图，在 中， ， ，点 是 上一点.
（1）若 为 的角平分线，求 的长；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）过点 作 于点 ,由条件有 ， ，根据 ,可求出答案.
（2）过点 作 于点 ,设 ，则 ,由 ，则 ，可得
，利用勾股定理可得出答案.
【详解】（1）过点 作 于点 ，∵ ， ，∴ .∵ ，∴
.
设 ，则 ，∴ .∵ 为 的角平分线，∴ ，
∴ ，解得 .∴ .（2）同（1）过点 作 于点 ，由（1）可知 ，设 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，由勾股定理可知， ，
∴ ，即 ，∴ .∴ .
∵ ，∴ ，∴ .
【点睛】本题考查角平分线的性质的应用和勾股定理的应用，考查平面几何图形的性质，属于中档题.
17. 已知关于 的方程 有两个实数根 .
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 满足 ，求实数 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
的
【分析】（1）利用判别式 意义得到 ，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到 ， ，利用 得
到 ，然后解方程后利用 的范围确定 的值.
【小问1详解】关于 的方程 有两个实数根 ，
，
解得 .
【小问2详解】
关于 的方程 有两个实数根
， ，
，
，
，
整理得 ，
解得 ， ，
， 的值为 .
18. 如图，在同一坐标系中，直线 交 轴于点 ，直线 过点 .
（1）求 的值；
（2）点 分别在直线 上，且关于原点对称，说明：点 关于原点对称的点 的坐标为，求点 的坐标和 的面积.
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）由直线 求出点 的坐标，再将点 的坐标代入 方程中可求出 的值；
（2）由题意设 ，则 ，再将点 的坐标代入直线 中可求出 ，从而可求得
两点的坐标，进而可求出 的面积.
【小问1详解】
对于直线 ，当 时， ，
所以
因为直线 过点 ，
所以 ，得 ，
【小问2详解】
由 得，
设 ，则 .
又 在 上，
所以 ，解得 ，
则
所以 .19. 如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年 月 日，天气：阴；能见度：1.8千米； 时，甲地
“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地； 时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；
时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离 （千米）与时间 （分钟）的函数关系用图3
表示.其中：“ 时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点 ，点 坐标为 ，曲线
可用二次函数： ， 是常数）刻画.
（1）求 值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2） 时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米 分的速度往甲地方向去看潮，问她几
分钟与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单
车最高速度为0.48千米 分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水
加速阶段速度 ， 是加速前的速度）
【答案】（1） ， 千米 分钟；
（2）小红5分钟后与潮头相遇；
.
（3）小红与潮头相遇到潮头离她18千米外共需26分钟.【解析】
【
分析】（1）根据给定时间及坐标系求出m，再计算速度作答.
（2）求出小红从乙地出发时潮头离乙地的距离，设出从出发到与潮头相遇的时间，列方程求解作答.
（3）根据给定数据求出s与t的函数关系，求出小红追赶潮头距离乙地的距离 与t的关系，由相距1.8
千米列出方程，求解作答.
【小问1详解】
到 的时间是30分钟，则 ，即 ，
潮头从甲地到乙地的速度 （千米 分钟）.
【小问2详解】
因潮头的速度为0.4千米 分钟，则到 时，潮头已前进 （千米），
此时潮头离乙地 （千米），设小红出发 分钟与潮头相遇，
于是得 ，解得 ，
所以小红5分钟后与潮头相遇.
【小问3详解】
把 ， 代入 ，得 ，解得 ， ，
因此 ，又 ，则 ，
当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米 分，即 时， ，解得 ，
则当 时， ，
即从 分钟 时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米 分
的速度匀速追赶潮头，设小红离乙地的距离为 ，则 与时间 的函数关系式为 ，
当 时， ，解得： ，因此有 ，
最后潮头与小红相距1.8千米，即 时，有 ，
解得 ， （舍去），
于是有 ，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时 （分钟），
因此共需要时间为 （分钟），
所以小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分
