2025年普通高等学校招生全国统一考试-数学_2025高考真题

2025 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 注意事项: 1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3.作答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂 其他答案。作答非选择题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答 一律无效。 4.本试卷共4页,满分150分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有 一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1 1+5i 1  i 的虚部为 A. -1 B. 0 C. 1 D. 6 2 设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={1,3,5},则 ∁ A中元素个数为 U A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 3 若双曲线 C 的虚轴长为实轴长的 7倍,则 C 的离心率为 A. 2 B. 2 C. 7 D. 2 2 4 若点 a,0  a>0  π 是函数 y=2tanx- 3  的图象的一个对称中心,则 a 的最小值为 A. 30° B. 60° C. 90° D. 135°5 设 fx 2  是定义在 R 上且周期为 2的偶函数,当 2≤x≤3时, fx  3 =5-2x,则 f- 4  = 1 1 1 1 A. - B. - C. D. 2 4 4 2 6 帆船运动员借助风力驾驶帆船, 7 若圆 x2+y+2  2=r2r>0  上到直线 y= 3x+2的距离为 1 的点有且仅有 2哥,则 r 的取值范围是 A. (0,1) B. (1,3) C. 3,+∞  D. 0,+∞  8 若实数 x,y,z 满足 2+log x=3+log y=5+log z ,则 x,y,z 的大小关系不可能是 2 3 5 A. x>y>z B. x>z>y C. y>x>z D. y>z>x 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多 项符合 题目要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。 9 在正三棱柱 ABC-A B C 中, D 为 BC 中点,则 1 1 1 A. AD⊥A C B. B C⊥ 平面 AA D 1 1 1 C. CC ⎳ 平面 AA D D. AD⎳A B 1 ! 1 1 10 设抛物线 C:y2=6x的焦点为 F ,过 F 的直线交 C 于 A、B ,过 F 且垂直于 AB 的直线交 3 l:y=- x于 E ,则 2 A. AD=AF B. AE=AB C. AB≥6 D. AE⋅BE≥18 1 1 11 已知 △ABC 的面积为 ,若 cos2A+cos2B+cos2C=2,cosAcosBsinC= ,则 4 4 A. sinC=sin2A+sin2B B. AB= 2 6 C. sinA+sinB= D. AC2+BC2=3 2三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分. 12 若直线 y=2x+5是曲线 y=ex+x+a 的切线,则 a= . 13 若一个等比数列的前 4项和为 4, 前 8项和为 68 ,则该等比数列的公比为 . 14 一个箱子里有 5个球,分别以 1∼5标号,若有放回取三次,记至少取出一次的球的个数 X ,则 EX 3  = . 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 15 (13 分) 概率略 16 (15 分) 设数列 a n  a a 1 满足 n+1 = n + n n+1 nn+1  . (1)证明: na n  为等差数列； (2)设 fx  =a x+a x2+⋯+a xm ,求 f 2 1 2 m  .17 (15 分) 如图所示的四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD , BC⎳AD,AB⊥AD . (1)证明:平面 PAB⊥ 平面 PAD ； (2)若 PA=AB= 2,AD= 3+1,BC=2,P,B,C,D 在同一个球面上,设该球面的球心 为 O . (i)证明: O 在平面 ABCD 上； (ii) 求直线 AC 与直线 PO 所成角的余弦值. 18 (17 分) x2 y2 设椭圆 C: + =1a>b>0 a2 b2 4  ,记 A 为椭圆下端点, B 为右端点, AB= 10 ,且 2 2 椭圆 C 的离心率为 . 3 (1)求椭圆的标准方程； (2) 设点 Pm,n  . ( i ) 若 P 不在 y 轴上,设 R 是射线 AP 上一点, AR⋅AP=3 ,用 m,n 表示点 R 的坐标; (ii) 设直线 OQ 的斜率为 k ,直线 OP 的斜率为 k ,若 k =3k ,M 为椭圆上一点, 1 2 1 2 求 PM 的最大值.19 (17 分) 设函数 fx 5  =5cosx-cos5x . (1)求 fx  π 在  0,  4  的最大值； (2)给定 θ∈0,π  , a 为给定实数,证明:存在 y∈a-θ,a+θ  ,使得 cosy≤cosθ ； (3)若存在 φ ,使得对任意 x ,都有 5cosx-cos5x+φ  ≤b ,求 b 的最小值.